11.6 第2课时角平分线的应用-【练测考】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版五四制·新教材）

练测考七年级数学下册LJ 第2课时 角 基础夯实 1.如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现 要建一个货物中转站，要求它到三条公路的 距离相等，则可供选择的地址有 ( A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 B 第1题图 第2题图 2.如图，O是△ABC内一点，且0到三边AB, BC,CA的距离OF=OD=OE,若∠BAC=70°， 则∠BOC的度数为 A.70° B.120° C.125 D.130° 3.如图，△ABC中，∠B=32°，∠BCA=78°，请依据 尺规作图的作图痕迹，计算∠α= B D 第3题图 第4题图 4.(2025·枣庄滕州市期末)如图，在△ABC中， AD⊥BC于点D,AD平分∠CAB,DE⊥AC于 点E,CF⊥AB于点F.若DE=3,则CF的长 为 5.如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在 要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两 条道路OA,OB的距离相等，且到入口A,C的 距离相等，请确定喷泉的位置P. 6.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AE是斜边BC 上的高，角平分线BD交AE于点G,交AC于 点D,DF⊥BC于点F. 130 平分线的应用 (1)求证：AB=BF (2)试判断AD与AG有怎样的数量关系？请 说明理由. 能力提升 7.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC= OD,OA>OC,∠AOB=∠C0D=40°，AC,BD交 于点M,连接OM,下列结论：①∠AMB=40°； ②AC=BD:③OM平分∠BOC:④M0平分 ∠BMC,其中正确的是 A.①②④ 0 B.①②③ C.①②③④ D.②③④ 8.将一张面积为45cm2的三角形纸板按如图 所示的方式依次折叠，如图1，使点B落在AC 边上的点B'处，折痕所在的直线为l,如图2， 使点A落在BC边上的点A'处，折痕所在的直 线为l2,1与12相交于点O.经测量得知，纸板的 三边AB,AC,BC的长分别为10cm,15cm, 20cm,则点O到AC的距离为 cm. 图1 图2 9.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 36°，AD,CE是△ABC的两条角平分 线，BD=5,P是AD上的一个动点， 则线段BP+EP的最小值 是 10.如图，在∠AOB的两边OA,OB上分别取 OM=ON,OD=OE,DN和EM相交于点C. 求证：点C在∠AOB的平分线上. D 11.如图所示，在△ABC中，AO平分∠BAC, ∠1=∠2.求证：△ABC是等腰三角形 微专题12应用意识 角平分线在求图开 【方法指引】角平分线在求图形面积中的应用 主要基于其性质：角平分线上的点到这个角 的两边的距离相等.主要应用如下： (1)三角形面积计算：若三角形有一条角平分 线，可过角平分线上的点向两边作垂线，利用 垂线段相等的性质，将三角形面积拆分为多 个小三角形的面积之和 (2)结合平行线构造等腰三角形：当角平分线 与平行线结合时，可构造等腰三角形， 【题组训练】 1.如图，已知△ABC的周长是 21,B0,C0分别平分∠ABC 和∠ACB,OD⊥BC于点D, 且OD=3,则△ABC的面积 是 第十一章三角形的证明及其应用 素养培优 12.如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC 交∠BAC的平分线于点E,EF⊥AB,交AB 于点F,EG⊥AC,交AC的延长线于点G,试 问：BF与CG的大小如何？证明你的结论. 乡的面积中的应用 2.如图，△ABC的三边AB,BC,AC的长分别 为10cm,15cm和20cm,三条角平分线的 交点为O,则SAAOB:S△B0c:S△coA= D 第2题图 第3题图 3.（2025·济南莱芜区期末)如图，已知在 △ABC中，BP平分∠ABC,AP⊥BP,延长 AP交BC于点D,连接CP,若△BPC的面 积为2，则△ABC的面积为 131在△AED与△AFD中， (∠E=∠AFD=90°， ∠EAD=∠FAD, AD=AD. .△AED≌△AFD(AAS),.AE=AF .AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AF=2AE. 15.(1)证明：如图1，过点E作EF⊥DA于点F ∠C=90°，DE平分∠ADC, ∴.CE=EF. E是BC的中点， .'BE=CE,..BE=EF. ,·∠B=90°，∴.EB⊥AB 图 又.·EF⊥AD,.AE平分∠DAB. (2)证明：如图2，延长DE交AB的延长 线于点M. ABCD,.∠2=∠M. ∠1=∠2，.∠1=∠M, .AD=AM, .△ADM为等腰三角形 图 E是BC的中点，.BE=CE. (∠M=∠2」 在△BEM和△CED中，{∠MEB=∠DEC, BE=CE '.△BEM≌△CED(AAS) .EM=ED,点E为DM的中点，.AE⊥DE. (3)解：AE平分∠DAB. [提示]由(2)，知△ADM为等腰三角形，ED=EM, .AE平分∠DAB. 第2课时角平分线的应用 1.D2.C3.814.6 5.解：如图所示，点P即为所求。 6.(1)证明：：BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠DBF. DF⊥BC,.∠DFB=∠BAD=90 又.BD=BD,∴.△ABD≌△FBD(AAS), ∴.∠ADB=∠BDF,AB=BF. (2)解：AD=AG.理由如下： :AE是斜边BC上的高，.AE⊥BC 又.DF⊥BC,∴.∠AEB=∠DFB=90°，∴.AEDF ∴.∠BGE=∠BDF. 又.∠BGE=∠AGD,∠ADB=∠BDF, ·∠AGD=∠ADB, .AD=AG. 7.A8.29.10 10.证明：如图，过点C作CG⊥OA于点 G,CF⊥OB于点F. 在△MOE和△VOD中 .·OM=ON,∠MOE=∠NOD,OE=OD, EF .∴.△MOE≌△NOD(SAS), .S△MoE=S△0D, .S△MOE-S四边形ODGE=S△oD-S四边形0DcE, 即SAMDC=S△EC 3 OM=ON,OD=OE,..MD=NE. 2DM CC=2 EN CF,CG=CF. 又.：CG⊥OA,CF⊥OB .点C在∠AOB的平分线上. 11.证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F .·A0平分∠BAC,.OE=OF .·∠1=∠2，.OB=0C 在Rt△OBE和Rt△OCF中， .OB=OC,OE=OF, .Rt△OBE≌Rt△OCF(HL), .∠5=∠6，.∠1+∠5=∠2+∠6， 即∠ABC=∠ACB, .AB=AC,.△ABC是等腰三角形. 12.解：BF=CG.证明如下： 连接EB,EC,如图. AE是∠BAC的平分线 且EF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G, ∴.EF=EG .·ED⊥BC于点D,D是BC的中点. .EB=EC. 在Rt△EFB和Rt△EGC中， (EB=EC, EF=EG. ..Rt△EFB≌Rt△EGC(HL),.BF=CG. 微专题12角平分线在求图形的面积中的应用 1.31.52.2:3:43.4 培优专题十一角平分线中常用的作辅 助线的方法 1.解：能在AB上确定一点E,使△BDE的周长等于AB的长 理由如下： 过点D作DE⊥AB于点E,则点E就是 所要确定的点（如图）. .·AD平分∠CAB,∠C=90° DE⊥AB,.DC=DE 在Rt△ACD和Rt△AED中， (AD=AD, DC=DE. .Rt△ACDRt△AED(HL),.∴.AC=AE. .·AC=BC ∴.△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AC+ BE=AE+BE=AB. 2.解：∠BDP+∠BEP=180°.证明如下： 如图，过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,则 ∠PMD=∠PWE=90° .·BP平分∠ABC ..PM=PN. 在Rt△DPM和Rt△EPW中， (PD=PE, PM=PN. .Rt△DPM≌Rt△EPN(HL), .∠ADP=∠BEP .∠BDP+∠ADP=180°， .∠BDP+∠BEP=180° 3.证明：如图，延长CE,BA交于点F .CE⊥BD