2025-2026学年浙教版数学八年级下册期末巩固练习

**基本信息** 八年级下册期末巩固练习，涵盖二次根式、一元二次方程、平行四边形等核心知识，通过基础题与综合应用题结合，考查抽象能力、推理意识及应用意识，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|19题|二次根式取值、反证法步骤、方程根判别式、平行四边形性质|第11题结合统计平均数与加权平均数，考查数据分析能力| |填空题|6题|方程根应用、菱形面积计算、规律探究|第24题通过类比化简复合二次根式，培养创新思维| |解答题|5题|方程应用、几何综合、新定义问题|第29题以无盖纸盒制作为情境，第30题定义“等对直四边形”，均体现模型意识与推理能力|

八年级下册期末巩固练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．二次根式中x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（   ） A． B． C． D． 4．用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设（　　） A．不平行于 B．平行于 C．不垂直于 D．不垂直于 5．若用反证法证明命题“若或，则”时，应假设（    ） A． B． C． D． 6．用反证法证明命题“一个多边形最多有四个内角是直角”时，我们可以先假设（   ） A．有三个直角 B．有四个直角 C．至少有四个内角是直角 D．至少有五个内角是直角 7．若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞1 B．k＜1 C．k＜1且k≠0 D．k≥1 8．随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降，两年前生产一吨药的成本是6000元，现在生产一吨药的成本是5000元．设生产成本的年平均下降率为x，下列所列的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 9．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程得（　　） A． B． C． D． 10．把方程的左边配方后可得方程（ ） A． B． C． D． 11．某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 12．某校对801班40名学生进行了劳动技能测评，因王铭请假没有参加测评，算得39名学生测评成绩的平均分为8分，方差是1.6，王铭补测的成绩恰好为8分，重新计算40名学生测评成绩的平均分为，方差为，则关于和的描述正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 13．下列说法正确的是（　　） A．对角线互相垂直平分的四边形的正方形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 14．如图，在中，对角线，相交于点，，，，则对角线的长是（   ） A． B． C．12 D．14 15．如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 16．如图，菱形中，点为对称中心，点从点出发沿向点移动，移动到点停止，作射线，交边于点，则四边形形状的变化依次为（      ） A．平行四边形正方形平行四边形矩形 B．平行四边形正方形矩形菱形 C．平行四边形矩形平行四边形菱形 D．平行四边形菱形正方形矩形 17．如图，矩形ABCD中，分别是边AD，BC的中点，于P，DP的延长线交AB于．下列结论：①；②；③．其中结论正确的有（      ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 18．如图，将两个等腰直角三角形（和）拼接在正方形内部，其中，下列结论：①四边形是平行四边形：②是直角三角形；③若，则．其中正确结论的编号是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 19．如图，在中，D，E分别是，的中点，，F是上一点，连接，，，若，则的长度是（    ） A．4 B．5 C．8 D．12 二、填空题 20．已知是方程的根，则代数式的值为_________． 21．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则m的值为______． 22．已知两个关于x的一元二次方程：(b，c均为常数)，．其中，方程的一个根是，方程有两个相等的实数根，则b的值是______． 23．如图，菱形的周长为20，面积为24，分别作P点到直线、的垂线段、，则等于 ________． 24．观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简________． 25．如图，是平行四边形内一点，是正三角形，连结，，若，，且，，则的长是 _______________． 三、解答题 26．计算： (1) (2)． 27．已知关于x的方程． (1)求证：无论取何值，此方程一定有实数根； (2)若方程有一个实数根是，求方程的另一个根． 28．对于解方程，小刚的做法如下： 解：等号右边提取公因式，得，步骤 等号两边同时除以，得，步骤 移项，得，步骤 合并同类项，得．步骤 已知小刚在解方程的过程中出现了错误，请指出他开始出错的步骤，并给出正确且完整的解答过程． 29．综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） (1)若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； (3)如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 30．定义：如果一个四边形有两条邻边相等，且这两条边所夹角的对角是直角，那么我们把这样的四边形称为“等对直四边形”，把夹角所对的直角称为“对直角”． (1)如图，在四边形中，若，，，，请判断四边形是否为“等对直四边形”？并说明理由． (2)如图，若四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，，，对角线恰好平分四边形中的一个内角，求此时的长． (3)如图，若四边形是“等对直四边形”，是“对直角”，，，，求此时对角线的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《八年级下册期末巩固练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C A A D B C A A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 C C D A D C D D D 1．B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，用到的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件，可得不等式，解之即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故选B． 2．B 【分析】此题主要考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：A、，故错误，不符合题意； B、，故正确，符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简二次根式，由数轴得出，，从而得出，，最后再由二次根式的性质化简即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴， 故选：C． 4．A 【分析】根据反证法的步骤，直接解答即可．考查了反证法的知识，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【详解】用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设不平行于， 故选：A． 5．A 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答． 【详解】解：由反证法知第一步应假设该命题的结论“”的反面成立，即， 故选A． 【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 6．D 【分析】本题考查了反证法，反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，由此即可得出答案． 【详解】解：用反证法证明命题“一个多边形最多有四个内角是直角”时，我们可以先假设至少有五个内角是直角， 故选：D． 7．B 【分析】根据一元二次方程根的情况，判别式即可得到答案. 【详解】解：由题意知，△=4﹣4k＞0， 解得：k＜1． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式. 8．C 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，通过设出生产成本的年平均下降率为x，从而得到第一次下降后的成本为元，第二次下降后的成本为元是解题的关键． 【详解】解：设生产成本的年平均下降率为x， 由题意得，， 故选C． 9．A 【分析】根据每次降价的百分率相同，得到第一次降价后为元，第二次降价后为，再结合题意解题即可． 【详解】解：根据题意，设平均每次降价的百分率为x，可列方程 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用增长率问题，是重要考点，难度较易，掌握相关是解题关键． 10．A 【分析】首先把常数项移项后，再在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，继而可求得答案. 【详解】， ， ， . 故选：. 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程的知识，此题比较简单，注意掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方. 11．C 【分析】本题考查了算术平均数，加权平均数． 根据题意即可判断A；设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、，求出即可判断C，根据已知条件无法判断B、D． 【详解】解：设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、． 根据题意：算术平均数为87分，故，故A错误； 加权平均数为86分，故， 将加权平均方程两边乘以100，得： 将算术平均方程两边乘以20，得： 两式相减，得： ， 即，故C正确； 根据已知条件无法判断B、D． 故选：C． 12．C 【分析】本题考查平均数与方差，熟练掌握方差的计算公式是解题的关键． 【详解】解：分， ， 故选C． 13．D 【分析】根据特殊的平行四边形的性质即可求出答案． 【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形的菱形，故A错误； 对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故B错误； 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故C错误； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形，解题的关键是正确理解特殊平行四边形的性质，本题属于基础题型． 14．A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．首先根据勾股定理解得的值，再根据平行四边形的性质可得，，进而可根据勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 15．D 【分析】连接、，由垂直平分，垂直平分，得，，则，，由平行四边形的性质得，，则，所以，则，而，可证明四边形是菱形，则，所以，则，由，且，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵是点B关于的对称点，是点D关于的对称点， 垂直平分，垂直平分， ，， ∵，都在对角线上， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ，且，， ， 故选：D． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 16．C 【分析】根据菱形的性质，可得四边形形状的变化情况． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这个四边形先是平行四边形，当对角线相等时是矩形，然后又是平行四边形，最后点E与点B重合时是菱形． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，根据对角线的情况熟练判定各种四边形的形状是解题的关键． 17．D 【分析】连接，根据分别证明、，再利用勾股定理求出，逐个选项判断即可． 【详解】解：连接GF， ∵矩形， ∴，，，， ∵，是边的中点， ∴，故①正确； ∵分别是边，的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴垂直平分 ∴ ∴（） ∴，即，故②正确； ∵，，， ∴（） ∴， 设，则，， 在中，， ∴解得，即，故③正确； 综上所述，正确的是①②③ 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上中线、勾股定理、全等三角形的性质与判定，涉及知识点比较多，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 18．D 【分析】根据等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定方法可判定结论①；如图所示，将绕点逆时针旋转得，连接，，可证，可得是等腰直角三角形，再证是等腰直角三角形，由此可得，由此可判定结论②；根据结论②正确，可得都是等腰直角三角形，设，则，在等腰直角中，，在中，根据勾股定理可解出的值，由此即可判定结论③；由此即可求解． 【详解】解：结论①：四边形是平行四边形， ∵，都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形，故结论①正确； 结论②：是直角三角形， 如图所示，将绕点逆时针旋转得，连接，，      ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴点与点重合， ∴， ∴，即， 在中， ， ， ∴， ∵，且， ∴是等腰直角三角形，即点在的斜边上，即点三点共线， ∵，都是等腰直角三角形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由结论①正确可知，四边形是平行四边形， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故结论②正确； 结论③：若，则，    由结论②正确，可知是等腰直角三角形， ∵，， ∴都是等腰直角三角形，即， 设，则， ∴， 在等腰直角中，， ∴在中，，即，解得，， ∴，故结论③正确； 综上所述，正确的有①②③， 故选：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，直角三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识的综合，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键． 19．D 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据题意求出EF，根据直角三角形斜边上的中线即可求解． 【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=BC=8， ∵DE=4DF，DF+EF=DE， ∴EF=3DF=6， ∵∠AFC=90°，E是AC的中点， ∴AC=2EF=12， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 20．2025 【分析】此题考查了代数式的值、方程根的定义，整体代入是解题的关键．由一元二次方程根的定义得到，再整体代入代数式即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 21．1 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．由题意可得，解方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 22． 【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的解．依据题意，由方程的一个根是，求得，再由方程有两个相等的实数根，可得，进而，最后计算即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵方程的一个根是， ∴， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23． 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的面积，先根据菱形的性质得到线段的长度以及三角形的面积，然后即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的周长为20，面积为24， ∴，， ∵分别作P点到直线、的垂线段、， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 24．/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 25． 【分析】先根据30度直角三角形的性质求得，，为等边三角形，得，在中利用勾股定理，再结合平行四边形的性质就可得到答案． 【详解】解：，， ，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ，， 为等边三角形， ， 在中， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解题关键是掌握30度直角三角形的性质． 26．(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的性质，有理数的加减运算即可求解； （2）根据二次根式的性质，二次根式的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握以上知识是解题的关键． 27．(1)见解析； (2)． 【分析】（）根据关于的方程的根的判别式的符号来判断该方程的根的情况； （）把方程的根代入求得的值，然后解方程得到另一个根即可； 本题考查了根的判别式，一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论取何值，此方程一定有实数根； （2）解：将代入， 得，解得， 解，得，， ∴另一个根为． 28．小刚开始出错的步骤是步骤，解答过程见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据等式的性质可判断步骤出现错误，再利用因式分解法解答即可求解，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：小刚开始出错的步骤是步骤． 正确且完整的解答过程如下： 移项，得， 因式分解，得， 即， 或， ，． 29．(1)26，12 (2)剪去正方形的边长为 (3)剪去的正方形的边长为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， 纸盒底面长方形的长为，宽为； （2）解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； （3）解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 30．(1)四边形是“等对直四边形”，见解析； (2)的长为或； (3)． 【分析】（）由题易证，，再根据定义判断即可； （）分类讨论，当平分时或平分时，依据题意画出图形，进而求解即可； （）由勾股定理逆定理先证明，再利用对角互补模型构造全等求解即可． 【详解】（1）解：四边形是“等对直四边形”，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对直四边形”； （2）解：第一种情况：平分， ∵四边形是“等对直四边形”，是“对直角”， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 如图，过作于点， 则四边形是平行四边形， 设的长为，则， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， 解得， 即的长为； 第二种情况：平分， 同理可证， 如图，过作于点， 则四边形是平行四边形， 设的长为x，则， ∵，， ∴，， ∴， 解得， 即的长为； 综上所述，的长为或； （3）解：∵四边形是“等对直四边形”，是“对直角”， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过作于点，过作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理及逆定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $