3.6 导数与其他知识相结合的问题【5大考点】专题训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数与三角函数、数列等五大模块的综合应用，通过题型专练构建跨知识体系的问题解决逻辑，培养数学思维与数学语言表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数与三角函数|6题|切线方程、不等式证明、函数性质判断|利用导数研究三角函数单调性、极值，结合放缩法证明不等式| |导数与数列|6题|数列单调性、求和证明、恒成立求参数|以导数为工具分析数列递推关系，通过函数不等式证明数列结论| |导数与统计概率|6题|概率函数最值、期望计算、回归分析|构建概率模型，用导数求最值，体现数据观念与应用意识| |导数与立体几何|6题|体积最值、轨迹分析、空间位置证明|将空间几何量表示为函数，利用导数求体积、距离等最值| |导数与解析几何|6题|切线交点、面积最值、定点证明|通过导数求曲线切线，结合解析几何性质解决动态问题|

3.6 导数与其他知识相结合的问题 5大考点汇总 考点01 导数与三角函数结合的相关问题 考点02 导数与数列结合的相关问题 考点03 导数与统计概率结合的相关问题 考点04 导数与立体几何结合的相关问题 考点05 导数与解析几何结合的相关问题 题型专练 考点01 导数与三角函数结合的相关问题 1．设函数，． (1)求的图象在点处的切线方程； (2)证明：； (3)设，，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)令，则，. 令，， 所以在上单调递增，， 所以在上单调递增，， 所以. (3)由（2）知，即时，， 所以． 令，，则， 代入上式得， 所以 ， 所以． 【分析】（1）根据导数的几何意义，求得的图象在点处的切线的斜率，从而得到切线方程； （2）构造函数，利用导数分析的单调性，利用单调性可得，从而证得； （3）利用（2）的结论，可得时，，结合均值不等式可得；令，，利用放缩法及裂项相消求和法可证得． 【详解】（1）由，， 得， 所以， 所以的图象在点处的切线方程为，即． （2）略 （3）略 2．若、，且，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，，，其中，利用导数分析这两个函数的单调性，可得出，再结合函数的单调性判断可得出、的大小关系，构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，结合零点存在定理得出的范围，再利用函数的单调性并结合零点存在定理可得出的范围，据此可判断D选项. 【详解】因为，则，， 构造函数，其中，则， 故函数在上为增函数，即当时，，即， 因为，则，所以， 构造函数，其中，则， 故函数在上为增函数， 由题意可知，，故， 因为，，故， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数，且， 因为，则， 所以， 又因为，所以，故，D错. 3．已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，证明：对任意，都有； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）对任意的，当时，要证，只需证明，变形为，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，即可证得结论成立； （3）由（2）得出，令，可得出，证明出，令，可得出，结合不等式的性质得出，再利用累加法可证得结论成立. 【详解】（1）当时，， 则， 所以，而， 则在点处的切线方程为. （2）任意的，当时，， 故只需证对任意的恒成立，整理得， 构造函数，其中， 则 ， 所以函数在上为减函数，故当时，，即， 故对任意的，， 故当时，对任意，都有. （3）由（2）知，当时，，即， 令，则， 因为，所以， 构造函数，其中，则， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 令，得，即， 整理得， 则， 即， 所以，，，， 累加得 ， 故. 4．（多选）函数，则（    ） A． B． C．存在对称轴 D．存在对称中心 【答案】ABC 【分析】通过可发现函数具有对称轴及最大值，再利用函数对称中心的特点去分析是否具有对称中心，将化为，通过构造函数，结合导数与单调性得到，都有，进一步证明即可. 【详解】函数解析式可化为：， 则，选项A正确； 因为函数的图象关于直线对称，且函数的图象也关于直线对称， 故曲线也关于直线对称，选项C正确； 要证，即证. 当时，左右两边均为0，等式成立. 令，则，则在上单调递增. 当时，，所以. 当时，，所以，所以. 因此，，都有，当时等号成立. 所以，当时，有， 又， 所以成立， 综上，成立，选项B正确； 对于D选项，若存在一点使得关于点对称，则， 通过分析发现不可能为常数，故选项D错误. 5．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，证明：，； (3)已知，证明：． 【答案】(1)极大值为，无极小值； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题知定义域为，进而求导研究函数单调性即可求解函数极值； （2）构造函数，，利用导数研究函数的单调性得时，单调递增；时，单调递减，再结合，符号即可证明. （3）结合（1），令，，进而结合得，再累加求和即可证明不等式左侧部分；再结合（2）得，再累加求和即可证明不等式右侧部分. 【详解】（1）解：当时，，定义域为， ， 所以，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值. （2）解：当时，， 令，， 所以， 令，，则， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以函数在单调递减， 又函数在单调递减， 所以在单调递减， 因为，， 所以，存在，使得，即 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 因为，，， 所以存在，使得，即， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 因为，， 所以在恒成立，即， 所以，，，证毕. （3）证明：先证. 由（1）知，当时，在上单调递减， 故当时，，即 令，则，即 令，恒成立，所以在单调递减， 所以，即，故当时，， 令，则 所以，即 所以，， 即. 下证：. 由（2）知，，，即，， 令，则 所以，即 综上，，证毕. 6．已知函数，其中，曲线在点处的切线方程为． (1)求a的值； (2)证明：当时，； (3)设，若对任意恒成立，求m的最大值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)2. 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程即可. （2）由（1）求出，多次求导确定函数在的单调性即可得证. （3）令，将不等式等价变形，取并结合（2）的信息确定，在构造函数，结合（2）中信息确定函数单调性而求得整数的最大值. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 因此曲线在点处的切线方程为，依题意，， 所以. （2）由（1）知函数，求导得， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数，即在上单调递减，而， 则存在，使得，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，又， 即当时，，即，当且仅当时取等号， 因此函数在上单调递增，， 所以当时，. （3）不等式， 令，由，得，原不等式等价于， 依题意，不等式对任意恒成立， 令，则，由（2）知，因此， 而，则，令函数，由（2）知， 则，，令函数， 求导得，当且仅当时取等号， 函数在上单调递减，，因此对任意恒成立， 即当时，不等式对任意恒成立， 所以整数的最大值为2. 考点02 导数与数列结合的相关问题 7．已知有穷数列 满足， 其中，且最后一项 (1)当，且时，求的取值范围； (2)当时，如果足够大， （i）证明：数列为单调递减数列； （ii）探究数列 中是否存在连续三项成等差数列.若存在，说明有多少个；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2) （i）， 记，则， 因为， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时， ， 因为，所以，所以， 所以，即， 所以，即，所以为单调递减数列. （ii）存在一组 【分析】（1）根据解不等式即可； （2）（i）构造函数，利用导数证明其单调递减即可；（ii）利用递推关系代入消去，然后令，构造函数，利用导数证明其单调递增，结合零点存在性定理即可得解. 【详解】（1）因为，且，所以， 解得，即的取值范围为. （2）（i）略 （ii）假设存在连续三项成等差数列，则， 又，所以，， 代入得， 令，则，整理得， 令，则， 由（i）可知，，即，整理得， 则，即函数在上单调递增， 又时，时， 故存在使得， 因为足够大，所以取，即时，成等差数列， 由上述证明过程和数列单调递减可知，数列中有且只有一组连续三项构成等差数列. 8．已知函数（），． (1)若，求的单调区间； (2)若恒成立，求的值； (3)已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值． 【答案】(1)在上单调递增，上单调递减 (2) (3)3 【分析】（1）对函数求导，利用导函数的正负求得函数的单调区间. （2）构造新函数，对分类讨论，结合即可得解 （3）利用（2）的结论，通过放缩法得到的上界，再结合时的值，确定的最小值. 【详解】（1）由题意函数，，求导可得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，上单调递减， （2）因为，所以，其中， 令 ，则恒成立，，且， 当时，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，则在上单调递增，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，所以时，，与题设矛盾； 若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，满足题意； 综上所述． （3）因为，所以， 由（2）可知当时 ，即， 所以当且仅当时取等号，所以，． ， 所以 ，即：对于任意正整数，恒成立， 且因为为整数，且对于任意正整数， 成立， 当时， ，所以不能恒成立， 所以m的最小值为3． 9．已知函数. (1)若，求证：； (2)设数列的通项公式，是其前项和，求证：； (3)设等差数列的公差，是其前项和，且，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由结合两角和与差的正弦公式可得，进而结合二倍角公式求证即可； （2）将裂项并求和可得，利用正弦函数的性质放缩求证即可； （3）结合三角恒等变换公式及等差数列的前项和可得，，…，，进而得到，令，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】（1）证明：由， 则 ， 即，则， 即，而，则，即，则. （2）证明：由， 则 ， 因为，所以， 而，，则. （3）由为等差数列， 则 ， 同理可得，，…，， 则 ， 令， 则， 而， ， 则，所以在上单调递增，则方程有且仅有一个解， 所以， 则. 10．已知函数． (1)若，求实数的值； (2)若时，恒成立，求实数的最大值； (3)设，为数列的前项积，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定导数值求出的值. （2）令并将不等式作等价变形，构造函数，再利用导数求出恒成立的值范围即可. （3）由已知可得，再结合（2）的结论变形，利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）函数，求导得， 由，得，所以. （2）令，由，得，由 ，令函数， 求导得，函数在上单调递减， ， 当时，，，则函数在上单调递增，，恒成立，因此； 当时，，而当时，， 则存在，使得，当时，，， 函数在上单调递减，此时，不符合题意， 所以实数的取值范围是，的最大值为4. （3）依题意，，，，则， 由（2）得， ，则当时， ， 因此，所以. 11．已知函数 ． (1)求函数的极值； (2)当时，数列，且，； ①求数列的前项和； ②证明： ． 【答案】(1)当时，函数无极值．当时，函数极大值为，无极小值 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据导数与单调性、极值的关系求解即可. （2）①求出及，结合裂项相消法求解即可. ②结合①可得，结合（1）可得，构造函数，结合导数与单调性、最值的关系得到，进而得到，利用并项相消法求和证明即可. 【详解】（1）因为 ，，所以，． 当时，因为，所以恒成立，则函数在内单调递减，无极值． 当时，令，得， 则当时，，当时，， 所以函数在内单调递增，在内单调递减， 函数的极大值为，无极小值． 综上所述，当时，函数无极值． 当时，函数极大值为，无极小值． （2）①当时，，， 所以 ． ②证明：由①知，所以， 且由（1）知当时，的极大值即最大值为 ， 所以， 恒成立，即，当且仅当时等号成立． 令，则，， 所以，． 令，则恒成立， 所以函数在内单调递增， 则当时，，即． 所以，． 所以 所以．得证． 12．已知函数，正项数列满足． (1)求函数的最值与零点； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)设数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)在处取得最大值，最大值为0，无最小值；仅有一个零点0. (2)数列为递减数列，理由见详解； (3)证明见详解 【分析】（1）先对求导，判断导数正负，结合单调性，进而可求最值和零点； （2）先利用作差法得到，利用（1）可得到数列的单调性即可； （3）令，求导，进而令，利用导数得到，再利用累乘法结合放缩法可得，利用等比数列前项和公式求解得证. 【详解】（1）因为，， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 且，当时，，当时，， 所以在处取得最大值，最大值为0，无最小值；仅有一个零点0. （2）数列为递减数列，理由如下： 由题意，， 由（1）知在上单调递减，则，即， 令，则，所以，即， 又函数在R上是单调递增函数，所以，所以数列为递减数列. （3）令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 所以当时，，即. 所以，故在上单调递增，且， 令，则，即，又， 所以，所以，即， 当时，，又， 所以， 所以. 考点03 导数与统计概率结合的相关问题 13．已知甲口袋有（，）个红球和2个白球，乙口袋有（，）个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球． (1)当，时， ①求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率； ②设小明4次摸球中，摸出白球的个数为，求的数学期望； (2)当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为，求的最大值. 【答案】(1)① ；② (2) 【分析】（1）①根据“正难则反”的原则结合独立事件的乘法公式计算求解；②列举随机变量的可能取值，计算对应概率后，再根据数学期望计算公式计算求解； （2）设小明每次摸出一个红球的概率为，则，其中，则，求导，根据导数计算可得最值. 【详解】（1）①易知小明从甲口袋中有放回摸出一个白球的概率为，从乙口袋中摸出一个白球的概率为， 设“小明4次摸球中，至少摸出一个白球”为事件，则“小明4次摸球都是红球”为事件， 则， 所以 ②的所有可能取值为0，1，2，3，4， 由①得， ， ， ， ， 所以； （2）易知此时连续摸4次相当于4次独立重复性试验， 设小明每次摸出一个红球的概率为，则，其中， 则，， 所以当时，；当时， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则时，最大，此时，，解得． 故当时，概率最大．此时 14．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，； (3)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为，证明：． 【答案】(1)函数在上单调递增； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数并确定正负，进而确定函数的单调性. （2）由（1）的结论，利用单调性推理得证. （3）借助排列计数问题求出概率，再利用放缩法及（2）的结论推理得证. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 所以函数在上单调递增. （2）当时，由（1）知，函数在上单调递增， 所以. （3）依题意，抽取的20个号码互不相同的概率为， 而，同理，，，， 因此，即， 不等式， 由（2）知，当时，，取，得， 即，则，因此， 所以. 15．为促进销售，某生产商联合商超对定价为100元的产品推出“摸奖+闯关”优惠活动，规则如下：进商超的消费者首先获得一次摸奖机会，可获得一张10元或20元的“基础优惠券”（摸到10元“基础优惠券”的概率为0.6，摸到20元“基础优惠券”的概率为0.4）；然后进行答题闯关游戏，闯关成功可再获得一张能叠加使用的20元“进阶优惠券”.记消费者答题闯关成功的概率为.已知摸奖与闯关优惠活动的结果相互独立. (1)记消费者购买一件该产品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和； (2)已知本次活动中优惠券的成本将由生产商承担“基础优惠券”面额的30%，“进阶优惠券”面额的50%.记生产商销售一件该产品的期望利润为（单位：元），消费者购买该产品的概率为.已知，商品成本为41元.试求的最大值及取得最大值时的值.（结果保留1位小数） 注：期望利润=消费者购买概率×（支付金额的期望－商品成本－优惠券成本的期望） 【答案】(1)分布列如下： 60 70 80 90 数学期望 (2)的最大值为11.7，取得最大值时的值为. 【分析】（1）分为四种情况，对四种情况依次分析即可； （2）优惠券成本=基础优惠券+进阶优惠券，再利用公式求导计算最大值即可. 【详解】（1）由题可知，可能取值为：60、70、80、90. ， ， ， ， 所以消费者购买一件该产品的实际支付金额的分布列为： 60 70 80 90 数学期望为： . （2）设优惠券实际成本为，则 且支付金额的期望 ， 所以， 即： 求导得： ， 令，解得： ， 所以函数在 上单调递增，在 上单调递减， 所以当时，取得最大值，此时 ， 即：的最大值约为11.7，取得最大值时的值约为. 16．某企业生产的芯片独立出厂，每件芯片出现故障的概率为，正常的概率为.现对一批芯片开展批量抽样检测，连续抽取件芯片，记其中故障芯片的件数为随机变量. (1)连续抽取4件芯片，在至少出现2件故障芯片的条件下，求恰好出现3件故障芯片的概率； (2)当时，记恰好出现2件故障芯片的概率为.若对任意，恒有，求实数的最小整数值； (3)若始终满足，求证：对任意正整数，都有. 【答案】(1) (2)1 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意知，当时，再根据二项分布，结合条件概率求解即可； （2）由题意知，再根据导数求解最值即可得答案； （3）由题知，，，令，进而将问题转化为证明，再构造函数，，证明，，最后结合不等式放缩得即可证明. 【详解】（1）解：因为连续取件芯片，故障芯片的件数为随机变量，芯片独立出厂, 所以服从二项分布，即，故当连续抽取4件芯片时， 所以 且， 所以 . （2）解：当时， 故恰好出现2件故障芯片的概率为，， 所以， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以， 若对任意，恒有，则实数的最小整数值为1. （3）证明：因为，，所以，， 所以 令，则，， 故要证，只需证， 只需证，只需证 只需证， 令，， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即， 又， 所以，， 因为，， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以，即， 所以成立，证毕. 17．蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：℃）有关．现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，②分别进行拟合． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 179 422688 62.65 70308 表中； (1)根据散点图，比较模型①、②的拟合效果，模型___________比较合适？（无需说明理由） 根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程． (2)根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为． ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 【答案】(1)模型②， (2)①；②，． 【分析】（1）利用散点图的特征确定所选模型，再利用给定数据求出回归方程. （2）①求出，再利用导数求出最大值对应；②由①的结论求出每年需要人工防治的概率，再利用二项分布的期望、方差公式计算即可. 【详解】（1）由散点图知，卵数随温度的变化是按指数形式变化，而非线性变化，因此模型②更合适， 令，则，由所给参考数据得，， ，因此关于的线性回归方程为， 所以产卵数关于温度的回归方程为. （2）①依题意，， 求导得 ， 令，得，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以取得最大值时对应的概率； ②由①知，当时，取最大值，当时，， 每年需要人工防治的概率，且服从二项分布， 所以，. 18．在平面直角坐标系中，一质点M从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且向四个方向移动的概率均为．例如在1秒末，点M会等可能地出现在，，，四点处． (1)已知点M在第2秒末没有回到原点，求此时点M位于坐标轴上的概率； (2)记第n秒末点M回到原点的概率为． ①求，，并利用公式，求； ②令，记为数列的前n项和，若对任意实数，存在，使得，则称点M是常返的．利用公式：，证明：点M是常返的． 【答案】(1) (2)①；； ； ②证明：由可知： 则 所以， 令（），则， 即函数在上单调递减， 所以，即，则， 则对任意正整数都有， 所以 记为不超过x的最大整数， 则对任意的实数，当时，，即 ， 综上，当时，成立，所以点M是常返的． 【分析】（1）记事件A：点M在第2秒末没有回到原点，事件B：点M位于坐标轴上，计算即可； （2）①分四个方向各移动一次、左右方向各移动两次、上下方向各移动两次三种情况求；设左右各移动次，上下各移动次，即可求出，再利用组合公式化简； ②利用公式化简得出，得出，构造函数，研究其单调性求出，即可得出，最后化简得出，取即可求证. 【详解】（1）记事件A：点M在第2秒末没有回到原点，事件B：点M位于坐标轴上， 由于在第2秒末点M回到原点的情况有4种，则事件A包含的情况共有种， 其中点M没有回到原点且在坐标轴上的情况有4种，即点，，，这四种情况．则， 故点M在第2秒末没有回到原点，且此时点M位于坐标轴上的概率为． （2）①点M在第2秒末回到原点，；⋯ 点M在第4秒末回到原点有以下三种情况：四个方向各移动一次的情况有种， 左右方向各移动两次的情况有种，上下方向各移动两次的情况有种， 所以； 若点M在第秒末回到原点，则需左右移动次数相等，且上下移动次数也相等， 设左右各移动i（）次，则上下各移动次， 所以 . ②略 考点04 导数与立体几何结合的相关问题 19．如图，在四面体中，点在平面内的射影恰在棱上，为的中点，，，和的面积均为． (1)若，且与均为锐角，证明：平面； (2)若将，，三点在空间中的位置固定，试分析点的轨迹是什么曲线； (3)求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)椭圆（直线与此椭圆的两个交点除外） (3) 【分析】（1）根据几何知识得，再利用三角形面积公式得，进而利用余弦定理得，则有，最后利用线面垂直的性质定理证明即可； （2）根据面积得点D到直线AB的距离为1，进而有在以直线为轴，底面半径为1的圆柱的侧面上运动，结合线面角的概念即可求出点的运动轨迹； （3）建立空间直角坐标系，求出椭圆方程及焦点坐标，设，在中，由余弦定理得，同理可得.方法一：结合，利用基本不等式中常数代换技巧求解最小值；方法二：先求得，令，令，利用导数法求解最小值即可. 【详解】（1）因为点在平面内的射影恰在棱上，所以， 又因为，所以， 因为和的面积均为，所以因为与均为锐角，所以， 再根据余弦定理可知，所以， 又，平面，所以平面； （2）因为的面积为，，所以点D到直线AB的距离为1， 因此在以直线为轴，底面半径为1的圆柱的侧面上运动. 由题意知平面，，所以直线与平面所成的角为. 如图，平面与圆柱斜交，则平面与圆柱侧面的交线就是点的运动轨迹， 易知该交线为椭圆（直线与此椭圆的两个交点除外）. （3）以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 下面求椭圆方程：由圆柱的底面半径，可知椭圆的短半轴长为1， 由，可知椭圆的长半轴长， 所以椭圆方程为，记该椭圆为. 又，即，所以为的一个焦点， 设的另一个焦点为，则， 设，在中，由余弦定理知， 解得. 直线与的另一个交点即为，同理可得. 下面求的最值： 方法一：注意到， 所以， 当且仅当时等号成立， 因此. 方法二：，令，令， 则，设，则（另一值舍去）. 当时，，当时，， 因此为的极小值点，也是最小值点，故. 20．已知点为空间一定点，圆锥（为底面的中心 ）表面上的所有点到点的距离均不超过3，则当该圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知圆锥的顶点及底面圆周上的所有点均在以定点为球心，3为半径的球面上，设圆锥的底面圆周的半径为，球心到圆锥底面的距离为，根据条件得到与的关系，再结合圆锥体积公式求出体积最大时和的值，最后计算侧面积即可. 【详解】因为圆锥表面上所有点到点的距离均不超过3， 所以圆锥表面上所有点均在以定点为球心，3为半径的球内或球面上， 要使圆锥的体积最大，则圆锥的顶点及底面圆周上的所有点均在球面上， 且球心在圆锥的内部，此时圆锥的轴截面如图所示. 设圆锥的底面圆周的半径为，球心到圆锥底面的距离为 ， 则 ，所以 ， 圆锥的体积 ， 则 . 由 ，得 ； 由 ，得 ， 所以 在上单调递增，在上单调递减， 所以当 时， ， 此时该圆锥的母线长为 ，从而其侧面积 . 故选：A. 21．在三棱锥中，等边三角形的边长为，，，点为的中点． (1)证明：； (2)设点在底面上的投影为，求三棱锥体积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设的中点为，连接、，证明出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立； （2）过点在平面内作的垂线，垂足为点，连接、，证明出面，可知为点在底面上的投影，设，其中，求出三棱锥体积. 方法一：计算得出，然后利用四元基本不等式可求得的最大值； 方法二：设，其中，利用导数法可求得的最大值. 【详解】（1）设的中点为，连接、． 因为三角形为等边三角形，所以， 因为、分别为、的中点，所以， 又因为，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以． （2）过点在平面内作的垂线，垂足为点，连接、，证明如下： 由（1）得，平面，且平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面，即为点在底面上的投影． 因为是边长为的等边三角形，，则， 因为，，，所以， 由（1）可知，设，其中， 则，， 所以， 三角形的面积 ， 则三棱锥体积， 法一：四元均值不等式 ， 即，当且仅当，即时，即时，等号成立． 法二：导数法 设，， 则 ， 令，即，解得， 由，即，解得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 即． 22．在三棱锥中，，直线与平面所成的角为，则三棱锥体积的最大值为__________. 【答案】/ 【分析】设，得到点在以为焦点的椭圆上，当在该椭圆的上顶点时，的面积最大，取的中点，求得，设点到平面的距离为，得到，求得，设且，利用导数即可求解. 【详解】不妨设，由中，可得， 又由，故点在以为焦点，且2为长半轴长的椭圆上， 当在该椭圆的上顶点时，的面积最大，此时， 取的中点，可得， 则， 设点到平面的距离为， 因为直线与平面所成的角为，可得， 所以， 设且，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 所以， 当且仅当，且时，等号成立， 所以三棱锥体积的最大值为. 故答案为：    23．已知一个实心圆锥几何体的体积为V₁，从中挖去一个体积为V₂的半球，且球心在圆锥底面上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据圆锥和半球的体积公式表示为，然后通过导数求出其最大值. 【详解】设圆锥底面半径为 ，高为 ，半球半径为 ， 圆锥体积 ，半球体积，体积比为 因为底面中点（球心）到母线HM的距离等于半球半径 ，由等积法可得， 令 （），则 ，则， 将 代入体积比， 设 （），令 ，则 ， 令，解得 （即 ，）， 当 , ， 单调递增，当, ， 单调递减， 所以当， 取得最大值， 此时 取得最大值：. 24．已知圆锥SO的底面为单位圆，其体积为是底面圆O的直径，圆O内有一条动弦MN垂直于AB，过MN作平面与母线SA交于点，当时，面积的最大值为______________． 【答案】 【分析】弦MN交AB于点,设，则的面积为：,利用导数求解最值即可. 【详解】如图， 弦MN交AB于点，当时，平面，平面平面， 则， 由圆锥SO的底面为单位圆，其体积为， 得，得，则， 设， 则，得，得， ， 则的面积为：， 则， 由，得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则当时，取得极大值，也为最大值， 故的最大值为：. 考点05 导数与解析几何结合的相关问题 25．已知直线与抛物线交于两点，过分别作抛物线的两条切线，两条切线交于点；过点作直线的垂线，与椭圆交于两点（点在点上方）． (1)证明：点在一条定直线上； (2)记的面积分别为，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将代入得到，再由求导，得到两条切线方程，求交点即可； （2）由（1）得到，从而得到垂线方程，代入椭圆方程，求得点M，N的坐标，从而得到点M，N到直线的距离，表示求解． 【详解】（1）如图所示： 代入，得：， 设，则； 导函数为，所以在点处的切线方程为， 化简得，同理得， 所以两直线交点为，所以， 故点在定直线上． （2）， 由（1）得，所以垂线，即，代入椭圆， 得：，因为点在点上方，所以； 到直线的距离； 同理可得到直线的距离． ． 当，即时，． ，所以； 当时，， 所以，设， 设； ，所以在上单调递增； 所以，故，当且仅当，即时取到“”， 显然，所以的最小值为． 26．已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求的方程． (2)已知是的左、右顶点，是的短轴上的动点（与短轴端点和原点均不重合），点满足，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为（与不重合）． （i）证明：直线与轴相交于定点； （ii）当的面积最大时，求的值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）． 【分析】（1）根据离心率和所过点可求方程； （2）（i）根据直线和椭圆的方程求出的坐标，结合斜率关系可得定点； （ii）求出的面积表达式，利用导数可求答案. 【详解】（1）设的半焦距为． 由离心率为，可得， 又经过点，所以，得． 故的方程为． （2）（i）由题意知． 因为，所以． 直线，与椭圆方程联立得， 则，又，所以， 从而，所以． 直线，与椭圆方程联立，得， 则，又，所以， 从而，所以． 若直线与轴相交于点， 则有，得， 因为，上式化简可得， 因此，直线与轴相交于定点． （ii）由题意知的面积为． 由对称性，不妨取，又因为，所以，所以． 令，则，解得（负值舍去）． 当时，， 当时，， 故当取最大值时，． 27．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆和双曲线定义，可得，进而可得，化简可得，所以，令，换元后可得，根据函数单调性，即可求得其最值. 【详解】设椭圆与双曲线的焦距为，即， 由椭圆与双曲线的定义可得可得，， 因为，所以，则，即，故， 又，，则， 所以， 令，则， 设函数， 则， 因为，所以， 所以函数在上为增函数，所以， 则，故的取值范围是. 28．如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已知，互为共轭双曲线，且，的离心率分别为，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设，的标准方程，再用，表示出，，代入后，利用函数的单调性求出最大值. 【详解】设双曲线的标准方程为，，则双曲线的标准方程为，， 所以，， 所以， 设，则， 设，则， 令，解得，又因为，所以， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当，函数有最大值， 所以的最大值为. 29．已知抛物线上的点到焦点距离的最小值为． (1)求的方程； (2)若点，在上，且线段的中点在直线上，点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线定义可知抛物线上的动点到焦点距离的最小值即为动点到准线距离的最小值. （2）抛物线方程和直线方程联立，用韦达定理表示根的关系，再利用弦长公式，点到直线的距离公式求出的底和高，最后利用导数即可求出面积的最大值. 【详解】（1）抛物线的焦点，准线为， 抛物线上的动点到焦点距离的最小值即为动点到准线距离的最小值，即，即，故的方程为． （2）由题意可知直线斜率存在，设的方程为，与抛物线联立消去可得 ，则，， 则， 的中点在直线上， 即，即， 由弦长公式可知， 点到直线的距离为， 即的面积为， 令，，则， 则， 令，则 令可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此在处取得最大值，即的最大值为， 即面积的最大值为． 30．对于抛物线过原点作斜率为的直线，交抛物线于另一点.作关于轴的对称点过点作的平行直线，交抛物线C于另一点.作 关于轴对称点以此类推构造点记的坐标为 (1)若，求点的坐标； (2)证明：数列是等差数列； (3)求的面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)的面积的最大值为 【分析】（1）求出直线的方程联立直线与抛物线方程解出即可； （2）先求出直线的方程， 结合抛物线方程以及等差数列的定义证明即可； （3）利用点到直线的距离公式以及两点间的距离公式、三角形面积公式、函数导数求解即可. 【详解】（1）由题意如图所示： 若，则直线的斜率为，抛物线方程为：， 又直线过原点，所以直线的方程为：， 联立，消去得：，解得：或， 当时，，此时该点为坐标原点， 当时，，即. （2）证明：由题意如图所示： 由直线的方程为：代入中化简得：， 解得：或， 当时，，此时该点为坐标原点， 当时，，即， 由题意知直线与直线平行，所以直线的斜率为， 由点关于轴对称后得点， 且在直线上，所以直线的方程为：， 又点在直线上，所以，① 又点也在抛物线上， 所以，代入①得： 所以， 因为，所以， 所以数列为首项为，公差为的等差数列. （3）由题意如图所示： 由题意可知：， 且，， 则直线的斜率为： ， 所以直线的方程为：， 即， 所以点到直线的距离为： 将代入上式可得： 由（2）得：， 所以， 又 ， 所以的面积为：, 设，则， 令， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.6 导数与其他知识相结合的问题 5大考点汇总 考点01 导数与三角函数结合的相关问题 考点02 导数与数列结合的相关问题 考点03 导数与统计概率结合的相关问题 考点04 导数与立体几何结合的相关问题 考点05 导数与解析几何结合的相关问题 题型专练 考点01 导数与三角函数结合的相关问题 1．设函数，． (1)求的图象在点处的切线方程； (2)证明：； (3)设，，数列的前项和为，证明：． 2．若、，且，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，证明：对任意，都有； (3)证明：． 4．（多选）函数，则（    ） A． B． C．存在对称轴 D．存在对称中心 5．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，证明：，； (3)已知，证明：． 6．已知函数，其中，曲线在点处的切线方程为． (1)求a的值； (2)证明：当时，； (3)设，若对任意恒成立，求m的最大值． 考点02 导数与数列结合的相关问题 7．已知有穷数列 满足， 其中，且最后一项 (1)当，且时，求的取值范围； (2)当时，如果足够大， （i）证明：数列为单调递减数列； （ii）探究数列 中是否存在连续三项成等差数列.若存在，说明有多少个；若不存在，请说明理由. 8．已知函数（），． (1)若，求的单调区间； (2)若恒成立，求的值； (3)已知数列，满足，记，若对任意的正整数，不等式成立，其中为整数，求最小值． 9．已知函数. (1)若，求证：； (2)设数列的通项公式，是其前项和，求证：； (3)设等差数列的公差，是其前项和，且，求. 10．已知函数． (1)若，求实数的值； (2)若时，恒成立，求实数的最大值； (3)设，为数列的前项积，求证：． 11．已知函数 ． (1)求函数的极值； (2)当时，数列，且，； ①求数列的前项和； ②证明： ． 12．已知函数，正项数列满足． (1)求函数的最值与零点； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)设数列的前n项和为，求证：． 考点03 导数与统计概率结合的相关问题 13．已知甲口袋有（，）个红球和2个白球，乙口袋有（，）个红球和2个白球，小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球． (1)当，时， ①求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率； ②设小明4次摸球中，摸出白球的个数为，求的数学期望； (2)当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为，求的最大值. 14．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，； (3)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为，证明：． 15．为促进销售，某生产商联合商超对定价为100元的产品推出“摸奖+闯关”优惠活动，规则如下：进商超的消费者首先获得一次摸奖机会，可获得一张10元或20元的“基础优惠券”（摸到10元“基础优惠券”的概率为0.6，摸到20元“基础优惠券”的概率为0.4）；然后进行答题闯关游戏，闯关成功可再获得一张能叠加使用的20元“进阶优惠券”.记消费者答题闯关成功的概率为.已知摸奖与闯关优惠活动的结果相互独立. (1)记消费者购买一件该产品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和； (2)已知本次活动中优惠券的成本将由生产商承担“基础优惠券”面额的30%，“进阶优惠券”面额的50%.记生产商销售一件该产品的期望利润为（单位：元），消费者购买该产品的概率为.已知，商品成本为41元.试求的最大值及取得最大值时的值.（结果保留1位小数） 注：期望利润=消费者购买概率×（支付金额的期望－商品成本－优惠券成本的期望） 16．某企业生产的芯片独立出厂，每件芯片出现故障的概率为，正常的概率为.现对一批芯片开展批量抽样检测，连续抽取件芯片，记其中故障芯片的件数为随机变量. (1)连续抽取4件芯片，在至少出现2件故障芯片的条件下，求恰好出现3件故障芯片的概率； (2)当时，记恰好出现2件故障芯片的概率为.若对任意，恒有，求实数的最小整数值； (3)若始终满足，求证：对任意正整数，都有. 17．蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数（单位：个）和平均温度（单位：℃）有关．现收集到一只蝗虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模型①，②分别进行拟合． 根据收集到的数据，计算得到如下值： 24 2.9 646 179 422688 62.65 70308 表中； (1)根据散点图，比较模型①、②的拟合效果，模型___________比较合适？（无需说明理由） 根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出关于的回归方程． (2)根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到以上的概率为，该地今后年恰好需要2次人工防治的概率为． ①求取得最大值时对应的概率； ②当取最大值时，设该地今后5年需要人工防治的次数为，求的均值和方差． 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 18．在平面直角坐标系中，一质点M从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且向四个方向移动的概率均为．例如在1秒末，点M会等可能地出现在，，，四点处． (1)已知点M在第2秒末没有回到原点，求此时点M位于坐标轴上的概率； (2)记第n秒末点M回到原点的概率为． ①求，，并利用公式，求； ②令，记为数列的前n项和，若对任意实数，存在，使得，则称点M是常返的．利用公式：，证明：点M是常返的． 考点04 导数与立体几何结合的相关问题 19．如图，在四面体中，点在平面内的射影恰在棱上，为的中点，，，和的面积均为． (1)若，且与均为锐角，证明：平面； (2)若将，，三点在空间中的位置固定，试分析点的轨迹是什么曲线； (3)求的最小值． 20．已知点为空间一定点，圆锥（为底面的中心 ）表面上的所有点到点的距离均不超过3，则当该圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 21．在三棱锥中，等边三角形的边长为，，，点为的中点． (1)证明：； (2)设点在底面上的投影为，求三棱锥体积的最大值． 22．在三棱锥中，，直线与平面所成的角为，则三棱锥体积的最大值为__________. 23．已知一个实心圆锥几何体的体积为V₁，从中挖去一个体积为V₂的半球，且球心在圆锥底面上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 24．已知圆锥SO的底面为单位圆，其体积为是底面圆O的直径，圆O内有一条动弦MN垂直于AB，过MN作平面与母线SA交于点，当时，面积的最大值为______________． 考点05 导数与解析几何结合的相关问题 25．已知直线与抛物线交于两点，过分别作抛物线的两条切线，两条切线交于点；过点作直线的垂线，与椭圆交于两点（点在点上方）． (1)证明：点在一条定直线上； (2)记的面积分别为，求的最小值． 26．已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求的方程． (2)已知是的左、右顶点，是的短轴上的动点（与短轴端点和原点均不重合），点满足，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为（与不重合）． （i）证明：直线与轴相交于定点； （ii）当的面积最大时，求的值． 27．已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已知，互为共轭双曲线，且，的离心率分别为，，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 29．已知抛物线上的点到焦点距离的最小值为． (1)求的方程； (2)若点，在上，且线段的中点在直线上，点，求面积的最大值． 30．对于抛物线过原点作斜率为的直线，交抛物线于另一点.作关于轴的对称点过点作的平行直线，交抛物线C于另一点.作 关于轴对称点以此类推构造点记的坐标为 (1)若，求点的坐标； (2)证明：数列是等差数列； (3)求的面积的最大值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $