八年级数学下学期期末模拟卷（新教材北师大版八下全部，高效培优）

**基本信息** 以中科院图标、自行车车架、汝南特产等真实情境为载体，全面考查北师大版八下数学知识，融合几何直观、运算能力与应用意识，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|分式意义、中心对称、一次函数等|中科院图标考查中心对称，体现科技情境| |填空题|6/18|因式分解、旋转性质、动点问题等|第16题动点直角三角形，考查空间观念| |解答题|9/72|平行四边形证明、规律探究、配方法应用等|“立表测影”传统文化情境融合几何证明，汝南特产问题考查分式方程与不等式应用|

2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八下全部。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．要使分式有意义，的取值应满足（ ） A． B． C． D． 2．1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A．  B．  C．  D． 4．下列式子从左到右的变形是因式分解的为（     ） A． B． C． D． 5．自行车的车架设计蕴含丰富的几何知识．如图，自行车的车把手与地面平行．后轮支撑结构为，前轮支撑结构互相平行．已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，平分，平分．将平移，使其顶点A与点I重合，则图中阴影部分的周长为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 7．如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（   ） A．， B．关于x的方程的解为 C．直线上有两点，，若时，则 D．关于x的不等式的解集为 8．如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，下列结论正确的是（     ） A． B． C．点到的距离为4 D． 9．若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为（     ） A． B．且 C． D．且 10．如图，的对角线交于点O，的平分线与交于点E，与交于点F，连接，，，则下列结论中不正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．因式分解：_______． 12．若代数式的值为，则实数的值是______． 13．在平面直角坐标系中，点在第一象限，则整数可以是__________．（写出一个即可） 14．如图，将绕点顺时针旋转得到，点在的延长线上，连接，则_______°． 15．如图，在中，∠B=90°，，是△ABC的中线，，，且，则____________． 16．如图，在四边形中，已知，点从出发，沿射线以的速度移动，当运动到___________时，是直角三角形． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上． 18．先化简，再从，0，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值． 19．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出将向左平移3个单位后得到的图形； (2)将绕点E逆时针旋转得到，画出； (3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为． 20．如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的面积． 21．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 22．汝南特产五香大头菜是河南酱菜非遗技艺的代表性腌渍食品，汝南五香鸡汁豆腐干是源于唐代的河南驻马店传统名吃．某商家计划从汝南购进五香大头菜和鸡汁豆腐干两种特产．已知每箱鸡汁豆腐干的价格比每箱五香大头菜的价格贵8元，用1200元购买鸡汁豆腐干的数量恰好与用1000元购买五香大头菜的数量相同． (1)求五香大头菜和鸡汁豆腐干每箱的价格． (2)该商家计划购买这两种特产共60箱．为推广汝南农产品，供应商对两种特产进行了优惠：鸡汁豆腐干每箱降价5元，五香大头菜每箱打九折．若要求鸡汁豆腐干的数量不得少于五香大头菜数量的一半，则购买这批特产最少需要花费多少元？ 23．“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，D为上一点，连接，，． (1)求证：； (2)若“表”，，求的长； (3)若，判断的形状，并说明理由． 24．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数”． 【解决问题】 (1)下列各数中，“和谐数”有    ．（填序号） ①12；②20；③45；④60． 【探究问题】 (2)若可配方成（m，n为常数），则的值 ． (3)已知（a，b是整数，k是常数），要使M为“和谐数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知，比较P，Q的大小． 25．如图，的对角线，相交于点，平分，交于点，且． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，连结． ①若，求的面积； ②设，试求与之间满足的关系． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B B B A D C B D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11． 12． 13．（中任意一个） 14． 15．6 16．或或 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(6分) 【详解】解：， 由①得：， 解得； 由②得，， 解得， 不等式组的解集为，...............4分 把解集表示在数轴上略：...............6分 18．(6分) 【详解】解：原式 ．...............3分 ∵， ∴， 当时，原式．...............6分 19．(6分) 【详解】（1）解：如图，即为所求； ...............2分 （2）解：如图，即为所求；...............4分 （3）解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 即旋转中心在线段的中垂线上， 由图象可知，该点的坐标为．...............6分 20．(6分) 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵是中点， ， 在与中，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形；...............3分 （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ∴的面积为．...............6分 21．(8分) 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：；...............2分 （2）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 第n个等式：； 左边， 右边 ， ∴左边右边；...............5分 （3）解： ．...............8分 22．(8分) 【详解】（1）解：设五香大头菜每箱的价格为x元，则鸡汁豆腐干每箱的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合实际， ∴， ∴五香大头菜每箱的价格为40元，鸡汁豆腐干每箱的价格为48元；...............4分 （2）解：设购买这批特产花费w元，其中购买鸡汁豆腐干m箱，则购买五香大头菜箱， 由题意得：， 由题意得：， 解得：， ∴且m为整数， ∵， ∴w随着m的增大而增大， ∴当时，w取最小值，最小值为2300， ∴购买这批特产最少需要花费2300元．...............8分 23．(8分) 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴；...............2分 （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴；...............5分 （3）解：是等边三角形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴是等边三角形．...............8分 24．(12分) 【详解】（1）解：①∵， ∴12不是“和谐数”， ②∵， ∴20是“和谐数”， ③∵， ∴45是“和谐数”， ④∵， ∴60不是“和谐数”， ∴“和谐数”有②③；...............2分 （2）解：， ∴， ∴；...............4分 （3）解：．理由如下： 由题意，∵，M为“和谐数”， ∴当时，， ∴；...............7分 （4）解：∵， ∴ ∵对于任意实数x，y都有， ∴． ∴．...............12分 25．(12分) 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 平分， 是等边三角形，...............4分 （2）解：①， ， ， ， ，， ， ， ， 当时， 平行四边形的面积；...............8分 ②四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形， ， 的边上的高等于的边上的高的一半，底等于的倍， 设边上的高为，的长为， ，， ， ， ， ， ．...............12分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八下全部。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．要使分式有意义，的取值应满足（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式有意义时分母不为0，列出分母不为0的式子求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为0， ∴要使分式有意义，则， 解得． 2．1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意． B、图形绕着某个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； C、图形绕着某个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意； D、图形绕着某个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形，不符合题意． 3．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A．  B．  C．  D． 【答案】B 【详解】解：已知， A选项，若，，此时，故A错误； B选项，不等式两边同时减去，不等号方向不变，，故B正确； C选项，不等式两边同时乘以，不等号方向改变，，故C错误； D选项，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，，故D错误． 4．下列式子从左到右的变形是因式分解的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，即可求解． 【详解】解：A． ，是整式的乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； B． ，是因式分解，符合题意， C． 等式右边的不是整式，故该选项不符合题意； D． 等式的右边不是整式乘积的形式，故该选项不符合题意． 5．自行车的车架设计蕴含丰富的几何知识．如图，自行车的车把手与地面平行．后轮支撑结构为，前轮支撑结构互相平行．已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明是等边三角形，得到，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．如图，在中，，，，平分，平分．将平移，使其顶点A与点I重合，则图中阴影部分的周长为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】连接，证明平分，则，由平移得，则，推出，得出，同理可得的周长，即可得出结果． 【详解】解：连接，如图所示， ∵平分平分， ∴平分， ∴， 由平移得， ， ， ， 同理可得； ∴的周长， 即图中阴影部分的周长为9 ． 7．如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（   ） A．， B．关于x的方程的解为 C．直线上有两点，，若时，则 D．关于x的不等式的解集为 【答案】D 【详解】解：A、∵直线经过一、二、四象限， ∴，，故正确，不符合题意； B、∵直线与直线交于点P，点P的横坐标为3， ∴关于x的方程的解为，故正确，不符合题意； C、根据函数图像得到：直线上，y随x的增大而增大， ∵直线上有两点，，， ∴．故正确，不符合题意； D、根据函数图像得到：关于x的不等式的解集为，即不等式的解集为，故选项错误，符合题意． 8．如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，下列结论正确的是（     ） A． B． C．点到的距离为4 D． 【答案】C 【详解】解：由作图得，平分 ∵， ∴点到的距离，故C正确； 根据题意无法得到，，，故A，B，D错误． 9．若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围为（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】先按解分式方程的步骤求出关于的表达式，再根据“解是非负数”和“分式分母不为0”两个条件列不等式组求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：原分式方程变形为： 方程两边同乘（分母不为0，因此）去分母得： 整理得：， 解得：， ∵分式方程的解是非负数，且分母不能为0， ∴ 解不等式得：， 解不等式得：， ∴的取值范围为且． 10．如图，的对角线交于点O，的平分线与交于点E，与交于点F，连接，，，则下列结论中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证是等边三角形，，，可求，由勾股定理可求的长，即可求，由三角形中位线定理可求，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，，，， ，又， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ，故A正确，不符合题意； ， ，， ， ，故选项B不符合题意； ，， ， ，故选项C不符合题意； ，， ，故选项D符合题意． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．因式分解：_______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式． 12．若代数式的值为，则实数的值是______． 【答案】 【分析】根据分式的值为的条件：分子为，且分母不为，列式解答即可求解． 【详解】解：∵代数式的值为 ∴且， 解得． 13．在平面直角坐标系中，点在第一象限，则整数可以是__________．（写出一个即可） 【答案】（中任意一个） 【分析】根据第一象限内点的坐标特征，列出关于的不等式组，求解得到的取值范围，再选取范围内的一个整数即可． 【详解】解：点在第一象限， ， 解不等式得， 解不等式得， 因此不等式组的解集为， 又为整数， 可取中任意一个， 则整数可以是（中任意一个）． 14．如图，将绕点顺时针旋转得到，点在的延长线上，连接，则_______°． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得出，等于旋转角，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，点在的延长线上， ∴ ，， ∴， 在中，根据三角形内角和定理得： ， ∴，解得：． 15．如图，在中，∠B=90°，，是△ABC的中线，，，且，则____________． 【答案】6 【分析】延长交的延长线于，证明，得到，，根据垂直平分线的性质解答． 【详解】解：延长交的延长线于，如图所示： ∵是的中线， ∴， ，， ， 又∵， ， ，， ， ． 16．如图，在四边形中，已知，点从出发，沿射线以的速度移动，当运动到___________时，是直角三角形． 【答案】或或 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式，平行线之间的距离相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，算出，再结合是直角三角形，进行分类讨论，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴（平行线之间的距离相等）， 同理得， 则， ∴； 设点的运动时间是秒， 依题意，当时，如图所示： ∵点从出发，沿射线以的速度移动， ∴， 则， 在中，； 在中，； 在中，； 即， 整理得， 解得； 依题意，当时，如图所示： 在中，； 在中，； 在中，； 即， 整理得， 解得； 依题意，当，如图所示： ∵点从出发，沿射线以的速度移动， ∴， 则， 在中，； 在中，； 在中，； 即， 解得； 综上：当运动到或或时，是直角三角形． 故答案为：或或． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】， 把解集表示在数轴上如图： 【分析】分别解不等式组中的两个不等式，即可得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示即可． 【详解】解：， 由①得：， 解得； 由②得，， 解得， 不等式组的解集为， 把解集表示在数轴上略： 18．先化简，再从，0，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的乘除法计算，然后将符合题意的数值代入可得答案． 【详解】解：原式 ． ∵， ∴， 当时，原式． 19．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出将向左平移3个单位后得到的图形； (2)将绕点E逆时针旋转得到，画出； (3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 即旋转中心在线段的中垂线上， 由图象可知，该点的坐标为． 20．如图，中，D是边上任意一点，F是中点，过点C作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到．根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形是平行四边形； （2）过点作于点．根据勾股定理得到，由得到．在中，利用勾股定理得到，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵是中点， ， 在与中，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ∴的面积为． 21．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3) 【分析】本题考查数字规律型，观察已知的式子总结规律是解题的关键． （1）观察题中的式子求解即可； （2）根据题中的等式进行归纳总结即可求解； （3）利用（2）中的规律，再裂项进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：； （2）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 第n个等式：； 左边， 右边 ， ∴左边右边； （3）解： ． 22．汝南特产五香大头菜是河南酱菜非遗技艺的代表性腌渍食品，汝南五香鸡汁豆腐干是源于唐代的河南驻马店传统名吃．某商家计划从汝南购进五香大头菜和鸡汁豆腐干两种特产．已知每箱鸡汁豆腐干的价格比每箱五香大头菜的价格贵8元，用1200元购买鸡汁豆腐干的数量恰好与用1000元购买五香大头菜的数量相同． (1)求五香大头菜和鸡汁豆腐干每箱的价格． (2)该商家计划购买这两种特产共60箱．为推广汝南农产品，供应商对两种特产进行了优惠：鸡汁豆腐干每箱降价5元，五香大头菜每箱打九折．若要求鸡汁豆腐干的数量不得少于五香大头菜数量的一半，则购买这批特产最少需要花费多少元？ 【答案】(1)五香大头菜每箱的价格为40元，鸡汁豆腐干每箱的价格为48元 (2)购买这批特产最少需要花费2300元 【分析】（1）设五香大头菜每箱的价格为x元，则鸡汁豆腐干每箱的价格为元，根据“用1200元购买鸡汁豆腐干的数量恰好与用1000元购买五香大头菜的数量相同”列出分式方程，解方程即可； （2）设购买这批特产花费w元，其中购买鸡汁豆腐干m箱，则购买五香大头菜箱，由鸡汁豆腐干的数量不得少于五香大头菜数量的一半，可得，由题意得，由一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设五香大头菜每箱的价格为x元，则鸡汁豆腐干每箱的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合实际， ∴， ∴五香大头菜每箱的价格为40元，鸡汁豆腐干每箱的价格为48元； （2）解：设购买这批特产花费w元，其中购买鸡汁豆腐干m箱，则购买五香大头菜箱， 由题意得：， 由题意得：， 解得：， ∴且m为整数， ∵， ∴w随着m的增大而增大， ∴当时，w取最小值，最小值为2300， ∴购买这批特产最少需要花费2300元． 23．“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，D为上一点，连接，，． (1)求证：； (2)若“表”，，求的长； (3)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质即可得出结论； （2）证明得，根据勾股定理求出，则，在中，由勾股定理求； （3）根据角平分线定义及等边对等角得，证明，进而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴； （3）解：是等边三角形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴是等边三角形． 24．配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，10是“和谐数”，理由：因为，所以10是“和谐数”． 【解决问题】 (1)下列各数中，“和谐数”有    ．（填序号） ①12；②20；③45；④60． 【探究问题】 (2)若可配方成（m，n为常数），则的值 ． (3)已知（a，b是整数，k是常数），要使M为“和谐数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知，比较P，Q的大小． 【答案】(1)②③ (2) (3)9 (4) 【分析】（1）根据“和谐数”的定义即可求解； （2）根据配方法即可求解； （3）根据配方法写出两个式的平方和的形式即可求解； （4）依据题意，先作差，然后根据配方法，以及非负数的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴12不是“和谐数”， ②∵， ∴20是“和谐数”， ③∵， ∴45是“和谐数”， ④∵， ∴60不是“和谐数”， ∴“和谐数”有②③； （2）解：， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 由题意，∵，M为“和谐数”， ∴当时，， ∴； （4）解：∵， ∴ ∵对于任意实数x，y都有， ∴． ∴． 25．如图，的对角线，相交于点，平分，交于点，且． (1)求证：是等边三角形． (2)若，，连结． ①若，求的面积； ②设，试求与之间满足的关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据▱中，，结合角平分线的定义可得，即可得证是等边三角形； （2）①根据 ，可得，证明，再利用含度角的直角三角形可得的长，进而可得平行四边形的面积； ②根据四边形是平行四边形，可得，，由是等边三角形，可得，由的边上的高等于的边上的高的一半，底等于的倍，设边上的高为，的长为，分别表示出四边形和三角形的面积，进而可得与满足的关系． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 平分， 是等边三角形， （2）解：①， ， ， ， ，， ， ， ， 当时， 平行四边形的面积； ②四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形， ， 的边上的高等于的边上的高的一半，底等于的倍， 设边上的高为，的长为， ，， ， ， ， ， ． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $