精品解析：2026年上海市市北初级中学中考冲刺数学试卷02

上海市市北初级中学北校2026届中考冲刺数学试卷02 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了指数运算和幂的除法法则，解题关键是根据法则逐一验证各选项的正确性。 【详解】解：A、，任何非零数的零次方均为1，故A错误，不符合题意； B、，负数的奇数次方结果仍为负，计算正确，故B正确，符合题意； C、，但选项中写为，系数位置错误，故C错误，不符合题意； D、，而选项中结果为，符号错误，故D错误，不符合题意； 故选： B． 2. 解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，设，将原方程中的分式项用表示，通过代数变形消去分母，转化为整式方程． 【详解】设，则， 因此． 原方程可化为： 两边同乘，消去分母： 移项整理得：． 故选：B． 3. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的判断，根据形如，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、y是x的正比例函数，不符合题意； B、y是x的反比例函数，符合题意； C、y是的反比例函数，不符合题意； D、y是x的二次函数，不符合题意； 故选B． 4. 无人机在12分钟内的飞行高度h（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. 无人机飞行的最高高度约为50米 C. 在范围内，无人机有2次高度达到43米 D. 前8分钟内，无人机的高度在持续上升 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数的图象；从函数的图象获取信息逐一判断即可． 【详解】解：由图可知： 当时，，故A正确； 无人机飞行的最高高度约为50米，故B正确； 在范围内，无人机有2次高度达到43米，故C正确； 前8分钟内，无人机的高度有上升有下降，故D错误； 故选：D． 5. 如图，在正六边形中，直线从点出发向右平移，且，设直线在正六边形内部截得的线段的长为，平移的距离为与之间的函数关系的图形如图2所示，则正六边形的面积为( ) A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查识别函数图象，正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，取正六边形的中心O，连接，，，连接、、，可得正六边形面积是等边的两倍，再根据等边三角形的面积公示求解即可．明确正六边形可由六个正三角形拼成是解题的关键． 【详解】解：如图，取正六边形的中心O，连接，，， 则，，将正六边形分成三个菱形，每个菱形都由两个与正六边形边长相等的等边三角形拼成， 连接、、， 则正六边形被分成六个全等且底角是3的等腰三角形，也是等边三角形， ∴正六边形面积是的两倍． 由函数图象可知当l与线段有交点时，有最大值，即 又∵等边三角形的面积公式是，(其中a是等边三角形的边长)， ∴正六边形面积是：， 故选：C． 6. 如图1，在菱形中，对角线、相交于，要在对角线上找两点、，使得四边形是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（ ） A. 只有甲 B. 只有乙 C. 甲和乙 D. 甲乙都不是 【答案】C 【解析】 【分析】本题综合考查了菱形的判定和性质．根据菱形的性质可得，然后根据给出的方案结合菱形的判定方法进行判定即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故方案甲正确； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故方案乙正确． 故选：C． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 因式分解： =__________． 【答案】（x+4）（x-4） 【解析】 【分析】 【详解】x2-16=(x+4)(x-4)， 故答案为：(x+4)(x-4) 8. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的减法计算，掌握运算法则是解题的关键． 先处理分母的符号，将其化为同分母的分式减法计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 方程的解是_____． 【答案】x=2 【解析】 【分析】把方程两边平方去根号得一元一次方程，计算即可得到答案． 【详解】解：两边同时平方可得：x+2＝4 可解得：x＝2，经检验，x=2是原方程的解； 故答案为：x＝2． 【点睛】本题考查解无理方程，对方程两边同时平方及正确计算是解题的关键． 10. 函数的定义域是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不为零即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．本题可以利用一元二次方程的根判别式，通过判别式大于零建立关于k的不等式，进而求解k的取值范围． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得． 故答案为：． 12. 从，2，3，这四个数中任意选两个数，分别记作m，n，则点在函数图象上的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点在函数图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： 共有12种等可能的结果，其中点在函数的图象上的有2种， 则点在函数的图象上的概率是， 故答案为：． 13. 点在二次函数的图象上．若，写出一个符合条件的m的值______． 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟知二次函数的性质是解题的关键． 由解析式可得抛物线的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， ∵点在二次函数的图象上．若， ∴或． ∴m的值可以为5． 故答案为：5（答案不唯一）． 14. 如图，点、分别在边、上，且，．设，，那么用向量、表示向量为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面向量，根据平行线分线段成比例得出，，再根据平面向量三角形运算法则求出即可推出结果． 【详解】解：∵．， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. “黑发不知勤学早，白首方悔读书迟．”某校数学兴趣小组随机抽取了部分同学，调查他们最喜欢阅读的课外图书类别，将调查结果绘制成如图所示的两个统计图： 若该校共有学生2000人，则该校最喜欢科学类图书的学生大约有__________人． 【答案】800 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合问题，样本估计总体，先求出被调查人数，再求出样本中最喜欢科学类的人数，利用该校总人数乘以样本中喜欢科学类图书的学生人数所占的比求解即可． 【详解】被调查人数是：， 样本中最喜欢科学类的人数是：(人) (人) ∴该校最喜欢科学类图书的学生大约有800人． 故答案为：800． 16. 《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》，这本著作建立了从直接测量到间接测量的桥梁，直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．某实践小组利用重差法测量海岛上一座山峰的高度，分别在，两点观察山顶点，测得仰角分别为，，同时测得长为200米，则山峰的高度约为_____米．(，，) 【答案】200 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——俯仰角．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 根据正切的定义得出，，从而得到，，继而得解． 【详解】解：由题意得， ∵在，两点观察山顶点，测得仰角分别为，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ∴的高度约为． 故答案为：200． 17. 如图1，点是以为半径的圆外一点，点在线段上，若满足，则称点是点关于圆的“反演点”．如图2，在中，，，，圆的半径为2，如果点、分别是点、关于圆的“反演点”，那么的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，先根据“反演点”的定义得出，然后证明，得出，根据勾股定理求出，根据“反演点”的定义求出，即可求解． 【详解】解：∵点、分别是点A、B关于的反演点， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵的半径r为2， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：. 18. 如图，已知中，，，将绕点旋转至，如果直线，垂足记为点，那么的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正弦函数，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．设，则，，分两种情况讨论，画出图形，利用相似三角形的判定和性质，列式计算即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴， 设，则，， ∵将绕点旋转至， ∴，则，，，， 如图，，，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴； 如图，，，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 三． 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，再计算算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 20. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①，得； 解不等式②，得； 所以原不等式组的解集是． 21. 定义运算“”：． （1）计算：； （2）画出函数的图象． 【答案】（1）12 （2）根据题意可知，，当时，与的关系式为； 当时，与的关系式为；列表如下： … … … … 描点、连线，如图所示． 【解析】 【分析】（1）根据新运算法则得出的值； （2）分类讨论：当时和时，分别写出与的关系式，再画出图象． 【小问1详解】 解：根据题意可知， ∵， ∴ 【小问2详解】 略 22. 根据下列素材，完成探索任务． 核验山区5G信号塔高度项目 素材1 图①是某山区信号塔高度检测基地的横断面示意图，它是由一段斜坡与一段水平地面构成．斜坡用表示，水平地面用表示．有两个监测点分别在斜坡的端点A点处与水平地面上的C点处．根据选址时勘测日志中的记载，A点的地面海拔高度为592米，B点的地面海拔高度为542米，A、B两点垂直方向上的高度差即为海拔差，在整个检测过程中，检测员小李从A点到B点共走了130米，从B点到C点共走了60米． 素材2 图②为信号塔高度检测基地与修建在山上的5G信号塔与山的横断面示意图，垂直于水平面的5G信号塔就建在山上的Q点处．根据施工日志资料显示，信号塔底Q点的海拔高度为802米．检测员小李在检测基地的A点处利用测角仪测得塔顶P点的仰角为，在C点利用测角仪测得塔顶P点的仰角为，测角仪的高度忽略不计． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图②，根据小李记录下的测量数据，求这个5G信号塔的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）；（2）36米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰俯角和坡比问题，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作，交延长线于点，由题意得：米，米，则由勾股定理得米，则，继而可求坡比； （2）过点A作交延长线于点，延长交延长线于点，设，则，，在中，，则，故，在中，，得到，即可求解． 【详解】解：（1）延长，过点A作，交延长线于点， 由题意得：米，米， 则由勾股定理得：米， ∴， ∴斜坡的坡比为：； （2）过点A作交延长线于点，延长交延长线于点， 则由题意得：米，，米，米， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 答：这个5G信号塔的高度为36米． 23. 如图，平行四边形ABCD中，它的两条高、相交于点，，与的延长线相交于点，连接． （1）求证：； （2）求证： 【答案】（1） 证明：， 是等腰直角三角形， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． （2） 证明：四边形是平行四边形， ， ， 由（1）已证：， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据垂直的定义可得，从而可得，然后根据全等三角形的判定证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据平行四边形的性质可得，由此即可得证； （2）先根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与抛物线的一个交点为A，点A的横坐标为2，点分别是抛物线上的动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当四边形为平行四边形时，求点的坐标； （3）设点为抛物线上另一个动点，当平分，且时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出A点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设点P的坐标为，通过平行西变形的性质得到点Q的坐标为，再把Q点坐标代入抛物线中，列出方程求解即可； （3）当点P在y轴左侧时，抛物线不存在点R使得平分，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在的上方，点R在的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作于点H，则有，证明可得，设点P坐标为，点R坐标为，由相似比得到，进而得，过点Q作轴于点K，设点Q坐标为，由得到关于m的方程求得m，进而完成解答． 【小问1详解】 解：将代得， ∴点A的坐标为， 将，代入，得∶ ，解得∶ ， ∴抛物线：． 【小问2详解】 解：如图，设点P的坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 则点Q的坐标为， 将代入，得： ，解得或， 因为时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去， 此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：当点P在y轴左侧时，抛物线不存在点R使得平分， 当点P在y轴右侧时，不妨设点P在的上方，点R在的下方， 过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T， 过点P作于点H，则有， 由平分，得，则， ∴， ∴， 设点P坐标为，点R坐标为， 所以有整理得：， 在中，， 过点Q作轴于点K， 设点Q坐标为， 若，则需， 所以， 所以解得∶， 所以点Q坐标为或． 25. 已知⊙的半径为3，弦，中，，，．在平面上，先将和⊙按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙上，点C在⊙内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在⊙上随之移动． （1）当点B与点N重合时，求劣弧的长； （2）如图2，若点A在所对优弧上，且，求点O到的距离； （3）若斜边经过点O，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）如图1，连接，根据已知条件推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据弧长公式得到的长度； （2）连接、，过A作于H，过O作于G，根据等腰三角形三线合一的性质得到，，结合已知，可得，进而可得，由垂径定理可得，，再求得，由此求出； （3）如图，过O作于，过B作于点P，连接，根据相似求出和的长，从而求得的长，根据勾股定理求得和的长，再求出的长，从而可以求出的长． 【小问1详解】 解：如解图1，连接， ， 是等边三角形， ， 的长度； 【小问2详解】 如解图2，连接、，过A作于H，过O作于G， ∵， ∴，， ， ， ∴， ∴， 又∵在的直径上， ∴， ， ∴在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， 即点O到的距离为； 【小问3详解】 如图，过O作于，过B作于点P，连接， 情况1：如解图3-1，当点A在劣弧上， ∵，，， ∴， ，， 过点O， ， ， 在中，， ∵， ∴， ∴在中， ， 在中，， ． 情况2：当点A在优弧上，如解图3-2， 同理可求： 综上所述：的长或． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了勾股定理，三角形的面积公式，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市市北初级中学北校2026届中考冲刺数学试卷02 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是（　　） A. B. C. D. 3. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 无人机在12分钟内的飞行高度h（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A. 当时， B. 无人机飞行的最高高度约为50米 C. 在范围内，无人机有2次高度达到43米 D. 前8分钟内，无人机的高度在持续上升 5. 如图，在正六边形中，直线从点出发向右平移，且，设直线在正六边形内部截得的线段的长为，平移的距离为与之间的函数关系的图形如图2所示，则正六边形的面积为( ) A. 2 B. C. D. 6. 如图1，在菱形中，对角线、相交于，要在对角线上找两点、，使得四边形是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（ ） A. 只有甲 B. 只有乙 C. 甲和乙 D. 甲乙都不是 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 因式分解： =__________． 8. 化简：_______． 9. 方程的解是_____． 10. 函数的定义域是_____． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 12. 从，2，3，这四个数中任意选两个数，分别记作m，n，则点在函数图象上的概率是______． 13. 点在二次函数的图象上．若，写出一个符合条件的m的值______． 14. 如图，点、分别在边、上，且，．设，，那么用向量、表示向量为____． 15. “黑发不知勤学早，白首方悔读书迟．”某校数学兴趣小组随机抽取了部分同学，调查他们最喜欢阅读的课外图书类别，将调查结果绘制成如图所示的两个统计图： 若该校共有学生2000人，则该校最喜欢科学类图书的学生大约有__________人． 16. 《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》，这本著作建立了从直接测量到间接测量的桥梁，直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．某实践小组利用重差法测量海岛上一座山峰的高度，分别在，两点观察山顶点，测得仰角分别为，，同时测得长为200米，则山峰的高度约为_____米．(，，) 17. 如图1，点是以为半径的圆外一点，点在线段上，若满足，则称点是点关于圆的“反演点”．如图2，在中，，，，圆的半径为2，如果点、分别是点、关于圆的“反演点”，那么的长是________． 18. 如图，已知中，，，将绕点旋转至，如果直线，垂足记为点，那么的值为______． 三． 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分） 19. 计算： 20. 解不等式组：． 21. 定义运算“”：． （1）计算：； （2）画出函数的图象． 22. 根据下列素材，完成探索任务． 核验山区5G信号塔高度项目 素材1 图①是某山区信号塔高度检测基地的横断面示意图，它是由一段斜坡与一段水平地面构成．斜坡用表示，水平地面用表示．有两个监测点分别在斜坡的端点A点处与水平地面上的C点处．根据选址时勘测日志中的记载，A点的地面海拔高度为592米，B点的地面海拔高度为542米，A、B两点垂直方向上的高度差即为海拔差，在整个检测过程中，检测员小李从A点到B点共走了130米，从B点到C点共走了60米． 素材2 图②为信号塔高度检测基地与修建在山上的5G信号塔与山的横断面示意图，垂直于水平面的5G信号塔就建在山上的Q点处．根据施工日志资料显示，信号塔底Q点的海拔高度为802米．检测员小李在检测基地的A点处利用测角仪测得塔顶P点的仰角为，在C点利用测角仪测得塔顶P点的仰角为，测角仪的高度忽略不计． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图②，根据小李记录下的测量数据，求这个5G信号塔的高度．（参考数据：，，，，，） 23. 如图，平行四边形ABCD中，它的两条高、相交于点，，与的延长线相交于点，连接． （1）求证：； （2）求证： 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，与抛物线的一个交点为A，点A的横坐标为2，点分别是抛物线上的动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当四边形为平行四边形时，求点的坐标； （3）设点为抛物线上另一个动点，当平分，且时，求点的坐标． 25. 已知⊙的半径为3，弦，中，，，．在平面上，先将和⊙按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙上，点C在⊙内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在⊙上随之移动． （1）当点B与点N重合时，求劣弧的长； （2）如图2，若点A在所对优弧上，且，求点O到的距离； （3）若斜边经过点O，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $