精品解析：陕西省西安市第八十五中学2024-2025学年高二上学期第二次月考（12月）数学试题

高二年级第一学期第二次月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线的标准方程，确定，根据直线方程，即可求解. 【详解】因为，所以抛物线方程为，， 因为抛物线准线方程为，所以抛物线准线方程为. 故选：D 2. 已知向量，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 解得： 故选：B. 3. 已知数列是等差数列，其中，则（ ） A. 4050 B. 4048 C. 2025 D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列性质运算求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，且， 所以. 故选：C. 4. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系以及二元二次方程表示圆的条件可得不等式，解不等式即可． 【详解】由已知圆，则， 又点在圆的外部， 则， 即，解得， 故选：C． 5. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A. 12 B. 10 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得，即可结合对数的运算性质求解． 【详解】由是等比数列可得， 因为，所以可得， 所以 故， 故选：B 6. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 与a的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据直线经过圆内一点判断出结果. 【详解】由知直线过，而点在圆内，所以直线与圆相交. 故选：A. 7. 已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线方程，求得其一条渐近线的方程，再由圆，求得圆心为，半径，利用直线与圆相切，即可求得，得到答案． 【详解】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，， 又由圆，得，则圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，则，可得， 故选：C． 8. 正方体的棱长为5，点在棱上，且，点是正方体下底面内（含边界）的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为25，则动点到点的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为25，得到，发现点P的轨迹是抛物线，然后建立平面直角坐标系求解即可. 【详解】 如图所示，作，Q为垂足，则易知平面， 过点Q作，交于，则易知平面，所以即为P到直线的距离． 因为，且，所以． 所以点P的轨迹是以AD为准线，点M为焦点的抛物线． 如图建立直角坐标系，则点P的轨迹方程是， 点，设，所以 ，所以当，取得最小值. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线C椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线 C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据双曲线和椭圆的方程，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，曲线为,此时表示圆，故A错误， 对于B，当时，，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 当时，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 故当或时，曲线C是双曲线，B正确， 对于C, 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则满足，解得，故C错误， 对于D，曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，故，D正确， 故选：BD 10. 已知数列的前项和为，满足，则（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等差数列 C. D. 数列是等比数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据前项和与通项之间的关系求得．对于A：根据等比数列定义分析判断；对于B：根据等差数列定义分析判断；对于C：根据等比数列求和公式分析判断；对于D：举反例说明即可． 【详解】因为①， 若，则，即； 若，则②， ①减②可得，即； 且符合上式，所以． 对于选项A：因为，且， 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，故A正确； 对于选项B：因为， 所以数列为首项与公比都为的等差数列，故B正确； 对于选项C：因为，所以，故C正确； 对于选项D：因为，，， 显然，所以数列不是等比数列，故D错误； 故选：ABC． 11. 已知数列的首项为1，前和为，且，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 是等比数列 C. D. 数列的前项和为 【答案】BD 【解析】 【分析】先根据与的关系，求出数列的通项公式，再结合等比数列和等差数列的前和公式逐一判断即可． 【详解】对于A，因为，①， 所以， 当时，②， 由①-②得，即， 又， 所以数列是从第二项开始，以3为公比的等比数列，故A错误； 对于C，当时，，所以，故C错误； 对于B，当时，， 当时，，符合上式 所以，则，所以数列是等比数列，故B正确； 对于D，由C选项知， 所以数列的前项和为，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为等差数列的前项和，且，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】由等差数列的前项和公式以及等差数列下标和的性质代入计算，即可得到结果． 【详解】由等差数列的前项和可得： ， ， 则，所以． 故答案为： 13. 已知椭圆的弦的中点M的坐标为，则的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用点差法即可求出直线的斜率，根据所给数据，即可得解. 【详解】设，设直线的斜率为， 有，， 两式相减可得， 所以， 所以， 由， 所以，又直线过， 可得直线方程为， 故答案为：. 14. 在数列中，，且，则________ 【答案】 【解析】 【分析】由化简可证数列为等差数列，即可得，再利用公式，可得． 【详解】由， 则， 则数列是以为首项，1为公差的等差数列， 即， 所以， 当时，， ， 当时，满足上式， 综上所述， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，满分77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，即可证明结论. （2）由（1）计算数列通项公式，分组求和即可得到结果. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 又，所以， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得，， 所以， 所以 . 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点． （1）求证：平面ADE； （2）求直线CM与平面DEN所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知线面关系，证明平面，有，又可证，可证得平面； （2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 证明：因为平面，平面，所以， 由，知，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，是的中点，所以， 又，平面， 所以平面． 【小问2详解】 平面，，以为坐标原点， 以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，， 故，，， 设平面的法向量， 则，令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点、. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）分析可知，直线不与轴重合，设直线方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式结合韦达定理求出的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 因此，椭圆的方程为. 【小问2详解】 若直线与轴重合，则，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，所以，， 由韦达定理可得，， 所以， ，解得， 所以，直线的方程为或，即或. 18. 已知椭圆的左焦点为，离心率为，为上一点，为圆上一点，的最大值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若圆与轴正半轴交于点，过作直线，与相交于不同的两点，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上的点与圆上的点距离的最值，结合椭圆离心率即可得椭圆的标准方程； （2）根据直线与椭圆相交得交点坐标关系，从而可得面积，由基本不等式求得其最大值. 【小问1详解】 因为为椭圆上一点，为圆上一点， 由的最大值为，得，所以． 又，所以，所以， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 在中令，得，所以， 显然直线的斜率不能为0，设直线的方程为， 由，消去得， 所以，则， 设，，则，， 所以， 所以． 令，则， 则，当且仅当，即时取得等号， 所以面积的最大值为． 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中最值问题常见方法： （1）函数法：一般需要找出所求几何量的函数解析式，要注意自变量的取值范围，求函数的最值时，一般会用到配方法、基本不等式或者函数的单调性； （2）方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出关于目标量的不等关系，再求出目标量的最值； （3）几何法：观察图形的几何特点，判断某个特殊位置满足最值条件，然后证明． 19. 已知数列的前项和，，且． （1）求； （2）求数列的前项和； （3）设数列的前项和为，且满足，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）令，解方程即可求解， （2）利用，的关系，作差可得等差数列，即可求解， （3）利用放缩法可得，即可利用累加法求解. 【小问1详解】 在，中，， 令，可得 ， ∴． 【小问2详解】 ，① 当时，，② 可得 ， ∴， ∴是公差为的等差数列， ∴， ∴． 【小问3详解】 证明：由（2）可得， ∴， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级第一学期第二次月考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 已知数列是等差数列，其中，则（ ） A. 4050 B. 4048 C. 2025 D. 2024 4. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ） A 12 B. 10 C. 5 D. 6. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 与a取值有关 7. 已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 正方体的棱长为5，点在棱上，且，点是正方体下底面内（含边界）的动点，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为25，则动点到点的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线C是椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线 C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 10. 已知数列的前项和为，满足，则（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等差数列 C. D. 数列是等比数列 11. 已知数列的首项为1，前和为，且，则（ ） A. 数列等比数列 B. 是等比数列 C. D. 数列的前项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为等差数列的前项和，且，则________． 13. 已知椭圆的弦的中点M的坐标为，则的方程为________. 14. 在数列中，，且，则________ 四、解答题：本题共5小题，满分77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知数列满足，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD中点，N是AB的中点． （1）求证：平面ADE； （2）求直线CM与平面DEN所成角的正弦值． 17. 已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点、. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程. 18. 已知椭圆的左焦点为，离心率为，为上一点，为圆上一点，的最大值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若圆与轴正半轴交于点，过作直线，与相交于不同的两点，，求面积的最大值． 19. 已知数列的前项和，，且． （1）求； （2）求数列的前项和； （3）设数列的前项和为，且满足，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$