精品解析：陕西汉中市仁德学校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题（A）

汉中市仁德学校高二上学期第一次月考试题（A卷） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 斜率的变化范围是,则其倾斜角的变化范围是 （ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 圆心为，半径为2的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相交 5. 若直线：与直线：平行，则＝（ ） A. B. 或3 C. D. 3 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为 A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 7. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 点在直线上 D. 存在使得直线与直线垂直 10. 已知曲线C：，下列说法正确的是（　　） A. 若，则C为双曲线 B. 若且，则C为焦点在x轴上的椭圆 C. 若，则C不可能表示圆 D. 若，则C为两条直线 11. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A. 焦点到抛物线的准线的距离为8 B. C. 若的中点的纵坐标为4，则 D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点是椭圆上一点，，分别是其左、右焦点，若，离心率为，则椭圆的标准方程为_____ 13. 已知直线与圆交于，两点，则______． 14. 设直线:与椭圆相交于两点，与轴相交于左焦点，且，则椭圆的离心率_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线方程. 16. 已知双曲线C的方程为： （1）求双曲线C的离心率； （2）求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点A（）的双曲线的方程． 17. 已知圆的圆心坐标，直线被圆截得弦长为． （1）求圆的方程； （2）从圆外一点向圆引切线，求切线方程． 18. 已知椭圆的离心率为且经过点.试求： （1）求椭圆的标准方程； （2）是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 19. 已知动点M与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线PQ，为切点），连接PD交QR于点， （ⅰ）证明：直线QR过定点，并求该定点坐标； （ⅱ）是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉中市仁德学校高二上学期第一次月考试题（A卷） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 斜率的变化范围是,则其倾斜角的变化范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合斜率的定义求解倾斜角的范围即可. 【详解】设直线的倾斜角为，由斜率的定义可得：，且， 据此求解三角不等式可得倾斜角的变化范围是. 本题选择D选项. 【点睛】本题主要考查直线倾斜角的定义，三角不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2. 已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设抛物线的方程为，根据焦点坐标求出，求出抛物线的标准方程. 【详解】设抛物线的方程为， 因为抛物线的焦点是， 所以，所以， 所以抛物线的标准方程为. 故选：A. 3. 圆心为，半径为2的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用直接法写出圆的方程. 【详解】因为圆心为，半径为2，所以圆的方程是. 故选：D 4. 已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相交 【答案】C 【解析】 【分析】 将直线方程和椭圆方程联立，解方程组，由解的个数即可判断直线与椭圆的位置关系 【详解】解：由，得，化简得， 因为， 所以方程无解， 所以直线与椭圆的位置关系是相离， 故选：C 5. 若直线：与直线：平行，则＝（ ） A. B. 或3 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，系数满足的关系求的值即可. 【详解】因为两直线平行，所以： ， 所以或. 故选：B 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为 A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，结合，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，椭圆的短轴长为，离心率为， 所以，，则，所以， 所以的周长为， 故选C． 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程，以及简单的几何性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 7. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键. 8. 已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由两点间距离公式表示出，再由二次函数的最值，即可得到结果. 【详解】依题意，是抛物线上的点，设， 则， 对于函数，当时，， 所以的最小值是， 即的最小值为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 点在直线上 D. 存在使得直线与直线垂直 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断A；利用特殊值判断B；将点的坐标代入方程即可判断C；根据两直线垂直求出参数的值，即可判断D. 【详解】对于A：直线的斜率，所以该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：当，时，直线经过第三象限，故B错误； 对于C：将代入方程，则，即点在直线上，故C正确； 对于D：若两直线垂直，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知曲线C：，下列说法正确的是（　　） A. 若，则C为双曲线 B. 若且，则C为焦点在x轴上的椭圆 C. 若，则C不可能表示圆 D. 若，则C为两条直线 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，由双曲线的标准方程即可判断AD，由椭圆的标准方程即可判断B，由圆的标准方程即可判断C. 【详解】若，则C为双曲线，所以A正确； 若且，则，，所以C为焦点在x轴上的椭圆，所以B正确； 若，当时，C是单位圆，所以C不正确； 若，则C为双曲线，所以D不正确. 故选：AB 11. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A. 焦点到抛物线的准线的距离为8 B. C. 若的中点的纵坐标为4，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，结合直线与抛物线方程联立，利用韦达定理，以及几何关系，判断选项. 【详解】对于A，焦点到抛物线的准线的距离为，故A错误； 设， 对于B，当直线垂直于轴，可得， 所以，得； 当直线不垂直于轴，设方程为，由，得， 则，， ，B正确； 对于C，的中点的纵坐标为，则，可得：， ， 又， 所以，C错误； 对于D，    不妨设点在第一象限，分别过点作垂直于准线，垂足分别为， 直线与准线交于点，准线与轴交于点， 设，则， 因，则，得， 则，则， 故直线的斜率为，直线的方程为， 与联立得， 解得， 所以，可得：， 所以，D正确. 故选：BD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点是椭圆上一点，，分别是其左、右焦点，若，离心率为，则椭圆的标准方程为_____ 【答案】 【解析】 【详解】根据题意，，即， 又，所以，则， 所以椭圆的标准方程为. 13. 已知直线与圆交于，两点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆心坐标和半径，再求出圆心到直线的距离，由可得答案. 【详解】圆化为，则圆心为 圆心到直线的距离为 所以 故答案为： 14. 设直线:与椭圆相交于两点，与轴相交于左焦点，且，则椭圆的离心率_________ 【答案】 【解析】 【分析】 设，联立方程组可得、，由可得，进而可得，再由椭圆的焦点坐标可得，即可得解. 【详解】设， 将直线:代入椭圆方程，消去x化简得， 所以， 又，所以， 所以，， 所以，化简得， 又直线:过椭圆的左焦点， 所以，所以， 所以或（舍去）， 所以，椭圆离心率. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化为，再结合韦达定理即可得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先确定，然后通过两点的坐标确定方程； （2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程. 【小问1详解】 由于，，故，而，故的方程是，即. 【小问2详解】 由于直线的斜率是，且不在直线上. 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 16. 已知双曲线C的方程为： （1）求双曲线C的离心率； （2）求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点A（）的双曲线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据双曲线方程可得,再根据求得．根据离心率公式可得其离心率．（2）根据两双曲线有相同的渐近线可设所求双曲线方程为,将点代入求即可． 【详解】（1）由双曲线方程可知,, ,． （2）依题意设所求双曲线方程为, 将点代入可得,解得, 所以所求双曲线方程为,即． 17. 已知圆的圆心坐标，直线被圆截得弦长为． （1）求圆的方程； （2）从圆外一点向圆引切线，求切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出圆的半径，由此可得出圆的方程； （2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在第一种情况下，写出切线方程，直接验证即可；在第二种情况下，设出切线方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，由此可得出所求切线的方程. 【小问1详解】 解：圆心到直线的距离为， 所以，圆的半径为， 因此，圆的方程为. 【小问2详解】 解：当切线的斜率不存在时，则切线的方程为，且直线与圆相切，合乎题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由题意可得，解得，此时，切线的方程为. 综上所述，所求切线的方程为或. 18. 已知椭圆的离心率为且经过点.试求： （1）求椭圆的标准方程； （2）是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 【答案】（1） （2）存在，或. 【解析】 【分析】（1）由题设可得，，结合即可求出，进而求解即可； （2）分直线的斜率不存在、存在，两种情况结合弦长公式讨论求解即可. 【小问1详解】 根据题意，椭圆的离心率为，则①， 又因为椭圆过点，则②，又③， 由①②③联立解得，，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线：，与曲线的交点为，， 联立，得，则， 且，， 则， 整理得，所以或（舍）. 经检验，符合题意， 所以直线的方程为，即或. 19. 已知动点M与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线PQ，为切点），连接PD交QR于点， （ⅰ）证明：直线QR过定点，并求该定点坐标； （ⅱ）是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），以为圆心，半径为2的圆； （2）（ⅰ）证明见解析，定点为；（ⅱ）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据已知及两点距离公式有，整理即可得曲线方程； （2）（ⅰ）根据题设知在以为直径的圆上，并写出对应方程，结合在上，即可求直线，进而确定定点坐标； （ⅱ）根据（ⅰ），若定点为，易知在以为直径的圆上，根据圆的性质判断面积最大时的位置，即可确定的坐标. 【小问1详解】 设，则，即， 所以，整理得. 【小问2详解】 （ⅰ）由题设，易知四点共圆，即在以为直径的圆上， 而的中点坐标为，， 以为直径的圆为，又在上， 即为两圆的公共弦，两圆方程作差，得直线为，显然该直线恒过定点，得证. （ⅱ）存在，，理由如下： 由（i）及题设，易知在以为直径的圆上，即为圆心、半径为， 且轴，则，且到直线的距离为，故到直线的最大距离为， 所以，当与重合时，面积最大，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $