广东惠州市惠城区2025-2026学年七年级下学期期末模拟数学试卷

**基本信息** 惠州市七年级数学期末卷以东坡祠坐标、罗浮山葛洪研学等本地文化及《九章算术》、曼哈顿距离等数学文化为情境，原创题占比高，突出用数学眼光观察现实、思维解决问题、语言表达实际问题的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数判断、坐标系（东坡祠位置）、统计样本|情境本土化，如市民对东坡文化知晓率调查| |解答题二|3/27|三元一次方程组（《九章算术》）、曼哈顿距离应用|数学文化与创新应用结合，如快递路线优化| |解答题三|2/24|坐标系综合、几何动态问题|能力梯度分明，如三角形面积与运动时间关系推理|

题号 题型 知识板块 具体知识点 核心素养 难度 分值 1 选择 实数 无理数识别 数学抽象 易 3 2 选择 坐标 坐标与方向（东南西北） 直观想象 易 3 3 选择 统计 总体、个体、样本、样本容量 数据分析 易 3 4 选择 不等式 不等式性质判断 逻辑推理 易 3 5 选择 平行线 平行线间拐点角度计算 逻辑推理 中 3 6 选择 方程组 解二元一次方程组 数学运算 易 3 7 选择 坐标 点在坐标轴上的条件 数学运算 易 3 8 选择 实数 实数性质判断 数学抽象 中 3 9 选择 不等式 解不等式组与数轴表示 直观想象 中 3 10 选择 不等式 一元一次不等式应用 （方案最值） 数学建模 中 3 11 填空 实数 平方根近似计算 数学运算 易 3 12 填空 坐标 点到坐标轴距离 直观想象 易 3 13 填空 相交线 垂直、对顶角求角度 逻辑推理 易 3 14 填空 实数 新定义运算（平方与减法） 数学运算 易 3 15 填空 方程 二元一次方程正整数解 逻辑推理 中 3 16(1) 解答 实数 实数混合运算 数学运算 易 4 16(2)① 解答 实数 平方根方程求解 数学运算 易 3 16(2)② 解答 实数 立方根方程求解 数学运算 易 3 17 解答 平行线 平行线判定（垂直+同位角） 逻辑推理 易 6 18(1) 解答 统计 样本容量、百分比、圆心角 数据分析 中 4 18(2) 解答 统计 补全频数分布直方图 数据分析 易 2 18(3) 解答 统计 用样本估计总体 数据分析 易 2 19 解答 方程组 三元一次方程组解法 数学运算 中 9 20(1) 解答 坐标/代数 曼哈顿距离（新定义直接计算） 数学运算 易 2 20(2)① 解答 坐标 点在x轴上，列绝对值方程求解 数学运算 易 2 20(2)② 解答 坐标 横纵坐标相等，列绝对值方程求解 数学运算 易 2 20(3)① 解答 坐标 曼哈顿距离多段路程计算 数学运算 中 2 20(3)② 解答 坐标 方案比较与说理（对称性） 逻辑推理 中 1 21(1) 解答 方程 二元一次方程组（和差问题） 数学建模 易 4 21(2) 解答 实数 比例计算（海拔差⇒温差⇒每100米下降） 数学运算 中 2 21(3) 解答 实数 气温计算与温度范围判断 数学运算 中 2 21(4) 解答 综合实践 影响因素分析（土壤、光照、水分等等） 逻辑推理 易 1 22(1) 解答 实数 二次根式非负性求参数 数学运算 中 4 22(2) 解答 坐标 点到坐标轴距离列方程 直观想象 中 4 22(3) 解答 坐标 动点面积相等问题 直观想象 难 4 23(1) 解答 平行线 平行线辅助线（过拐点） 逻辑推理 中 4 23(2) 解答 平行线 角平分线+角度计算 逻辑推理 难 4 23(3) 解答 平行线 角平分线+参数表示 逻辑推理 难 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市2025-2026学年第二学期期末质量检测 七年级数学试卷 （考试时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 【原创】在平面直角坐标系中，以合江楼为坐标原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向。根据惠州地理，东坡祠位于合江楼的东南方向。则东坡祠的坐标可能是（ ） A. （3, 2） B. （3, 2） C. （3, 2） D. （3, 2） 3. 【原创】为了解惠州市民对“东坡文化”的知晓率，某校兴趣小组随机抽取了500名市民进行调查。下列说法正确的是（ ） A. 总体是惠州市全体市民对东坡文化的知晓情况 B. 个体是500名市民 C. 样本容量是500名 D. 样本是500名市民对东坡文化的知晓率 4. 若＞b，则下列不等式错误的是（ ） A. ＋＞＋ B. ＞ C. ＞ D. ＞ 5. 将一块含30°角的直角三角板与一把直尺按如图所示方式摆放，∠C＝90°， ∠A＝30°．若∠1＝30°，则∠3∠2的大小为（　　） A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 6. 方程组的解是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点P（, ）在轴上，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 无理数就是开方开不尽的数 B. 两个无理数的和一定是无理数 C. 实数与数轴上的点一一对应 D. 带根号的数都是无理数 9. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 【原创】某校开展“低碳生活”综合实践活动，计划购买A、B两种节能灯共20个，A型每个30元，B型每个20元，要求总费用不超过500元，且A型数量不少于B型数量的一半，则A型最多可购买（ ） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若≈2.236，则根号≈______（保留三位小数）。 12. 在平面直角坐标系中，点M（,）到轴的距离是______。 13. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE垂直于AB，∠AOC＝35°，则∠DOE＝______°。 14. 定义一种新运算：。若，则______。 15. 二元一次方程的正整数解有______组。 三、解答题（一）（本大题共3小题，共24分） 16.（1）计算（4分）：。 （2）解方程（6分）。 ① ； ② 。 17.（6分） 如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2．求证：DG∥BA。 18.（8分） 【原创】某校为调查学生对惠州西湖鸟类的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图。根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是_________，扇形统计图中，_______，_______，“基本了解”对应的圆心角度数为_______。 （2）补全学生对惠州西湖鸟类了解程度频数分布直方图； （3）若全校有1500人，估计“基本了解”以上（含基本了解）的人数。 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19.（9分） 【数学文化】《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载了“方程术”，用“直除法”解多元一次方程组，这是世界上最早的完整线性方程组解法。 请用现代方法解下列三元一次方程组：。 20.（9分）【原创】【数学文化】在平面直角坐标系中，定义点(,)与点(,)的“曼哈顿距离”为：d(,)＝||＋||。该名称源于美国数学家赫尔曼·闵可夫斯基，因其形象地描述了在网格状街道（如曼哈顿）中行走的最短路径长度。 【问题探究】 （1）基础计算：已知(,)，(,)，求d(,)的值。 （2）规律发现： ① 点在轴上，且d(,)＝，求点的坐标。 ② 点的横坐标与纵坐标相等，且d(,)＝，求点P的坐标。 （3）应用拓展：快递员从配送中心(,)出发，要将货物送到(,)和(,)两个客户手中，最后返回。他只能沿网格线行走（水平或垂直）。 现有两种路线方案： · 方案一： → → → · 方案二： → → → ① 分别计算两种方案的总路程。 ② 请你判断哪种方案更优？为什么？ 21.（9分） 【原创】【跨学科实践】惠州罗浮山是道教名山，1600多年前医药学家葛洪曾在此隐居，其所著《肘后备急方》中提到“青蒿一握，以水二升渍，绞取汁，尽服之”，启发了屠呦呦发现青蒿素。 某校七年级开展“罗浮山·葛洪·中医药文化”跨学科研学活动。 请解答： （1）研学小组在山脚（海拔50米）和山腰（海拔650米）两处同时测量气温，测得两处气温之和为53.2℃，山脚气温比山腰高4.8℃。求山脚和山腰的气温各是多少℃？（列二元一次方程组求解） （2）罗浮山主峰飞云顶海拔1281.5米。研学小组测得山脚（海拔50米）气温为28℃，山顶气温为22.7℃。请计算该山区海拔每上升100米，气温下降多少℃？（结果保留两位小数） （3）研究表明，青蒿最适宜种植的海拔范围为350米～750米。根据（2）的结果，请分别计算罗浮山海拔350米和750米处的气温，并判断这两个海拔是否在青蒿素积累的最适宜温度范围（13.9℃～22℃）内。 （4）根据（3）的结果，请你推测，除了温度之外，还有哪些因素可能影响青蒿的适宜种植海拔？请写出至少两个因素。 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22.（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，且．点在第四象限． (1)求a，b的值； (2)若点C到y轴的距离是到x轴距离的两倍，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，点D从原点O出发以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，连接交y轴于点E，则当点D运动多少秒时，三角形与三角形面积相等？ 23.（12分） 直线，点、分别是直线、上的点，点为直线、之间的点． (1)如图1，判断、、之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点为直线上一点，且点在点右侧，，的平分线交直线于点，点在点右侧，求的值． (3)如图3，绕点转动，与交于点，且始终在的内部，平分，交直线于点，平分，交直线于点，若，，则 （用含α、β的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案与详细解析 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 答案：C 解析：判断一个数是否为无理数，要看它是否为无限不循环小数。 A. ＝，是整数，属于有理数。 B. 3.14是有限小数，属于有理数。 C. ＝，是无限不循环小数，所以是无理数。 D. 是分数，属于有理数。故选C。 2. 答案：D 解析：东南方向⇒东侧（x＞0）且南侧（y＜0），所以横坐标为正，纵坐标为负。故选D。 3. 答案：A A正确：总体是指所要考察的全体对象的某种属性，这里是惠州市全体市民的知晓情况。 B错误：个体是每一个市民的知晓情况，不是500名市民。 C错误：样本容量是500，不带单位。 D错误：样本是抽取的500名市民的知晓情况，不是“知晓率”这个数值。 4. 答案：D 解析：A. ＋3 ＞ ＋3：两边同时加3，不等号方向不变，正确。 B. 3 ＞ 3：两边同时减3，不等号方向不变，正确。 C. 2 ＞ 2：两边同时乘正数2，不等号方向不变，正确。 D. ＞ ：两边同时乘负数1，不等号方向应改变，正确应为 ＜ ，所以D错误。故选D。 5. 答案：B 解析：观察图形，由“猪脚模型”易知∠1＋∠2＝60°，又∠1＝30°，所以∠1＝∠2＝30°。由平行线同位角相等的性质易知∠3等于其上方的同位角，继而推出∠3等于90°＋∠1的对顶角（30°），即∠3等于120°，所以∠3∠2＝90°，故选B。 6. 答案：C 解析：两式相加得 （＋）＋（）＝＋ ⇒ ＝9 ⇒ ＝3。 代入第二式＝ ＝ ⇒ ＝1。所以解为 ＝, ＝。故选C。 7. 答案：B 解析：点在轴上的条件是纵坐标为。令＋＝，解得＝。故选B。 8. 答案：C 解析：A. 错误。无理数不一定是开方开不尽的数。例如π（圆周率）是无理数，但它不是由开方得到的。“开方开不尽的数”只是无理数的一部分，不是全部。 B. 错误。反例：＋（）＝ ，是有理数。 C. 正确。实数和数轴上的点一一对应，这是实数的重要性质。 D. 错误。反例：＝，带根号但是整数，不是无理数。故选C。 9. 答案：A 解析： ⇒ ≥，在数轴上用实心点表示。 ＜ 0 ⇒ ＜ ，在数轴上用空心点表示。 所以解集为 ≤ ＜，在数轴上表示为从实心到空心。故选A。 10. 答案：D 解析：设A型购买个，则B型购买（）个。 根据总费用不超过500元：＋（）≤＋≤≤≤。根据A型数量不少于B型数量的一半：≥≥≥≥≈，因为是整数，所以≥。综合得≤≤，所以最大为10。故选D。 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 答案： 解析：因为，所以≈＝。 12. 答案： 解析：点M（, ）到轴的距离等于横坐标的绝对值，即＝。 13. 答案： 解析：因为OE垂直于AB，所以∠BOE＝°。又因为∠AOC＝°，而∠BOD和∠AOC是对顶角，所以∠DOE＝∠BOE∠BOD＝°°＝°。 14. 答案：± 解析：由定义得 ，即，所以±。 15. 答案： 解析：由 得 。 左边 是偶数，右边 是偶数，所以 必为偶数。 因为 是奇数，所以 必为偶数。设 （为正整数），代入得： 要求≥，则≤≤，即或 。 当时：，；当时：，； 综上所述，共有 组正整数解，即 和 。 三、解答题（一）（共24分） 16.（1）（4分） 解：原式＝＋（）＋ ＝ 评分标准：第一步化简结果全部正确得2分，最终结果正确再得2分，共4分。 （2）（6分） （1） 解：± 或 （2） 解： 评分标准：每个方程解对得3分，共6分。 17.（6分） 证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）， ∴∠EFB＝90°，∠ADB＝90°（垂直的定义）， （1分） ∴∠EFB＝∠ADB（ 等量代换）， ∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行）， （2分） ∴∠1＝∠BAD（两直线平行，同位角相等）， （3分） 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠BAD＝∠2（等量代换）， （4分） ∴DG∥BA．（内错角相等，两直线平行）． （5分） 18.（8分） 解：（1）由扇形统计图得知，“基本了解”的学生人数占抽样学生总人数的比为，∴其对应的扇形统计图的圆心角为：360°×45%＝162°，又由频数分布直方图可知，“基本了解”的学生人数为90人，∴本次调查随机抽取的学生总数为：人，即本次抽样调查的样本容量是200； 又由频数分布直方图知“不了解”的学生人数为30人，∴“不了解”的学生人数占抽样学生总人数的比为：30÷200×100%＝15%，即＝15； 又由扇形统计图知“非常了解”的学生人数占抽样学生总人数的比为15%，∴“了解较少”的学生人数占抽样学生总人数的比为：115%15%45%＝25%，即＝25； （2）“非常了解”的学生人数为：200×15%＝30（人），“了解较少”的学生人数为：200×25%＝50（人）。画图省略。 （3）由题意可知“基本了解”以上的学生包括“基本了解”和“非常了解”的学生，他们占抽样学生总人数的比为：45%＋15%＝60%，∴若全校有1500人，估计“基本了解”以上（含基本了解）的人数为：1500×60%＝900（人）。 评分标准：（1）每空1分，共4分；（2）两条统计图各占1分，共2分；（3）占比计算正确1分，总人数计算正确1分，共2分。 四、解答题（二）（共27分） 19.（9分） 解：由③得：＝,代入①得：＋＋（）＝， 整理得：④ 将＝代入②得：＋＋（）＝， 整理得：＝ 将＝代入④得：＋＝，解得： 将＝, 代入＝得：＝＝＋＝ 所以原方程组的解为。 评分标准：正确用表示，得2分；代入化简求出得2分；求出得2分；求出得2分；结果正确1分，共9分。（注：用加减消元法得到正确的二元一次方程组得4分，其中每个方程正确得2分，解出二元一次方程组的正确结果得2分，其中每个结果正确得1分，最后代入求出另一个未知数的值得2分，结果全部表示正确得1分，共9分） 20.（9分） 解：（1）d(,)＝||＋||＝||＋||＝ 评分标准：正确代入坐标得1分，计算正确得1分，共2分。 （2）①∵点在轴上，∴可设(,0) ∵原点(,)，∴d(,)＝||＋||＝||＋＝|| 又∵d(,)＝，∴||＝，∴或，∴(,)或(,) 答：点的坐标为(,)或(,)。 评分标准：正确设出坐标得1分，正确写出两个结果得1分，共2分。 （2）∵点的横坐标与纵坐标相等，∴可设P(,) 又∵(,)，d(,)＝，∴d(,)＝||＋||＝||＋||＝2||＝， ∴||＝，∴或，∴(,)或(,) 答：点坐标为(,)或(,)。 评分标准：正确设出P坐标得1分，正确写出两个结果得1分，共2分。 （3）①∵(,),(,),(,), ∴d(,)＝||＋||＝＝，d(,)＝||＋||＝＝, d(,)＝||＋||＝＝，d(,)＝||＋||＝＝, d(,)＝||＋||＝＝，d(F,)＝||＋||＝＝. 方案一： → → → 总路程＝d(,)＋d(,)＋d(,)＝ 方案二： → → → 总路程＝d(,)＋d(,)＋d(,)＝ 答：两种方案的总路程均为。 评分标准：正确计算出每个方案的总路程各得1分，共2分。 （3）② 解析：两种方案的总路程相等，都是16。 原因：曼哈顿距离满足对称性，即d(,)＝d(,)；且由到再到最后返回，与到再到最后返回，经过的路径总长度相同。这类似于在网格中，无论先去A还是先去B，最终都要经过所有三个点，总路程不变。 答：两种方案一样优，因为总路程相等。 评分标准：判断正确得0.5分，理由合理得0.5分，共1分。 21.（9分） 解：（1）设山脚气温为 ℃，山腰气温为℃。 根据题意可列方程组： 两式相加得：＝＋，解得 代入第一式：＝，解得：＝ 答：山脚气温℃，山腰气温℃。 评分标准：正确设未知数得1分；正确列方程组得1分；正确解出得1分；正确解出得1分，共4分。 （2）海拔差：（米） 温差：（℃） 每100米下降：÷（℃/） 答：该山区海拔每上升米，气温下降约℃。 评分标准：正确计算海拔差得0.5分；正确计算温差得0.5分；正确计算结果正确得1分，共2分。 （3）海拔米处： 海拔升高：（米） 下降温度：＝（℃） 气温：（℃） 海拔米处： 海拔升高：（米） 下降温度：＝（℃） 气温：（℃） 判断：青蒿素积累的最适宜温度范围：℃～℃ ＞ ℃，℃ ＞ ℃，两个海拔的气温均高于最适宜温度范围 答：海拔350米处气温约为 26.7℃，海拔750米处气温约为 24.9℃；两个海拔的气温均不在青蒿素积累的最适宜温度范围内。 评分标准：正确计算350米处气温得0.5分；正确计算750米处气温得0.5分；正确判断并得出结论得1分，共2分。 （4）参考答案（写出任意两个即可）： ①土壤因素：不同海拔的土壤类型、肥力、酸碱度不同； ②光照因素：高海拔地区光照强度大、紫外线强； ③水分因素：不同海拔的降水量、蒸发量、湿度不同； ④病虫害因素：低海拔地区病虫害较多； ⑤竞争因素：不同海拔的伴生植物种类不同； ⑥人类活动因素：低海拔地区人类活动干扰较多。 评分标准：写出一个合理因素得0.5分，写出两个及以上合理因素得1分，共1分。 五、解答题（三）（共24分） 22.（12分） 解：（1）解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解；∵到y轴的距离是到x轴距离的两倍，且点C在第四象限， ∴， 解得， ∴， ∴点C的坐标为； （3）解：如图所示，设与轴交于， 由（1）可得，由（2）得 ∵， ∴， ∴； ∵三角形与三角形面积相等， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴运动时间为（秒）． 评分标准： （1） 正确利用二次根式非负性得＝得2分，正确求出＝得2分，共4分； （2） 正确列出方程得2分，正确解出得1分，C 坐标正确得1分，共4分； （3） 正确求 OH 得1分，正确转化面积相等关系得1分，正确求 DH 得1分，正确求出时间得1分，共4分。 23.（12分） （1）解：，理由如下： 过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 由（1）同理得， ∴， ∴； （3）解：∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， ∴， ∵， ∴， 由（1）同理得：， ∴； 故答案为：． 评分标准： （1）正确作辅助线2分，正确写出关系式2分，共4分； （2）正确推导∠CNP＝2∠EPF得3分，结果正确得1分，共4分； （3）正确设元1分，正确推导∠HPG表达式2分，结果正确得1分，共4分。 学科网（北京）股份有限公司 $