精品解析：2026年安徽合肥市第四十五中学九年级下学期数学练习卷

九年级数学练习卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共4页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 以下4个数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 又， 最大的数是． 2. 2026年3月，科学家造出世界最小二维码，面积仅平方毫米．数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质与运算法则逐一判断每个选项即可． 【详解】解∶A、，故本选项计算错误； B、，故本选项计算正确； C、与不是同类二次根式，无法直接合并，即，故本选项计算错误； D、，故本选项计算错误． 4. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图可知，该几何体的俯视图是： 5. 一副三角板和按如图所示方式叠放在一起，其中D在斜边上，E在延长线上，，，，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质及三角板的特征，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 6. 如图，扇形纸片的半径为6，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧的处，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠，，进一步得到四边形是菱形；进一步由得到是等边三角形；最后阴影部分面积扇形面积菱形的面积，即可求解． 【详解】依题意：， ∴ ∴四边形是菱形 ∴ 连接与交于D点 ∵ ∴ ∴是等边三角形 同理：是等边三角形 故 由三线合一，在中： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°．G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF，下列说法不正确的是（　　） A. 四边形CEDF是平行四边形 B. 当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形 C. 当∠AEC＝120° 时，四边形CEDF是菱形 D. 当AE＝ED时，四边形CEDF是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和菱形、矩形的判定逐项进行判断即可． 【详解】A．四边形ABCD是平行四边形， ， ， 是CD的中点， ， 在和中， ， ≌ ， ， ， 四边形CEDF是平行四边形，故A选项正确； B．四边形CEDF是平行四边形， ， 四边形CEDF是矩形，故B选项正确； C．四边形CEDF是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， 四边形CEDF是平行四边形， 四边形CEDF是菱形，故C选项正确； D．当时，不能得出四边形CEDF是菱形，故D选项错误， 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 8. 如图，在平面直角坐标系中，轴，，点均在反比例函数的图象上，若是等边三角形，则的值为( ) A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形综合；作轴，设点坐标为，则，利用等边三角形性质得到和，解直角三角形得到点坐标，列出关于的方程解出即可得到值． 【详解】解：如图，作轴，垂足为点， 设点坐标为，则， 是等边三角形， ，， 轴， ， ，， ， ，都在反比例函数的图象上， ， 解得， ． 故选：D． 9. 已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若、是抛物线上的两点，则有；④若为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴上可得，根据二次函数的对称轴可得，由此即可判断说法①错误；根据二次函数的对称性可得当时的函数值与当时的函数值相等，即，由此即可判断说法②正确；根据二次函数的增减性即可判断说法③正确；先确定二次函数的解析式为，再将看作为二次函数与直线的交点的横坐标，结合函数图象即可判断说法④正确． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，说法①错误； 由函数图象可知，当时，， 由二次函数的对称性可知，当时的函数值与当时的函数值相等，即， ∴，说法②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵、是抛物线上的两点，且， ∴，说法③正确； 由二次函数的对称性可知，当时的函数值与当时的函数值相等， ∴二次函数的解析式为， 又∵为方程的两个根， ∴可看作为二次函数与直线的交点的横坐标， 结合函数图象可知，，说法④正确； 综上，说法正确的有②③④， 故选：B． 10. 如图1，在矩形中，点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止．过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为，的长为，其中关于的函数图象如图2所示，则下列选项错误的是（ ） A. ， B. C. D. 点在该函数图象上 【答案】B 【解析】 【分析】分情况讨论：当点运动到点处或点运动到点处或点运动到点处时，点与点重合或路程，利用直角三角形的性质和垂线的性质易证得，进而得到，据此列方程求解即可． 【详解】解：由图2得，当点运动到点处时，为4，即为4， 如图，当点运动到点处时，路程为8，即为8，故选项A正确； ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 故选项B错误； 当点运动到点处时，点与点重合，此时， 故选项C正确； 当路程时，如图，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 点在该函数图象上， 故选项D正确． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 12. 已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 【答案】 对应边相等的两个三角形全等 【解析】 【分析】本题考查逆命题的概念，找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“全等三角形对应边相等”中，条件为“两个三角形全等”，结论为“两个三角形对应边相等”，将条件和结论互换，得到逆命题为：对应边相等的两个三角形全等. 故答案为对应边相等的两个三角形全等． 13. 已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则=_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得到，进而根据线段和差关系即可得的长． 【详解】∵点是线段的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点． 14. 某公司办公大楼共5层，公司要召开会议．如果从1层到5层参会人数分别为20、16、10、10、12，在确定最优会议室所在楼层时，需考虑到使所有参会人员到会议室爬楼的距离之和最短． （1）最优会议室放在__________层； （2）现要在1-5层的某个楼层新增10名参会人员，且必须保证原来的最优会议室楼层保持不变，则这10人应该加到__________层． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】先计算原问题中各楼层作为会议室的总爬楼距离，得到原最优楼层. 再分别计算新增10人到不同楼层后各楼层的总爬楼距离，筛选出使原最优楼层仍保持最短总距离的添加位置． 【详解】解：(1) 设所有参会人员到会议室的爬楼距离之和为，其中为会议室所在楼层，相邻楼层的爬楼距离记为个单位. 原各楼层参会人数分别为：1层人，2层人，3层人，4层人，5层人. 分别计算总爬楼距离： ， ， ， ， . 比较得，因此原最优会议室在层. (2) 设将名新增参会人员添加到层，此时层作为会议室的总爬楼距离记为，分情况讨论： ① 当时： ，，，，. 此时最小，最优楼层仍为层，符合要求. ② 当时： ，，， ，. 此时最小，最优楼层仍为层，符合要求. ③ 当时： ，，可得，最优楼层变为层，不符合要求 ④ 当时： ，，可得，最优楼层改变，不符合要求. ⑤ 当时： ，，可得，最优楼层改变，不符合要求. 因此满足条件的添加楼层为层或层． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： . 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）请画出先把向左平移个单位，再向下平移个单位后的； （2）绕点逆时针旋转后得到． （3）请使用无刻度直尺作的边的高． 【答案】（1）如图为． （2）如图为． （3）如图为边上的高． 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质画图即可； （2）一点绕点逆时针旋转后，原来的点的纵坐标取相反数，作为新点的横坐标，原来的点的横坐标变为新点的纵坐标，据此找到旋转后的对应点，再依次连接即可． （3）取格点，，，连接交于点，通过证明全等三角形可推出，进而求出边上的高． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，取格点，，，连接交于点, 据图可知，，，， 在和中， ， ， ， ， ，即， 为边上的高． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售50个，4月份销售72个，2月份到4月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】设该品牌头盔销售量的月增长率为20% 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该品牌头盔销售量的月增长率为，利用该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔2月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）. 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 18. 如图，某电影院观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为1m，垂直高度都为0.3m．测得在C的仰角，测得在D点的仰角，求银幕的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】延长，交于、，在中，可得：，在中，可得，从而可得，再利用，列方程解方程可得答案． 【详解】解：延长，交于、， 由题意知， 在中，， ∴，即， 在中，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 答：银幕的高度为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 【观察思考】如图，“五一”劳动节期间，政府广场上用盆景（用“☆”表示）和花卉（用“☐”表示）组成图案． 【规律发现】 （1）第7个图案中盆景的盆数为____________； （2）第个图案中花卉的盆数可表示为____________（用含的式子表示）； 【规律应用】 （3）若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共121盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 【答案】（1）8 （2） （3）盆景和花卉的盆数分别为11盆，110盆． 【解析】 【分析】（1）根据盆景的盆数比序号数多1解答； （2）先写出前4个图案花卉的盆数，再得出数字变化规律，即可得出答案； （3）先表示出第n个图案有盆景的盆数，再根据题意得出方程，然后整理成完全平方公式的形式，开方可得方程的解． 【小问1详解】 解：第1个图案有盆景的盆数为2； 第2个图案有盆景的盆数为3； 第3个图案有盆景的盆数为4； 第4个图案有盆景的盆数为5； 第7个图案有盆景的盆数为8； 【小问2详解】 解：第1个图案有花卉的盆数为； 第2个图案有花卉的盆数为； 第3个图案有花卉盆数为； 第4个图案有花卉的盆数为； 第n个图案有花卉的盆数为； 【小问3详解】 解：由（1）可知第n个图案有盆景的盆数为，则根据题意，得， 即， 解得或（不合题意，舍去）， 则，， 答：该图案中盆景和花卉的盆数分别为11盆，110盆． 20. 如图，已知是⊙O的直径，C为⊙O上一点，的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求DE的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是⊙O的切线， ∴，， ∴． （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，先由，可得，再由是⊙O的切线，可得，，即可求证． （2）先由的值得出和的关系，在利用勾股定理求得的长，通过推理可证，得出成比例线段求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是⊙O的直径， ∴， ∵， ∴设，则， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及三角函数逆运用，解答此题的关键是作出辅助线． 六、（本题满分12分） 21. “学而时习之，不亦说乎？”古人把经常复习当作是一种乐趣．某校为了解九年级（一）班学生每周的复习情况，班长对该班学生每周的复习时间进行了调查，复习时间四舍五入后只有4种：1小时，2小时，3小时，4小时，已知该班共有50人，根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图表，该班女生一周的复习时间数据（单位：小时）如下： 1，1，1，2，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4 九年级（一）班女生一周复习时间频数分布表 复习时间 频数（学生人数） 1小时 3 2小时 a 3小时 4 4小时 6 （1）统计表中__________，该班女生一周复习时间的中位数为__________小时； （2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应圆心角的度数为__________； （3）在该班复习时间为4小时的女生中，选择其中四名分别记为A,B,C,D，为了培养更多学生对复习的兴趣，随机从该四名女生中选取两名进行班会演讲，请用树状图或者列表法求恰好选中B和D的概率． 【答案】（1），中位数为小时 （2） （3）解：复习时间为4小时的女生中选出的四名分别记为A、B、C、D， 列树状图得， 共有12种等可能的结果，其中恰好选中B和D的结果2种， ∴恰好选中和的概率为． 【解析】 【分析】(1) 根据女生频数分布表和扇形图求女生总人数为20，列方程求出的值；再由20个数据按从小到大排列，第10个和第11个数据的平均数即为中位数． (2) 先由扇形统计图中各百分比之和为，求出4小时所占百分比，再乘以求圆心角． (3) 从4名女生中任选2名，用树状图法求恰好选中B和D的概率． 【小问1详解】 解：由频数分布表可知和扇形图可知，女生总人数为， ， 解得， 20个数据从小到大排列，第10个和第11个数据分别落在2小时、3小时组， 中位数为（小时）． 【小问2详解】 解：男生复习时间4小时所占百分比为， 对应圆心角的度数为． 【小问3详解】 略 七、（本题满分12分） 22. 在正方形中，是射线上的一点，连接，过点作于点，交射线于点，交射线于点． （1）如图1点在线段上、求证：． （2）如图2若点在的延长线上，连接． （i）求证：； （ii）若，求的值． 【答案】（1）证明：∵正方形， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ． （2）（i）证明：如图：过C作、，垂足分别为M、N，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∵是正方形的对角线， ∴，即． （ii）． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得、，再利用直角三角形两锐角互余、对顶角相等、等角的余角相等可得，再利用即可证明结论； （2）（i）如图：过C作、，垂足分别为M、N，则，易证四边形是矩形，再证明可得，即四边形是正方形；再根据正方形的性质即可证明结论；（ii）利用（i）的结论，等边对等角、正方形的性质、三角形外角的性质以及角的和差可得，即是的角平分线；如图：连接，过G作于点J；设正方形的边长为a，则，证明可得，即；再证明，最后利用平行线等分线段定理列比例式化简即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略； （ii）解：由（i）可得：， ∵， ∴； 如图：连接， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即是的角平分线， 过G作于点J， 设正方形的边长为a，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 科创社团依托航天科普课题开展探究：模拟航天器外置柔性缓冲护条，护条两端紧固在舱体横向支架上，护条自然弯曲形成的弧线近似抛物线；需在护条正下方布设6组传感探测模组，模组沿横向一字排布，为规避触碰护条，研学小组实地测量建模、规划模组布设方案． 【研究步骤】 （1）测得护条两端紧固点位水平间距，两处紧固点距离舱体基准地面高度，护条弯曲后的弧顶最高点距离基准地面；以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系． （2）待布设的组探测模组分套高配件、套标准件；高配模组探测头高度区间（包含与）米，标准模组里套高度，剩余套高度均为． （3）布设安全规范：相邻两组探测模组水平间距至少，模组探测顶端严禁和上方弧形护条发生接触． 【问题解决】 （1）求出弧形护条对应的抛物线函数解析式； （2）布设方案：如果最高规格的探测模组安放在中点正下方，所有模组遵循「中间高、两侧依次降低」排布，通过计算判断弧形护条能否避开全部探测模组顶端； （3）为满足安全布设要求，直接写出最右侧侧第一组探测模组安放位置横坐标的取值范围__________． 【答案】（1） （2）不能 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意写出坐标，代入表达式即可求出． （2）根据（1）求出表达式，按照题意安放探测头判断高度即可． （3）令，求出的值，然后按从左到右求出最右侧侧第一组探测模组安放位置横坐标的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意可知，点，点，顶点坐标， 设抛物线解析式，代入坐标得， 解得，，， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：根据题意要求把最高规格的探测模组安放在中点正下方，即最高规格的探测模组安放在处， ∵抛物线顶点坐标， ∴纵坐标为符合安全要求， ∵模组遵循「中间高、两侧依次降低」排布，相邻两组探测模组水平间距至少，由（1）知函数解析式， ∴当或时，，符合要求； 当或时，，符合要求； 当或时，，不符合模组探测顶端严禁和上方弧形护条发生接触． 综上所述，，和处，安放区间（包含与）米；和处，安放套高度和套高度模组探测头，或处，安放套高度模组探测头，均不满足模组探测顶端严禁和上方弧形护条发生接触的要求， ∴弧形护条不能避开全部探测模组顶端； 【小问3详解】 解：令，即，解得或， 考虑左边第二组，当时，，高于高配模组探测头高度， ∴所有探测模组可以从往右排列（不包含），间隔， ∴最右侧侧第一组探测模组安放位置横坐标的取值范围，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共4页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 以下4个数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年3月，科学家造出世界最小二维码，面积仅为平方毫米．数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 一副三角板和按如图所示方式叠放在一起，其中D在斜边上，E在延长线上，，，，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，扇形纸片的半径为6，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧的处，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°．G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF，下列说法不正确的是（　　） A. 四边形CEDF是平行四边形 B. 当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形 C. 当∠AEC＝120° 时，四边形CEDF是菱形 D. 当AE＝ED时，四边形CEDF是菱形 8. 如图，在平面直角坐标系中，轴，，点均在反比例函数的图象上，若是等边三角形，则的值为( ) A. 4 B. C. D. 9. 已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若、是抛物线上的两点，则有；④若为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ②④ D. ②③ 10. 如图1，在矩形中，点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止．过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为，的长为，其中关于的函数图象如图2所示，则下列选项错误的是（ ） A. ， B. C. D. 点在该函数图象上 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 不等式的解集为__________． 12. 已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 13. 已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则=_____． 14. 某公司办公大楼共5层，公司要召开会议．如果从1层到5层参会人数分别为20、16、10、10、12，在确定最优会议室所在楼层时，需考虑到使所有参会人员到会议室爬楼的距离之和最短． （1）最优会议室放在__________层； （2）现要在1-5层的某个楼层新增10名参会人员，且必须保证原来的最优会议室楼层保持不变，则这10人应该加到__________层． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）请画出先把向左平移个单位，再向下平移个单位后的； （2）绕点逆时针旋转后得到． （3）请使用无刻度直尺作的边的高． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售50个，4月份销售72个，2月份到4月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 18. 如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为1m，垂直高度都为0.3m．测得在C的仰角，测得在D点的仰角，求银幕的高度．（参考数据：，，，，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 【观察思考】如图，“五一”劳动节期间，政府广场上用盆景（用“☆”表示）和花卉（用“☐”表示）组成图案． 【规律发现】 （1）第7个图案中盆景的盆数为____________； （2）第个图案中花卉的盆数可表示为____________（用含的式子表示）； 【规律应用】 （3）若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共121盆，求该图案中盆景和花卉各有多少盆． 20. 如图，已知是⊙O的直径，C为⊙O上一点，的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求DE的长． 六、（本题满分12分） 21. “学而时习之，不亦说乎？”古人把经常复习当作是一种乐趣．某校为了解九年级（一）班学生每周的复习情况，班长对该班学生每周的复习时间进行了调查，复习时间四舍五入后只有4种：1小时，2小时，3小时，4小时，已知该班共有50人，根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图表，该班女生一周的复习时间数据（单位：小时）如下： 1，1，1，2，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4 九年级（一）班女生一周复习时间频数分布表 复习时间 频数（学生人数） 1小时 3 2小时 a 3小时 4 4小时 6 （1）统计表中__________，该班女生一周复习时间的中位数为__________小时； （2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应圆心角的度数为__________； （3）在该班复习时间为4小时的女生中，选择其中四名分别记为A,B,C,D，为了培养更多学生对复习的兴趣，随机从该四名女生中选取两名进行班会演讲，请用树状图或者列表法求恰好选中B和D的概率． 七、（本题满分12分） 22. 在正方形中，是射线上的一点，连接，过点作于点，交射线于点，交射线于点． （1）如图1点在线段上、求证：． （2）如图2若点在的延长线上，连接． （i）求证：； （ii）若，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 科创社团依托航天科普课题开展探究：模拟航天器外置柔性缓冲护条，护条两端紧固在舱体横向支架上，护条自然弯曲形成的弧线近似抛物线；需在护条正下方布设6组传感探测模组，模组沿横向一字排布，为规避触碰护条，研学小组实地测量建模、规划模组布设方案． 【研究步骤】 （1）测得护条两端紧固点位水平间距，两处紧固点距离舱体基准地面高度，护条弯曲后的弧顶最高点距离基准地面；以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系． （2）待布设的组探测模组分套高配件、套标准件；高配模组探测头高度区间（包含与）米，标准模组里套高度，剩余套高度均为． （3）布设安全规范：相邻两组探测模组水平间距至少，模组探测顶端严禁和上方弧形护条发生接触． 【问题解决】 （1）求出弧形护条对应的抛物线函数解析式； （2）布设方案：如果最高规格的探测模组安放在中点正下方，所有模组遵循「中间高、两侧依次降低」排布，通过计算判断弧形护条能否避开全部探测模组顶端； （3）为满足安全布设要求，直接写出最右侧侧第一组探测模组安放位置横坐标的取值范围__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $