精品解析：2026年湖南省长沙市湘郡培粹实验中学中考考前测试数学试题

九年级第三次学情分析数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项） 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义计算即可得到结果. 【详解】∵ 乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为，则 ， ∴ ， 故选D. 2. 我国机器人产业已实现规模、市场与应用的全球领先，下面有关机器人的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C．该图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 3. 下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 长方体 C. 圆锥 D. 球 【答案】A 【解析】 【分析】由主视图和左视图都是长方形确定为柱体，再结合俯视图为圆即可得出答案． 【详解】解：由主视图和左视图都是长方形，那么此几何体为柱体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆柱． 4. 今年，全国中小学春假制度大范围落地，湖南的中小学春假与“五一”小长假衔接，激起更多学生和家庭出行旅游，“五一”假期首日，长沙南站单日发送旅客达27.67万人次．将数据27.67万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示，先把以万为单位的数转化为普通整数，再根据科学记数法的规则确定和的值，科学记数法的形式为，要求满足，为整数． 【详解】解：． 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：  解不等式②，得，  ，   不等式组的解集为． 解集在数轴上表示为 6. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 开车前行前面路口是红灯 B. 掷出一枚硬币，反面朝上 C. 明天会很冷 D. 任意画一个三角形，它的内角和为180° 【答案】D 【解析】 【分析】必然事件的定义：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件．据此进行解答即可． 【详解】解：∵选项A：开车前行到路口遇到红灯，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件； 选项B：掷出一枚硬币反面朝上，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件； 选项C：明天会很冷，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件； 选项D：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和都是，是一定会发生的事件，属于必然事件． 7. 已知反比例函数，下列选项正确的是（ ） A. 点在函数图象上 B. 若点在函数图象上，则点也在图象上 C. 当时， D. y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数点的坐标特征和性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：已知反比例函数，可得，比例系数： 对于选项A：将点代入验证，得， ∴点不在函数图象上， ∴A错误，该选项不符合题意； 对于选项B：∵点在函数图象上， ∴， 对于点，，满足函数关系式， ∴点也在函数图象上， ∴B正确，该选项符合题意； 对于选项C：当时，， ∴C错误，该选项不符合题意； 对于选项D：∵， ∴反比例函数图象在第二、四象限，只有在每个象限内随的增大而增大，并非对所有，随增大而减小， ∴D错误，该选项不符合题意． 8. 如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质，求出的度数，再求出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 9. 如图，某旗杆高为10米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳光与地面成时，第二次是当阳光与地面成时，第二次观察到的影子比第一次的长（ ）米． A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，由题意可得米，解直角三角形求出米，米，由即可得出结果． 【详解】解：如图， 由题意可得米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米，即第二次观察到的影子比第一次的长米． 10. 如图，是的弦，半径，垂足为点，设的半径为，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由垂径定理得出，由勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：连接， ∵是的弦，半径， ∴， 在中， ， ∴． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 某市元旦的最高气温为零上，记为；最低气温为零下，则最低气温记为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正负数表示一对相反意义的量，已知零上温度记为正，可推得零下温度的表示方法． 【详解】解：由题意得，零上温度记为正，则零下温度记为负， 最低气温为零下，因此最低气温记为． 12. 式子有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：由题意可得，解得， ∴式子有意义，则的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题的关键． 13. 因式分解________． 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式分解因式即可． 【详解】解：， ． 14. 分式方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后进行检验，即可得到原分式方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，． 因此是原分式方程的解． 15. 在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球6个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在左右，那么可以估算出m的值为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】大量重复试验后，随机事件发生频率会稳定在概率附近，可根据概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：大量重复试验后发现，摸到红球的频率在左右， 任意摸出一个球，摸到红球的概率为， ∴ 解得：， 经检验符合题意； ∴m的值为12． 16. 刘老师的手机密码是四位数字，请你根据下面四个条件，推断正确的密码是___________． ①6、5、3、8只有两个数字正确且位置正确； ②6、0、5、7只有两个数字正确但位置都不正确； ③3、4、2、9四个数字都不正确； ④1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确． 【答案】0518 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知推断求解即可． 【详解】解：由③可知，3、4、2、9四个数字都不正确， 即密码中没有3、4、2、9四个数字； 由④可知，1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确， 即密码中一定有1、8、0三个数字，且位置都不正确； 由①可知，6、5、3、8只有两个数字正确且位置正确； 即密码中数字8在第四位，另一个正确的数字为6在第一位或5在第二位； 若6在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为5在第二位； 由②④可知，密码数字0不在第二位和第三位，即在第一位。 则数字1在第三位， 即正确的密码是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 计算： 【答案】 【解析】 【分析】分别计算零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根、负整数指数幂，再将所得结果进行加减运算即可得到最终答案． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简为，值为18 【解析】 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 ． 19. 如图，在中，，分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线与交于点D，与交于点E，连接． （1）由作图可知：直线是线段的______； （2）当，求的大小； （3）当，时，求的周长． 【答案】（1）垂直平分线 （2） （3）的周长为7 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线作图和垂直平分线的性质， （1）利用作已知线段的垂直平分线的方法进行判断； （2）根据线段垂直平分线的性质得，利用三角形内角和定理得即可求得答案； （3）根据垂直平分线性质求解即可． 【小问1详解】 解：由作图痕迹可知，直线是线段的垂直平分线； 故答案为：垂直平分线； 【小问2详解】 根据（1）得，，则， ∴， 则； 【小问3详解】 ∵，， ∴的周长 ， 即：的周长为7． 20. 为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“唐山皮影制作”非遗实践课程，组织九年级学生参加皮影制作技能测试，测试结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．为了解活动效果，随机抽取部分学生的测试结果进行整理，得到不完整的统计图如下． 请根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数是________名，补全“学生皮影制作测试结果条形统计图”； （2）扇形统计图中表示D等级的扇形圆心角的度数是________； （3）若九年级共有学生760名，估计九年级参与皮影制作技能测试“优秀”（A等级）的人数为________名； （4）某班有4名优秀的同学：甲、乙、丙、丁，班主任要从中随机选择两名同学进行制作经验分享，利用画树状图法或列表法求甲同学被选中的概率． 【答案】（1）40，见解析 （2） （3）114 （4） 【解析】 【分析】（1）根据B等级人数与扇形统计图即可求解总人数，进而补全条形统计图； （2）根据D等级的人数求解圆心角度数即可； （3）先求解出A等级的占比，再根据九年级学生人数求解即可； （4）画出树状图结合概率公式求解即可． 本题主要考查了条形统计图和扇形统计图、用样本估计总体、用画树状图法和列表法求概率，核心素养表现为数据观念和模型观念． 【小问1详解】 解：由条形统计图与扇形统计图可知，B等级为12人，占比为， 则本次抽取的学生人数是名， C等级人数为名． 补全后的条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：D等级的扇形圆心角的度数为． 【小问3详解】 解：“优秀”（A等级）人数占比为． ∵全校九年级学生有760名，则有，即优秀人数约为114名． 【小问4详解】 解：画树状图如下： 可见，共有12种等可能的情况，其中选中甲同学的情况有6种． ∴甲同学被选中的概率为． 21. 如图所示，已知，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，即可得到； （2）由全等三角形对应角相等求解． 【小问1详解】 解：， ，即， 又∵，， ； 【小问2详解】 解：，， ． 22. 为了响应“阳光运动一小时”校园体育活动，我校计划购买一批篮球、足球．已知购买2个篮球和1个足球共需225元，购买3个篮球和2个足球共需370元． （1）请分别求出篮球和足球的单价． （2）学校欲购买一批篮球和足球，已知足球的数量恰好等于篮球数量的2倍，且购买总金额不得超过2100元，请根据要求确定该学校购买篮球的最大数量． 【答案】（1）篮球的单价为80元，足球的单价为65元 （2）该学校购买篮球的最大数量为10个 【解析】 【分析】（1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据“购买2个篮球和1个足球共需225元，购买3个篮球和2个足球共需370元”列方程组求解即可； （2）设篮球的数量为m个，则足球的数量为个，根据“购买总金额不得超过2100元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：篮球的单价为80元，足球的单价为65元； 【小问2详解】 解：设篮球的数量为m个，则足球的数量为个． 则， 解得：， 正整数m最大为10， 答：该学校购买篮球的最大数量为10个． 23. 如图，是边长为4的正方形的对角线，平分交于点E，延长到点F，使，连接，交的延长线于点G． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明：∵正方形， ∴，， 在和中， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，再利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，利用三角形内角和定理得到，再证明，得到，根据正方形的性质得到，，利用勾股定理得到，最后利用线段的和差即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴，， ∴， ∴． 24. 已知抛物线：和抛物线：，我们约定：当点 是抛物线上任意一点时，点 在抛物线上，此时称抛物线与抛物线互为“培粹抛物线”． （1）若抛物线：与抛物线 ：互为“培粹抛物线”，求m，n，k的值； （2）若抛物线：的“培粹抛物线”过点，且满足 ，求点与原点间距离的最小值； （3）已知抛物线：的顶点为点 P，与x轴交于点 C，D（点C在点D的左边），抛物线的“培粹抛物线”的顶点为点Q，与x轴交于点E，F（点E在点F的左边），且满足 ，当四边形为矩形时，求p，q，t的值或满足的关系． 【答案】（1），， （2） （3）， 【解析】 分析】（1）分别将，代入对应抛物线解析式，解方程组即可得解； （2）根据“培粹抛物线”的定义，结合抛物线的“培粹抛物线”过点，可得，再设，得出，进而即可得解； （3）先根据“培粹抛物线”的定义，得出抛物线的“培粹抛物线”的解析式为，再分别得出点、点、点和点、点、点的坐标，再根据相似三角形的判定和性质，得出，再将，，代入得出，再将代入上式，可得方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设点是抛物线上的一点，则点在抛物线上， 分别将，代入对应抛物线解析式得，， 即， 解得，． 答：，，； 【小问2详解】 解：由题意可得，抛物线：的“培粹抛物线”为：， 将点代入中得，， 即， ， ， 设， ， ，即， 令，其函数图象如下图所示： 当时，即， 解得，，即，， 由图象可知，当时，即， 此时，， ， ，开口向上， 当时，取得最小值，最小值为． 答：点与原点间距离的最小值为． 【小问3详解】 解：抛物线：的“培粹抛物线”的解析式为， 点、点、点和点、点、点的坐标分别为，，，，，， ， ． ， ， ， ． ∵点和点关于原点对称，点和点关于原点对称， ∴四边形是平行四边形， 当平行四边形是矩形时，， 如图，过点作于点， ， ． ， ， ， ， ． ，，， ， 将代入上式得，， 解得，（舍去），（舍去），， 将代入，得， ． 答：当四边形为矩形时，，． 25. 与三角形各边都相切的圆称为三角形的内切圆，与四边形各边都相切的圆称为四边形的内切圆．任意三角形都同时拥有内切圆和外接圆，而只有部分四边形才同时拥有内切圆和外接圆． （1）如图1，已知两条直角边分别为6和8，则的内切圆半径为_______． （2）如图2，在中，，是边上的中线，，求的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离． （3）如图3，已知四边形同时拥有内切圆和外接圆，它的内切圆与，，，分别相切于点E，F，G，H，连接，，，． ①设，，，的面积分别为，求证：； ②若，，，求内切圆的半径r及的长． 【答案】（1）2 （2）5 （3）①证明：如图3，连接， ∵四边形的内切圆与，，，分别相切于点E，F，G，H， ∴，，，，，，，，， ∴， 即， 设， 则，，，， ∴，， ∴； ②，的长为 【解析】 【分析】（1）设的内切圆与分别相切于点，连接、、、、、，根据勾股定理可得，根据三角形面积公式可得，根据三角形内切圆的性质得到，，，，再利用等积法列出关于长的方程，即可求解； （2）过点作于点，连接、、，根据三线合一性质得到，平分，根据勾股定理可得，根据外接圆圆心的性质可得，点在直线上，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的长；根据内切圆圆心的性质可得平分，平分，进而证明，得到，，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的长，再利用线段的和差求出的长，即可解答； （3）①连接，根据切线长定理得到，，，，进而证出，再利用三角形的面积公式即可证明结论；②先证明得到，同理可得，，，根据四边形拥有外接圆得到，，通过证明，得到，在利用勾股定理列出方程，求出的值，进而利用勾股定理求出长，再证明即可求出的长． 【小问1详解】 解：如图1，设的内切圆与分别相切于点，连接、、、、、， 根据题意，，，， ∴，， ∵的内切圆与的切点分别为， ∴，，，， ∵， ∴， 即， 解得， 即的内切圆半径为2； 【小问2详解】 解：如图2，过点作于点，连接、、， ∵，是边上的中线， ∴，平分， ∴，是的垂直平分线， ∴， ∵点是的外接圆圆心， ∴点在的垂直平分线上，， ∴点直线上， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵点是的内切圆圆心， ∴平分，平分， ∴， ∵平分，平分， ∴点在上， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 即的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为5； 【小问3详解】 ①略 ②解：由①得，， 又∵， ∴， ∴， 同理可得：，，， ∵四边形拥有外接圆， ∴，， ∴，， 即，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， 同理可证：， ∴，即， 解得； 综上，内切圆的半径，的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第三次学情分析数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项） 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 2. 我国机器人产业已实现规模、市场与应用的全球领先，下面有关机器人的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 长方体 C. 圆锥 D. 球 4. 今年，全国中小学春假制度大范围落地，湖南的中小学春假与“五一”小长假衔接，激起更多学生和家庭出行旅游，“五一”假期首日，长沙南站单日发送旅客达27.67万人次．将数据27.67万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 开车前行前面路口是红灯 B. 掷出一枚硬币，反面朝上 C. 明天会很冷 D. 任意画一个三角形，它的内角和为180° 7. 已知反比例函数，下列选项正确的是（ ） A. 点在函数图象上 B. 若点在函数图象上，则点也在图象上 C. 当时， D. y随x的增大而减小 8. 如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某旗杆高为10米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳光与地面成时，第二次是当阳光与地面成时，第二次观察到的影子比第一次的长（ ）米． A. B. C. D. 10. 如图，是的弦，半径，垂足为点，设的半径为，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 某市元旦的最高气温为零上，记为；最低气温为零下，则最低气温记为_______． 12. 式子有意义，则的取值范围是_____． 13. 因式分解________． 14. 分式方程的解为________． 15. 在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球6个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在左右，那么可以估算出m的值为_________． 16. 刘老师的手机密码是四位数字，请你根据下面四个条件，推断正确的密码是___________． ①6、5、3、8只有两个数字正确且位置正确； ②6、0、5、7只有两个数字正确但位置都不正确； ③3、4、2、9四个数字都不正确； ④1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确． 三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，，分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线与交于点D，与交于点E，连接． （1）由作图可知：直线是线段的______； （2）当，求的大小； （3）当，时，求的周长． 20. 为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“唐山皮影制作”非遗实践课程，组织九年级学生参加皮影制作技能测试，测试结果分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．为了解活动效果，随机抽取部分学生的测试结果进行整理，得到不完整的统计图如下． 请根据统计图信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数是________名，补全“学生皮影制作测试结果条形统计图”； （2）扇形统计图中表示D等级的扇形圆心角的度数是________； （3）若九年级共有学生760名，估计九年级参与皮影制作技能测试“优秀”（A等级）的人数为________名； （4）某班有4名优秀的同学：甲、乙、丙、丁，班主任要从中随机选择两名同学进行制作经验分享，利用画树状图法或列表法求甲同学被选中的概率． 21. 如图所示，已知，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 为了响应“阳光运动一小时”校园体育活动，我校计划购买一批篮球、足球．已知购买2个篮球和1个足球共需225元，购买3个篮球和2个足球共需370元． （1）请分别求出篮球和足球的单价． （2）学校欲购买一批篮球和足球，已知足球的数量恰好等于篮球数量的2倍，且购买总金额不得超过2100元，请根据要求确定该学校购买篮球的最大数量． 23. 如图，是边长为4的正方形的对角线，平分交于点E，延长到点F，使，连接，交的延长线于点G． （1）求证：； （2）求的长． 24. 已知抛物线：和抛物线：，我们约定：当点 是抛物线上任意一点时，点 在抛物线上，此时称抛物线与抛物线互为“培粹抛物线”． （1）若抛物线：与抛物线 ：互为“培粹抛物线”，求m，n，k的值； （2）若抛物线：的“培粹抛物线”过点，且满足 ，求点与原点间距离的最小值； （3）已知抛物线：的顶点为点 P，与x轴交于点 C，D（点C在点D的左边），抛物线的“培粹抛物线”的顶点为点Q，与x轴交于点E，F（点E在点F的左边），且满足 ，当四边形为矩形时，求p，q，t的值或满足的关系． 25. 与三角形各边都相切的圆称为三角形的内切圆，与四边形各边都相切的圆称为四边形的内切圆．任意三角形都同时拥有内切圆和外接圆，而只有部分四边形才同时拥有内切圆和外接圆． （1）如图1，已知两条直角边分别为6和8，则的内切圆半径为_______． （2）如图2，在中，，是边上的中线，，求的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离． （3）如图3，已知四边形同时拥有内切圆和外接圆，它的内切圆与，，，分别相切于点E，F，G，H，连接，，，． ①设，，，的面积分别为，求证：； ②若，，，求内切圆的半径r及的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $