陕西西安交通大学附属中学2025-2026学年第二学期高三强训（六）数学试题

**基本信息** 以洛阳龙门石窟、学生体质计划等真实情境为载体，融合椭圆光学性质等跨学科元素，通过集合、函数、立体几何等知识考查数学眼光观察现实世界、数学语言表达实际问题的能力，适配高三强训需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、函数性质、立体几何定义、数列、统计|第4题以石窟浮雕像数量考等比数列，体现文化传承| |多选题|3/18|三角函数、直线与圆、函数奇偶性|第10题结合圆上点距离考几何直观，培养推理意识| |填空题|3/15|向量、统计方差、排列组合|第13题公司成绩统计，强化数据观念| |解答题|5/77|导数切线、概率分布列、扇形面积优化、数列不等式、立体几何轨迹|17题扇形草坪矩形设计考数学建模，19题立体几何轨迹问题提升创新思维，形成基础巩固到创新应用的梯度

中/)由模1阳。老次发刘甲花天，一处国业C川江平汉/L王。 强训6数学试意简析 一、 单选题 1.A2.A 3.D 4.C 5.B 6.B7.C8.B 二、多选题 9.AC 10.ABD 11.BC 三、填空题 12. 13.115140 14.29 四、解答题 15.【详解】(1)函数f(x)=x3-3x+2,x∈[-2,3]，f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 当-2<x<-1或1<x<3时，f'(x)>0,当-1<x<1时，f'(x)<0, -g(x 函数f(x)在[-2，-1)，(1,3]上单调递增，在(-1,1)上单调递减， 又f(-1)=4,f(3)=20,f(-2)=f()=0,函数f(x)在[-2,3)上的最大值是20，最小值是0. (2)设过点P(2,)的直线与曲线y=f(x)相切的切点为(x,x号-3x+2), 由(1)得切线斜率k=∫'(x)=3x6-3,切线方程为y-(-3x,+2)=(3x-3)(x-x), 由切线过点P(2,),得1-（号-3x+2)=(3x6-3)(2-x0),整理得t=-2x+6x-4, 令g(x)=-2x3+6x2-4,求导得g(x)=-6x2+12x=-6x(x-2), 当x<0或x>2时，g'(x)<0,当0<x<2时，g(x)>0,函数g(x)在(-o,0),(2,+o)上单调递减，在(0,2)上单调递 增，函数g（x)在x=0处取得极小值为g(0)=4,在x=2处取得极大值为g(2)=4, 由过点P(2,)存在3条直线与曲线y=∫(x)相切，得方程1=-2x6+6x-4有3个互不相同的解， 即直线y=1与函数y=g(x)的图象有3个交点，观察图象得当-4<t<4时，直线y=1与函数y=g(x)的图象有3个交点，所 以实数1的取值范围是(-4,4). 16.【详解】(1)设“该同学投篮命中”为事件M,“该同学选择A区域投篮"为事件N,“该同学选择B区域投篮”为事件N2,“该 同学选择C区域投篮"为事件N,因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以P(N)=P(N,)=P(W,)=了己 强训6物化生2/16 复在A区城设道命中能据率足子在B和C区装投位命中的概半都是子》 所以P(M)-=子PMg)-子P(MN,)= P心-产)风号5号号 ，所以该同学投篮命中的概率为 10 (2)由题意可知，得分X的可能取值为0,1,3,6， 融x---引) x=号-到引 x--子--升5 P(X=6) 5*4480 所以E(X)=0x7+1×36+3x56x2-3645+2_ 80 80 80 80 80 80, 所以，该同学得分X的数学期塑为93 80 17、【详解】(1)如图1，在Rt△OAD中，∠MOD=a,OD=20m, 所以0A=20csa,D=BC=20sna在RA0B8C中，0B-sC-205 3 sina. 0simaBC420sima(20cosa20 图1 AB=OA-OB=20cosa-. -sin a), 3 3 0<a号 如图2，过点D作DE⊥OM于点E,过点O作CD的垂线，交弧CD于点P, 在Rt△ODE中，∠MOD=a,OD=20m,所以OE=20cosa,DE=20sina. 由扇形和矩形的对称性可得，∠NOP=∠MOP=∠MON=工， 2 6 则在RtoADE中，∠MAD=∠POM-元，则AD=2DE=40sina, 6 AE=3DE=203sina,OA=AB=OE-AE=20cosa-203sina. 则S=AD.4B=40sma20cosa-205sna),0<a<号 图 (2)由0<a< 号用君<2a+<匹，至<2a+ 6 6631 3 方案-：S=20sina(20cosa-205。 2g2sna)=4o05in2a- 6 (1-cos2a) =400V5 -6如2x22003当22+名一时，即a时，S取最大值，最大值为206 -m. 3 63 3 方案二：S2=40sina(20cosa-20√3sinc)=400[sin2a-√3(1-cos2a) -800如2a+写引-4005所以当2a+号-号时，即a=后时.S取绿大值，最大值为60-40N5m 因为8-8，-205-(800-40N5=2075-12,0,所以S>5. 3 3 18.【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d,依题意，S=3a1+3d=9,即a=3-d①， (a,+3)}2=(a-1)a,即(a,+d+3}2=(a+2d-10(a+4d)②. 将①代入②得d2+3d-10=0,因为d>0,解得d=2,a=1,所以a,=2n-1,S,=n2, (20令a.≤2n-1<2-,即4m-1≤2m-1<22n,解得2m≤n<2+ 1 所以b。=2m-2m+1,即(b}的通项公式为b。=4-2n+1,所以T, 4-4n+2n-).46-1n2 1-4 2 3 强训6物化生3/16 又8=，所以元+8，-4-.由Z+8,44-2025,得4<6079， 3 3 因为45=4096<6079,4？=16384>6079，所以n的最大值为5， m由0知e.=2x-0+.则义g-29=c>0,所以2s2= 4"-1 4 ,4n-3,4n+1 4-Γ+ 0则时亭+是早+…2a@ 08我片培尝字兴g心以8型 4 4” +_4n+l_1912n+19 4 99.4” 4 因为6，=2xn-a+图2×+3×+13×+1+ 4 4”-1 44"-144.4-143.4 4 所容<号号上宫号 4 19.【详解】(1)因为平面ABC⊥a,平面ABCna=AB,BCc平面ABC,BC⊥AB, 所以BC⊥a,所以直线CD在a内的射影为直线AB， 所以直线CD与C所成角为∠CDB,过D作DF LAC,垂足为F. D M 因为cD平分∠ACB,DB1BC,所以DF=DB又AD=2DB,所以DF=4D,所以 ∠DAF=30.又AB=6,∠ABC=90°，所以BC=2V5.因为DB=AB=2,所以∠CDB=60, 所以直线CD与平面a所成角为60. (2)(①)曲线T是椭圆，理由如下：由(1)可知，DF⊥AC,DA=DC,所以F是AC的中点， 设AB的中点为O,所以OF/IBC,又BC⊥，所以OF⊥a在a内过O作OG⊥AB,所以OF⊥OB,OF⊥OG 以O为原点，OG,OB,OF所在的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xz,如图所示 因为0B=3,DB=2,所以0D=1,设E(x,y0),又D(01,0),C0,3,25]),则CE=(x,y-3,-2W5,CD=(0,-2,-2W3因 为cos∠ECD= 又∠w-0,5,海我 CC死 -2y+18 5 3+2y=18,即若+号-，所以线r爱精 OD (i)方法一：设P(3,y,0),2(x2,y2,0)在平面C内，因为1与AB不重合，可设1：y=c+1, 8制即24刻24恤6-0，质5=气5=50 4k 16 由对称性知，若存在定点T满足条件，则T必在平面ABC与“的交线AB上，故可设T(O,4,O) 若∠PTC=∠2C,则eos∠P7C=cos<QrC,即严.元-07元 PITCI TCI 因为P=(x,y-4,0),0=(x,2-4,0,元{0,3-423，所以 (3-)(y-)N分+(-)}2=(3-（以2-）g+(以-}2，当1=3时，上式恒成立，所以t=3符合题意： 当1*3时，有(y-号+(-=(-片+0-，所以0-[发+(0%-]=(-[+0y-] 所以(4-外=x(-因为xx<0,(以-(2-)≥0，所以x(2-)+x(%-)=0, 所以25+-+)=0，所以24(05-(#3)=0，即g-0=0, 因为上式对于任意的k∈R恒成立，所以t=9综上，存在点T满足AT=AB,或AT=2AB时，符合题意。 方法二：设P(x,乃，0)，2(：，y2,0)在平面α内，因为1与AB不重合，可设 1:y=kx+1,E a8+r+版-6=0，质u 4k 2)7为=-63之0.由对称性知，若存在定点T满足条件，则T必 强训6物化生4/16 平面BC与a的交线AB上，故可设T04,0)当T与B重合时，因为CT上a,又PT,QTca,所以∠P7C=∠Q7C2 所以当t=3时，符合题意当T与B不重合时，过B作BP⊥PT,B2⊥2T, 垂足分别为P,O.连接CP,CO,则因为BC⊥a,PTca,所以PT⊥BC.又PT⊥BP,BP∩BC=B,所以PT⊥平面 BCR,所以PT⊥CP,同理gT⊥C2又∠PTC=∠OTC,所以△PTC=△QTC,所以PT=OT, 所以Rt△BPT兰Rt△BOT,所以直线BT平分∠PT2又BT在y轴上，所以在平面C内直线PT,QT的倾斜角互补 在平面a内，设直线PT,QT的斜率分别为k,k,则k+k,=二+上'=2k+1-)+五 X1 X2 XX2 =2k+-)会-年0-)=0，对于任意的keR恒成立，所以(=9综上，存在点T满足行=正：或行=2时。符合题 意 交大附中 2025～2026 学年第二学期 高 2026 届高三强训（六）数学试题 注意：本试题共 4 页，四道大题。 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知集合 ，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知 ，则“”是“ 为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 所有棱长都相等的直四棱柱是正方体 B. 正三棱锥的每个面都是正三角形 C. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成的旋转体叫圆锥 D. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体叫圆柱 4. 洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”。现有一石窟的某处共有 378 个“浮雕像”，分为 6 层，对每一层来说，上一层的数量是该层的 2 倍，则从下往上数，第 4 层“浮雕像”的数量为（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 5. 某公司收集了某商品销售收入 （万元）与相应广告支出 （万元）共 10 组数据 （），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合。若将图中 10 个点中去掉 点后再重新进行线性回归分析，下列说法正确的是（ ） A. 决定系数 变小 B. 残差平方和变小 C. 相关系数 的值变小 D. 解释变量 与响应变量 相关性变弱 6. 在 中，，，，则 （ ） A. B. C. D. 7. 已知函数 ，若对任意的 ，都有 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 根据物理知识，椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经椭圆反射后将汇聚到另一个焦点处。已知椭圆 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆 上的任意一点，根据研究，我们知道直线 、直线 与在 点处的切线 所成的角相等。过 作直线 ，垂足为 ，则 面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9. 下列各式中，值为 的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线 过点 ，点 是圆 上的点，下列命题正确的是（ ） A. 直线 被圆截得的弦长最短为 B. 若圆上有且只有 3 个点到直线 的距离为 1，则直线 的方程为 或 C. 的取值范围是 D. 若 是直线 上的动点，过点 作圆 的切线，则切线长的最小值为 2 11. 已知 是定义在 上的奇函数，，，若 为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12. 已知 ，则与 方向相同的单位向量 ____（用坐标表示）。 13. 某 AI 公司有男性 30 人，女性 10 人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为 110 分，方差为 55，女性平均成绩为 130 分，方差为 95，则在这次团建中，该公司的平均成绩为 ____分，方差为 ____。 第 2页，共 4页 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14. 将 4 个相同的小球摆放在 的方格中，要求每一个方格中只能摆放一个小球，且任意两个小球所在的方格不能恰好共用一个方格顶点，则所有摆放种数为____。 15. (13 分) 已知函数 . (1). 求 在区间 上的最值； (2). 若过点 存在 3 条直线与曲线 相切，求实数 的取值范围。 16. (15 分) 为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在 、、 三个区域开展定点投篮比赛。某同学在 区域投篮命中的概率是 ，在 和 区域投篮命中的概率都是 ，它们之间相互不影响。 (1). 若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求他投篮命中的概率； (2). 若规定该同学需要依次在 、、 三个不同区域各投篮一次，如果在 、、 三个区域全部投中，可获得 6 分；如果仅在两个区域投中，可获得 3 分；如果仅在一个区域投中，可获得 1 分；否则没有得分。求该同学得分 的分布列和数学期望。 17. (15 分) 某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园，为了充分利用这块草坪，要求该矩形 的四个顶点都落在边界上。经过测量，在扇形 中，，，记 ，共设计了两个方案： (1). 分别用 表示两个方案中矩形 的面积 ； (2). 分别求出 的最大值，并比较二者最大值的大小。 18. (17分) 已知公差大于0的等差数列的前项和为，，且是与的等比中项. (1). 求的通项公式及； (2). 记为在区间内项的个数()，为数列的前项和. (i). 若，求的最大值； (ii). 设，证明：. 19. (17分) 在中，，，的平分线交于点，．平面过直线，且与所在的平面垂直. (1). 求直线与平面所成角的大小； (2). 设点，且，记的轨迹为曲线. (i). 判断是什么曲线，并说明理由； (ii). 不与直线重合的直线过点且交于，两点，试问：在平面内是否存在定点，使得无论绕点如何转动，总有？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $