七年级数学下学期期末模拟卷（新教材北师大版七下全部，高效培优）

**基本信息** 立足北师大版七下全册，以传统纹样、镜面反射等真实情境融合三角形、概率、整式运算等核心知识，梯度设计兼顾基础巩固与创新应用，培养数学眼光、思维与表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形三边关系、轴对称图形、概率事件|第10题镜面反射结合几何推理，体现科学情境真实性| |填空题|6/18|余角计算、科学记数法、对称性质|第13题传统纹样概率计算，渗透文化传承| |解答题|9/72|整式化简求值、三角形全等证明、函数应用|第24题配方法解决鸡笼面积最值，强化模型意识与应用能力|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 D C C C D A D A 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.67.5 12.3.7×106 13.205 14.60°/60度 15.21 三、解答题（本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(6分) 【详解】(1)解：原式=1+9-8 =2;3分 (2)解：原式=8ab3(-8ab)÷-4ab3） =8×(-8)a1.b31÷-4a4b3） =-64ab÷-4a4b3）】 =-64÷(-4a0-4b4-3 =16a6b.6分 18.(6分) 【详解】解：原式=[9x2+12xy+4y2-(9x2-16y2)门÷(-2y =(9x2+12xy+4y2-9x2+16y2）÷(-2y) =(12xy+20y2）÷(-2y) =6.x-10y,3分 1/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当x=-5,y=3时，原式=-6×-5-10×3=0.6分 19.(6分) 【详解】(1)解：a=9,b=5, .9-5<c<9+5,即4<c<14, :c为整数， 当c=13,ABC周长的最大值为a+b+c=9+5+13=27;3分 (2)解：：△ABC的三边长为a,b,c, ∴.b+c-a>0,c-a-b<0,a-b+c>0, .b+c-a-c-a-b-a-b+c =b+c-a-(a+b-c)-(a-b+c =b+c-a-a-b+c-a+b-c =-30+b+c.6分 20.(6分) 【详解】(1)解：M、N分别是点P关于A0、BO的对称点， :ME=PE,NF=PF, :MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长， :MN=8; .△PEF的周长等于8；3分 (2)解：如图，连接OP, M :点M,N分别是点P关于OA,OB的对称点， B ∠MOA=∠AOP,∠BOP=∠BON, :∠A0B=∠A0P+∠B0P=40°. LM0N=2LA0B=80°..6分 21.(8分) 2/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 59 【详解】(1)解：根据频率计算公式得：a= 100 =0.59,b=200×0.58=116;2分 (2)解：观察表格数据，随着摸球次数增加，摸到白球的频率稳定在0.6附近，因此“摸到白球”的概率的 估计值是0.6；…4分 (3)解：由(2)得摸到白球的概率估计值为0.6， 因此袋中球的总个数为：18÷0.6=30（个）， 其他颜色球的个数为：30-18=12（个）， 答：袋中除白球外还有12个其它颜色的球；…6分 (4)解：设袋中放入了x个白球，原来总球数为30个， 根据题意得18+x=0.8(30+x, 解得：x=30, 答：袋中放入了30个白球.…8分 22.(8分) 【详解】(1)摩托车每小时走：80÷(5-3)=40（千米）， 自行车每小时走：80÷8=10（千米）. 故答案为：40,10；2分 (2)设摩托车出发后x小时，它们相遇， 10(x+3)=40x, 解得x=1. 所以摩托车出发后1小时，它们相遇；5分 (3)设摩托车出发后t小时，他们相距20千米； ①相遇前：101+3)=401=20，解得1= ②相遇后：40t-10(t+3)=20, 解得：t= 3 ③摩托车到达终点后，10(t+3)=60,解得t=3; 15 综上，摩托车出发后3或亏或3小时，他们相距20千米8分 23.(8分) 【详解】(1)解：过点C作CD∥AM, 3/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 2------------D B MA BN, :.MA∥CD∥BN, .∠ACD=∠MAC=30°，∠DCB+∠CBN=180°， 又：∠ACB=95°， .∠DCB=95°-∠ACD=95°-30°=65°， .LCBN=180°-∠DCB=180°-65°=115°；2分 (2)解：①过点C作CD∥AM,过点P作PE∥AM, M E B :MA BN, .MA∥CD∥BN, .∠ACD=∠MAC,∠DCB=180°-∠CBN, 又：∠ACB=90°， .LACD+∠DCB=90°，即∠MAC+180°-∠CBN=90°， ∠CBN=90°+∠MAC, :PE∥AM, .MA∥PE∥BN, .∠APE=∠MAP,∠EPB=180°-∠PBN, :∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P, :∠APE=∠MAC,∠PBN=I∠CBN, -2<CBN, ∠EPB=180°-∠PBN=180- 4/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠APB=∠APE+∠EPB=aC+1s0-∠CBN=180+∠MC-∠CBN)=180+∠MC-0-∠M1C)=135 ，5分 ②由O得∠M4P=∠M4C=25°，∠CBN=90+50=140°，∠APB=135°， :EF∥BC, .∠FEB=180°-∠CBN=180°-140°=40°， 过点P作PG∥AM, M G B :MA BN, .MA∥PG∥BN, ∠APG=∠MAF=25°，∠GPE=∠PEB, .LAPE=LAPG+∠GPE=25°+LPEB, 当点F在点P的左侧时，如图，则LPEB=∠FEB+∠FEP=40°+10°=50°， ∠APE=25°+∠PEB=25°+50°=75°， ∠BPE=∠APB-∠APE=135°-75°=60°： 当点F在点P的右侧时，如图， M G B EN 则LPEB=∠FEB-∠FEP=40°-10°=30°， .∠APE=25°+∠PEB=25°+30°=55°， ∠BPE=∠APB-∠APE=135°-55°=80°. 综上所述，当点F在点P的左侧时，∠BPE=60°；当点F在点P的右侧时，∠BPE=80°.8分 24.(12分) 【详解】(1)解：x2-4x+9的三种配方分别为： 5/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2-4x+9=x2-4x+4-4+9=（x-2)2+5, x2-4x+9=x2-6x+9+2x=(x-32+2x, x2-4x+9= -2r-- 9 x2-4x+9= 居-3+8--2+5=-驴+2：3分 (2)解：a2-ab+b2=a2-2ab+b2+ab=(a-b2+ab, c-b+-[o-2*6+6+r-传o-0j小+. 心-j0-jr-的+-0-+-o-h或 a-ab+-(a-之+8=a-+:6分 2 (3)解：设长方形鸡笼ABCD面积为S,则BC=（20-2xm, :墙长15m, 0<20-2x≤15，即2.5≤x<10, .S=20-2xx,即S=20x-2x2, :S=20x-2x2=-2(x-5)2+50, :(x-5)2≥0， -2(x-5)≤0， .-2(x-5)+50≤50， .当-2(x-5)=0,即x=5时，S有最大值50， 答：当x取5时，鸡笼的面积最大，最大面积为50m2;9分 (4)解：：a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0, 6/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :a2-ab +b+362-4b+4+c2-2c+1=0, 4 4 a-+6-2r+e-y=0, -0.6-2=0,-1=0 ∴.a a=1,b=2,c=1, 则(a+c=(1+1)2=. 4·12分 25.(12分) 【详解】(1)解：：AB和CD互相平分， .A0=B0,C0=D0, 又：∠AOC=LB0D(对顶角相等)， .△AOC≌△BOD(SAS), .AC=BD且BCI AD, 故答案为：三，2分 (2):AC和EF互相平分， ..AO=CO,EO=FO, 在△AOE和aCOF中 AO=CO ∠AOE=∠COF EO=FO .△A0E≌△COF(SAS) :∠EA0=∠FC0=50°， :BC=AD,BC∥AD, .∠BCA=LDAC, 又BC=AD,AC=AC, .△BCA≌△DAC(SAS), .∠ACD=∠BAC=24°， .LEAB=LEA0-LBAC=50-24°=26°. 故答案为：26°.4分 (3)(证法不唯一)证明：如图，延长AE到点F,使得EF=AE,连接CF, 7/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :E是DC的中点， :DE EC. 在ADE和△FCE中， 「AE=EF ∠AED=∠CEF, DE=CE △ADE≌△FCE(SAS), .∠DAE=∠CFE,AD=FC. :AD平分∠EAB, ∠DAE=∠BAD, LCFE=∠BAD. 在AADB和△FCA中， ∠B=∠CAE ∠BAD=∠F, AD=CF :.△ADB≌△CA(AAS), AC=BD.8分 (4)如图2，过点B作BEI∥AC,且BE=AC,在BA上截取BH=AP,连接CH,HE. H C=-- AB=AC,AP+AO=AB,AB=AP+BP,AC=AO+CO, .AO=BP,CO=AP=BH. .AC I/BE, 8/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠A=∠EBH. AC=BE,AP=BH △ACP≌BEH SAS, ∴CP=HE. :CB=BC,∠ABC=∠ACB,CQ=BH, .△CBQ≌ABCH(SAS, .CH=BO, .BO+CP-CH+HE, 当点C,E,H共线时，BQ+CP有最小值，此时可得AACH≌aBEH, .AH BH, .H是AB的中点，此时m的值最小，最小值为2×4.5=9. .m=BO+CP<BC+BE =11, .9≤m<11, 二整数m的值为9或10.12分 9/9 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版七下全部。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．2，3，5 B．3，3，6 C．1，2，4 D．3，4，5 2．下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（     ） A．“从四大名著中任意抽取一本是《三国演义》”是不可能事件 B．“掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是随机事件 C．“旭日东升”是必然事件 D．“学校合唱队共有13名队员，至少两名队员的生日在同一个月”是不可能事件 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，已知直线，点O是上一点，射线分别与直线交于点E、F，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A．， B．，， C．，， D．，， 7．如图，在中，，，，，则点A到边的距离是（     ） A．6 B．8 C． D． 8．小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为，则的结果为（    ） A． B． C． D． 9．某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（    ） A．在这个变化中，自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用 B．交寄物品的质量越重，快递费用就越高 C．当交寄物品的质量为时，快递费用为元 D．交寄物品的质量每增加，快递费用增加元 10．如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知，则的余角的度数为___________． 12．人体红细胞的截面可以近似地看成圆，小建的红细胞截面半径为，用科学记数法表示是________． 13．“冰裂纹”“云头纹”“方胜纹”“浪花纹”是中国传统建筑常见的吉祥装饰纹样，寓意绵延不断、祥瑞圆满．现有工匠需要为一座亭子的栏杆雕刻纹饰，计划从这四种纹样中随机选用两种，其中包含“方胜纹”的概率为__________． 14．木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为_______． 15．如图，在长方形中，动点P从A出发，以相同的速度，沿方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形的面积为 _____． 16．如图的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值________． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算： (1) (2) 18．先化简，再求值：，其中 19．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 20．如图，P是内的一点，点M，N分别是点P关于的对称点，连接与分别相交于点E，F，连接． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 21．在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)表中的_____________，_____________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是_____________（精确到0.1）； (3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ (4)在（3）的条件下，如果再放入袋中若干个白球，使“摸到白球”的概率为0.8，那么袋中放入了多少个白球？ 22．如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，与分别表示它们与甲地距离，（千米）与时间t（小时）的关系，则：    (1)摩托车每小时走________千米，自行车每小时走_________千米； (2)摩托车出发后多少小时，它们相遇？ (3)摩托车出发后多少小时，他们相距20千米？ 23．已知． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，，，的平分线交于点． ①求的度数． ②已知，为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．若，请直接写出的度数． 24．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 例如： 一个二次三项式有不同的配方形式：，三种不同形式的配方（即余项分别是常数项、一次项、二次项——见横线上的部分），请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方： __________________； (2)将配方（至少两种形式）：____________； (3)我们由和完全平方的非负性知道：代数式的最小值为3，同时由知道：代数式的最大值为1； 解决问题：某农场要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上建一个长方形鸡笼，鸡笼一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设米，请问：当x取何值时，鸡笼的面积最大？最大面积是多少？ (4)拓展延伸：已知，求的值． 25．【观察】 （1）如图，和交于点，且和互相平分，则_____．（填“”“”或“”） 【总结】 当题目中出现“平分”“中点”等词语时，可寻找或构造全等三角形，通过证明三角形全等来解决问题． 【应用】 （）如图，，和交于点，且和互相平分，，，则的度数为______． （）如图，点，在上，为的中点，平分．求证：． 【拓展】 （4）如图，在中，，边上的中线长为，分别为边上的两个动点，在运动过程中始终保持，连接，且，请求出整数的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版七下全部。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．2，3，5 B．3，3，6 C．1，2，4 D．3，4，5 【答案】D 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，判断时只需将两条较短边的和与最长边比较，若和大于最长边即可组成三角形，反之不能． 【详解】解：A选项，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B选项，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； C选项，，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； D选项，，满足两边之和大于第三边，能组成三角形． 2．下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】轴对称图形是沿一条直线折叠后直线两旁部分能完全重合的图形，只有选项C符合． 3．下列说法正确的是（     ） A．“从四大名著中任意抽取一本是《三国演义》”是不可能事件 B．“掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是随机事件 C．“旭日东升”是必然事件 D．“学校合唱队共有13名队员，至少两名队员的生日在同一个月”是不可能事件 【答案】C 【分析】必然事件指一定会发生的事件，不可能事件指一定不会发生的事件，随机事件指可能发生也可能不发生的事件，根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义逐一判断选项即可得到结果． 【详解】A、从四大名著中任意抽取一本，可能抽到《三国演义》，该事件是随机事件，因此A错误； B、掷一枚质地均匀的骰子，点数最大为6，不可能掷出点数7，该事件是不可能事件，因此B错误； C、“旭日东升”是自然规律，一定会发生，该事件是必然事件，因此C正确； D、一年共12个月，13名队员中，至少有两名队员生日在同一个月，该事件是必然事件，因此D错误． 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的基本运算法则，运用合并同类项，单项式除法，单项式乘多项式，完全平方公式逐个计算选项即可判断． 【详解】解：对选项A：， A错误； 对选项B：， B错误； 对选项C：，和等式右侧一致， C正确； 对选项D：， D错误． 5．如图，已知直线，点O是上一点，射线分别与直线交于点E、F，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂直的定义得，进而求出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 6．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A．∵仅给出一个角和一条边，符合条件的三角形有无数个，∴不能画出唯一，不符合要求． B．∵，，，属于的情况，可以画出两个不同的三角形，∴不能画出唯一，不符合要求． C．∵，，，符合全等三角形的判定定理，∴能画出唯一，符合要求． D．∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，∴不能构成三角形，不符合要求． 7．如图，在中，，，，，则点A到边的距离是（     ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【详解】解：设点A到边的距离是， ∵在中，，，，， ∴，即， ∴， 即点A到边的距离是． 8．小刚同学计算一道整式乘法：，由于他抄错了多项式中前面的符号，把“”写成“”，得到的结果为，则的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意得到抄错符号后的等式，展开后对比对应项系数求出和的值，进而计算即可． 解：由题意得，抄错后的算式为， ∵得到的结果为， ∴， 即， ∴，， 解得，， ∴． 9．某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（    ） A．在这个变化中，自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用 B．交寄物品的质量越重，快递费用就越高 C．当交寄物品的质量为时，快递费用为元 D．交寄物品的质量每增加，快递费用增加元 【答案】D 【分析】根据表格信息逐一判断选项即可得到错误结论． 【详解】解：选项A：快递费用随着交寄物品质量的变化而变化，故自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用，A说法正确； 选项B：由表格数据可知，交寄物品质量增大时，快递费用也随之增大，B说法正确； 选项C：查表可得，当交寄物品质量为时，快递费用为元，C说法正确； 选项D：计算相邻费用的差值，当交寄物品的质量从增加到时，快递费用增加元，可知交寄物品质量每增加，快递费用增加元，不是元，D说法不正确． 10．如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，故③错误，符合题意； D、∵， ∴， ∵，， ， ∴，故④正确，不符合题意； 综上，错误的个数为1个． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知，则的余角的度数为___________． 【答案】 【分析】根据互余两角的和为，计算求解即可． 【详解】解：因为互余两角的和为，且， 所以的余角的度数为． 12．人体红细胞的截面可以近似地看成圆，小建的红细胞截面半径为，用科学记数法表示是________． 【答案】 【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法可表示为的形式，其中，为原数左起第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】解：． 13．“冰裂纹”“云头纹”“方胜纹”“浪花纹”是中国传统建筑常见的吉祥装饰纹样，寓意绵延不断、祥瑞圆满．现有工匠需要为一座亭子的栏杆雕刻纹饰，计划从这四种纹样中随机选用两种，其中包含“方胜纹”的概率为__________． 【答案】 /0.5 【分析】首先列举出从四种纹样中随机选用两种的所有等可能结果，再找出其中包含“方胜纹”的结果数，最后利用概率公式计算即可. 【详解】解：设“冰裂纹”为，“云头纹”为，“方胜纹”为，“浪花纹”为.从这四种纹样中随机选用两种，所有可能出现的结果如下：，，，，，.共有种等可能的结果.其中包含“方胜纹”的结果有，，，共种， 包含“方胜纹”的概率． 14．木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为_______． 【答案】 /60度 【分析】根据成轴对称的两个对应点与对称轴上点的连线和对称轴的夹角相等这一性质，所以直线是和的角平分线，可分别求出和的度数，利用，代入上述两个角的度数即可得到结果． 【详解】解：如图所示， ∵和关于直线对称， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 15．如图，在长方形中，动点P从A出发，以相同的速度，沿方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形的面积为 _____． 【答案】21 【分析】利用数形结合的思想进行求解． 【详解】解：由题意可知，当点P从点A运动到点B时，的面积不变，结合图象可知， 当点P从点B运动到点C时，的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知， ∴长方形的面积为：． 16．如图的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值________． 【答案】或4 【分析】先得出t的取值范围，然后分情况讨论：①当点在延长线上时，②当点在线段上时，，证明，可得此时，用含t的式子表示出和，然后得出方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 分情况讨论： ①如图，当点在延长线上时，． ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， 当时，有． ，， ， 解得； ②如图，当点在线段上时，．    同①得， 又， 当时，有． ，， ， 解得； 综上，当与全等时，t的值为秒或4秒． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再进行加减运算； （2）先计算积的乘方，再算单项式乘单项式，然后算单项式除以单项式． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．先化简，再求值：，其中 【答案】，0 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 19．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 【答案】(1)27 (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而求得c的最大值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ，即， ∵c为整数， ∴当，周长的最大值为； （2）解：的三边长为a，b，c， ，，， ∴ ． 20．如图，P是内的一点，点M，N分别是点P关于的对称点，连接与分别相交于点E，F，连接． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质可得，，然后求出的周长； （2）根据轴对称的性质可得，，由此即可求得答案． 【详解】（1）解：、分别是点关于、的对称点， ，， △的周长， ； 的周长等于8； （2）解：如图，连接， ∵点M，N分别是点P关于的对称点， ，， ． ． 21．在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)表中的_____________，_____________； (2)“摸到白球”的概率的估计值是_____________（精确到0.1）； (3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ (4)在（3）的条件下，如果再放入袋中若干个白球，使“摸到白球”的概率为0.8，那么袋中放入了多少个白球？ 【答案】(1) (2) (3) 袋中除白球外还有个其他颜色的球 (4) 袋中放入了个白球 【分析】首先利用频率=频数÷总数的关系计算和的值，再根据大量重复试验中频率稳定值估计概率，接下来根据概率公式求出总球数，进而得到其他颜色球的数量，最后设未知数，根据概率公式列方程求出放入白球的数量. 【详解】（1）解：根据频率计算公式得：，； （2）解：观察表格数据，随着摸球次数增加，摸到白球的频率稳定在附近，因此“摸到白球”的概率的估计值是； （3）解：由（2）得摸到白球的概率估计值为， 因此袋中球的总个数为：（个）， 其他颜色球的个数为：（个）， 答：袋中除白球外还有12个其它颜色的球； （4）解：设袋中放入了个白球，原来总球数为个， 根据题意得 ， 解得：， 答：袋中放入了个白球． 22．如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，与分别表示它们与甲地距离，（千米）与时间t（小时）的关系，则：    (1)摩托车每小时走________千米，自行车每小时走_________千米； (2)摩托车出发后多少小时，它们相遇？ (3)摩托车出发后多少小时，他们相距20千米？ 【答案】(1)40，10； (2)1； (3)摩托车出发后或或小时，他们相距20千米 【分析】（1）根据路程、速度与时间的关系结合图象解答即可； （2）设摩托车出发后x小时，它们相遇，根据相遇问题的特点列出方程求解即可； （3）设摩托车出发后t小时，他们相距20千米，分相遇前、相遇后和摩托车到达终点后三种情况，列出方程求解即可. 【详解】（1）摩托车每小时走：（千米）， 自行车每小时走：（千米）． 故答案为：40，10； （2）设摩托车出发后x小时，它们相遇， ， 解得． 所以摩托车出发后1小时，它们相遇； （3）设摩托车出发后t小时，他们相距20千米； ①相遇前：，解得 ②相遇后：， 解得： ③摩托车到达终点后，，解得； 综上，摩托车出发后或或小时，他们相距20千米. 【点睛】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确读懂图象信息、熟知路程、速度与时间的关系是解题的关键. 23．已知． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，，，的平分线交于点． ①求的度数． ②已知，为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①②当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时， 【分析】（1）过点C作，则有，然后得到，然后计算解题； （2）①过点C作，过点P作，求出，，，根据角平分线的定义结合平行线的性质求出 ，由计算即可得到结论； ②由①可得，，然后分点F在点P的左侧和点F在点P的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①过点C作，过点P作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的角平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴． ②由①得，，， ∵， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当点F在点P的左侧时，如图，则， ∴， ∴； 当点F在点P的右侧时，如图， 则， ∴， ∴． 综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． 24．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 例如： 一个二次三项式有不同的配方形式：，三种不同形式的配方（即余项分别是常数项、一次项、二次项——见横线上的部分），请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方： __________________； (2)将配方（至少两种形式）：____________； (3)我们由和完全平方的非负性知道：代数式的最小值为3，同时由知道：代数式的最大值为1； 解决问题：某农场要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上建一个长方形鸡笼，鸡笼一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设米，请问：当x取何值时，鸡笼的面积最大？最大面积是多少？ (4)拓展延伸：已知，求的值． 【答案】(1) (2)或或 (3)当取时，鸡笼的面积最大，最大面积为； (4) 【分析】（1）根据题中所给的已知材料可得的多种配方形式； （2）根据题中所给的已知材料可得的多种配方形式； （3）设长方形鸡笼面积为，则，求出，通过配方后，即可解答； （4）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值． 【详解】（1）解：的三种配方分别为： ， ， ， ∴； （2）解：， ， ， ∴或或； （3）解：设长方形鸡笼面积为，则， ∵墙长， ∴，即， ∴ ，即， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，有最大值， 答：当取时，鸡笼的面积最大，最大面积为； （4）解：∵， ∴， ∴， ，，， ，，， 则． 25．【观察】 （1）如图，和交于点，且和互相平分，则_____．（填“”“”或“”） 【总结】 当题目中出现“平分”“中点”等词语时，可寻找或构造全等三角形，通过证明三角形全等来解决问题． 【应用】 （）如图，，和交于点，且和互相平分，，，则的度数为______． （）如图，点，在上，为的中点，平分．求证：． 【拓展】 （4）如图，在中，，边上的中线长为，分别为边上的两个动点，在运动过程中始终保持，连接，且，请求出整数的值． 【答案】（）；（）；（）见解析；（）或 【分析】（）利用线段互相平分的性质，结合全等三角形判定证明三角形全等，进而得到线段平行且相等； （）利用与互相平分得出相等线段，再通过判定，由全等得对应角相等，结合的内错角关系，得到，最终计算出的度数； （）先通过延长到点，使得，连接，结合是中点， 利用证明，得到且；再由平分推出，结合已知，利用证明，最终证得； （）利用中线定义和的条件，结合三角形三边关系确定的取值范围，进而得到整数的值． 【详解】（）解：∵和互相平分， ∴，， 又∵(对顶角相等)， ∴， ∴且， 故答案为：=． （）∵和互相平分， ∴， 在和中 ∴ ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （）（证法不唯一）证明：如图，延长到点，使得，连接． ∵是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （）如图，过点作，且，在上截取，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，有最小值，此时可得， ∴， ∴是的中点，此时的值最小，最小值为． ∴， ∴， ∴整数的值为或． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $