2025-2026学年上海市七年级下册 数学期末自编练习卷

**基本信息** 2026年上海七年级下册数学期末押题B卷，以0.56难度梯度覆盖不等式、三角形、四边形等核心知识，通过生活情境与探究活动融合数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|不等式性质（1题）、三角形内角（3题）|3题反例判断考查推理意识| |填空题|12/24|等腰三角形（10题）、动点问题（13题）|17题测量楼高体现应用意识| |解答题|7/64|几何证明（23题）、应用题（22题）、探究活动（25题）|25题微专题探究培养创新意识|

绝密★启用前 2026年上海市七年级下册 数学期末试卷（押题B卷） 难度系数：0.56；考试时间：100分钟；满分：100分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）若a＞b，则下列式子不一定成立的是（　　） A．a+4＞b+4 B．2a＞2b C．ac2＞bc2 D． 2．（2分）如图，坡角为25°的山坡上有一电线杆（与水平面垂直），电线杆与山坡所成锐角的度数为（　　） A．25° B．55° C．65° D．115° 3．（2分）对于命题“如果∠1+∠2＝180°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝90° B．∠1＝50°，∠2＝130° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1+∠2＝90° 4．（2分）如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从A地到B地．下列关系正确的是（　　） 甲：A→C→B，路程为s甲； 乙：A→D→E→B，路程为s乙． A．s甲＞s乙 B．s甲＝s乙 C．s甲＜s乙 D．s甲≥s乙 5．（2分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　） A．若AB∥CD且AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 B．若AB＝AD且CB＝CD，则四边形ABCD是菱形 C．若OA＝OC且OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形 D．若AC⊥BD且AC＝BD，则四边形ABCD是正方形 6．（2分）如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于M，有下面4个结论： ①射线BD是△ABC是角平分线；②图中共有三个等腰三角形；③△BCD的周长＝AB+BC；④△AMD≌△BCD． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．（2分）如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则天平左盘中的每个小立方体的质量m的取值范围是　 　 ． 8．（2分）如图，AB∥CD，∠BOC＝110°，BE、CF分别平分∠ABO、∠OCD，则∠2﹣∠1＝　 　 ． 9．（2分）在三角形中，①中线、②内角平分线、③高，一定在三角形内部的线段是　 　 ．（填序号） 10．（2分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，CE⊥AC，垂足为C，且CE＝AC，连接BE，若BC＝16，则△BCE的面积为　 　 ． 11．（2分）关于x的不等式组无解，m应满足的条件　 　 ． 12．（2分）命题“对顶角相等”的逆命题为 　 　 （“真”或“假”）命题． 13．（2分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AD⊥BC于点D，BD＝2，CD＝6，点E是射线DC上的一个动点，作EF⊥AB于点F，直线EF交直线AC与点G，连接AE，若CG：AG＝1：3，则AE的长为　 　 ． 14．（2分）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连结MN交AB于点E，若AB＝18，AC＝10，则△ADE的周长为　 　 ． 15．（2分）不等式的解集是　 　 ． 16．（2分）已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为 　 　 ． 17．（2分）为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝21°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝69°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高度都等于12米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝30米，则每层楼的高度大约　 　 米． 18．（2分）如图，在△ABC，BA＝BC，∠BAC＝∠BCA＝α，在△CDE中DC＝DE，∠DCE＝∠DEC＝β，F是AE的中点，连接BF，DF．若BF⊥DF，且α+2β＝130°，则∠ABC的度数为 　 　 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分64分） 19．（5分）解不等式组：． 20．（8分）读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB∥CD，点E，M，F在同一直线上，点G，H，N在同一条直线上，且∠AEF＝∠GHD，MG∥FN．求证：∠EFN＝∠G． 证明：如图2，延长EF交CD于点P． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠AEF＝∠EPD（ 　 　 ）． 又∵∠AEF＝∠GHD（ 　 　 ）， ∴∠EPD＝ 　 　 （等量代换）． ∴EP∥GH（ 　 　 ）． ∴∠EFN+　 　 ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵　 　 （已知）， ∴∠FNG+∠G＝180°（ 　 　 ）． ∴∠EFN＝∠G（ 　 　 ）． 21．（7分）在△ABC中，AB＝AC． （1）利用没有刻度的直尺和圆规完成如下操作，作∠BAC的平分线和AB的垂直平分线，交点为P．（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接PB，若∠ABC＝70°，求∠ABP的度数． 22．（10分）端午节来临之际，重百超市准备大量购进咸口和甜口两种口味粽子，一袋甜口的进价比咸口的进价多5元，用750元购进甜口粽子和用600元购进咸口粽子的袋数相同． （1）求甜口和咸口的粽子每袋的进价各是多少？ （2）超市计划用不超过1320元的资金购进两种口味粽子共60袋，其中咸口粽子的数量不超过甜口粽子数量的两倍，该超市将甜口粽子每袋的售价定为40元，咸口粽子每袋的售价定为32元，并计划在端午节期间开展优惠促销活动，对每袋甜口粽子售价优惠2元，咸口不变，要使售完这60袋粽子总利润最大，应该购进甜口粽子多少袋？ 23．（10分）如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，DB为△ACD的高，AB＝DB，EB＝CB． （1）求证：△ABE≌△DBC； （2）如图：BF⊥AE于F，BG⊥CD于G，探究BF与BG的关系，并证明你的结论． 24．（10分）如图，AB，DE交于点F，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC＝BE，AD＝BC，连结CD，CE． （1）求证：∠ADC＝∠BCE； （2）若∠A＝48°，∠ADC＝36°，求∠CDE的度数． 25．（14分）张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是张老师在“利用角的对称性构造全等模型”开展的微专题探究活动，请仔绍阅读，并完成相应任务． 活动1：用直尺和圆规作已知角的平分线，如图1所示，则由△APD≌△APE，可得∠DAP＝∠EAP． 活动2：如图2，在△ABC中，AB＜AC，AP是△ABC的角平分线，在AC上截取AQ＝AB，连接PQ，则△ABP≌△AQP． 请完式下列任务： （1）在活动1、活动2中，判定三角形全等的依据依次是 　 　 ，　 　 （填序号）． ①SAS ②AAS ③ASA ④SSS （2）【迁移探究】 如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD+BC，∠DAB的平分线与∠ABC的平分线恰好交于CD边上的点P，试判断PD与PC的数量关系，并说明理由． （3）【拓展探究】 如图4，在△ABC中，∠C＝60°，AE，BF是△ABC的两条角平分线，且AE，BF交于点P．试猜想PE与PF之间的数量关系，并说明理由． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：________班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市七年级下册 数学期末试卷（押题B卷）答题卡 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） 试卷类型：A 姓名：______________班级：______________ 准考证号 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔填涂） 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）（请在各试题的答题区内作答） 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 三．解答题（共7小题，满分64分）（请在各试题的答题区内作答） 19.答： 20.答： 21.答： 22.答： 23.答： 24.答： 25.答： 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026年上海市七年级下册 数学期末试卷（押题B卷） 难度系数：0.56；考试时间：100分钟；满分：100分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）若a＞b，则下列式子不一定成立的是（　　） A．a+4＞b+4 B．2a＞2b C．ac2＞bc2 D． 2．（2分）如图，坡角为25°的山坡上有一电线杆（与水平面垂直），电线杆与山坡所成锐角的度数为（　　） A．25° B．55° C．65° D．115° 3．（2分）对于命题“如果∠1+∠2＝180°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝90° B．∠1＝50°，∠2＝130° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1+∠2＝90° 4．（2分）如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从A地到B地．下列关系正确的是（　　） 甲：A→C→B，路程为s甲； 乙：A→D→E→B，路程为s乙． A．s甲＞s乙 B．s甲＝s乙 C．s甲＜s乙 D．s甲≥s乙 5．（2分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　） A．若AB∥CD且AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 B．若AB＝AD且CB＝CD，则四边形ABCD是菱形 C．若OA＝OC且OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形 D．若AC⊥BD且AC＝BD，则四边形ABCD是正方形 6．（2分）如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于M，有下面4个结论： ①射线BD是△ABC是角平分线；②图中共有三个等腰三角形；③△BCD的周长＝AB+BC；④△AMD≌△BCD． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．（2分）如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则天平左盘中的每个小立方体的质量m的取值范围是　 　 ． 8．（2分）如图，AB∥CD，∠BOC＝110°，BE、CF分别平分∠ABO、∠OCD，则∠2﹣∠1＝　 　 ． 9．（2分）在三角形中，①中线、②内角平分线、③高，一定在三角形内部的线段是　 　 ．（填序号） 10．（2分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，CE⊥AC，垂足为C，且CE＝AC，连接BE，若BC＝16，则△BCE的面积为　 　 ． 11．（2分）关于x的不等式组无解，m应满足的条件　 　 ． 12．（2分）命题“对顶角相等”的逆命题为 　 　 （“真”或“假”）命题． 13．（2分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AD⊥BC于点D，BD＝2，CD＝6，点E是射线DC上的一个动点，作EF⊥AB于点F，直线EF交直线AC与点G，连接AE，若CG：AG＝1：3，则AE的长为　 　 ． 14．（2分）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连结MN交AB于点E，若AB＝18，AC＝10，则△ADE的周长为　 　 ． 15．（2分）不等式的解集是　 　 ． 16．（2分）已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为 　 　 ． 17．（2分）为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝21°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝69°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高度都等于12米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝30米，则每层楼的高度大约　 　 米． 18．（2分）如图，在△ABC，BA＝BC，∠BAC＝∠BCA＝α，在△CDE中DC＝DE，∠DCE＝∠DEC＝β，F是AE的中点，连接BF，DF．若BF⊥DF，且α+2β＝130°，则∠ABC的度数为 　 　 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分64分） 19．（5分）解不等式组：． 20．（8分）读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB∥CD，点E，M，F在同一直线上，点G，H，N在同一条直线上，且∠AEF＝∠GHD，MG∥FN．求证：∠EFN＝∠G． 证明：如图2，延长EF交CD于点P． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠AEF＝∠EPD（ 　 　 ）． 又∵∠AEF＝∠GHD（ 　 　 ）， ∴∠EPD＝ 　 　 （等量代换）． ∴EP∥GH（ 　 　 ）． ∴∠EFN+　 　 ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵　 　 （已知）， ∴∠FNG+∠G＝180°（ 　 　 ）． ∴∠EFN＝∠G（ 　 　 ）． 21．（7分）在△ABC中，AB＝AC． （1）利用没有刻度的直尺和圆规完成如下操作，作∠BAC的平分线和AB的垂直平分线，交点为P．（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接PB，若∠ABC＝70°，求∠ABP的度数． 22．（10分）端午节来临之际，重百超市准备大量购进咸口和甜口两种口味粽子，一袋甜口的进价比咸口的进价多5元，用750元购进甜口粽子和用600元购进咸口粽子的袋数相同． （1）求甜口和咸口的粽子每袋的进价各是多少？ （2）超市计划用不超过1320元的资金购进两种口味粽子共60袋，其中咸口粽子的数量不超过甜口粽子数量的两倍，该超市将甜口粽子每袋的售价定为40元，咸口粽子每袋的售价定为32元，并计划在端午节期间开展优惠促销活动，对每袋甜口粽子售价优惠2元，咸口不变，要使售完这60袋粽子总利润最大，应该购进甜口粽子多少袋？ 23．（10分）如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，DB为△ACD的高，AB＝DB，EB＝CB． （1）求证：△ABE≌△DBC； （2）如图：BF⊥AE于F，BG⊥CD于G，探究BF与BG的关系，并证明你的结论． 24．（10分）如图，AB，DE交于点F，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC＝BE，AD＝BC，连结CD，CE． （1）求证：∠ADC＝∠BCE； （2）若∠A＝48°，∠ADC＝36°，求∠CDE的度数． 25．（14分）张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是张老师在“利用角的对称性构造全等模型”开展的微专题探究活动，请仔绍阅读，并完成相应任务． 活动1：用直尺和圆规作已知角的平分线，如图1所示，则由△APD≌△APE，可得∠DAP＝∠EAP． 活动2：如图2，在△ABC中，AB＜AC，AP是△ABC的角平分线，在AC上截取AQ＝AB，连接PQ，则△ABP≌△AQP． 请完式下列任务： （1）在活动1、活动2中，判定三角形全等的依据依次是 　 　 ，　 　 （填序号）． ①SAS ②AAS ③ASA ④SSS （2）【迁移探究】 如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD+BC，∠DAB的平分线与∠ABC的平分线恰好交于CD边上的点P，试判断PD与PC的数量关系，并说明理由． （3）【拓展探究】 如图4，在△ABC中，∠C＝60°，AE，BF是△ABC的两条角平分线，且AE，BF交于点P．试猜想PE与PF之间的数量关系，并说明理由． ( 第 2 页 共 8 页 ) ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上海市七年级下册数学 期末试卷（押题B卷）答题卡 试卷类型：A 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 准考证号 缺考标记 注意事项 ▣ 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚， 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只能 3、选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 由监考老师负 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 贵用黑色字迹 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 的签字笔填 6、填涂样例正确[■错误【-][√][×] 一.选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）（请用2B铅笔 填涂) 1.[AB][C]D] 3.[A]B][C][D] 5.[A]B][C]D] 2.[A]B][CD] 4.[A]B][C][D] 6.[A]B][C]D] 二.填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）（请在各试题 的答题区内作答) 第1页共6页 7. 8. 9 10 12 13. 14. 15. 1 1 三.解答题（共7小题，满分64分）（请在各试题的答题区内作答） 19.答： 第2页共6页 20.答： A B 互 M G N P H 图(1) 图(2)》 21.答： A C 第3页共6页 22.答： 23.答： G C B A 第4页共6页 24.答： 0 F ⊙ C E 第5页共6页 25.答： y C D P 六 Q E B B P 图1 图2 C D C E 图3 图4 第6页共6页 2026年上海市七年级下册 数学期末试卷（押题B卷） 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C B A C C 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）若a＞b，则下列式子不一定成立的是（　　） A．a+4＞b+4 B．2a＞2b C．ac2＞bc2 D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【解答】解：A．∵a＞b， ∴a+4＞b+4，故本选项不符合题意； B．∵a＞b， ∴2a＞2b，故本选项不符合题意； C．当c＝0时，ac2＝bc2，故本选项符合题意； D．∵a＞b，c2+1≠0， ∴，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2．（2分）如图，坡角为25°的山坡上有一电线杆（与水平面垂直），电线杆与山坡所成锐角的度数为（　　） A．25° B．55° C．65° D．115° 【答案】C 【分析】由a∥b，则∠1＝∠A＝25°，再通过角度和差即可求解． 【解答】解：坡角为25°的山坡上有一电线杆（与水平面垂直），如图， 由题意得，a∥b，∠1+∠2＝90°， ∴∠1＝∠A＝25°， ∴∠2＝65°， ∴电线杆与山坡所成锐角的度数为65°， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 3．（2分）对于命题“如果∠1+∠2＝180°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝90° B．∠1＝50°，∠2＝130° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1+∠2＝90° 【答案】B 【分析】要说明原命题是假命题，需要找到满足命题条件，但不满足命题结论的例子． 【解答】解：根据真假命题的判定、平行线的判定与性质逐项分析判断如下： A、∠1＝∠2＝90°，则∠1+∠2＝180°，满足条件也满足结论，不能作为反例，故A不符合题意； B、∠1＝50°，∠2＝130°，则∠1+∠2＝180°，满足条件，但∠1≠∠2，不满足结论，可以作为反例，故B符合题意； C、∠1＝50°，∠2＝50°，∠1+∠2＝100°≠180°，不满足条件，不能作为反例，故C不符合题意； D、∠1+∠2＝90°≠180°，不满足条件，不能作为反例，故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了命题与定理、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键． 4．（2分）如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从A地到B地．下列关系正确的是（　　） 甲：A→C→B，路程为s甲； 乙：A→D→E→B，路程为s乙． A．s甲＞s乙 B．s甲＝s乙 C．s甲＜s乙 D．s甲≥s乙 【答案】A 【分析】根据图中角度相等判断点D、E分别在线段AC、BC上，进而利用三角形的三边关系判断即可得解． 【解答】解：由图甲可知，∠CAB＝55°，∠CBA＝65°； 由图乙可知，∠DAB＝55°，∠EBA＝65°， ∴点D在线段AC上，点E在线段BC上．如图乙所示， ∵AC＝DC+AD，BC＝EC+BE， ∴s甲＝AC+BC＝DC+AD+EC+BE， 又∵s乙＝AD+DE+EB， 在△CDE中，由三角形三边关系可知：CD+EC＞DE， ∴AD+DC+BE+EC＞AD+DE+BE， 即s甲＞s乙， 故选：A． 【点评】此题考查了三角形三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键． 5．（2分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列说法正确的是（　　） A．若AB∥CD且AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 B．若AB＝AD且CB＝CD，则四边形ABCD是菱形 C．若OA＝OC且OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形 D．若AC⊥BD且AC＝BD，则四边形ABCD是正方形 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐项进行判断即可． 【解答】解：根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐项进行判断可得： A、AB∥CD且AC＝BD，不能得到四边形ABCD是矩形，故A错误； B、AB＝AD且CB＝CD，仅能说明邻边相等，对边关系不确定， 则四边形ABCD不一定是菱形，故B错误； C、OA＝OC且OB＝OD，则对角线互相平分，四边形ABCD是平行四边形，故C正确； D、AC⊥BD且AC＝BD，未强调对角线互相平分， 则不能判定四边形ABCD是正方形，故D错误． 故选：C． 【点评】本题考查正方形的判定，正确进行判断是解题关键． 6．（2分）如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于M，有下面4个结论： ①射线BD是△ABC是角平分线；②图中共有三个等腰三角形；③△BCD的周长＝AB+BC；④△AMD≌△BCD． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，然后根据等边对等角的性质求出∠ABD，再根据三角形的内角和定理以及等腰三角形两底角相等求出ABC、∠C的度数，再求出∠CBD，然后对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：∵MN是AB的中垂线， ∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝36°， ∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C（180°﹣36°）＝72°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°， ∴∠ABD＝∠CBD，射线BD是△ABC是角平分线，故①正确； 在△BCD中，∠BDC＝180°﹣∠CBD﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°， ∴∠C＝∠BDC， ∴△BCD是等腰三角形， 等腰三角形还有△ABC，△ABD，共3个，故②正确； △BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝AB+BC，故③正确； ④△AMD是有一个锐角是36°的直角三角形，△BCD是顶角为36°的等腰三角形，两三角形不全等，故本小题错误； 综上所述，正确的有①②③共3个． 故选：C． 【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定，根据度数相等求得相等的角是解题的关键． 二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分） 7．（2分）如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则天平左盘中的每个小立方体的质量m的取值范围是m＞1.5g ． 【答案】m＞1.5g． 【分析】根据题意列得关于m的不等式，解不等式即可． 【解答】解：由题意得2m＞3， 解得：m＞1.5， 即天平左盘中的每个小立方体的质量m的取值范围是m＞1.5g， 故答案为：m＞1.5g． 【点评】本题考查解一元一次不等式，理解题意并列得正确的不等式是解题的关键． 8．（2分）如图，AB∥CD，∠BOC＝110°，BE、CF分别平分∠ABO、∠OCD，则∠2﹣∠1＝　35°　 ． 【答案】35°． 【分析】过点O作OG∥AB，利用平行线的性质以及角平分线的定义得到∠3＝110°﹣2∠1，2∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣（110°﹣2∠1）＝70°+2∠1，即可求解． 【解答】解：过点O作OG∥AB， ∴∠5＝∠3（两直线平行，内错角相等）， ∵AB∥CD， ∴AB∥OG∥CD， ∵BE平分∠ABO， ∴∠4＝∠ABO＝2∠1（角平分线的定义）， ∵∠BOC＝110°，即∠4+∠5＝2∠1+∠3＝110°， ∴∠3＝110°﹣2∠1， ∵CF平分∠OCD， ∴2∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣（110°﹣2∠1）＝70°+2∠1（角平分线的定义）， ∴2∠2﹣2∠1＝70°， ∴∠2﹣∠1＝35°． 故答案为：35°． 【点评】本题考查了平行线的性质，能熟练的运用平行线的性质是解此题的关键． 9．（2分）在三角形中，①中线、②内角平分线、③高，一定在三角形内部的线段是　①②　 ．（填序号） 【答案】①②． 【分析】根据三角形中线，内角平分线，高的定义，分别判断三类线段在三角形中的位置，即可得到结果． 【解答】解：根据题意可知，三角形的中线是顶点到对边中点的线段，任意三角形的中线都在三角形内部，三角形的内角平分线是三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，任意三角形的内角平分线都在三角形内部； 锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形有两条高与直角边重合，钝角三角形有两条高在三角形外部，因此高不一定在三角形内部． 综上所述，一定在三角形内部的线段是①②， 故答案为：①②． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，关键是相关性质的熟练掌握． 10．（2分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，CE⊥AC，垂足为C，且CE＝AC，连接BE，若BC＝16，则△BCE的面积为　64　 ． 【答案】64． 【分析】过A作AH⊥BC于H，过E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【解答】解：过A作AH⊥BC于H，过E作EF⊥BC于F， ∵AB＝AC，BC＝16， ∴BH＝HC＝8， ∵∠ACE＝90°， ∴∠ACH+∠ECF＝90°， ∵∠CAH+∠ACH＝90°， ∴∠ECF＝∠CAH， 在△ACH与△CEF中， ， ∴△ACH≌△CEF（AAS）， ∴EF＝CH＝8， ∴△BCE的面积． 故答案为：64． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 11．（2分）关于x的不等式组无解，m应满足的条件m≥2　 ． 【答案】m≥2． 【分析】不等式组无解的条件是“大于大的，小于小的”，即 2m﹣1≥m+1． 【解答】解：， 不等式组无解，说明两个解集没有公共部分，因此需满足：2m﹣1≥m+1， 解这个不等式： 2m﹣1≥m+1， 2m﹣m≥1+1， m≥2， ∴m应满足的条件是m≥2． 故答案为：m≥2． 【点评】本题考查了含参数的一元一次不等式组无解的情况．熟练掌握不等式组无解的判定规则，即“大大小小无处找”，是解题的关键． 12．（2分）命题“对顶角相等”的逆命题为 　假　 （“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】交换命题的题设和结论后即可确定正确的答案． 【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题， 故答案为：假． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出原命题的逆命题，难度不大． 13．（2分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AD⊥BC于点D，BD＝2，CD＝6，点E是射线DC上的一个动点，作EF⊥AB于点F，直线EF交直线AC与点G，连接AE，若CG：AG＝1：3，则AE的长为　或　 ． 【答案】或． 【分析】当点E在线段DC上时，导角得CE＝CG，由勾股定理可得AD＝8，由CG：AG＝1：3可得CG＝CE＝5，DE＝DC﹣CE＝1，由勾股定理可得AE的长；当点E在DC的延长线上时，同理可证得GC＝EC，从而CE＝GEAC，DE＝DC+CE，由勾股定理可得AE的长． 【解答】解：当点E在线段DC上时，如图1所示， ∵CA＝CB， ∴∠B＝∠BAG， ∵EF⊥AB， ∴∠B+∠BEF＝∠BAG+∠G， ∴∠BEF＝∠G， ∵∠BEF＝∠CEG， ∴∠G＝∠CEG， ∴CE＝CG， ∵BD＝4，CD＝6， ∴BC＝AC＝10， 由勾股定理可得AD8， ∵CG：AG＝1：3， ∴CG：AC＝1：2， ∴CG＝5＝CE，DE＝DC﹣CE＝6﹣5＝1， 故由勾股定理可得AE， 当点E在DC的延长线上时，如图2所示， 同理可证得GC＝EC， ∵CG：AG＝1：3， ∴CG：AC＝1：4， ∴EC＝EGAC10， ∴DE＝DC+CE＝6， 故由勾股定理可得AE， 综上，AE的长为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，能够分类讨论画出图形分析是解题关键． 14．（2分）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连结MN交AB于点E，若AB＝18，AC＝10，则△ADE的周长为　28　 ． 【答案】28． 【分析】由作图得AD＝AC＝10，MN垂直平分BD交AB于点E，则DE＝BE，所以AE+DE＝AB＝18，求得AE+DE+AD＝28，于是得到问题的答案． 【解答】解：由作图得AD＝AC＝10，MN垂直平分BD交AB于点E， ∴DE＝BE， ∵AE+DE＝AE+BE＝AB＝18， ∴AE+DE+AD＝18+10＝28， ∴△ADE的周长为28， 故答案为：28． 【点评】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，推导出AD＝AC＝10及DE＝BE是解题的关键． 15．（2分）不等式的解集是　x≤1　 ． 【答案】x≤1． 【分析】先分别解出两个一元一次不等式，再取它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①得，x， 解不等式②得，x≤1， ∴不等式组的解集是：x≤1， 故答案为：x≤1． 【点评】本题考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握解单个不等式并取公共解集的方法是解题的关键． 16．（2分）已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为 　40°或100°　 ． 【答案】40°或100°． 【分析】依题意有以下两种情况：①当40°的角是该等腰三角形的顶角时，设该等腰三角形底角为α，则2α+40°＝180°，由此得α＝70°，此时该等腰三角形三个内角为40°，70°，70°；②当40°的角是该等腰三角形的底角时，设该等腰三角形顶角为β，则2×40°+β＝180°，由此得：β＝100°，此时该等腰三角形三个内角为100°，40°，40°，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵等腰三角形的一内角度数为40°， ∴有以下两种情况： ①当40°的角是该等腰三角形的顶角时，设该等腰三角形的底角为α， ∴2α+40°＝180°， 解得：α＝70°， 此时该等腰三角形的三个内角为：40°，70°，70°； ②当40°的角是该等腰三角形的底角时，设该等腰三角形的顶角为β， ∴2×40°+β＝180°， 解得：β＝100°， 此时该等腰三角形的三个内角为：100°，40°，40°， 综上所述：该等腰三角形的顶角为40°或100°． 故答案为：40°或100°． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 17．（2分）为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝21°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝69°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高度都等于12米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝30米，则每层楼的高度大约　3　 米． 【答案】3． 【分析】根据题意可得：CD⊥DB，AB⊥DB，从而可得∠CDP＝∠ABP＝90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠PAB＝21°，从而可得∠PAB＝∠CPD＝21°，然后根据AAS证明△BAP≌△DPC，从而利用全等三角形的性质可得DP＝AB＝18米，最后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：CD⊥DB，AB⊥DB， ∴∠CDP＝∠ABP＝90°， ∵∠APB＝69°， ∴∠PAB＝90°﹣∠APB＝21°， ∵∠CPD＝21°， ∴∠PAB＝∠CPD＝21°， ∵DB＝30米，PB＝12米， ∴DP＝BD﹣BP＝18（米）， 在△BAP和△DPC中， ， ∴△BAP≌△DPC（AAS）， ∴DP＝AB＝18米， ∴每层楼的高度（米）， 故答案为：3． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 18．（2分）如图，在△ABC，BA＝BC，∠BAC＝∠BCA＝α，在△CDE中DC＝DE，∠DCE＝∠DEC＝β，F是AE的中点，连接BF，DF．若BF⊥DF，且α+2β＝130°，则∠ABC的度数为 　80°　 ． 【答案】80°． 【分析】延长DF到点G，使FG＝DF，连接AG，BG，BD，设∠AGF＝x，∠AGB＝y，根据线段的中点定义可得AF＝EF，从而利用SAS证明△AFG≌△EFD，再利用全等三角形的性质可得∠AGF＝∠EDF＝x，AG＝ED，FG＝DF，从而可得BF是DG的垂直平分线，进而可得BG＝BD，然后利用等腰三角形的性质可得∠BDG＝∠BGD＝∠AGB+∠AGF＝x+y，从而利用SSS可得△BAG≌△BCD，再利用全等三角形的性质可得∠AGB＝∠CDB＝y，∠ABG＝∠CBD，从而利用角的和差关系可得∠EDC＝2x+2y，∠DBG＝∠ABC，最后利用三角形内角和定理可得∠BAC+∠BCA＝∠BDG+∠BGD＝2α，从而可得2（x+y）＝2α，进而可得x+y＝α，再根据三角形的内角和定理可得∠DCE+∠DEC+∠EDC＝180°，从而可得2β+2x+2y＝180°，进而可得2β+2α＝180°，进行计算即可解答． 【解答】解：延长DF到点G，使FG＝DF，连接AG，BG，BD， 设∠AGF＝x，∠AGB＝y， ∵F是AE的中点， ∴AF＝EF， ∵∠AFG＝∠EFD， ∴△AFG≌△EFD（SAS）， ∴∠AGF＝∠EDF＝x，AG＝ED，FG＝DF， ∵BF⊥DF， ∴BF是DG的垂直平分线， ∴BG＝BD， ∴∠BDG＝∠BGD＝∠AGB+∠AGF＝x+y， ∵AB＝BC， ∴△BAG≌△BCD（SSS）， ∴∠AGB＝∠CDB＝y，∠ABG＝∠CBD， ∴∠EDC＝∠EDG+∠BDG+∠CDB＝x+x+y+y＝2x+2y， ∵∠ABG＝∠CBD， ∴∠ABG+∠ABD＝∠CBD+∠ABD， ∴∠DBG＝∠ABC， ∵∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC，∠BDG+∠BGD＝180°﹣∠DBG，∠BAC＝∠BCA＝α， ∴∠BAC+∠BCA＝∠BDG+∠BGD＝2α， ∴2（x+y）＝2α， ∴x+y＝α， ∵∠DCE＝∠DEC＝β，∠DCE+∠DEC+∠EDC＝180°， ∴2β+2x+2y＝180°， ∴2β+2α＝180°， ∵α+2β＝130°， ∴α＝50°， ∴∠BAC＝∠BCA＝50°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠BCA＝80°， 故答案为：80°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 三．解答题（共7小题，满分64分） 19．（5分）解不等式组：． 【答案】x≤8． 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【解答】解：， 由①得，x， 由②得，x≤8， 故不等式组的解集为：x≤8． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，解一元一次不等式，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解题的关键． 20．（8分）读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB∥CD，点E，M，F在同一直线上，点G，H，N在同一条直线上，且∠AEF＝∠GHD，MG∥FN．求证：∠EFN＝∠G． 证明：如图2，延长EF交CD于点P． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠AEF＝∠EPD（ 　两直线平行，内错角相等　 ）． 又∵∠AEF＝∠GHD（ 　已知　 ）， ∴∠EPD＝ 　∠GHD （等量代换）． ∴EP∥GH（ 　同位角相等，两直线平行　 ）． ∴∠EFN+　∠FNG ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵MG∥FN （已知）， ∴∠FNG+∠G＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）． ∴∠EFN＝∠G（ 　同角的补角相等　 ）． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据平行线的判定与性质求证即可． 【解答】证明：如图2，延长EF交CD于点P． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠AEF＝∠EPD（两直线平行，内错角相等）． 又∵∠AEF＝∠GHD（已知）， ∴∠EPD＝∠GHD（等量代换）． ∴EP∥GH（同位角相等，两直线平行）． ∴∠EFN+∠FNG＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵MG∥FN（已知）， ∴∠FNG+∠G＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠EFN＝∠G（同角的补角相等）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；∠GHD；同位角相等，两直线平行；∠FNG；MG∥FN；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 21．（7分）在△ABC中，AB＝AC． （1）利用没有刻度的直尺和圆规完成如下操作，作∠BAC的平分线和AB的垂直平分线，交点为P．（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接PB，若∠ABC＝70°，求∠ABP的度数． 【答案】（1）作图见解析； （2）∠ABP＝20°． 【分析】（1）根据角平分线和线段垂直平分线的作法作图即可； （2）由三线合一可得∠ADB＝90°，即得∠BAD＝20°，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）∠BAC的平分线和AB的垂直平分线，交点为P，如图即为所求； （2）在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，AD为∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣70°＝20°， ∵点P在AB的垂直平分线上， ∵PA＝PB， ∴∠ABP＝∠BAP＝20°． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 22．（10分）端午节来临之际，重百超市准备大量购进咸口和甜口两种口味粽子，一袋甜口的进价比咸口的进价多5元，用750元购进甜口粽子和用600元购进咸口粽子的袋数相同． （1）求甜口和咸口的粽子每袋的进价各是多少？ （2）超市计划用不超过1320元的资金购进两种口味粽子共60袋，其中咸口粽子的数量不超过甜口粽子数量的两倍，该超市将甜口粽子每袋的售价定为40元，咸口粽子每袋的售价定为32元，并计划在端午节期间开展优惠促销活动，对每袋甜口粽子售价优惠2元，咸口不变，要使售完这60袋粽子总利润最大，应该购进甜口粽子多少袋？ 【答案】（1）甜口粽子每袋进价25元，咸口粽子每袋进价20元； （2）应该购进甜口粽子24袋． 【分析】（1）本题考查分式方程的实际应用，设出咸口粽子的进价，根据两种粽子的购进袋数相等的关系列分式方程求解即可； （2）本题考查一元一次不等式组与一次函数最值的实际应用，先根据资金和数量限制列出不等式组，得到甜口粽子进货量的取值范围，再根据一次函数的增减性求出总利润最大时的进货量． 【解答】解：（1）设咸口粽子每袋进价为x元，则甜口粽子每袋进价为（x+5）元， 由题意列分式方程得，， 整理得，150x＝3000， 解得x＝20， 经检验x＝20是原方程的解， ∴x+5＝20+5＝25 （元）， 答：甜口粽子每袋进价25元，咸口粽子每袋进价20元； （2）设购进甜口粽子a袋，则购进咸口粽子（60﹣a）袋， 由题意列一元一次不等式组得，， 解得20≤a≤24， 设售完60袋粽子的总利润为w元， 由题意得w＝（40﹣2﹣25）a+（32﹣20）（60﹣a）＝a+720， ∵1＞0， ∴w随a的增大而增大， ∴当a＝24时，w取得最大值， 答：要使总利润最大，应该购进甜口粽子24袋． 【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式． 23．（10分）如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，DB为△ACD的高，AB＝DB，EB＝CB． （1）求证：△ABE≌△DBC； （2）如图：BF⊥AE于F，BG⊥CD于G，探究BF与BG的关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）BF＝BG，BF⊥BG，理由见解答． 【分析】（1）根据SAS可证△ABE≌△DAC； （2）由（1）得△ABE≌△DBC，得∠AEB＝∠DCB，从而可证△BEF≌△BCG（AAS），得BF＝BG，∠EBF＝∠GBC，从而可证∠GBF＝90°，即可证明BF与BG的关系． 【解答】（1）证明：∵DB为△ACD的高， ∴DB⊥AC， ∴∠ABE＝∠DBC＝90°， 在△ABE和△DBC中， ， ∴△ABE≌△DBC（SAS）； （2）解：BF＝BG，BF⊥BG，理由如下： 由（1）知：△ABE≌△DBC， ∴∠AEB＝∠DCB， ∵BF⊥AE，BG⊥CD， ∴∠BFE＝∠BGC＝90°， 在△BEF和△BCG中， ， ∴△BEF≌△BCG（AAS）， ∴BF＝BG，∠EBF＝∠GBC， ∵∠DBC＝∠GBE+∠GBC＝90°， ∴∠GBE+∠EBF＝90°， ∴∠GBF＝90°， ∴BF⊥BG， ∴BF＝BG，BF⊥BG． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定，正确寻找全等三角形是解决问题的关键． 24．（10分）如图，AB，DE交于点F，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC＝BE，AD＝BC，连结CD，CE． （1）求证：∠ADC＝∠BCE； （2）若∠A＝48°，∠ADC＝36°，求∠CDE的度数． 【答案】（1）∵AB，DE交于点F，AD∥BE，点C在线段AB上， ∴∠A＝∠B， 在△ADC和△BCE中， ， ∴△ADC≌△BCE（SAS）， ∴∠ADC＝∠BCE． （2）∠CDE的度数是30°． 【分析】（1）由AD∥BE，得∠A＝∠B，而AC＝BE，AD＝BC，可根据“SAS”证明△ADC≌△BCE，则∠ADC＝∠BCE． （2）由∠A＝48°，∠ADC＝36°，求得∠BCD＝∠A+∠ADC＝84°，因为∠ADC＝∠BCE，所以∠BCE＝36°，则∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝120°，由全等三角形的性质得CD＝EC，则∠CDE＝∠CED，由120°+2∠CDE＝180°，求得∠CDE＝30°． 【解答】（1）证明：∵AB，DE交于点F，AD∥BE，点C在线段AB上， ∴∠A＝∠B， 在△ADC和△BCE中， ， ∴△ADC≌△BCE（SAS）， ∴∠ADC＝∠BCE． （2）解：∵∠A＝48°，∠ADC＝36°， ∴∠BCD＝∠A+∠ADC＝48°+36°＝84°， ∵∠ADC＝∠BCE， ∴∠BCE＝36°， ∴∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝84°+36°＝120°， 由（1）得△ADC≌△BCE， ∴CD＝EC， ∴∠CDE＝∠CED， ∵∠DCE+∠CDE+∠CED＝180°， ∴120°+2∠CDE＝180°， ∴∠CDE＝30°， ∴∠CDE的度数是30°． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明△ADC≌△BCE是解题的关键． 25．（14分）张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是张老师在“利用角的对称性构造全等模型”开展的微专题探究活动，请仔绍阅读，并完成相应任务． 活动1：用直尺和圆规作已知角的平分线，如图1所示，则由△APD≌△APE，可得∠DAP＝∠EAP． 活动2：如图2，在△ABC中，AB＜AC，AP是△ABC的角平分线，在AC上截取AQ＝AB，连接PQ，则△ABP≌△AQP． 请完式下列任务： （1）在活动1、活动2中，判定三角形全等的依据依次是 　④　 ，　①　 （填序号）． ①SAS ②AAS ③ASA ④SSS （2）【迁移探究】 如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD+BC，∠DAB的平分线与∠ABC的平分线恰好交于CD边上的点P，试判断PD与PC的数量关系，并说明理由． （3）【拓展探究】 如图4，在△ABC中，∠C＝60°，AE，BF是△ABC的两条角平分线，且AE，BF交于点P．试猜想PE与PF之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）④；①； （2）PD＝PC，理由见解答过程； （3）PE＝PF，理由见解答过程． 【分析】（1）活动1：连接PD，PE，由尺规作图可知AD＝AE，PD＝PE，进而可依据“SSS”判定△APD和△APE全等； 活动2：在AC上截取AQ＝AB，连接PQ，根据角平分线定义得∠BAP＝∠QAP，进而可依据“SAS”判定△ABP和△AQP全等，由此即可得出答案； （2）在AB上截取AH＝AD，连接PH，根据AB＝AD+BC得BH＝BC，根据角平分线定义得∠HAP＝∠DAP，∠HBP＝∠CBP，进而可依据“SAS”判定△APH和△APD全等得PH＝PD，△BPH和△BPC全等得PH＝PC，由此可得出PD与PC的数量关系； （3）在AB上截取AK＝AF，连接PK，求出∠FPA＝60°，则∠APB＝120°，∠EPB＝∠FPA＝60°，进而依据“SAS”判定△APK和△APF全等得PK＝PF，∠KPA＝∠FPA＝60°，则∠KPB＝∠EPB＝60°，由此可依据“ASA”判定△BPK和△BPE全等得PK＝PE，由此即可得出PE与PF之间的数量关系． 【解答】解：（1）活动1：连接PD，PE，如图1所示： 由尺规作图可知：AD＝AE，PD＝PE， 在△APD和△APE中， ， ∴△APD≌△APE（SSS）； 活动2：在AC上截取AQ＝AB，连接PQ，如图2所示： ∵AP是△ABC的角平分线， ∴∠BAP＝∠QAP， 在△ABP和△AQP中， ， ∴△ABP≌△AQP（SAS）， 故答案为：④；①； （2）PD与PC的数量关系是：PD＝PC，理由如下： 在AB上截取AH＝AD，连接PH，如图3所示： ∴AB＝AH+BH＝AD+BH， ∵AB＝AD+BC， ∴BH＝BC， ∵∠DAB的平分线与∠ABC的平分线恰好交于CD边上的点P， ∴∠HAP＝∠DAP，∠HBP＝∠CBP， 在△APH和△APD中， ， ∴△APH≌△APD（SAS）， ∴PH＝PD， 在△BPH和△BPC中， ， ∴△BPH≌△BPC（SAS）， ∴PH＝PC， ∴PD＝PC； （3）猜想PE与PF之间的数量关系是：PE＝PF，理由如下： 在AB上截取AK＝AF，连接PK，如图4所示： 在△ABC中，∠C＝60°， ∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠C＝120°， ∵AE，BF是△ABC的两条角平分线，且交于点P， ∴∠KAP＝∠FAP∠CAB，∠KBP＝∠EBP∠CBA， ∴∠KAP+∠KBP（∠CAB+∠CBA）120°＝60°， ∵∠FPA是△PAB的外角， ∴∠FPA＝∠KAP+∠KBP＝60°， ∴∠APB＝180°﹣∠FPA＝120°，∠EPB＝∠FPA＝60°， 在△APK和△APF中， ， ∴△APK≌△APF（SAS）， ∴PK＝PF，∠KPA＝∠FPA＝60°， ∴∠KPB＝∠APB﹣∠KPA＝120°﹣60°＝60°， ∴∠KPB＝∠EPB＝60°， 在△BPK和△BPE中， ， ∴△BPK≌△BPE（ASA）， ∴PK＝PE， ∴PE＝PF． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． ( 第 2 页 共 26 页 ) ( 第 1 页 共 26 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $