第08讲 条件概率、全概率公式与贝叶斯公式的综合应用（5题型）讲义-2025-2026 学年高二下学期数学期末必考重难点题型归纳及检测（苏教版）

第08讲 条件概率、全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1、条件概率的概念 3 知识点2、概率的乘法公式 3 知识点3、条件概率的性质 3 知识点4、全概率公式 3 知识点5、贝叶斯公式 3 03 重难点题型 5 题型一：条件概率的基本计算 5 题型二：条件概率的性质及应用 5 题型三：全概率公式与贝叶斯公式 6 题型四：乘法公式及其应用 7 题型五：条件概率综合应用问题 8 04 过关检测 10 知识点1、条件概率的概念 条件概率揭示了，，三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 知识点2、概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 知识点3、条件概率的性质 设，则 （1）； （2）如果B与C是两个互斥事件，则； （3）设和B互为对立事件，则． 知识点4、全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意的事件，有． 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 知识点5、贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意事件，， 在贝叶斯公式中，和分别称为先验概率和后验概率． 题型一：条件概率的基本计算 例1．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）甲、乙、丙、丁四人计划6月份去安徽的黄山、宏村、九华山景区游览，每个景区至少去1人，且每人只游览一个景区．在甲游览黄山的条件下，甲、乙不去同一景区的概率为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·高二·湖北省直辖县级单位·阶段检测）甲，乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·高二·江苏无锡·阶段检测）现有无锡某高中组织高二年级学生研学，全年级学生需从灵山大佛、三国城、鼋头渚、竹海、南禅寺、拈花湾、梅里古镇这个景点中随机选择个作为目的地．现从全年级中随机抽取两个班级进行调查，记事件“这两个班级选择的目的地中至少有一个选择鼋头渚”，事件“这两个班级选择的目的地不同”，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（2026·高二·河北保定·期中）某AI项目组有2名算法工程师（含工程师甲）和6名实习生，共8名成员．现从中随机选取5人组成项目攻坚小组，参与AI大模型优化任务，则在攻坚小组中既有工程师又有实习生的条件下，工程师甲被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 题型二：条件概率的性质及应用 例4．（2026·湖北随州·模拟预测）已知随机事件A，B，，，，则＝（　　） A． B． C． D． 例5．（2026·高二·四川德阳·阶段检测）假设，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 例6．（2026·山东临沂·一模）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·高二·四川广元·期末）已知事件和满足，，，则（   ） A． B． C． D． 题型三：全概率公式与贝叶斯公式 例7．（2026·高二·河北石家庄·期中）中国机器人产业已形成完整的产业链体系，2025年人形机器人市场规模突破85亿元，占全球市场规模50%以上，工业机器人国内市场占有率首次突破50%，产业正从“拼硬件”向“拼智能”转型，进入规模化量产与场景化应用的关键阶段．某机器人商店出售的机器人中，甲品牌占50%，合格率为98%；乙品牌占30%，合格率为95%；丙品牌占20%，合格率为95%，在该商店随机买一台机器人． (1)求该机器人是甲品牌合格品的概率； (2)求该机器人是合格品的概率． 例8．（2026·高二·湖北省直辖县级单位·阶段检测）据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%． (1)现从该校学生中任选一名学生，求该名学生每天玩手机超过1小时且近视的概率． (2)现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率． 例9．（2026·高二·山东济南·期中）甲、乙、丙三个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干．甲、乙每个袋子中有标号为的小球个，标号为的个，标号为的个．丙袋子中有标号为的小球有个，标号为的小球有个，从甲袋子中任取两个球，取到的标号都是的概率是． (1)求的值； (2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个标号是，求另一个标号也是的概率； (3)从甲袋子中取出一个小球，如果标号小于，则在乙袋子中取个球；如果标号不小于，则在丙袋子中取个球，如果第二次取出的小球标号为，那么称实验成功，求实验成功的概率． 变式3．（2026·高二·河北保定·期中）某花艺工作室承接中式花艺和现代花艺这两类花艺设计，根据以往的设计作品数据，中式花艺作品占，现代花艺作品占．设计师设计的中式花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因细节瑕疵不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因意境独特仍被客户采纳．设计师设计的现代花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因搭配疏漏不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因创意新颖仍被客户采纳．现从设计师以往所有的花艺作品中随机抽取一单花艺作品． (1)求这单花艺作品达到设计标准的概率； (2)若这单花艺作品未被客户采纳，求该单花艺作品是中式花艺作品的概率；（结果用分数表示） (3)求这单花艺作品达到标准且被客户采纳的概率． 题型四：乘法公式及其应用 例10．（2026·江苏无锡·三模）一个不透明的口袋中放有大小相同的4个红球､4个黄球. (1)若每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后放回口袋中.求摸球10次，摸到红球个数的期望； (2)若每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后不放回口袋中，且连续摸到2个红球时停止，否则继续摸球.记恰好第次摸球时结束为事件，求. 例11．（2026·高二·浙江·阶段检测）甲、乙、丙三人进行传球游戏，规则如下：甲每次有 概率传给乙， 概率传给丙；乙每次等可能传给甲或丙；谁传给丙，丙就会把球传回给谁；已知传球游戏开始前，球在甲手中. (1)经过2次传球之后，球在甲、乙、丙手中的概率分别是多少? (2)经过n次传球之后，球在甲手中的概率是多少? 例12．（2026·湖南郴州·一模）湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作三幅不同的湘绣作品，已知三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为. (1)求三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率； (2)若已知三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率； (3)经过设计图案和刺绣两个环节后，三幅作品成为成品作品的件数为.求随机变量的分布列及数学期望. 题型五：条件概率综合应用问题 例13．（2026·高二·吉林·期中）ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球.甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权.设甲，乙发出ACE球的概率均为，记事件表示“第n次发球的人是甲”． (1)若，， （i）求； （ii）已知第三次发球的人是甲，求第二次发球的人是甲的概率； (2)若，证明： 例14．（2026·高二·安徽芜湖·期中）某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为. (1)求同学甲第二天选择B餐厅的概率； (2)证明：数列为等比数列，并求出. 例15．（2026·高二·重庆·期中）某学校有C、D两个图书馆，某学生每天都会在这两个图书馆中选择一个去学习，已知该学生第一天选择C图书馆的概率是，若在前一天选择C图书馆的条件下，后一天继续选择C图书馆的概率为，而在前一天选择D图书馆的条件下，后一天继续选择D图书馆的概率为，如此往复. (1)求该学生第一天和第二天都选择C图书馆的概率； (2)求该学生第二天选择C图书馆的概率； (3)记该学生第n天选择C图书馆的概率为，求数列的通项公式. 变式4．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复． (1)求该同学第2天中午选择食堂就餐的概率： (2)记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②若存在n∈N*，使得成立，求实数m的取值范围． 1．（2026·高二·江苏泰州·期中）盒子里放着五张卡片，两面都是红色的卡片一张，两面都是黑色的卡片两张，一面是红色一面是黑色的卡片两张.现在随机抽出一张卡片，并展示它一面的颜色.假设这一面的颜色是红色，那么剩下一面的颜色也是红色的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·江苏南通·阶段检测）现从含甲、乙在内的8名志愿者中选出3人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高二·重庆·期中）学校一楼到二楼共有15级台阶，某同学每一步可以走一级或两级台阶，事件表示“用13步走完15级台阶”，事件表示“走楼梯的过程没有连续2步走两级台阶”，则（     ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·山东潍坊·期中）已知随机事件A，B，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·浙江·期中）对于随机事件、，若，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高二·辽宁·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高二·广东深圳·期中）（1）袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球． ①求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率． ②求第二次才取到红球的概率． （2）同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为．从中任取一件，求此产品为正品的概率． 8．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）随着“低空经济”的蓬勃发展，某农业大省全面推广使用植保无人机（农林植物保护作业无人驾驶飞机），该省植保无人机由甲、乙、丙三个品牌提供．据统计，甲、乙、丙品牌的市场占有率分别为50%，30%，20%，作业成功率分别为98%，90%，95%，现从该省随机选取一台正在作业的无人机． (1)求该无人机作业成功的概率； (2)若已知该无人机作业成功，求该无人机是丙品牌的概率． 9．（2026·高二·山西晋中·阶段检测）有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数的比为，任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”（），事件“零件为次品”.求： (1)的值； (2)求的值； (3)求的值 10．从数列中随机抽取一项，将记为随机变量. (1)若数列是等差数列，记随机变量的数学期望为，证明：数列是等差数列. (2)若的通项公式为，从不大于的正整数中随机抽取一项，并记为随机变量. （ⅰ）若，求； （ⅱ）求. 11．（2026·高三·云南·阶段检测）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，小明第1天随机等可能选择一家用午餐．若他在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择去餐厅的概率为．记小明同学第天选择去餐厅用午餐的概率为． (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求的通项公式． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 条件概率、全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1、条件概率的概念 3 知识点2、概率的乘法公式 3 知识点3、条件概率的性质 3 知识点4、全概率公式 3 知识点5、贝叶斯公式 3 03 重难点题型 5 题型一：条件概率的基本计算 5 题型二：条件概率的性质及应用 6 题型三：全概率公式与贝叶斯公式 7 题型四：乘法公式及其应用 10 题型五：条件概率综合应用问题 12 04 过关检测 17 知识点1、条件概率的概念 条件概率揭示了，，三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 知识点2、概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 知识点3、条件概率的性质 设，则 （1）； （2）如果B与C是两个互斥事件，则； （3）设和B互为对立事件，则． 知识点4、全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意的事件，有． 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一． 知识点5、贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意事件，， 在贝叶斯公式中，和分别称为先验概率和后验概率． 题型一：条件概率的基本计算 例1．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）甲、乙、丙、丁四人计划6月份去安徽的黄山、宏村、九华山景区游览，每个景区至少去1人，且每人只游览一个景区．在甲游览黄山的条件下，甲、乙不去同一景区的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设事件为“甲游览黄山”，事件为“甲、乙不去同一景区”． 事件对应的分配方案：甲去黄山景区，剩余3人分配至3个景区，且每个景区至少1人，， 事件对应的分配方案：甲去黄山景区且乙不去该景区， ①黄山景区仅甲1人，剩余3人分为2组分配至另外2个景区，有种方案， ②黄山景区有甲和1名其他成员（丙或丁），剩余2人分配至另外2个景区，有种方案， 所以．所以． 例2．（2026·高二·湖北省直辖县级单位·阶段检测）甲，乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记事件为“甲命中目标”，事件为“目标至少被命中1次”， 则，且， 所以. 例3．（2026·高二·江苏无锡·阶段检测）现有无锡某高中组织高二年级学生研学，全年级学生需从灵山大佛、三国城、鼋头渚、竹海、南禅寺、拈花湾、梅里古镇这个景点中随机选择个作为目的地．现从全年级中随机抽取两个班级进行调查，记事件“这两个班级选择的目的地中至少有一个选择鼋头渚”，事件“这两个班级选择的目的地不同”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，事件的对立事件为“两个班级都不选择鼋头渚”，因此 ， 事件即“恰好一个班级选择鼋头渚，另一个选择其余个景点之一”，因此 ， 代入条件概率公式得 ，故D正确. 变式1．（2026·高二·河北保定·期中）某AI项目组有2名算法工程师（含工程师甲）和6名实习生，共8名成员．现从中随机选取5人组成项目攻坚小组，参与AI大模型优化任务，则在攻坚小组中既有工程师又有实习生的条件下，工程师甲被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】既有算法工程师又有实习生的安排方法有种不同的方法， 其中工程师甲被选中的有， 所以在攻坚小组中既有工程师又有实习生的条件下，工程师甲被选中的概率为. 题型二：条件概率的性质及应用 例4．（2026·湖北随州·模拟预测）已知随机事件A，B，，，，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，， 所以，则， 所以. 例5．（2026·高二·四川德阳·阶段检测）假设，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对A：由，故，故A正确； 对B：成立的条件为，为相互独立事件，故B错误； 对C：，， 成立的条件为，故C错误； 对D：，若，则， 成立的条件为，为相互独立事件，故D错误. 例6．（2026·山东临沂·一模）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由条件概率公式，可得， 故， 又因，则. 变式2．（2026·高二·四川广元·期末）已知事件和满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由概率的乘法公式可得， 由条件概率公式可得. 故选：B. 题型三：全概率公式与贝叶斯公式 例7．（2026·高二·河北石家庄·期中）中国机器人产业已形成完整的产业链体系，2025年人形机器人市场规模突破85亿元，占全球市场规模50%以上，工业机器人国内市场占有率首次突破50%，产业正从“拼硬件”向“拼智能”转型，进入规模化量产与场景化应用的关键阶段．某机器人商店出售的机器人中，甲品牌占50%，合格率为98%；乙品牌占30%，合格率为95%；丙品牌占20%，合格率为95%，在该商店随机买一台机器人． (1)求该机器人是甲品牌合格品的概率； (2)求该机器人是合格品的概率． 【解析】（1）用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品， 则， 所以该机器人是甲品牌合格品的概率 （2）用表示机器人是乙品牌，用表示机器人是丙品牌，结合（1）得 ． 例8．（2026·高二·湖北省直辖县级单位·阶段检测）据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%． (1)现从该校学生中任选一名学生，求该名学生每天玩手机超过1小时且近视的概率． (2)现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率． 【解析】（1）记事件“该生每天玩手机超过1小时”，“该生近视”， ，， 每天玩手机超过1小时的学生近视率约为50%，即， 根据条件概率公式， 可得 （2）， 由全概率公式 ，，代入得： 例9．（2026·高二·山东济南·期中）甲、乙、丙三个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干．甲、乙每个袋子中有标号为的小球个，标号为的个，标号为的个．丙袋子中有标号为的小球有个，标号为的小球有个，从甲袋子中任取两个球，取到的标号都是的概率是． (1)求的值； (2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个标号是，求另一个标号也是的概率； (3)从甲袋子中取出一个小球，如果标号小于，则在乙袋子中取个球；如果标号不小于，则在丙袋子中取个球，如果第二次取出的小球标号为，那么称实验成功，求实验成功的概率． 【解析】（1）由题意，甲袋子中球的总数为，从甲袋子中任取个球的总组合数为， 甲袋子中标号为的球有个，取到个球的组合数为， 又从甲袋子中任取两个球，取到的标号都是的概率是，得， 整理得，解得或（舍去）． （2）设事件表示“从甲袋中任取两个球，至少有一个标号是1”，事件表示“从甲袋中任取两个球，两个标号都是1”. 因为，， 所以. （3）设事件表示“甲袋子中取出小球的标号小于”，事件表示“第二次取出的小球标号为”， 则，， 若第一次取出的小球标号小于，则在乙袋子中取球，乙袋子中球的总数为个， 其中标号为的球有个，所以， 若第一次取出的小球标号不小于，则在丙袋子中取球，丙袋子中球的总数为个， 其中标号为的球有个，所以， 所以. 变式3．（2026·高二·河北保定·期中）某花艺工作室承接中式花艺和现代花艺这两类花艺设计，根据以往的设计作品数据，中式花艺作品占，现代花艺作品占．设计师设计的中式花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因细节瑕疵不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因意境独特仍被客户采纳．设计师设计的现代花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因搭配疏漏不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因创意新颖仍被客户采纳．现从设计师以往所有的花艺作品中随机抽取一单花艺作品． (1)求这单花艺作品达到设计标准的概率； (2)若这单花艺作品未被客户采纳，求该单花艺作品是中式花艺作品的概率；（结果用分数表示） (3)求这单花艺作品达到标准且被客户采纳的概率． 【解析】（1）设事件：这单花艺作品达到设计标准,事件: 抽取一单花艺作品为中式花艺作品， 事件: 抽取一单花艺作品为现代花艺作品，那么 . （2）设事件：单花艺作品未被客户采纳，那么 ， 所以，若这单花艺作品未被客户采纳，求该单花艺作品是中式花艺作品的概率为 ; （3）设事件：单花艺作品达到标准且被客户采纳,那么 . 题型四：乘法公式及其应用 例10．（2026·江苏无锡·三模）一个不透明的口袋中放有大小相同的4个红球､4个黄球. (1)若每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后放回口袋中.求摸球10次，摸到红球个数的期望； (2)若每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后不放回口袋中，且连续摸到2个红球时停止，否则继续摸球.记恰好第次摸球时结束为事件，求. 【解析】（1） 每次有放回摸球时，摸到红球的概率为， 设10次摸球中摸到红球的个数为，则， 由二项分布期望公式得：. （2）恰好第4次摸球结束需满足两个条件： ①第3、4次均为红球，触发停止规则； ②第2次为黄球，否则第2、3次均为红球时第3次就已停止，且第2次为黄球时前2次不可能出现连续红球，自动满足前2次未停止的要求，分两种情况计算： 第1次摸到黄球，序列为黄、黄、红、红，概率为： 第1次摸到红球，序列为红、黄、红、红，概率为： 故. 例11．（2026·高二·浙江·阶段检测）甲、乙、丙三人进行传球游戏，规则如下：甲每次有 概率传给乙， 概率传给丙；乙每次等可能传给甲或丙；谁传给丙，丙就会把球传回给谁；已知传球游戏开始前，球在甲手中. (1)经过2次传球之后，球在甲、乙、丙手中的概率分别是多少? (2)经过n次传球之后，球在甲手中的概率是多少? 【解析】（1）经过2次传球之后，球在甲手中，则第一次甲传给乙，第二次乙传给甲，或者第一次甲传给丙，第二次丙传给甲，所以球在甲手中的概率是； 经过2次传球之后，球肯定不会在乙手中，所以球在乙手中的概率是0； 经过2次传球之后，球在丙手中，则第一次甲传给乙，第二次乙传给丙，所以球在丙手中的概率是； （2）设为第次传球后球在甲手中的概率，为在乙手中的概率，为在丙手中的概率， 当为奇数时，球不可能在甲手中,因为每次传球球都会从一个人传到另一个人，初始球在甲手中，奇数次传球后球一定在乙或丙手中，故 ； 当为偶数时，设，令，推导递推关系， 第次传球后：球在甲手中的概率为，在丙手中的概率为（乙手中概率为 0）。 第次传球后：甲传给乙： 甲传给丙：， 丙传给乙： 因此，， 第次传球后： 乙传给甲： 丙传给甲： 因此递推式为：, 所以), ，所以 所以，所以 所以经过n次传球之后，球在甲手中的概率是； 例12．（2026·湖南郴州·一模）湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作三幅不同的湘绣作品，已知三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，通过刺绣环节的概率依次为. (1)求三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率； (2)若已知三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为的概率； (3)经过设计图案和刺绣两个环节后，三幅作品成为成品作品的件数为.求随机变量的分布列及数学期望. 【解析】（1）记三幅作品通过设计图案环节分别为事件，记三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节为事件， 则． （2）． （3）记三幅作品成为成品的事件分别为， 则， 由可取， 则， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 则数学期望． 题型五：条件概率综合应用问题 例13．（2026·高二·吉林·期中）ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球.甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权.设甲，乙发出ACE球的概率均为，记事件表示“第n次发球的人是甲”． (1)若，， （i）求； （ii）已知第三次发球的人是甲，求第二次发球的人是甲的概率； (2)若，证明： 【解析】（1）（i）因为，， 所以. （ii）第二次发球的人是甲的条件下，第三次发球的人是甲的概率为， 第二次发球的人是乙的条件下，第三次发球的人是甲的概率为， 第三次发球的人是甲的概率是， 第三次发球的人是甲，第二次发球的人是甲的概率为. （2）， 因为，， 所以， 因为，， 所以，. 例14．（2026·高二·安徽芜湖·期中）某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为. (1)求同学甲第二天选择B餐厅的概率； (2)证明：数列为等比数列，并求出. 【解析】（1）设“同学甲第i天选择B餐厅”， 根据题意可知：， ，. 由全概率公式可得 即同学甲第二天选择B餐厅的概率为. （2）设“甲第n天选择B餐厅”，则，，， 当时，由全概率公式可得 则， 整理得 又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 例15．（2026·高二·重庆·期中）某学校有C、D两个图书馆，某学生每天都会在这两个图书馆中选择一个去学习，已知该学生第一天选择C图书馆的概率是，若在前一天选择C图书馆的条件下，后一天继续选择C图书馆的概率为，而在前一天选择D图书馆的条件下，后一天继续选择D图书馆的概率为，如此往复. (1)求该学生第一天和第二天都选择C图书馆的概率； (2)求该学生第二天选择C图书馆的概率； (3)记该学生第n天选择C图书馆的概率为，求数列的通项公式. 【解析】（1）由题意，第一天和第二天都选择C图书馆的概率为 （2）第一天选C图书馆，第二天选C图书馆的概率为， 第一天选D图书馆，第二天选C图书馆的概率为， 故第二天选C图书馆的概率为. （3）由题意，当时，，则， 即， 故是以为首项，为公比的等比数列， 故，解得 变式4．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复． (1)求该同学第2天中午选择食堂就餐的概率： (2)记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②若存在n∈N*，使得成立，求实数m的取值范围． 【解析】（1）设为“第1天选择食堂”，为“第2天选择食堂”， 则为“第1天不选择食堂”， 根据题意，，，， 由全概率公式得：． （2）①设为“第天选择食堂”，则，， 根据题意，， 由全概率公式得： ， 则． 因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． ②由①得，， 当为正奇数时，，， 当为正偶数时，． 综上，当时，， 存在，使得成立，则，所以， 所以实数m的取值范围是． 1．（2026·高二·江苏泰州·期中）盒子里放着五张卡片，两面都是红色的卡片一张，两面都是黑色的卡片两张，一面是红色一面是黑色的卡片两张.现在随机抽出一张卡片，并展示它一面的颜色.假设这一面的颜色是红色，那么剩下一面的颜色也是红色的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记抽出一张卡片，展示的这一面的颜色是红色为事件, 剩下一面的颜色是红色为事件，抽出一张卡片展示一面是红色且剩下一面也是红色为事件. 两面都是红色的卡片有1张，共个红色面； 两面都是黑色的卡片有2张，无红色面； 一面红色一面黑色的卡片有2张，共个红色面； 总面数：面，其中红色面总数为面； 随机抽一张卡片并展示一面，所有可能的面有10种（等可能）， 其中红色面有4种，因此 ，因此 ， 根据条件概率公式代入得： . 2．（2026·高二·江苏南通·阶段检测）现从含甲、乙在内的8名志愿者中选出3人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在甲被选中的前提下，再从余下7人中选出2人，有种方法， 其中乙被选中的情况，有种方法， 所以所求概率为. 3．（2026·高二·重庆·期中）学校一楼到二楼共有15级台阶，某同学每一步可以走一级或两级台阶，事件表示“用13步走完15级台阶”，事件表示“走楼梯的过程没有连续2步走两级台阶”，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设13步中，有x步走两级台阶，有y步走一级台阶， 则，解得，即用13步走完15级台阶，需13步中选2步走两级台阶，11步走一级台阶， 走法数为，即得； 事件表示用13步走完15级台阶且没有连续2步走两级台阶， 即选出的走2级台阶的2步不能相邻，即11步走的一级台阶先排好，产生12个空隙， 选2个空隙插入走2级台阶的2步，走法数为，即， 故. 4．（2026·高二·山东潍坊·期中）已知随机事件A，B，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，故，而，故， 故，同理， 故， 故选：B. 5．（2026·高二·浙江·期中）对于随机事件、，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，. 故选：D 6．（2026·高二·辽宁·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 且，可得，所以. 故选：A 7．（2026·高二·广东深圳·期中）（1）袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球． ①求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率． ②求第二次才取到红球的概率． （2）同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为．从中任取一件，求此产品为正品的概率． 【解析】（1）①设事件：第一次取出红球，事件：第二次取出红球,那么 ; ②设事件: 第二次才取到红球,那么 . （2）设事件:此产品为正品,事件,,分别代表产品由甲、乙、丙三个厂供应，那么 . 8．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）随着“低空经济”的蓬勃发展，某农业大省全面推广使用植保无人机（农林植物保护作业无人驾驶飞机），该省植保无人机由甲、乙、丙三个品牌提供．据统计，甲、乙、丙品牌的市场占有率分别为50%，30%，20%，作业成功率分别为98%，90%，95%，现从该省随机选取一台正在作业的无人机． (1)求该无人机作业成功的概率； (2)若已知该无人机作业成功，求该无人机是丙品牌的概率． 【解析】（1）设事件表示“选到甲品牌无人机”，事件表示“选到乙品牌无人机”， 事件表示“选到丙品牌无人机”，事件表示“无人机作业成功”． 根据全概率公式得 ． 故该无人机作业成功的概率为0.95． （2）由题意得． 故该无人机是丙品牌的概率为0.2． 9．（2026·高二·山西晋中·阶段检测）有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数的比为，任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”（），事件“零件为次品”.求： (1)的值； (2)求的值； (3)求的值 【解析】（1）已知，，. ，，. 由全概率公式：. （2）由题意直接得：. （3）由贝叶斯公式：. 10．从数列中随机抽取一项，将记为随机变量. (1)若数列是等差数列，记随机变量的数学期望为，证明：数列是等差数列. (2)若的通项公式为，从不大于的正整数中随机抽取一项，并记为随机变量. （ⅰ）若，求； （ⅱ）求. 【解析】（1）由题意得. 所以. 设的公差为，则由等差数列的求和公式得， 所以（常数），所以数列是等差数列. （2）由题意得，. （ⅰ）当时，，， 所以. （ⅱ）由全概率公式可知， ； ； …… ； . 所以 ． 11．（2026·高三·云南·阶段检测）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，小明第1天随机等可能选择一家用午餐．若他在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择去餐厅的概率为．记小明同学第天选择去餐厅用午餐的概率为． (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求的通项公式． 【解析】（1）设“第天去餐厅用午餐”，“第天去餐厅用午餐”，， 与互斥．由题意，，，， 所以， 由全概率公式得； （2）“第天去餐厅用午餐”，“第天去餐厅用午餐”，． 与互斥且对立．由题意，，当，时， ，，，，， 所以li ， 所以， 又，故，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故，所以． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $