10.1.2 事件的关系和运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦“事件的关系与运算”，通过掷骰子试验定义多个事件，借助集合关系引导学生发现事件联系，复习样本空间、随机事件等概念作为基础，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于用集合类比事件关系，结合掷骰子、摸球等探究活动，培养学生数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理意识），归纳小结以表格清晰呈现关系，帮助学生系统掌握，教师可利用结构化素材提升教学效率，学生能深化对概率知识的理解与应用。

10.1.2 事件的关系与运算 第十章 概率 复习回顾 1. 样本空间有关概念： (2)样本空间：全体样本点的集合，用Ω表示. 2. 随机事件有关概念： (1)基本事件:只包含一个样本点的事件. (3)事件A发生：当且仅当A中某个样本点出现. (4)必然事件：在每次试验中总有一个样本点发生. Ω为必然事件. (5)不可能事件：在每次试验中都不会发生. 为不可能事件. (2)随机事件(简称事件)：样本空间Ω的子集. (1)样本点：随机试验E的每个可能的基本结果，用ω表示. 从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件.这些事件有的简单，有的复杂.我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算. 新课导入 问题 在掷骰子的试验中， 观察骰子朝上面的点数，可以定义许多事件， 例如： Ci = “点数为i” , i =1, 2, 3, 4, 5, 6； D1 = “点数不大于3” , D2 = “点数大于3” ； E1 = “点数为1或2” , E2 = “点数为2或3” ； F = “点数为偶数” , G = “点数为奇数” ；…… 请用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系与运算，你能发现这些事件之间的联系吗？ C1 ={1}；C2={2}； C3={3}；C4 ={4}；C5={5}；C6={6}； D1={1,2,3}； D2={4,5,6}； E1={1,2}； E2 ={2,3}； F={2,4,6}； G={1,3,5}. 新知探究 探究1 用集合的形式表示事件C1 =“点数为1”和事件G =“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，这些事件之间的关系如何？ C1 = {1}和G = {1, 3, 5} 如果事件C1发生，那么事件G一定发生. 集合表示：C1⊆G 即事件G包含事件C1. 新知探究 包含关系 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含B，即A⊆B且B⊇A，则称事件A与事件B相等，记作A=B. A B Ω 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B). 记作 A⊆B(或B⊇A) 学以致用 例1 在掷骰子试验中，可以得到以下事件： A＝“出现1点”；B＝“出现2点”；C＝“出现3点”；D＝“出现4点”； E＝“出现5点”；F＝“出现6点”；G＝“出现的点数不大于1”； H＝“出现的点数小于5”；I＝“出现奇数点”；J＝“出现偶数点”. 请判断下列两个事件的关系： （1）B H；（2）D J；（3）E I；（4）A G. 《三维设计》P99例1 新知探究 探究2 用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3 ”、事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，这些事件之间的联系如何？ D1 ={1, 2, 3}， E1 ={1, 2}和E2 ={2, 3}. 这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件. 事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生. 集合表示： {1, 2}∪{2, 3}={1, 2, 3} 即 E1∪E2=D1 新知探究 A B Ω 并事件（和事件） 一般地，若事件A和事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们就称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件). 记作 A∪B 或A＋B (如右图所示的绿色或黄色区域) 学以致用 例1 在掷骰子试验中，可以得到以下事件： A＝“出现1点”；B＝“出现2点”；C＝“出现3点”；D＝“出现4点”； E＝“出现5点”；F＝“出现6点”；G＝“出现的点数不大于1”； H＝“出现的点数小于5”；I＝“出现奇数点”；J＝“出现偶数点”. 请判断下列两个事件的关系： （1）B H；（2）D J；（3）E I；（4）A G. 《三维设计》P99例1 新知探究 探究3 用集合的形式表示事件C2=“点数为2 ”，事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”借助集合与集合的关系和运算，这些事件之间的联系如何？ C2={2}， E1={1, 2}，E2={2, 3}. 事件E1和事件E2同时发生，相当于事件C2发生， 集合表示:{1, 2}∩{2, 3}={2} 这时我们称事件C2为事件E1和事件E2的交事件. 即 E1∩E2=C2 新知探究 交事件（积事件） A B Ω 一般地，若事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们就称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件). 记作 A∩B 或AB (如右图所示的蓝色区域) 学以致用 例2 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝“3个球中有1个红球2个白球”，事件B＝“3个球中有2个红球1个白球”，事件C＝“3个球中至少有1个红球”，事件D＝“3个球中既有红球又有白球”.求：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？ (2)事件C与A的交事件是什么事件？ 《三维设计》P100例2 变式　在本例中，设事件E＝“3个红球”，事件F＝“3个球中至少有一个白球”，那么事件C与B，E分别是什么关系？C与F的交事件是什么事件？ 新知探究 探究4 用集合的形式表示事件C3=“点数为3 ”和事件C4=“点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，这些事件之间的联系是什么？ C3={3}，C4={4} 事件C3与事件C4不可能同时发生. 集合表示：C3∩C4=∅ 这时我们称事件C3与事件C4互斥. 新知探究 互斥事件 A B Ω (1)事件A与事件B在任何一次 试验中不会同时发生. (2)两事件同时发生的概率为0. 注：事件A与事件B互斥时 一般地，若事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=∅，我们就称事件A与事件B互斥（或互不相容）.（如图所示） 新知探究 探究5 用集合的形式表示事件F=“点数为偶数 ”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，这两个事件之间的联系如何？ F={2, 4, 6}，G={1, 3, 5} 在任何一次试验中， ①事件F与事件G两者只能发生其中之一， 集合表示： F∩G=∅ 且F∪G=Ω 称事件F与事件G互为对立事件 ②而且也必然发生其中之一. 新知探究 对立事件 A Ω （1）事件A与事件B在任何一次 试验中有且仅有一个发生. 注：事件A与事件B对立时 （2）A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件. （3）对立事件一定是互斥事件， 但互斥事件不一定是对立事件. 一般地，若事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B=∅，我们就称事件A与事件B互为对立. 事件A的对立事件记作 .（如右图所示） 学以致用 例3 (1)一个人连续射击目标2次，则下列选项中与“至少有一次击中”互为对立事件的是（　D　） A. 两次均击中 B. 恰有一次击中 C. 第一次击中 D. 两次均未击中 《三维设计》P101例3 (2)从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而 不对立的两个事件的是（　D　） A. “至少有1个红球”与“都是黑球” B. “恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球” C. “至少有1个黑球”与“至少有1个红球” D. “都是红球”与“都是黑球” D D 归纳小结 综上所述，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下： 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 A⊆B 并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A+B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥事件 A与B不能同时发生 A∩B=∅ 对立事件 A与B有且仅有一个发生 A∩B=∅,A∪B=Ω 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件，例如，对于三个事件A, B, C，A∪B∪C (或A+B+C)发生当且仅当A, B, C中至少一个发生，A∩B∩C (或ABC)发生当且仅当A, B, C同时发生，等等. 学以致用 例4 (1)一次试验中，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是（　C　） A. 互斥不对立 B. 对立不互斥 C. 互斥且对立 D. 不互斥也不对立 C B (2)如果事件A，B互斥，记 ， 分别为事件A，B的对立事件，则下 列说法正确的是（　B　） A. A∪B是必然事件 B. ∪ 是必然事件 C. 与 一定互斥 D. 与 一定不互斥 《三维设计》P101训练3 能力提升 例5 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，用集合的形式分别写出下列事件，并判断下列每对事件的关系. (1)“恰有1名男生”与“全是男生”； 用数字1,2,3表示3名男生，用4,5表示2名女生，用 表示选出的参加演讲比赛 的2名同学，则试验的样本空间 , , . 方法总结 判断互斥事件与对立事件的方法 能力提升 （1）利用基本概念判断 ①互斥事件不同时发生； ②对立事件有且仅有一个发生. （2）利用集合的观点判断 设事件 与事件 所包含的结果组成的集合分别是 ， ， 为全集. ①事件 与事件 互斥，则集合 ； ②事件 与事件 互为对立，则集合 且 ， . 能力提升 例5 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，用集合的形式分别写出下列事件，并判断下列每对事件的关系. (2)“至少有1名男生”与“全是男生”； 用数字1,2,3表示3名男生，用4,5表示2名女生，用 表示选出的参加演讲比赛 的2名同学，则试验的样本空间 , , . (4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”. (3)“至少有1名男生”与“全是女生”； 典例分析 例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球， 其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)， 从袋中不放回地依次随机摸出2个球. 设事件R1 = “第一次摸到红球”，R2 = “第二次摸到红球”，R = “两次都摸到红球”， G = “两次都摸到绿球”，M = “两个球颜色相同”，N = “两个球颜色不同”. (1) 事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？ (2) 事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？ 事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？ 解： (1) ∵R⊆R1， ∴R1包含事件R； ∵R∩G =∅， ∴事件R与事件G互斥； ∵M∪N = Ω，M∩N =∅， ∴事件M与事件N互为对立事件. (2) ∵R∪G = M， ∴事件M是事件R与事件G的并事件. ∵R1∩R2 = R， ∴事件R是事件R1与事件R2的交事件. 课堂小结 事件的关系及运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 A⊆B 并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A+B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=∅ 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B=∅,A∪B=Ω $