精品解析：广东省惠州市惠城区2024--2025学年七年级下册数学期末试卷

惠城区2024-2025学年第二学期期末教学质量监测 七年级数学试卷 考试时间：120分钟；总分120分 注意事项： 1．答题前在答题卡填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案填写在答题卡上． 一、单选题（每题3分，共计30分） 1. 下列各数中是有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，应采用全面调查的是（ ） A. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标 B. 调查某品牌手机的使用满意度 C. 了解全班同学的身高情况 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 和为的两个角是邻补角 B. 一条直线的垂线只有一个 C. 等角的补角相等 D. 相等的角是对顶角 4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 学源于生活，用于生活，我们要会“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”．下列生活场景中，用到“垂线段最短”这一数学原理的是（ ） A. 打靶瞄准 B. 拉绳插秧 C. 跳远测量成绩 D. 弯曲河道改直 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 2025年春节联欢晚会上，16个人形机器人身着花棉袄，手持红手帕登上舞台，与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈《秧》．小林观看节目时受到启发，将图1中机器人的手臂抽象为图2的示意图，其中手臂，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示的大长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共计15分） 11. 化简：______． 12. “与1的和小于零”用不等式表示：________． 13. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=54º时，∠1=______． 14. 把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果___________，那么_____________． 15. 在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是______（填A，B，C，D，E） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 三、解答题（每题7分，共计21分） 16. 计算：． 17. 解不等式组并将解集在数轴上表示出来． 18. 年是中国人民抗日战争和世界反法西斯战争胜利的周年，长征是中国革命事业的伟大转折点、如图是红一方面军长征路线图，如果表示瑞金的点的坐标为，表示过草地的点的坐标为 （1）在图中画出正确的平面直角坐标系； （2）表示会宁会师的点的坐标为 ，湘江战役的点的坐标为 ，吴起镇会师的点的坐标为 ． 四、解答题（每题10分，共计30分） 19. 完善下面证明题（在空格处填适当的符号或依据）： 已知：如图，，求证：． 证明：（已知） （邻补角的定义） （________） ______（________） （________） 又（________） ________（________） （________） 20. “机器人的一小步，是人类科技发展的一大步．”某校机器人社团对学生进行“最喜欢的人形机器人”随机抽样调查，受访者从“A．天工；B．小顽童；C．行者；D．城市之间；E．钢宝”五款机器人中选择最喜欢的一款，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）这次调查的学生共有______人，图②中的值为______，图②中所在扇形的圆心角是______度； （2）将图①中的条形统计图补充完整； （3）若该校有名学生，请估计全校选择的人数是多少？ 21. 根据以下素材，探索完成任务． “同城跑腿急送”，让你的生活更便利 素材1 “同城跑腿急送”送件费用为起送费用、里程费用与重量费用的和，具体计费方式如右． 起送费用 若送件重量不超过5千克，送件里程不超过5千米时，按单收费，每单10元． 里程费用 若送件的里程大于5千米，超出5千米且不超过10千米部分的里程费用为每千米a元，超出10千米部分的里程费用为每千米3元．（实际里程不足1千米，按1千米计算．例如送件实际里程为7.3千米，按8千米算，即计价里程为8千米） 重量费用 若送件的重量大于5千克，超出5千克且不超过10千克部分的重量费用为每千克b元，超出10千克部分的重量费用为每千克5元．（实际重量不足1千克，按1千克计算．例如送件实际重量为6.4千克，按7千克算，即计价重量为7千克） 素材2 甲、乙、丙三人都使用素材1中的“同城跑腿急送”服务： 甲：送件里程6千米，送件重量8千克，费用21元；另送一件里程10千米，送件重量7千克，费用26元． 乙：送件里程12.5千米，送件重量14.3千克． 丙：送件里程与送件重量都已经记不清了，只记得送件里程超过了5千米，送件重量超过了5千克小于10千克，总费用是25元． 解决问题 任务1 请你确定的值． 任务2 帮助乙计算这单跑腿需要的费用． 任务3 确定丙这单跑腿的计价里程以及计价重量． 五、解答题（每题12分，共计24分） 22. 【材料阅读】 二元一次方程有无数组解，如：，，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）已知，则点________（填“A或B或C”）在方程的图象上． （2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象．观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出二元一次方程组的解是________； 【拓展延伸】 （3）设方程的图象与轴的交点分别是，方程的图象与轴的交点分别是． ①求点A和点D的坐标； ②已知关于的二元一次方程组无解，点B在y轴正半轴上，且，请作出符合题意的图形，并求，的值． 23. 综合探究：在数学探究课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板．探究活动中，三角板和两条平行线，在同一平面内． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系________； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图3中，小明把三角板直角顶点E放在平行线内，另两顶点放在平行线外，分别在的内部作射线交于点P，使得，（且n为整数），请求出（用含n的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠城区2024-2025学年第二学期期末教学质量监测 七年级数学试卷 考试时间：120分钟；总分120分 注意事项： 1．答题前在答题卡填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案填写在答题卡上． 一、单选题（每题3分，共计30分） 1. 下列各数中是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数即无限不循环小数，算术平方根，立方根，有理数，熟练掌握定义是解题的关键．根据立方根，算术平方根，有理数，无理数的定义判断即可． 【详解】解：A. 是无理数，不符合题意； B. 是无理数，不符合题意； C. 是无理数，不符合题意； D. 是有理数，符合题意； 故选：D． 2. 下列调查中，应采用全面调查的是（ ） A. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标 B. 调查某品牌手机的使用满意度 C. 了解全班同学的身高情况 D. 调查某批次汽车的抗撞击能力 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全面抽查和抽样调查，根据全面调查的定义（对需要调查的对象进行逐个检查的一种调查方法）和抽样调查的定义（从全部调查的研究对象中，抽选一部分单位进行调查，并据此对全部调查研究对象做出估计和推断的一种调查方法）逐项判断即可． 【详解】解：A. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标，采用抽样调查； B. 调查某品牌手机的使用满意度，采用抽样调查； C. 了解全班同学的身高情况，采用全面调查； D. 调查某批次汽车的抗撞击能力，采用抽样调查； 故选：C 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 和为的两个角是邻补角 B. 一条直线的垂线只有一个 C. 等角的补角相等 D. 相等的角是对顶角 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查命题真假的判断，需逐一分析各选项是否符合相关几何概念． 【分析】解：A. 和为的两个角是邻补角，邻补角需满足相邻且互补，仅和为未必相邻，故A为假命题； B. 一条直线的垂线只有一个，过一点有且仅有一条垂线，但一条直线可有无数垂线（不同点），故B为假命题； C. 等角的补角相等，若两角相等，其补角均为减去该角，必相等，故C为真命题； D. 相等的角是对顶角，对顶角相等，但相等角未必是对顶角（如平行线同位角），故D为假命题； 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了判断点所在的象限.直接根据所在的象限点的特点判断即可. 【详解】解：点所在的象限是第四象限. 故选：D 5. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否成立． 【详解】解：选项A：由，两边同时加2，得，而选项A为，显然不成立． 选项B：由，两边同时乘以（负数），不等式方向改变，得，故选项B成立． 选项C：当时，，此时不成立，因此选项C不一定成立． 选项D：由，两边同时减1，得，而选项D为，显然不成立． 故选：B 6. 学源于生活，用于生活，我们要会“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”．下列生活场景中，用到“垂线段最短”这一数学原理的是（ ） A. 打靶瞄准 B. 拉绳插秧 C. 跳远测量成绩 D. 弯曲河道改直 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间线段最短，根据线段的性质，直线的性质和垂线段最短分别判断即可． 【详解】解：A、打靶瞄准用到的是两点确定一条直线，不符合题意； B、拉绳插秧用到的是两点确定一条直线，不符合题意； C、跳远测量成绩用到的是“垂线段最短”，符合题意； D、弯曲河道改直用到的是两点之间，线段最短，不符合题意； 故选：C． 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将变形为，结合已知等式即可求解． 【详解】已知， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查立方根的应用，解题关键是借助已知等式求解． 8. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且； 乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且； ∴方程组为． 故选：B． 9. 2025年春节联欢晚会上，16个人形机器人身着花棉袄，手持红手帕登上舞台，与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈《秧》．小林观看节目时受到启发，将图1中机器人的手臂抽象为图2的示意图，其中手臂，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点E作，则，由平行线的性质得到，则可推出，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 10. 如图所示的大长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设这6个小长方的长和宽分别为，根据图形可得方程组，解方程组求出这6个小长方的长和宽分别为，阴影部分面积等于大长方形面积减去这6个小长方的面积，据此列式计算即可． 【详解】解：设这6个小长方的长和宽分别为， 由题意得，， 解得， ∴这6个小长方的长和宽分别为， ∴， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共计15分） 11. 化简：______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据绝对值的性质计算得到结果． 【详解】解：． 12. “与1的和小于零”用不等式表示：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列不等式，先表示出与1的和，再用小于号把它与0连接起来即可． 【详解】解：“与1的和小于零”用不等式表示为， 故答案为：． 13. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=54º时，∠1=______． 【答案】36° 【解析】 【分析】如图，根据平行线的性质可得∠3=∠2，然后根据平角的定义解答即可． 【详解】解：如图，∵三角尺的两边a∥b， ∴∠3=∠2=54º， ∴∠1=180°－90°－∠3=36°． 故答案为：36°． 【点睛】本题以三角板为载体，主要考查了平行线的性质和和平角的定义，属于基础题型，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 14. 把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果___________，那么_____________． 【答案】 ①. 同旁内角互补 ②. 两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，如果后面是题设，那么后面是结论． 根据命题“同旁内角互补，两直线平行”的题设和结论进行分析，解答即可． 【详解】解：依题意，把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果同旁内角互补，那么两直线平行， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行 15. 在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是______（填A，B，C，D，E） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的应用，熟练掌握等式的性质和不等式的应用是解答本题的关键．由题意得到关于①②③④⑤的方程，然后作差利用不等式的性质，最后根据题意得结论． 【详解】解：设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e， 则，，，，， 得：，； 得：，； 得：，； 得：，； 得：，； ，且， B卡片上的数最大． 故答案为：B． 三、解答题（每题7分，共计21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行乘方，开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 解不等式组并将解集在数轴上表示出来． 【答案】， 将解集在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 首先分别解出两个不等式的解集，然后找出它们的公共部分，即为不等式组的解集．最后，在数轴上表示出解集． 【详解】解： 解不等式①得． 解不等式②得． 故原不等式组的解集为． 18. 年是中国人民抗日战争和世界反法西斯战争胜利的周年，长征是中国革命事业的伟大转折点、如图是红一方面军长征路线图，如果表示瑞金的点的坐标为，表示过草地的点的坐标为 （1）在图中画出正确的平面直角坐标系； （2）表示会宁会师的点的坐标为 ，湘江战役的点的坐标为 ，吴起镇会师的点的坐标为 ． 【答案】（1）画图见解析 （2），， 【解析】 【分析】（）根据题意画出平面直角坐标系即可； （）根据所画的平面直角坐标系写出坐标即可； 本题考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键． 【小问1详解】 解：建立平面直角坐标系如图所示： 【小问2详解】 解：由（）图可得，会宁会师的点的坐标为，湘江战役的点的坐标为，吴起镇会师的点的坐标为， 故答案为：，，． 四、解答题（每题10分，共计30分） 19. 完善下面证明题（在空格处填适当的符号或依据）： 已知：如图，，求证：． 证明：（已知） （邻补角的定义） （________） ______（________） （________） 又（________） ________（________） （________） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．根据平行线的判定和性质解答即可． 【详解】证明：（已知） （邻补角的定义） （同角的补角相等） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） 又（已知） （等量代换） （同旁内角互补，两直线平行） 20. “机器人的一小步，是人类科技发展的一大步．”某校机器人社团对学生进行“最喜欢的人形机器人”随机抽样调查，受访者从“A．天工；B．小顽童；C．行者；D．城市之间；E．钢宝”五款机器人中选择最喜欢的一款，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）这次调查的学生共有______人，图②中的值为______，图②中所在扇形的圆心角是______度； （2）将图①中的条形统计图补充完整； （3）若该校有名学生，请估计全校选择的人数是多少？ 【答案】（1），， （2） 补全统计图， （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角，用样本估计总体．从统计图中获取正确的信息是解题的关键． （1）根据的人数与占比求得总人数，再求得的占比，进而求得的值，根据的占比乘以，即可得出图②中所在扇形的圆心角； （2）先求得、的数量，再补全统计图，即可求解； （3）用，即可求解． 【小问1详解】 解： 的占比为 ∴，则， 图②中所在扇形的圆心角是， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：的人数是：人， 的人数是：人， 【小问3详解】 估计全校选择的人数是人 21. 根据以下素材，探索完成任务． “同城跑腿急送”，让你的生活更便利 素材1 “同城跑腿急送”送件费用为起送费用、里程费用与重量费用的和，具体计费方式如右． 起送费用 若送件重量不超过5千克，送件里程不超过5千米时，按单收费，每单10元． 里程费用 若送件的里程大于5千米，超出5千米且不超过10千米部分的里程费用为每千米a元，超出10千米部分的里程费用为每千米3元．（实际里程不足1千米，按1千米计算．例如送件实际里程为7.3千米，按8千米算，即计价里程为8千米） 重量费用 若送件的重量大于5千克，超出5千克且不超过10千克部分的重量费用为每千克b元，超出10千克部分的重量费用为每千克5元．（实际重量不足1千克，按1千克计算．例如送件实际重量为6.4千克，按7千克算，即计价重量为7千克） 素材2 甲、乙、丙三人都使用素材1中的“同城跑腿急送”服务： 甲：送件里程6千米，送件重量8千克，费用21元；另送一件里程10千米，送件重量7千克，费用26元． 乙：送件里程12.5千米，送件重量14.3千克． 丙：送件里程与送件重量都已经记不清了，只记得送件里程超过了5千米，送件重量超过了5千克小于10千克，总费用是25元． 解决问题 任务1 请你确定的值． 任务2 帮助乙计算这单跑腿需要的费用． 任务3 确定丙这单跑腿的计价里程以及计价重量． 【答案】任务1：； 任务2：69元； 任务3：丙这单跑腿的计价里程为8千米，计价重量为8千克． 【解析】 【分析】本题考查了的二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，处理表格所给的信息列出方程组是解题的关键． 任务1：根据甲的配送信息列出二元一次方程组运算求解即可； 任务2：根据乙的计价里程和计价重量列式运算即可； 任务3：设丙这单跑腿的计价里程和计价重量分别为千米，千克，分类讨论列式运算即可． 【详解】任务1： 解：由题意可以列出方程组， 解得：； 任务2：由题意可知乙的计价里程和计价重量分别为千米，千克， ∴乙的这单跑腿费用为（元）； 任务3：设丙这单跑腿的计价里程和计价重量分别为千米，千克（，）， ①若，，可知跑腿费用最少时，，此时费用为（元），不合题意； ②若，，可知跑腿费用最少时，，此时费用为（元），不合题意； ③若，时，跑腿费用为， 整理得，即， ∵为偶数， ∴代入验证可得， 即丙这单跑腿的计价里程为8千米，计价重量为8千克． 五、解答题（每题12分，共计24分） 22. 【材料阅读】 二元一次方程有无数组解，如：，，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象． 【问题探究】 （1）已知，则点________（填“A或B或C”）在方程的图象上． （2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象．观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出二元一次方程组的解是________； 【拓展延伸】 （3）设方程的图象与轴的交点分别是，方程的图象与轴的交点分别是． ①求点A和点D的坐标； ②已知关于的二元一次方程组无解，点B在y轴正半轴上，且，请作出符合题意的图形，并求，的值． 【答案】（1）C；（2）图见解析；；；（3）①；②图见解析；， 【解析】 【分析】（1）把对应点横纵坐标代入方程中，看方程的左右两边是否相等即可得到结论； （2）利用描点法画出函数图象，再根据函数图象找到交点坐标，进而得到方程组的解即可； （3）①在中，当时，，在中，当时，，据此可得答案；②根据题意可得直线和直线没有交点，即在这两条直线互相平行，根据点B在y轴正半轴上，且，求出点B和点C的坐标，进而即可求出，的值． 【详解】解：（1）把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 只有点C在方程的图象上， 故答案为：C； （2）如图所示，函数图象即为所求； 有图像可知，两条直线的交点坐标为， 二元一次方程组的解是； （3）①在中，当时，， 在中，当时，， ； ②关于的二元一次方程组无解， 直线和直线没有交点， 即在这两条直线互相平行， 点B在y轴正半轴上，且，， ∴， ， 即， 将点B的坐标代入得，， 解得， ， ，， ∴， ， 即， 将点C的坐标代入得，， 解得， 如图所示即为所求， 【点睛】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的解的定义，平面直角坐标与图形，平行线的性质，等腰三角形的判定，正确理解二元一次方程的解与坐标系中直线的关系是解题的关键． 23. 综合探究：在数学探究课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板．探究活动中，三角板和两条平行线，在同一平面内． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系________； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图3中，小明把三角板直角顶点E放在平行线内，另两顶点放在平行线外，分别在的内部作射线交于点P，使得，（且n为整数），请求出（用含n的式子表示）． 【答案】操作判断：；迁移探究：；拓展应用： 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的内角和，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 操作判断：过点E作，则，则，，根据即可得到答案； 迁移探究：由操作判断可知，，进一步求得，即可得到的度数； 拓展应用：由已知得到，，过点E作，根据平行线的性质得到，由即可得到答案． 【详解】解：操作判断：如图1，过点E作， ， ，， ∵ ∴     故答案为： 迁移探究：如图2，     由操作判断可知，， ∵ ∴， ∴ 解得 ∴； 拓展应用：∵， ∴，， 过点E作 ， ∴，， ∴ 即 ∵， ∴ ∴ 解得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $