七年级数学下学期期末模拟卷（新教材湘教版七下全部，高效培优）

**基本信息** 以湘教版七下知识为核心，融合人工智能图标、机器人马拉松等时代情境，通过杨辉三角探究、统计图表分析等设计，考查抽象能力、推理意识与数据观念的期末模拟卷。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数、轴对称、平行线性质等|以AI图标考轴对称（时代情境），结合数轴考实数关系（几何直观）| |填空题|6/18|立方根、多项式乘积、不等式组参数等|折叠问题考空间观念，多项式乘积不含某项考运算能力| |解答题|8/72|统计图表、二元一次方程组、杨辉三角探究等|杨辉三角考规律推理（文化传承），读书活动统计考数据意识（生活实践）|

2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材湘教版七下全部。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列实数中，是无理数的是（     ） A．1 B． C． D． 2．以下四款常用的人工智能大模型的图标，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，，若，则的度数为（     ） A．35° B．45° C．55° D．65° 4．某中学初中三个年级有32个班，共1600名学生，现要调查这些学生的睡眠质量情况，下列抽样方式合适的是（    ） A．选取该校各班的班长和学习委员 B．在该校七、八年级的每个班中，随机选取5名学生 C．从该校的1600名学生中，随机选取100名女生 D．选取该校各班学号尾数为3的学生 5．不等式组的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 6．已知，，m，n为正整数，则的结果是（     ） A． B． C． D． 7．如图，一个平面镜放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜与挡板形成的锐角为，一光束从点处出发，投射到平面镜上的点处，反射光束投射到挡板上的点处，已知，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 9．著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．比如在学习“整式的乘法”时，由图1可得等式．图2是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线等分成4块小长方形．将其中2块小长方形置于一个边长为的正方形框内，摆放如图3所示，用两种不同的方法表示空白部分的面积可得到的等式为（     ） A． B． C． D． 10．4月19日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大．如图1，这是某款机器人跑步的姿态，图2为其平面示意图，其中，，．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．有理数的立方根为_________． 12．已知多项式与的乘积中不含项和常数项，则___________． 13．如果，，那么的平方根是________． 14．若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围为___________． 15．如图，，直线交于点，平分，若，则的度数为___________． 16．如图，在长方形中，点在边上，将沿翻折至处， 交于点，分别交于点若，，则用表示=______． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 18．计算： (1)； (2)． 19．先化简，再求值：，其中． 20．如图，已知点，分别是射线，上的点．连接，平分，平分，． (1)试证明； (2)若，求的度数． 21．如图，将绕着点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，若，，求的面积． 22．某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读总时间为x小时，将它分为4个等级：A（），B（），C（），D（），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图的信息，解决下列问题： (1)本次共调查了 名学生； (2)请补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 ； (4)若全校共有3000名学生，请估计每周课外阅读总时间不少于4小时的学生有多少人？ 23．某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用21000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多5000元． (1)求A型空调和B型空调每台各需多少元； (2)若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过115000元，该校共有哪几种采购方案？ 24．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角” 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数依次为______、______； (2)展开式共有______项，第100项的系数为______； (3)根据上面的规律，写出的展开式______； (4)利用上面的规律计算：； (5)假如今天是星期六，那么再过是星期几？（直接写出结果） 25．已知． (1)如图1，点是，之间的一点，连接，，求证：． (2)如图2，点，是，之间的两点，当时，请直接写出和之间的数量关系． (3)如图3，线段平分．交直线于点，的平分线交于点且，已知，，求的度数． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D B A C B B B 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11． 12． 13． 14． 15．/66度 16． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．， 【详解】解： 解不等式①得， ------------1分 解不等式②得， ------------2分 原不等式组的解集为， ------------4分 解集在数轴上表示为： ------------6分 18．(1)11 (2) 【详解】（1）解： ； ------------3分 （2）解： ． ------------6分 19．， 【详解】解： ． ------------4分 当时， 原式 ． ------------6分 20．(1)证明：平分， ， ， ， ； -----------2分 (2) 【分析】（1）根据角平分线定义结合已知等量代换证明，即可得证； （2）由平行线的性质可得，由角平分线性质可得，结合邻补角，，等量代换计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ， ． 平分， ． ， ． ， ， ． ------------6分 21．(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：将绕着点顺时针旋转得到， ，， ， ， ． ------------4分 （2）（2）由题意可知，，， ， ，， ， ． ------------8分 22．(1)50 (2)见解析 (3)108 (4)1980人 【详解】（1）解：本次被抽取的学生人数为：（人）； ------------2分 （2）解：“C等级”的人数为：（人）； 补全条形统计图如下： ------------4分 （3）解：“D等级”所对应扇形的圆心角度数为：； ------------6分 （4）解：（人）， ------------8分 答：估计每周课外阅读总时间不少于4小时的学生有1980人． 23．(1)A型空调每台需5000元，B型空调每台需3000元 (2)该校共有三种采购方案： 方案一：采购A型空调10台，则采购B型空调20台； 方案二：采购A型空调11台，则采购B型空调19台； 方案三：采购A型空调12台，则采购B型空调18台 根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设型空调每台需元，型空调每台需元． 由题意得，，2分 解得， 答：A型空调每台需5000元，B型空调每台需3000元； ------------4分 （2）解：设采购型空调台，则采购型空调台， 由题意得，， 解得， 为整数， 或11或12， ∴该校共有三种采购方案： 方案一：采购A型空调10台，则采购B型空调20台； 方案二：采购A型空调11台，则采购B型空调19台； 方案三：采购A型空调12台，则采购B型空调18台． ------------8分 24．(1)6，10 (2)102，5050 (3) (4) (5)星期日 【详解】（1）解：根据规律可得，； 故图中括号内的数依次为6、10； ------------2分 （2）解：展开式的项数为项， 在杨辉三角中，第行第个数（从开始计数）就是展开式中第项的系数， 那么展开式第项，即第个系数（从开始计数）， 根据杨辉三角的对称性，它与第个系数相同， 通过杨辉三角的规律可知，展开式第个系数为， 所以第项的系数为． ------------5分 （3）解：根据杨辉三角的规律，的展开式各项系数依次为；；；；；；， 所以． ------------7分 （4）解：观察原式， 发现它与的展开式形式相似， 令，，则原式可转化为． ------------9分 （5）解：因为， 所以：． 则， 前面所有项都有因数 7，所以这些项都是7 的倍数，除以 7 余数都是 0； 只有最后一项：，不是 7 的倍数． 所以，除以 7 的余数，就等于最后一项的余数：1， 余数是 1，说明再过天，相当于在星期六的基础上往后数 1 天， 那么再过是星期日． ------------12分 25．(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：如图，过M作， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴； ------------3分 （2）解：， 理由：如图，过M作，过N作 ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ------------7分 （3）解：设，， ∵线段平分．交直线于点，的平分线交于点， ∴，， 如图，过M作，过N作，过G作， ∵， ∴， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∴． ------------12分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材湘教版七下全部。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列实数中，是无理数的是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、1是正整数，属于有理数； B、是无限不循环小数，属于无理数； C、，是正整数，属于有理数； D、是负分数，属于有理数． 2．以下四款常用的人工智能大模型的图标，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据沿一条直线折叠后能够互相重合的图形是轴对称图形进行判断即可． 【详解】解：A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意． 3．如图，，若，则的度数为（     ） A．35° B．45° C．55° D．65° 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，利用两直线平行同位角相等（内错角相等）解题即可． 【详解】如图， ， ， ，， ， ． 4．某中学初中三个年级有32个班，共1600名学生，现要调查这些学生的睡眠质量情况，下列抽样方式合适的是（    ） A．选取该校各班的班长和学习委员 B．在该校七、八年级的每个班中，随机选取5名学生 C．从该校的1600名学生中，随机选取100名女生 D．选取该校各班学号尾数为3的学生 【答案】D 【分析】判断抽样是否合适的依据是样本需具有代表性和广泛性，能够反映总体的特征，保证每个个体被抽取的机会均等． 【详解】解：A选项仅选取班长和学习委员，样本局限于特定学生群体，不具有代表性，因此A不合适； B选项仅选取七、八年级学生，遗漏九年级学生，样本不全面，不具有广泛性，因此B不合适； C选项仅选取女生，遗漏男生，样本偏向特定群体，不具有代表性，因此C不合适； D选项选取所有班级中学号尾数为3的学生，样本覆盖三个年级全体学生，每个学生被抽取的机会均等，具有代表性和广泛性，因此D合适． 5．不等式组的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式②，得， ， 不等式组的解集为． 解集在数轴上表示为 6．已知，，m，n为正整数，则的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ∵， ∴代入得． 7．如图，一个平面镜放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜与挡板形成的锐角为，一光束从点处出发，投射到平面镜上的点处，反射光束投射到挡板上的点处，已知，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，可证，推出，，求出，即可得到，再求出即可解答． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，逐一判断即可． 【详解】解：A、由数轴可知，，故此选项错误； B、由数轴可知，，∴，故此选项正确； C、由数轴可知，，∴，，，故此选项错误； D、由数轴可知，，∴，，∴，故此选项错误． 9．著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．比如在学习“整式的乘法”时，由图1可得等式．图2是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线等分成4块小长方形．将其中2块小长方形置于一个边长为的正方形框内，摆放如图3所示，用两种不同的方法表示空白部分的面积可得到的等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形和长方形的面积公式来求解． 【详解】解：空白正方形的边长为， 方法一：空白部分的面积为：； 方法二：空白部分的面积为：， 可得到的等式为：． 10．4月19日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大．如图1，这是某款机器人跑步的姿态，图2为其平面示意图，其中，，．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长至，作，则有，通过角度的和差关系求解即可； 【详解】解：，， ， 如图，延长至，作， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．有理数的立方根为_________． 【答案】 【详解】解：的立方根为． 12．已知多项式与的乘积中不含项和常数项，则___________． 【答案】 【分析】先计算出两个多项式的乘积，由题意可知项的系数和常数项都是，从而得到和的值，最后计算出即可． 【详解】解：， ∵乘积中不含项和常数项， ∴，， ∴，， ∴． 13．如果，，那么的平方根是________． 【答案】 【分析】当一个非负数的被开方数扩大（或缩小） 倍、 倍……（即 倍）时，它的算术平方根会相应地扩大（或缩小） 倍、 倍……（即 倍）． 【详解】解：∵， ∴， ∴的平方根是． 14．若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围为___________． 【答案】 【分析】先计算，进而根据“关于x的不等式组的解集为”作答即可． 【详解】解：解得， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴要使不等式组的解集为，则需． 15．如图，，直线交于点，平分，若，则的度数为___________． 【答案】/66度 【分析】由平行线的性质得出，由对顶角相等得出，由角平分线的定义得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 16．如图，在长方形中，点在边上，将沿翻折至处， 交于点，分别交于点若，，则用表示=______． 【答案】 【分析】根据长方形的性质可得，根据折叠的性质，可得，又，根据平行线的性质可得，即可用表示出． 【详解】解：翻折是轴对称变换，因此，，， ， ， 又为长方形， ， ． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 原不等式组的解集为， 解集在数轴上表示为： 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)11 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算整式的乘法，再合并同类项，最后把代入计算即可． 【详解】解： ． 当时， 原式 ． 20．如图，已知点，分别是射线，上的点．连接，平分，平分，． (1)试证明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：平分， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据角平分线定义结合已知等量代换证明，即可得证； （2）由平行线的性质可得，由角平分线性质可得，结合邻补角，，等量代换计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ， ． 平分， ． ， ． ， ， ． 21．如图，将绕着点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质，等边对等角，三角形内角和，证明即可； （2）由题意可知，，，得到，根据三角形的面积公式求解即可； 【详解】（1）证明：将绕着点顺时针旋转得到， ，， ， ， ． （2）（2）由题意可知，，， ， ，， ， ． 22．某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读总时间为x小时，将它分为4个等级：A（），B（），C（），D（），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图的信息，解决下列问题： (1)本次共调查了 名学生； (2)请补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 ； (4)若全校共有3000名学生，请估计每周课外阅读总时间不少于4小时的学生有多少人？ 【答案】(1)50 (2)见解析 (3)108 (4)1980人 【分析】（1）由B等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数； （2）先求解C等级人数再补全图形即可； （3）用乘以D等级人数所占的百分比即得答案； （4）用样本中每周课外阅读总时间不少于4小时的学生人数占比去估算全校学生中每周课外阅读总时间不少于4小时的学生人数占比，再用总人数乘以这个百分比即可． 【详解】（1）解：本次被抽取的学生人数为：（人）； （2）解：“C等级”的人数为：（人）； 补全条形统计图如下： （3）解：“D等级”所对应扇形的圆心角度数为：； （4）解：（人）， 答：估计每周课外阅读总时间不少于4小时的学生有1980人． 23．某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用21000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多5000元． (1)求A型空调和B型空调每台各需多少元； (2)若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过115000元，该校共有哪几种采购方案？ 【答案】(1)A型空调每台需5000元，B型空调每台需3000元 (2)该校共有三种采购方案： 方案一：采购A型空调10台，则采购B型空调20台； 方案二：采购A型空调11台，则采购B型空调19台； 方案三：采购A型空调12台，则采购B型空调18台 【分析】（1）设型空调每台需元，型空调每台需元，根据题意列出方程组解答即可求解； （2）设采购型空调台，则采购型空调台，根据题意列出不等式组，求出的取值范围即可求解； 根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设型空调每台需元，型空调每台需元． 由题意得，，2分 解得， 答：A型空调每台需5000元，B型空调每台需3000元； （2）解：设采购型空调台，则采购型空调台， 由题意得，， 解得， 为整数， 或11或12， ∴该校共有三种采购方案： 方案一：采购A型空调10台，则采购B型空调20台； 方案二：采购A型空调11台，则采购B型空调19台； 方案三：采购A型空调12台，则采购B型空调18台． 24．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角” 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数依次为______、______； (2)展开式共有______项，第100项的系数为______； (3)根据上面的规律，写出的展开式______； (4)利用上面的规律计算：； (5)假如今天是星期六，那么再过是星期几？（直接写出结果） 【答案】(1)6，10 (2)102，5050 (3) (4) (5)星期日 【分析】（1）观察杨辉三角的规律，杨辉三角中，每行数字左右对称，且每个数等于它上方两数之和即可求解； （2）对于（为非负整数）的展开式，其项数为项，进行求解，再进行展开求解即可； （3）根据杨辉三角的规律，的展开式各项系数依次找出，求解即可； （4）观察算式，它与二项式的展开式结构完全一致，其中，，因此原式可化简为，计算即可； （5）将转化为与有关的形式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据规律可得，； 故图中括号内的数依次为6、10； （2）解：展开式的项数为项， 在杨辉三角中，第行第个数（从开始计数）就是展开式中第项的系数， 那么展开式第项，即第个系数（从开始计数）， 根据杨辉三角的对称性，它与第个系数相同， 通过杨辉三角的规律可知，展开式第个系数为， 所以第项的系数为． （3）解：根据杨辉三角的规律，的展开式各项系数依次为；；；；；；， 所以． （4）解：观察原式， 发现它与的展开式形式相似， 令，，则原式可转化为． （5）解：因为， 所以：． 则， 前面所有项都有因数 7，所以这些项都是7 的倍数，除以 7 余数都是 0； 只有最后一项：，不是 7 的倍数． 所以，除以 7 的余数，就等于最后一项的余数：1， 余数是 1，说明再过天，相当于在星期六的基础上往后数 1 天， 那么再过是星期日． 25．已知． (1)如图1，点是，之间的一点，连接，，求证：． (2)如图2，点，是，之间的两点，当时，请直接写出和之间的数量关系． (3)如图3，线段平分．交直线于点，的平分线交于点且，已知，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过M作，则，根据平行线的性质得出，，结合即可得证； （2）过M作，过N作，根据平行线的判定与性质得出，，，结合，得出，根据，，得出，即可求解； （3）设，，根据平行线的性质得出，，过M作，过N作，过G作，根据平行线的判定与性质得出，，，，，，，，，则，，解方程组即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过M作， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴； （2）解：， 理由：如图，过M作，过N作 ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，， ∵线段平分．交直线于点，的平分线交于点， ∴，， 如图，过M作，过N作，过G作， ∵， ∴， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∴． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $