精品解析：2026年江苏省盐城市部分学校二模数学试题

2025—2026学年度二模考试 初三数学试卷 （卷面总分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列马年剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 技术是通信革命的先锋，中国牢牢占据全球发展的领先制高点，截至年初，我国基站总数突破个，建设规模与发展速度位居世界前列．将数据用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图所示的四个几何体中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直角三角板角的顶点在直尺（两边缘平行）的边缘上．若，则∠2的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 6月进入了毕业季，某校九年级班主任准备给自己的学生买一些相册，并把初中三年来学生的照片放进去，这些照片记录了他们初中三年的点点滴滴．目前有A，B两款相册比较合适，其中A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍，求B款相册的单价．若设B款相册的单价为x元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. 分解因式：______． 10. 某校开展了科技普及讲座，并进行了相关测试，随机抽取名学生的测试成绩（分）：，，，，，，则这名学生测试成绩的众数为______分． 11. 已知直线过点和，则a_____b（填“”、“”或“”）． 12. 如图，在中，，，分别是，，的中点，若的周长是12，则的周长是______． 13. 如图，点 ， ， 均在上，若，则的度数为____． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 15. 中国纸扇历史悠久，古代工匠凭审美与经验形成了稳定的“东方黄金律”，设计中多处暗合黄金分割．如扇面高度（）与扇柄长度（）之比就符合黄金比，此时重心适中，持握舒适．若，则___________．（结果保留根号） 16. 如图，点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，，过点作，交反比例函数图象于点，且，则的值为____． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分） 17. 计算：． 18. 解不等式组． 19. 先化简，再求值： ，其中. 20. 2026年江苏省城市足球联赛常规赛于4月11日正式开赛，四场比赛分别是常州南通，扬州苏州，无锡镇江，连云港盐城． （1）有四场足球赛：常州南通，扬州苏州，无锡镇江，连云港盐城．小明随机观看一场，则观看扬州苏州的概率为___________； （2）某比赛场馆共有四个入口：入口2，3通往南看台，入口1，4通往北看台．小华和小丽将随机选择入口进入场馆现场观看比赛，求他们在相同一侧看台观赛的概率． 21. 已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，则 ． 22. 某学校为了调查该校学生早上从家到校所需的时长，从中随机抽查了100名学生，记录了他们早上从家到校的时长（单位：分钟）（整数），并对这100个数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．100个数据频数分布直方图（数据分成5组：，，，，） b．时长在这一组的是： 20 20 21 21 23 23 23 24 24 24 25 25 25 26 26 26 26 27 27 27 27 27 28 28 28 29 29 29 29 29 （1）的值为________，100个数据的中位数是________，平均数约为________（用各组的组中值代表各组的数据）； （2）从中随机选取15个数据分成A，B，C三组，每组5个数据，信息如下： A组 15 15 15 17 B组 14 15 16 16 18 C组 13 17 18 18 19 已知A组与B组的平均数相等． ①的值为________； ②学校从A，B，C三组中选出一组到校从事晨检工作，要求：先比较平均数，平均数较小的组排序靠前；若平均数相等，再比较方差，方差较小的组排序靠前．在A，B，C三组的排序中，排序最靠前的是________组． 23. 阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性如下例题： 例：已知实数、满足，证明：． 证明：因为且，均为正， 所以 ， （不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： （1）请将上面的证明过程填写完整； （2）若，，尝试证明：． 24. 如图，在中，，以为直径的与边、分别交于D、E两点，过点D作于点F． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为4，，求阴影部分的面积． 25. 阅读下列素材，并完成任务： 背景 中国的石拱桥，是刻在大地上的诗行，每一道弧线都是古人写给山河的情诗． 素材1 已知河面上的拱桥形状为抛物线，在正常水位时，水位线与拱桥最高点的距离为3米，水位线宽为6米． 素材2 如图1，现有一艘长为10米，宽米的货船（可近似看成长方体）正从拱桥下方通过，露出水面的横截面为长方形，米．（假设船体货物接触到拱桥时，可以通过拱桥） 素材3 船行走时一般不会导致水位的变化． （1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出拱桥所在抛物线的函数表达式． （2）如图2，如果上方的货物横截面为，，米，请通过计算判断此时小船能否通过拱桥？若不能，请说明理由，若能，求出水面上升高度最多不能超过多少米？ （3）船面上方装有如图3所示的货物（可近似看成直五棱柱），横截面为五边形，其中，，且E、A、B共线，F、D、C共线，已知当同一种货物的体积每增加50立方米时，船会下沉0.1米，请求出最多能装多少体积的货物？ 26. 综合探究 我们定义：在内有一点，连接、，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的内似点． 【概念理解】 （1）如图1，若P是的内似点且，则与存在怎样的数量关系，并给出证明． （2）在中，，P是的内似点．则________． 【深入探究】 （3）已知，点D是线段的中点，如图2，延长到点M，使得，延长到点N，使得，连接． ①证明： ②请你判断点N是否是的内似点，并说明理由． 【操作应用】 （4）如图3，已知四边形，在四边形内找一点P，使得，请你用无刻度直尺和圆规作出该点．（不写作法，保留作图痕迹） 27. 项目主题：探究多边形的密铺 中国的密铺工艺萌芽于新石器时代，经商周、汉唐发展，至明清达顶峰，广泛用于家具、首饰、建筑工艺中的密铺，传承着东方美学与匠心精神． 密铺定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地组成一片，又叫平面镶嵌．为了更多地了解平面密铺，“鹿鸣•博约”数学项目小组对多边形的平面密铺进行了如下探究： 探究一：正多边形的密铺 （1）项目组思考，仅用同一种类型的正多边形进行密铺，可选择______（填写下列所有可选择的序号）： （2）项目组尝试用两种正多边形进行平面密铺，是否能用若干个边长相等的正三角形和正四边形进行平面密铺？若能，请求出每一个顶点周围的正三角形和正四边形的个数；若不能，请说明理由． （3）项目组继续用三种正多边形进行平面密铺，如图1，用边长相等的正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律密铺． ①按此规律，则第n个图案有____个正方形；（用含n的代数式表示） ②按此规律，是否存在这样一个图案，它的正方形个数是第x个图案与第y个图案正方形个数之和的6倍．若存在，求出是第几个图案（用含x，y的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 项目组发现，正三角形，正四边形，正五边形，正六边形分别各取一个内角相加，有，故用四种以及四种以上的正多边形不能密铺整个平面．所以，项目组思考一般多边形是否可以平面密铺． 探究二：一般多边形的密铺 （4）项目组发现：任意两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形，可以进行平面密铺，因此有以下猜想：①任意四边形都能密铺；②任意五边形都能密铺：③任意六边形都能密铺，正确的结论有______；（填写所有可选择的序号） （5）项目组从杂志上看到了一幅图2所示密铺作品，该作品是由若干个全等的如图3所示的五边形进行的密铺形成，已知，求边的长度： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度二模考试 初三数学试卷 （卷面总分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、， A错误； B、， B错误； C、 ， C正确； D、， D错误． 3. 下列马年剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A、找不到任何一条直线使图形沿其折叠后两旁部分重合，不是轴对称图形； 选项B、找不到任何一条直线使图形沿其折叠后两旁部分重合，不是轴对称图形； 选项C、沿中间竖直直线折叠，左右两部分能够完全重合，是轴对称图形； 选项D、找不到任何一条直线使图形沿其折叠后两旁部分重合，不是轴对称图形． 4. 技术是通信革命的先锋，中国牢牢占据全球发展的领先制高点，截至年初，我国基站总数突破个，建设规模与发展速度位居世界前列．将数据用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 5. 如图所示的四个几何体中，俯视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图是从上边看到的图形即可得到答案． 【详解】三棱柱的俯视图是三角形，故选项A符合题意； 圆柱的俯视图是圆，故选项B不符合题意； 四棱锥的俯视图四边形中间有一个点，故选项C不符合题意； 圆锥的俯视图是圆中间有一点，故选项D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题的关键． 6. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得， 因此自变量x的取值范围是． 7. 如图，直角三角板角的顶点在直尺（两边缘平行）的边缘上．若，则∠2的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角的和差求出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵尺子的两边平行， ∴． 8. 6月进入了毕业季，某校九年级班主任准备给自己的学生买一些相册，并把初中三年来学生的照片放进去，这些照片记录了他们初中三年的点点滴滴．目前有A，B两款相册比较合适，其中A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍，求B款相册的单价．若设B款相册的单价为x元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设B款相册的单价为x元，则A款相册的单价为元，根据“用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍”列出分式方程即可． 【详解】解：设B款相册的单价为x元，则A款相册的单价为元， 由题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 某校开展了科技普及讲座，并进行了相关测试，随机抽取名学生的测试成绩（分）：，，，，，，则这名学生测试成绩的众数为______分． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据众数的定义，出现次数最多的数据是，故这组数据的众数为． 11. 已知直线过点和，则a_____b（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，结合，即可得出． 【详解】解：， 随的增大而减小， 又直线过点和，且， ． 12. 如图，在中，，，分别是，，的中点，若的周长是12，则的周长是______． 【答案】6 【解析】 【分析】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，利用此定理求解即可． 【详解】解：∵在△中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点， ， ， ， 的周长为 ， ， ， 即的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形周长公式，掌握并熟练应用三角形中位线定理是解题关键． 13. 如图，点 ， ， 均在上，若，则的度数为____． 【答案】##112度 【解析】 【详解】解：，， ． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：m＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 15. 中国纸扇历史悠久，古代工匠凭审美与经验形成了稳定的“东方黄金律”，设计中多处暗合黄金分割．如扇面高度（）与扇柄长度（）之比就符合黄金比，此时重心适中，持握舒适．若，则___________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，确定线段与的数量关系，即较短线段与较长线段的比等于黄金比，代入的长度进行计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，与之比符合黄金比，且由图形可知为较长线段，为较短线段， 根据黄金分割的定义可得  因为  所以  16. 如图，点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，，过点作，交反比例函数图象于点，且，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于，过点作轴于，过点作于，利用相似三角形的性质设，表示出点的坐标；再证明，利用相似比求出、的长，表示出点的坐标；最后根据点、均在反比例函数图象上，利用建立方程求出，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作于， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 点的坐标为， ， ， ， ， ， ， ， ，， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为， 点、在反比例函数的图象上， ， 解得：， ． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共解集，即可求解． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值： ，其中. 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的法则把原式化简，代入计算即可． 【详解】（x-2）（x+2）-x（x-1） =x2-4-x2+x =x-4， 当x=3时，原式=x-4=-1． 【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 20. 2026年江苏省城市足球联赛常规赛于4月11日正式开赛，四场比赛分别是常州南通，扬州苏州，无锡镇江，连云港盐城． （1）有四场足球赛：常州南通，扬州苏州，无锡镇江，连云港盐城．小明随机观看一场，则观看扬州苏州的概率为___________； （2）某比赛场馆共有四个入口：入口2，3通往南看台，入口1，4通往北看台．小华和小丽将随机选择入口进入场馆现场观看比赛，求他们在相同一侧看台观赛的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用“随机事件的概率该事件可能出现的结果数所有等可能出现的结果总数”这一公式求解； （2）先通过列表法列出两人选择入口的所有等可能结果，再统计出“两人选择同一侧看台”的结果数，最后用目标结果数除以总结果数得到概率． 【小问1详解】 解：由题意可知，共有4场比赛，小明随机观看一场，其中观看扬州苏州的情况只有1种， 则观看扬州苏州的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意，用列表法列出所有可能的结果： 小华小丽 1(北) 2(南) 3(南) 4(北) 1（北） 2（南） 3（南） 4（北） 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两人在同一侧看台的结果有8种： 同在北看台： 同在南看台： 答：他们在相同一侧看台观赛的概率为． 21. 已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，则 ． 【答案】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点，即平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质和角平分线性质证明． （2）根据菱形性质结合勾股定理求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，四边形是菱形，，为菱形对角线，交于点， ∴，，互相平分， ∵，， ∴，， 在中，，， 根据勾股定理得， ， 解得， ∵， ∴， ∵，， ∴． 22. 某学校为了调查该校学生早上从家到校所需的时长，从中随机抽查了100名学生，记录了他们早上从家到校的时长（单位：分钟）（整数），并对这100个数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．100个数据频数分布直方图（数据分成5组：，，，，） b．时长在这一组的是： 20 20 21 21 23 23 23 24 24 24 25 25 25 26 26 26 26 27 27 27 27 27 28 28 28 29 29 29 29 29 （1）的值为________，100个数据的中位数是________，平均数约为________（用各组的组中值代表各组的数据）； （2）从中随机选取15个数据分成A，B，C三组，每组5个数据，信息如下： A组 15 15 15 17 B组 14 15 16 16 18 C组 13 17 18 18 19 已知A组与B组的平均数相等． ①的值为________； ②学校从A，B，C三组中选出一组到校从事晨检工作，要求：先比较平均数，平均数较小的组排序靠前；若平均数相等，再比较方差，方差较小的组排序靠前．在A，B，C三组的排序中，排序最靠前的是________组． 【答案】（1）14；22；； （2）①17；②A． 【解析】 【分析】（1）用100减去各组数据即可求得m，根据中位数的定义和平均数的定义求解即可； （2）根据平均数和方差的计算公式计算后再比较即可． 【小问1详解】 解： 100个数据的中位数为第和位的平均数， ∵，， ∴100个数据的中位数为， ； 【小问2详解】 解：①， ， ， 解得； ②， ， ∴排序最靠前的是A组． 23. 阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性如下例题： 例：已知实数、满足，证明：． 证明：因为且，均为正， 所以 ， （不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： （1）请将上面的证明过程填写完整； （2）若，，尝试证明：． 【答案】（1）， （2） 证明：∵，， ∴； 又∵，， ∴； ∴． 【解析】 【分析】（1）由不等式的性质得到，，再利用不等式的传递性求解即可； （2）根据不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变得到，，进而不等式的传递性可证得结论． 【小问1详解】 证明：因为且m，n均为正， 所以，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 所以．（不等式的传递性） 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，，以为直径的与边、分别交于D、E两点，过点D作于点F． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若的半径为4，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）与相切，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先证，得，再由，得，即可得出结论； （2）连接，求出，由等腰三角形的性质得出，则，由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：与相切，理由如下： 连接，如图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点D在上， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的判定和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 25. 阅读下列素材，并完成任务： 背景 中国的石拱桥，是刻在大地上的诗行，每一道弧线都是古人写给山河的情诗． 素材1 已知河面上的拱桥形状为抛物线，在正常水位时，水位线与拱桥最高点的距离为3米，水位线宽为6米． 素材2 如图1，现有一艘长为10米，宽米的货船（可近似看成长方体）正从拱桥下方通过，露出水面的横截面为长方形，米．（假设船体货物接触到拱桥时，可以通过拱桥） 素材3 船行走时一般不会导致水位的变化． （1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出拱桥所在抛物线的函数表达式． （2）如图2，如果上方的货物横截面为，，米，请通过计算判断此时小船能否通过拱桥？若不能，请说明理由，若能，求出水面上升高度最多不能超过多少米？ （3）船面上方装有如图3所示的货物（可近似看成直五棱柱），横截面为五边形，其中，，且E、A、B共线，F、D、C共线，已知当同一种货物的体积每增加50立方米时，船会下沉0.1米，请求出最多能装多少体积的货物？ 【答案】（1）以的中点为原点建立平面直角坐标系： ∵水位线与拱桥最高点的距离为3米，米， ∴抛物线的顶点为，，， 设抛物线解析式为， 将代入得：，解得：， ∴抛物线解析式为． （2）能通过拱桥，水面上升高度最多不能超过米 （3） 【解析】 【分析】 （1）根据题意作出对应的平面直角坐标系，再结合图象和已知条件利用待定系数法即可求出结果； （2）根据已知条件结合图象作出船只通过拱桥的临界点，通过计算得出临界点的坐标，再与比较得出结果；要使水面上升后船能正常通过拱桥，则点A和点E需恰好在抛物线上，设，则，将点代入抛物线解析式求出t的值，从而得出最终结果； （3）通过设未知数结合图象求出五边形的面积，再得出货物的体积，根据题意列出列出方程即可得出最终结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意知，如图， 令，则， 解得：，， ∴，， ∵米， ∴， 令，则， ∴, ∵， ∴能通过拱桥， 要使水面上升后船能正常通过拱桥，则点A和点E需恰好在抛物线上， 如图，设，则， 将点代入抛物线得： ， 解得：， ∴， ∴水面上升高度最多不能超过（米）． 【小问3详解】 解：如图，当船未装货物时，点G位于抛物线的顶点，即，设与y轴交点H， ∵米， ∴，， 令，则， ∴， 设船会下沉x米， ∴，， ∴ ， ∴， ∵同一种货物的体积每增加50立方米时，船会下沉0.1米， ∴， 解得：， ∴． 26. 综合探究 我们定义：在内有一点，连接、，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的内似点． 【概念理解】 （1）如图1，若P是的内似点且，则与存在怎样的数量关系，并给出证明． （2）在中，，P是的内似点．则________． 【深入探究】 （3）已知，点D是线段的中点，如图2，延长到点M，使得，延长到点N，使得，连接． ①证明： ②请你判断点N是否是的内似点，并说明理由． 【操作应用】 （4）如图3，已知四边形，在四边形内找一点P，使得，请你用无刻度直尺和圆规作出该点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）， 证明：如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）或或 （3）①证明：如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②点N是否是的内似点，理由如下： ∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点N是否是的内似点； （4）如图，点即为所求 【解析】 【分析】（1）由相似得到，，而，故，即可求解； （2）分三种情况讨论求解即可； （3）①根据两边对应成比例且夹角相等证明即可；②先证明，则，再通过，进行线段替换证明即可； （4）连接并延长交于点，连接，则，由作垂线可得，，故，故，同理可得，故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∴ 当时，同理可得， ∴； 当时，同理可得，； 当时，同理可得，， ∴， 综上：或或； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：过点作直线的垂线，作线段的垂直平分线，两直线交于点，以点为圆心，为半径作圆，过点作直线的垂线，作线段的垂直平分线，两直线交于点，以点为圆心，为半径作圆，两圆交点即为点． 27. 项目主题：探究多边形的密铺 中国的密铺工艺萌芽于新石器时代，经商周、汉唐发展，至明清达顶峰，广泛用于家具、首饰、建筑工艺中的密铺，传承着东方美学与匠心精神． 密铺定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地组成一片，又叫平面镶嵌．为了更多地了解平面密铺，“鹿鸣•博约”数学项目小组对多边形的平面密铺进行了如下探究： 探究一：正多边形的密铺 （1）项目组思考，仅用同一种类型的正多边形进行密铺，可选择______（填写下列所有可选择的序号）： （2）项目组尝试用两种正多边形进行平面密铺，是否能用若干个边长相等的正三角形和正四边形进行平面密铺？若能，请求出每一个顶点周围的正三角形和正四边形的个数；若不能，请说明理由． （3）项目组继续用三种正多边形进行平面密铺，如图1，用边长相等的正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律密铺． ①按此规律，则第n个图案有____个正方形；（用含n的代数式表示） ②按此规律，是否存在这样一个图案，它的正方形个数是第x个图案与第y个图案正方形个数之和的6倍．若存在，求出是第几个图案（用含x，y的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 项目组发现，正三角形，正四边形，正五边形，正六边形分别各取一个内角相加，有，故用四种以及四种以上的正多边形不能密铺整个平面．所以，项目组思考一般多边形是否可以平面密铺． 探究二：一般多边形的密铺 （4）项目组发现：任意两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形，可以进行平面密铺，因此有以下猜想：①任意四边形都能密铺；②任意五边形都能密铺：③任意六边形都能密铺，正确的结论有______；（填写所有可选择的序号） （5）项目组从杂志上看到了一幅图2所示密铺作品，该作品是由若干个全等的如图3所示的五边形进行的密铺形成，已知，求边的长度： 【答案】（1）①②④ （2）能，每一个顶点周围有个正三角形和个正四边形 （3）①； ②不存在，理由如下： 设存在第个图案满足条件， 第个图案正方形有个，第个图案正方形有个， 由题意得，， 整理得，， 因为为正整数， 所以不是整数，而是整数，故等式不成立，故不存在； （4）① （5） 【解析】 【分析】（1）分别求出每个正多边形的内角，密铺的条件是内角的度数能够整除； （2）设每个顶点周围有个正三角形和个正四边形，由题意得，，求出其正整数解即可； （3）①找出规律即可求解；②设存在第个图案满足条件，第个图案正方形有个，第个图案正方形有个，由题意得，，再整理分析即可； （4）根据各个多边形的内角和以及多边形的结构特征分析即可； （5）设的度数分别为，先根据图形列出方程组求解的度数，再延长交于点，延长交于点，过点作于点，然后解直角三角形即可． 【小问1详解】 解：①正三角形每个内角，，能够密铺； ②正四边形每个内角，，能够密铺； ③正五边形每个内角为，不是整数，不能密铺； ④正六边形每个内角为，，能够密铺； 【小问2详解】 解：能， 设每个顶点周围有个正三角形和个正四边形， 由题意得，， 整理得，， 符合条件的正整数解只有， ∴能用若干个边长相等的正三角形和正四边形进行平面密铺，每一个顶点周围有个正三角形和个正四边形； 【小问3详解】 解：①第1个图案有个正方形； 第2个图案有个正方形； 第3个图案有个正方形； 依次类推，可得则第n个图案有个正方形； ②略 【小问4详解】 解：①任意四边形内角和为，可以将四个角拼成，故①正确 ②任意五边形内角和为，不是的整数倍，仅特定的五边形可密铺，故②错误 ③存在能够密铺的六边形，如正六边形，但任意不规则的凸六边形不能保证能够密铺，故③错误； 【小问5详解】 解：如图， 设的度数分别为 由图可得，，而，解得 由图可得，， 而由五边形内角和等于可得， ∴ 解得 由密铺可得，，即， 延长交于点，延长交于点，过点作于点， ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ 在中，， ∴ ∴在中， ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $