课时规范练22 利用导数证明不等式-2027届高三数学一轮复习

课时规范练22　利用导数证明不等式

(分值:61分)

1.(15分)(2025·山西太原一模)已知函数f(x)=x-aln x,a∈R.

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)当x∈(0,+∞)时,若f(x)≥cos(x-1)恒成立,求a的值. 

2.(12分)(2024·全国甲,文20)已知函数f(x)=a(x-1)-ln x+1.

(1)讨论f(x)的单调区间;

(2)若a≤2,证明:当x>1时,f(x)<ex-1恒成立. 

3.(17分)(2026·湖南长沙模拟)已知函数f(x)=ex·cos x(e为自然对数的底数).

(1)求函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程;

(2)记g(x)=-x3-3x·cos x+(a+3)x,若∀x∈[0,1],有f(x)≤eg(x),求实数a的取值范围;

(3)记n∈N*,且n≥2,证明:cos 1+cos+cos+cos+…+cos<n-. 

4.(17分)已知函数f(x)=ln x-mx2在x=1处的切线方程为x+my=0.

(1)求实数m的值;

(2)已知a>0,函数g(x)=f(x)+1-+x2,若g(x)≤0,求证:ab≤.

参考答案

课时规范练22　利用导数证明不等式

1.解 (1)由题意得f'(x)=1-,x>0,当a≤0时,则f'(x)≥0,∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;当a>0时,令f'(x)<0,则0<x<a;令f'(x)>0,则x>a,∴f(x)在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增.

(2)令g(x)=f(x)-cos(x-1)=x-aln x-cos(x-1),x>0,则g'(x)=1-+sin(x-1),∵g(1)=0,g(x)≥0,∴g'(1)=1-a=0,∴a=1,

当a=1时,g(x)=x-ln x-cos(x-1),x>0,令h(x)=x-1-ln x,x>0,则h'(x)=1-,令h'(x)<0,则0<x<1;令h'(x)>0,则x>1,∴h(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,∴h(x)≥h(1)=0,∴x-ln x≥1,∴g(x)=x-ln x-cos(x-1)≥1-cos(x-1)≥0.综上,a=1.

2.(1)解 f(x)=a(x-1)-ln x+1,x>0,则f'(x)=,x>0.若a≤0,则f'(x)<0恒成立,则f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间.若a>0,则当0<x<时,f'(x)<0;当x>时,f'(x)>0.所以f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,+∞).

综上,当a≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;当a>0时,f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,+∞).

(2)证明 因为a≤2,所以当x>1时,ex-1-f(x)=ex-1-a(x-1)+ln x-1≥ex-1-2x+ln x+1.

令g(x)=ex-1-2x+ln x+1,x≥1,

则g'(x)=ex-1-2+.

令h(x)=g'(x),则h'(x)=ex-1-在(1,+∞)上单调递增,则h'(x)≥h'(1)=0且等号不恒成立,所以h(x)=g'(x)在(1,+∞)上单调递增,g'(x)≥g'(1)=0且等号不恒成立,故g(x)在(1,+∞)上单调递增,g(x)≥g(1)=0,所以当x>1时,ex-1-f(x)≥ex-1-2x+ln x+1>0恒成立,即f(x)<ex-1恒成立.