11.6 角平分钱 培优作业 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

**基本信息** 本同步练习聚焦角平分线性质与尺规作图，采用“夯基础+练能力”分层设计，通过基础题巩固核心概念，能力题深化推理与创新，适配新授课知识内化与思维进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|角平分线性质、判定、尺规作图操作|以选择、填空为主，直接应用性质（如点到距离计算），结合简单证明（如第5题周长计算），培养几何直观与运算能力| |练能力|角平分线与全等、等腰三角形综合应用|设置探究题（如第13题线段关系）、多结论判断题（如第12题），需构造辅助线推理，发展推理意识与创新意识|

第十一章 三角形的证明及其应用 6 角平分钱 第1课时 角平分线 夯基础 1.已知 AF 是等腰△ABC 底边BC 上的高,若点 F 到直线AB 的距离为3,则点 F 到直线AC 的距离为 ( ) A. B.2 C.3 D.7 2.如图,在△ABC 中,AB=5,AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D,DE⊥AC,垂足为 E,△ABD 的面积为 5,则 DE 的长为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.5 3. 如图,∠AOB = 150°,OP 平分∠AOB,PD⊥OB 于点 D,PC∥OB 交OA 于点C,若 PD=3,则 OC 的长为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 4.已知,如图,在△ABC中,点 P 在 BC 边上,PM⊥AB 于 M,PN⊥AC 于 N,且AM=AN,PQ∥AB 交AC 于点 Q,下列结论:①PM = PN ②∠BPM+∠CPN =∠PQC ③PQ=PB.其中正确的是 ( ) A.①② B.②③ C.① D.①②③ 5. 如图,△ABC 中,BO,CO 分别平分∠ABC,∠ACB,OM∥AB,ON∥AC,BC=10cm,则△OMN 的周长为 6. 如图,AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB 于点E, AB=8cm ,AC=10 cm,则 DE 的长为 cm. 7. 如图,已知 AD 是△ABC 的角平分线,DE,DF 分别是△ABD 和△ACD 的高,AE=12,DF=5,则点 E 到直线AD 的距离为 . 8.如图,DE⊥AB 于点E,DF⊥AC 于点 F,BD=CD,BE=CF.若 AE=5.8,AB=4.7,则AC 的长为 . 9.在△ABC 中,已知∠A=60°,∠ABC 的平分线BD 与∠ACB 的平分线CE 相交于点O,∠BOC 的平分线交 BC 于 F,则下列说法中正确的是 . ①∠BOE =60° ②∠ABD =∠ACE ③OE=OD ④BC=BE+CD 10. 如图,在△ABC 中,AC>AB,AD 平分∠BAC,点 D 到点 B与点C 的距离相等,过点 D 作 DE⊥BC于点E. (1)求证:BE=CE; (2)请直接写出∠ABC,∠ACB,∠ADE三者之间的数量关系： ； (3)若∠ACB = 40°,∠ADE = 20°,求∠DCB 的度数. 11.如图,△ABC 的角平分线AE,BF 交于O点. (1)若∠ACB=70°,则∠BOA= ; (2)求证:点O 在∠ACB 的角平分线上; (3)若OE=OF,求∠ACB 的度数. 练能力 12.如图，已知△ABC和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD =90°,BD,CE 交于点 F,连接AF,下列结论:①BD=CE ②∠AEF=∠ADF ③BD⊥CE ④AF 平分∠CAD ⑤∠AFE=45°.其中结论正确的序号是 13.已知点 C 是∠MAN 的平分线上一点,∠BCD 的两边CB,CD 分别与射线AM,AN 相交于 B,D 两点,且∠ABC+∠ADC=180°.过点 C 作CE⊥AM,垂足为E. (1)如图1,当点 E 在线段AB 上时,求证:BC=DC; (2)如图2，当点 E 在线段AB 的延长线上时，探究线段 AB，AD 与 BE 之间的等量关系； (3)如图3,在(2)的条件下,若∠MAN=60°,连接 BD,作∠ABD 的平分线 BF 交AD 于点 F,交 AC 于点O,连接 DO 并延长交AB 于点G.若 BG=1,DF=2,求线段 DB 的长. 第2课时 三角形的角平分线与尺规作图 夯基础 1.在如图三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线 AD 平分∠BAC 的是( ) A.图1 B.图1与图2 C.图1与图3 D.图2与图3 2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,按如下步骤作图：①以点 B 为圆心，适当长为半径画弧,分别交 BA,BC 于点 D,E;②分别以点 D，E 为圆心，大于 DE 长为半径画弧，两弧在∠ABC 的内部相交于点 F，作射线 BF 交AC 于点G.则∠ABG 的角度为( ) A.35° B.70° C.105° D.115° 3.条公路将 A,B,C 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三角形 ( ) A.三条高线的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点 4.在△ABC 中,AB=8,∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于 O,OD⊥AB 于点 D,△ABO 的面积是 12,△ABC 的面积是45,则AC+BC为( ) A.20 B.21 C.22 D.23 5.如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,分别以顶点 A,C 为圆心,大于 AC 的长为半径画弧，两弧分别相交于点 M 和点 N,作直线 MN 分别与 BC,AC交于点E 和点F；以点 A 为圆心，任意长为半径画弧,分别交 AB,AC 于点 H 和点G,再分别以点 H，点G 为圆心，大于 HG 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP，若射线 AP 恰好经过点 E，则下列四个结论： ①∠C=30° ②AP 垂直平分线段 BF ③CE=2BE 其中，正确结论的个数有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图，△ABC 的三条角平分线交于点O，OD⊥AC,若△ABC 的周长为 10,OD =4,则S△ABC= . 7.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,一位同学利用直尺和圆规完成如下操作：以点 B为圆心，以适当长为半径画弧，交 BC 于点M,交AB 的延长线于点N;分别以点 M,N为圆心，以大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 BP 交 AC 的延长线于点 D.过点 D 作 DF⊥AB 交 AB 的延长线于点F,若AC=4,BC=3,则CD= . 8.请仅用无刻度的直尺完成以下作图： (1)如图 1,在△ABC 中,BE,CD 分别为∠ABC,∠ACB 的角平分线,请作出∠BAC 的角平分线； (2)如图2,在△ABC 中,∠A=90°,点 D 为边 AC 上一点,点 B,C 关于DE 对称,请作出 BD 的一条垂线. 9.如图,△ABC 是等腰三角形,AB=AC,∠A=36°. (1)尺规作图:作∠ABC 的平分线,交 AC于点M；(要求：不写作法，保留作图痕迹，标注字母) (2)若 求△BMC 的周长. 练能力 10.如图,△ABC 中,角平分线 AD,BE,CF相交于点 H,过 H 点作 HG⊥AC,垂足为G,那么∠AHE 和∠CHG 的大小关系为( ) A.∠AHE>∠CHG B.∠AHE<∠CHG C.∠AHE=∠CHG D.不一定 11.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=4 按下列步骤作图：①在 AC 和 AB 上分别截取AD,AE,使AD=AE.②分别以点 D和点E 为圆心，以大于 DE 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点 M.③作射线 AM 交 BC 于点 F.若点 P 是线段AF上的一个动点，连接CP，则 的最小值是 . 第1课时角平分线 1. C 2. B 3. D 4. A5.10 cm6.47.6 8.6.99.①③④ 10.解:(1)证明:∵DB=DC,DE⊥BC,∴CE=BE; (2)如图,作 BN⊥AD 于 N,交AC于M. ∵∠BAN=∠MAN,∠BAN+∠ABN=90°,∠MAN+∠AMN=90°, ∴∠ABN=∠AMN. ∵∠DOE=∠BON,∠DEO=∠BNO=90°, ∴∠EDA=∠CBM, ∴∠ABC-∠ACB=∠ABM+∠CBM-∠ACB =∠AMB +∠CBM₃-∠ACB =∠MCB +∠CBM +∠CBM-∠ACB =2∠CBN=2∠EDA, 故答案为:∠ABC-∠ACB=2∠ADE; (3)如图,作DQ⊥AC 于Q,DP⊥AB 于 P. ∵∠DAP=∠DAQ,DQ⊥AC,DP⊥AB, ∴DQ=DP, 在 Rt△DBP 和 Rt△DCQ中 ∴Rt△DBP≌Rt△DCQ(HL), ∴∠BDP=∠CDQ, ∴∠CDB=∠QDP. ∵∠CAB+∠QDP=180°, ∴∠CDB+∠CAB=180°. ∵∠ACB=40°,∠ADE=20°, ∠ABC-∠ACB=2∠ADE, ∴∠ABC=80°, ∴∠CAB=180°-80°-40°=60°, ∴∠CDB=120°, ∴∠EDB=∠EDC=60°, ∴∠DCB=90°-∠EDC=30°. 11.解:(1)125°; (2)证明:过O作OD⊥BC 于D,OG⊥AB于G,OH⊥AC 于 H, ∵AE 平分∠BAC,BF平分∠ABC, ∴OG=OH,OG=OD, ∴OD=OH, ∴点O 在∠ACB 的角平分线上; (3)连接OC, 在 Rt△OED 与 Rt△OFH 中, ∴Rt△OED≌Rt△OFH(HL), ∴∠EOD=∠FOH, ∵AE,BF 是角平分线, 即 ∴∠ACB=60°.. 12.①②③⑤解析:∵∠BAC=∠EAD,∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE, ∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形, ∴AB=AC,AD=AE, 在△BAD 和△CAE中, ∴△BAD≌△CAE(SAS), ∴BD=CE,∠AEF=∠ADF, 故①②正确； 设BD与AC 交于点G, ∵△BAD≌△CAE, ∴∠ABF=∠ACF. ∵∠ABF+∠BGA=90°,∠BGA=∠CGF, ∴∠ACF+∠CGF=90°, ∴∠CFG=90°,即 BD⊥CE,故③正确;分别过A 作AM⊥BD,AN⊥CE,垂足分别为M,N, ∵△BAD≌△CAE, ∴AM=AN, ∴FA 平分∠BFE, ∴∠BFA=∠EFA. 若AF 平分∠CAD, ∴∠CAF=∠DAF, ∴∠BAF=∠EAF,而 FA=FA, ∴△BAF≌△EAF, ∴AB=AE, 但AB,AE 未必相等,故④错误； ∵FA 平分∠BFE,BF⊥CF, ∴∠AFE=45°,故⑤正确. 综上所述，正确的是①②③⑤. 13.解:(1)证明:如图1,过点 C 作CF⊥AD,垂足为F， ∵AC 平分∠MAN,CE⊥AB,CF⊥AD,∴CE=CF. ∵∠CBE+∠ADC=180°, ∠CDF+∠ADC=180°, ∴∠CBE=∠CDF, 在△BCE 和△DCF 中, ∴△BCE≌△DCF(AAS), ∴BC=DC; (2)如图2,过点C作CF⊥AD,垂足为 F,∵AC平分∠MAN,CE⊥AB,CF⊥AD,∴CE=CF, 在 Rt△ACF 和 Rt△ACE 中, ∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL), ∴AE=AF. ∵∠ABC+∠ADC=180°, ∠ABC+∠CBE=180°, ∴∠CDF=∠CBE, 在△BCE 和△DCF 中, ∴△BCE≌△DCF(AAS), ∴DF=BE, ∴AD=AF+DF=AE+DF=AB+BE+DF=AB+2BE, ∴AD-AB=2BE; (3)如图 3,在 BD 上截取 BH = BG,连接OH, 在△OBH 和△OBG 中, ∴△OBH≌△OBG(SAS), ∴∠OHB=∠OGB. ∵AO 是∠MAN 的平分线,BO 是∠ABD的平分线， ∴点O到AD,AB,BD 的距离相等, ∴∠ODH=∠ODF. ∵∠OHB=∠ODH+∠DOH, ∠OGB=∠ODF+∠DAB, ∴∠DOH=∠DAB=60°, ∴∠GOH=120°, ∴∠BOG=∠BOH=60°, ∴∠DOF=∠BOG=60°, ∴∠DOH=∠DOF, 在△ODH 和△ODF 中, ∴△ODH≌△ODF(ASA), ∴DH=DF, ∴DB=DH+BH=DF+BG=2+1=3. 第 2课时 三角形的角平分线与尺规作图 1. C 2. A 3. C 4. C 5. D 6.20 7.6 8.解:(1)如图1,BE 与 CD 交于点 M,连接AM 并延长交BC 于点F, ∴AF 即为所求; (2)如图2,延长BA,ED 交于点 N,连接 NC,延长BD交 NC 于点 H,CH 即为所求作. 9.解:(1)如图所示,射线 BM 即为所求; (2)∵AB=AC,∠A=36°, ∵BM平分∠ABC, ∴AM=BM. ∴△BMC 的周长为BM+MC+BC=AM+ 10. C 11.6 解析:过点 P 作 PQ⊥AB 于点Q,过点C作CH⊥AB 于点 H, 由题意得AF 平分∠BAC, ∵∠ACB=90°,∠ABC=30°, ∴∠BAC=60°, ∴当C,P,Q 三点共线,且与 AB 垂直时, 最小， 最小值为CH, ∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=4 ∴AB=2AC=8 即 最小值为6. 学科网（北京）股份有限公司 $