课时规范练22 利用导数证明不等式-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数证明不等式，以构造函数、放缩法为核心，通过典例系统呈现导数应用的逻辑链条，培养逻辑推理与数学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|题1-2|单调性讨论、恒成立求参|导数工具→函数单调性→极值最值，构建“求导-分析-验证”逻辑| |综合证明|题3-4|与三角/数列结合、不等式放缩|特殊点验证→放缩转化→累加证明，体现知识迁移与综合应用|

课时规范练22　利用导数证明不等式 (分值:61分) 1.(15分)(2025·山西太原一模)已知函数f(x)=x-aln x,a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当x∈(0,+∞)时,若f(x)≥cos(x-1)恒成立,求a的值. 2.(12分)(2024·全国甲,文20)已知函数f(x)=a(x-1)-ln x+1. (1)讨论f(x)的单调区间; (2)若a≤2,证明:当x>1时,f(x)<ex-1恒成立. 3.(17分)(2026·湖南长沙模拟)已知函数f(x)=ex·cos x(e为自然对数的底数). (1)求函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程; (2)记g(x)=-x3-3x·cos x+(a+3)x,若∀x∈[0,1],有f(x)≤eg(x),求实数a的取值范围; (3)记n∈N*,且n≥2,证明:cos 1+cos+cos+cos+…+cos<n-. 4.(17分)已知函数f(x)=ln x-mx2在x=1处的切线方程为x+my=0. (1)求实数m的值; (2)已知a>0,函数g(x)=f(x)+1-+x2,若g(x)≤0,求证:ab≤. 参考答案 课时规范练22　利用导数证明不等式 1.解 (1)由题意得f'(x)=1-,x>0,当a≤0时,则f'(x)≥0,∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;当a>0时,令f'(x)<0,则0<x<a;令f'(x)>0,则x>a,∴f(x)在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增. (2)令g(x)=f(x)-cos(x-1)=x-aln x-cos(x-1),x>0,则g'(x)=1-+sin(x-1),∵g(1)=0,g(x)≥0,∴g'(1)=1-a=0,∴a=1, 当a=1时,g(x)=x-ln x-cos(x-1),x>0,令h(x)=x-1-ln x,x>0,则h'(x)=1-,令h'(x)<0,则0<x<1;令h'(x)>0,则x>1,∴h(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,∴h(x)≥h(1)=0,∴x-ln x≥1,∴g(x)=x-ln x-cos(x-1)≥1-cos(x-1)≥0.综上,a=1. 2.(1)解 f(x)=a(x-1)-ln x+1,x>0,则f'(x)=,x>0.若a≤0,则f'(x)<0恒成立,则f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间.若a>0,则当0<x<时,f'(x)<0;当x>时,f'(x)>0.所以f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,+∞). 综上,当a≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;当a>0时,f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,+∞). (2)证明 因为a≤2,所以当x>1时,ex-1-f(x)=ex-1-a(x-1)+ln x-1≥ex-1-2x+ln x+1. 令g(x)=ex-1-2x+ln x+1,x≥1, 则g'(x)=ex-1-2+. 令h(x)=g'(x),则h'(x)=ex-1-在(1,+∞)上单调递增,则h'(x)≥h'(1)=0且等号不恒成立,所以h(x)=g'(x)在(1,+∞)上单调递增,g'(x)≥g'(1)=0且等号不恒成立,故g(x)在(1,+∞)上单调递增,g(x)≥g(1)=0,所以当x>1时,ex-1-f(x)≥ex-1-2x+ln x+1>0恒成立,即f(x)<ex-1恒成立. 3.(1)解 由f(x)=ex·cos x,则f(0)=1,而f'(x)=ex·cos x(cos x-xsin x),则f'(0)=1,所以函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y-1=x,即y=x+1. (2)解 若∀x∈[0,1],有f(x)≤eg(x)⇔excos x≤, 即为xcos x≤-x3-3xcos x+(a+3)x在区间[0,1]上恒成立,当x=0时,不等式恒成立;当0<x≤1时,不等式等价于cos x≤-x2-3cos x+(a+3),即为4cos x+x2-(a+3)≤0恒成立,设M(x)=4cos x+x2-(a+3),x∈(0,1],则M'(x)=-4sin x+2x, 设T(x)=-4sin x+2x,x∈(0,1],则T'(x)=2-4cos x,因为0<x≤1<,所以<cos x<1,T'(x)<0,所以M'(x)在区间(0,1]上单调递减,则M'(x)<-4sin 0+2×0=0,所以M(x)在区间(0,1]上单调递减,即M(x)<4cos 0+0-(a+3)=4-(a+3)≤0, 所以a≥1,则实数a的取值范围为[1,+∞). (3)证明 由(2)知,当x∈(0,1]时,x2+4cos x-4≤0,即cos x≤1-,令x=(n≥2),得cos≤1-. 因为, 所以cos≤1-<1-,令n=2,cos 1<1-,令n=3,cos<1-,…,cos<1-,cos<1-,以上不等式相加得cos 1+cos+cos+cos+…+cos<(n-1)-=n-,证毕. 4.(1)解 因为f(x)=ln x-mx2,所以f'(x)=-2mx,当m=0时,f(x)=ln x,显然x=0不是f(x)的切线,不符合题意;当m≠0时,由题意得解得m=1. (2)证明 g(x)=ln x+1-=ln x-+1+,g'(x)=. 因为a>0,所以g(x)在区间(0,a)上单调递增,在区间(a,+∞)上单调递减,所以g(x)max=g(a)=ln a+.若g(x)≤0,当且仅当g(x)max≤0,即ln a+≤0,即b≤-aln a,所以ab≤-a2ln a. 设h(x)=-x2ln x,x>0,则h'(x)=-2xln x-x2·=-x(2ln x+1), 由h'(x)>0,得0<x<,由h'(x)<0,得x>,所以h(x)在区间(0,)上单调递增,在区间(,+∞)上单调递减, 所以h(x)max=h()=, 所以-a2ln a≤,所以ab≤. 3 学科网（北京）股份有限公司 $