精品解析：2025年广东省江门市蓬江区省实学校中考三模数学试题

2024-2025学年九年级数学中考模拟考试（三） （本试题共23题，满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（共10题，每题3分） 1. 下列实数中，绝对值最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列斐波那契螺旋线图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 4. 一个不透明的口袋里装有15个不同颜色的小球（除颜色外其余均相同），其中有n个红球，每次摸出一个球记录下颜色后再放回，统计每次试验红球出现的频率如图，则n的值最可能是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 5. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 图，以顶点为位似中心放大后得到，若方格纸的边长为，则与的相似比是（ ） A. B. C. D. 7. 若正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，将线段绕点顺时针旋转到对角线上得到线段，则( ) A. B. C. D. 9. 如图，正六边形内接于，若的面积为，则正六边形的边长为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 10. 已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分） 11. 计算：__________． 12. 多项式的次数是__________． 13. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是________． 14. 如图，点O是的内心，连接，若的高，则点O到边的距离为：__________． 15. 如图是一个爱心图案，它可以看作是由一个正方形和两个半圆组合而成，中间是一个边长为的正方形，两端是分别以为直径的半圆．分别取两个半圆的中点E，F，连接，则阴影部分的周长为__________． 三、解答题一（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：，其中 17. 如图，在中， （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，且，求的长． 18. 新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在制作新能源汽车的电池正极的材料中，锰是重要的元素之一．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，问甲、乙两队每天开采锰矿石各多少吨？ 四、解答题（二）（本大题共5小题，第19-21题，每题9分，第22题13分，第23题14分） 19. 如图，四边形中，对角线与相交于点，，，点在上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的长． 20. 某校为了解九年级600名学生每天的自主学习情况，随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了如图所示的不完整的统计图． （1）本次调查的学生人数是 人，并将条形统计图补充完整； （2）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时的约有多少人； （3）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A，B，C，D）中随机选择2位进行学习经验分享，用列表法或画树状图法求选中A同学的概率． 21. 综合与实践：数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据如下表格内容完成任务． 课题 设计与优化某综合建筑体的楼栋间的连廊顶部结构 材料1 如图是某综合建筑体的楼栋间的连廊，其顶部为抛物线段，抛物线最高点离地面的距离为．两边是与地面垂直且高度相等的支撑柱，支撑柱的高度为，连廊的宽度为． 材料2 半圆形的顶部设计在跨度小（不超过）时比抛物线更稳定，尤其适合砖石或者传统砌体结构，而且相比较抛物线，其模板简单（固定半径），施工简捷，成本较低． 任务1 确定连廊形状 如图为连廊的横截面示意图，其中为连廊顶部的抛物线段，点E为最高点，，为两边的支撑柱，以所在的直线为x轴，以过点E且垂直于的直线为y轴，单位长度为建立平面直角坐标系，则的函数解析式为 ． 任务2 探索最优方案 如图，为了进一步固定连廊，准备在顶部支撑柱上架横梁，利用某种材料搭建成一个矩形脚手架（其中，，用到材料），所用材料单价为100元/m．为了做好充分的预算，请你计算搭建这个脚手架最多需要花费多少元？ 任务3 优化连廊结构 工程师决定将顶部抛物线改为半圆弧，其中圆弧顶端E到地面的距离仍为，宽为．现有一巨型货架要通过连廊，且沿着连廊中心线方向居中通过，货架的宽度为，求货架顶部到地面的最大允许高度． 22. 如图，边长为2的正方形的对角线相交于点M，在等腰直角三角形中，，将绕点M旋转，连接． （1）判断和的数量关系，并说明理由； （2）在图中，延长相交于点P，点G是的中点，求的长； （3）点P是（2）中所述的点，在旋转的过程中，求的最大值（直接写出结果）． 23. 综合与运用 已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）如图，若点P是第四象限内抛物线上一点，连接，当是直角三角形时，求点P的横坐标； （3）如图，点D是x轴上方抛物线上一动点，作的外接圆，过D作轴，交于点F，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级数学中考模拟考试（三） （本试题共23题，满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（共10题，每题3分） 1. 下列实数中，绝对值最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较；计算各选项的绝对值，比较后找出最大值，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∵， ∴绝对值最大的是． 故选：A． 2. 下列斐波那契螺旋线图案中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别；根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：B． 3. 无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出．由光的反射定律可知，，再由平行线的性质推出，从而得出结论． 【详解】解：如图： 由光的反射定律可知， ， ， 两平面镜平行， 两直线平行，内错角相等， 由光的反射定律可知， 故选：C． 4. 一个不透明的口袋里装有15个不同颜色的小球（除颜色外其余均相同），其中有n个红球，每次摸出一个球记录下颜色后再放回，统计每次试验红球出现的频率如图，则n的值最可能是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，根据概率求数量，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．由图形知，红球出现的频率逐渐稳定于数值，再乘球的总个数即可得出答案． 【详解】解：由图形知，红球出现的频率逐渐稳定于数值， 所以估计袋中红球的个数， 故选：C． 5. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，可得的值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴ 故选：C． 6. 图，以顶点为位似中心放大后得到，若方格纸的边长为，则与的相似比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念是解题的关键．根据位似图形的概念得到，结合图形解答即可． 【详解】解：以顶点为位似中心放大后得到， ， 方格纸的边长为，则，， 与的相似比是， 故选：C． 7. 若正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数与正比例函数图象关于原点成中心对称图形解答即可． 【详解】解：依题意，点与点关于原点成中心对称图形， ∴点的坐标是 故选：A． 8. 如图，在菱形中，，将线段绕点顺时针旋转到对角线上得到线段，则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．先由菱形的性质得，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形，， ， 将线段绕点顺时针旋转到对角线上得到线段， ， ， ， 故选：B． 9. 如图，正六边形内接于，若的面积为，则正六边形的边长为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键．连接，，设的半径为，由正六边形内接于，可知是等边三角形，由的面积是，可得即可得出结果． 【详解】解：如图所示：连接，，设的半径为， ∵正六边形内接于， 是等边三角形， ∴ ∵的面积是， ∴ 故选：D． 10. 已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的判断，掌握其性质是解题的关键．根据，，得出，再根据二次函数图象与系数关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的图象开口向上，与轴的交点在与之间， 观察四个选项，只有B项的图象符合条件． 故选：B． 二、填空题（共5题，每题3分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，并直接将特殊角的三角函数值代入求解即可．本题考查了计算特殊角的正切值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 多项式的次数是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的次数，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此可得答案． 【详解】解：多项式的次数是4， 故答案为：4． 13. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一元二次方程根的情况和二次函数与x轴交点个数的关系是解题的关键；根据二次函数的图象与轴有交点时解题即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴有交点， ， 解得， 的取值范围为， 故答案为：． 14. 如图，点O是的内心，连接，若的高，则点O到边的距离为：__________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、角平分线的性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．作于点H，因为是的高，所以于点D，由点O是的内心，证明平分，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点H， ∵是的高， ∴于点D， ∵点O是的内心， ∴平分， ∵点O在的平分线上，且于点H，于点D， ∴， ∴点O到边的距离为3， 故答案为：3． 15. 如图是一个爱心图案，它可以看作是由一个正方形和两个半圆组合而成，中间是一个边长为的正方形，两端是分别以为直径的半圆．分别取两个半圆的中点E，F，连接，则阴影部分的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查弧长的计算和正方形的判定与性质，解题关键是掌握相关知识的灵活运用．设的中点为点O，连接，过点E作交延长线于点M，根据勾股定理求出，根据弧长公式求出的长，再根据对称性即可得出答案． 【详解】解：设的中点为点O，（即左边半圆圆心为点O），连接，过点E作交延长线于点M， ∵E，F是两个半圆的中点，正方形的边长为， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ∴， ∴的长为 ， ∴图中左侧阴影部分的周长为， ∴由对称性可知，图中阴影部分的周长为， 故答案为：． 三、解答题一（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算分式的混合运算，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，． 17. 如图，在中， （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，且，求的长． 【答案】（1） 如图， D点即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的尺规作图法作图即可； （2）连接，由等腰三角形的性质可得，进而可得．由线段垂直平分线的性质可得，进而可得，，根据“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”即可得解． 本题考查了线段垂直平分线的尺规作图法，以及线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵中， ∴， ∴， ∵D点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在制作新能源汽车的电池正极的材料中，锰是重要的元素之一．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，问甲、乙两队每天开采锰矿石各多少吨？ 【答案】甲队每天开采锰矿石300吨，乙队每天开采锰矿石200吨 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙队每天开采锰矿石x吨，则甲队每天开采锰矿石吨，根据同样开采2400吨锰矿石，甲队所用时间比乙队所用时间少4天，列出分式方程，解分式方程即可． 【详解】解：设乙队每天开采锰矿石x吨，则甲队每天开采锰矿石吨， 由题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队每天开采锰矿石300吨，乙队每天开采锰矿石200吨． 四、解答题（二）（本大题共5小题，第19-21题，每题9分，第22题13分，第23题14分） 19. 如图，四边形中，对角线与相交于点，，，点在上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． （2）5 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的“三线合一”、菱形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据，，推出垂直平分，则，，，而，则，得到，则，得证； （2）根据四边形是菱形，可推出、，，再由勾股定理得到，而，可得，最后根据可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是菱形，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， 的长为5． 20. 某校为了解九年级600名学生每天的自主学习情况，随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了如图所示的不完整的统计图． （1）本次调查的学生人数是 人，并将条形统计图补充完整； （2）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时的约有多少人； （3）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A，B，C，D）中随机选择2位进行学习经验分享，用列表法或画树状图法求选中A同学的概率． 【答案】（1）40， 条形统计图 （2）330人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据由自主学习的时间是1小时的人数占30%，可求得本次调查的学生人数，求出自主学习的时间是1.5小时的人数为人，然后补全条形统计图即可； （2）用600乘以这40名学生中自主学习时间不少于1.5小时的百分比即可； （3）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中A同学的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵自主学习的时间是1小时的有12人，占30%， ∴本次调查的学生人数是人， ∴每天自主学习1.5小时的人数为人，补全条形统计图如图所示； 故答案为：40， 【小问2详解】 解：估计该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时的人数为： 人； 【小问3详解】 解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，选中A的有6种， ∴选中A同学的概率为． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与扇形统计图、条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．能综合运用相关知识是解题的关键． 21. 综合与实践：数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，请根据如下表格内容完成任务． 课题 设计与优化某综合建筑体的楼栋间的连廊顶部结构 材料1 如图是某综合建筑体的楼栋间的连廊，其顶部为抛物线段，抛物线最高点离地面的距离为．两边是与地面垂直且高度相等的支撑柱，支撑柱的高度为，连廊的宽度为． 材料2 半圆形的顶部设计在跨度小（不超过）时比抛物线更稳定，尤其适合砖石或者传统砌体结构，而且相比较抛物线，其模板简单（固定半径），施工简捷，成本较低． 任务1 确定连廊形状 如图为连廊的横截面示意图，其中为连廊顶部的抛物线段，点E为最高点，，为两边的支撑柱，以所在的直线为x轴，以过点E且垂直于的直线为y轴，单位长度为建立平面直角坐标系，则的函数解析式为 ． 任务2 探索最优方案 如图，为了进一步固定连廊，准备在顶部支撑柱上架横梁，利用某种材料搭建成一个矩形脚手架（其中，，用到材料），所用材料单价为100元/m．为了做好充分的预算，请你计算搭建这个脚手架最多需要花费多少元？ 任务3 优化连廊结构 工程师决定将顶部抛物线改为半圆弧，其中圆弧顶端E到地面的距离仍为，宽为．现有一巨型货架要通过连廊，且沿着连廊中心线方向居中通过，货架的宽度为，求货架顶部到地面的最大允许高度． 【答案】任务1：；任务2： 元；任务3： 【解析】 【分析】任务1：由题意得，，，设抛物线的表达式为，利用待定系数法求解即可； 任务2：由于P、N两点都在抛物线上，且P、N两点关于y轴对称， 设，则．列出关于n的函数表达式，根据抛物线的顶点坐标即可求出的最大值，进而可得搭建这个脚手架最多需要花费多少元． 任务3：连接，设半圆的圆心为O点，矩形货架为，，、分别交于G、H，当N点在半圆上时，货架最高．根据勾股定理求出 的长，再加上的长，即可得货架顶部到地面的最大允许高度． 【详解】解：任务1： 由题知，，，， ∴，，， 设抛物线的表达式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 任务2： ∵P、N两点都在抛物线上，且P、N两点关于y轴对称 ∴设， 则， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为16， ∴搭建这个脚手架最多需要花费元； 任务3： 如图，连接，设半圆的圆心为O点，矩形货架为，，、分别交于G、H，当N点在半圆上时，货架最高． 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴货架顶部到地面的最大允许高度为． 【点睛】本题考查了运用待定系数法求抛物线的解析式，求抛物线的最值以及勾股定理．理解题意，并熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 如图，边长为2的正方形的对角线相交于点M，在等腰直角三角形中，，将绕点M旋转，连接． （1）判断和的数量关系，并说明理由； （2）在图中，延长相交于点P，点G是的中点，求的长； （3）点P是（2）中所述的点，在旋转的过程中，求的最大值（直接写出结果）． 【答案】（1） ，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3）的最大值为 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是解题的关键． （1）由可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，可求，由直角三角形的性质可求解； （3）由，可得点P在以为直径的圆上运动，则点P在线段的延长线上时，有最大值，由勾股定理可求的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵点G是的中点， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴点P在以为直径的圆上运动， 取的中点O，连接， 当点P在线段的延长线上时，有最大值， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴的最大值为． 23. 综合与运用 已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． （1）求A，B，C三点的坐标； （2）如图，若点P是第四象限内抛物线上一点，连接，当是直角三角形时，求点P的横坐标； （3）如图，点D是x轴上方抛物线上一动点，作的外接圆，过D作轴，交于点F，求的长． 【答案】（1）， （2）点P的横坐标为1或 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，相似三角形判定与性质及圆内接四边形性质， （1）根据二次函数性质分别求出坐标即可； （2）分三种情况：当时或当时，分别根据相似三角形判定与性质求出，当时，此种情况不合题意； （3）连接，结合圆内接四边形性质得出，设，根据相似三角形性质求出即可． 【小问1详解】 解：二次函数，当时，， 解得：， ， 当时，， ； 【小问2详解】 解：设， 当时，如下图，过点P作轴于点Q， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：（不合题意舍去）， 经检验，是原方程的解， 点P的横坐标是1； 当时，如下图，过点P作轴于点Q，过点B作轴交延长线于点M， 同理可证：， ，即， 解得：（不合题意舍去）， 经检验，是原方程的解， 点P的横坐标是； 当时，点P不在第四象限，舍去； 综上所述，点P的横坐标为1或； 【小问3详解】 连接， 由题意得：四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ， ， ， ， 设， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $