精品解析：江苏苏州工业园区景城学校2025-2026学年第二学期阶段练习试卷九年级数学学科

2025—2026学年第二学期阶段练习试卷 九年级 数学学科 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各数中比大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算各选项值的绝对值，再通过“负数比较大小，绝对值越小，数越大”的性质即可解题． 【详解】解：先计算各选项数值的绝对值：，，，， 由于负数比较大小，绝对值越小，数越大，且， ∴， ∴比大的数是． 2. 小红家分了一套住房，她想在自己的房间的墙上钉一根细木条，挂上自己喜欢的装饰物，那么小红至少需要几根钉子使细木条固定（　　） A. 1根 B. 2根 C. 3根 D. 4根 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据两点确定一条直线这一基本事实即可解答. 解：因为两点就可确定一条直线，所以需要两根钉子来固定. 故选B. 3. 我国自主研发的人工智能“绝艺”获得全球前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质理和速度，其中一个大数据中心能存储580亿本书籍，数据580亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：580亿， 故选：B． 4. 下列选项中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法可判断A，根据积的乘方运算可判断B，根据幂的乘方运算可判断C，根据同底数幂的除法运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算，同底数幂的除法运算，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键． 5. 将一块含直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其中点A，C分别落在直线a，b上，若，，则∠2的度数为（ ） A. 40° B. 30° C. 20° D. 10° 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得出，即，即可得出的度数． 【详解】解：如图，为含有30°角的直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键． 6. 已知一个布袋里装有个红球，个白球和个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出一个球是白球的概率为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了应用概率公式的计算，解题的关键是根据概率公式列出方程．利用概率公式，白球数量除以总球数等于给定概率，建立方程求解． 【详解】解：根据题意可得， 解得， 故选：D． 7. 小明放学后从学校骑车回家，途经书店，在书店购物花费5分钟，他离家的路程（千米）与所经过的时间（分）关系如图．有下列结论： ①学校到书店速度为0.15千米／分钟；②的值为15； ③从书店到家的速度是学校到书店速度的2倍；④经18分钟后小明离家的路程为0.8千米． 其中，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用．①根据速度=路程÷时间计算即可；②根据题意计算即可；③根据速度=路程÷时间求出从书店到家的速度，从而计算从书店到家的速度是学校到书店速度的倍数即可；④根据题意列关于t的方程并求解即可． 【详解】解：学校到书店速度为（千米/分钟）， ∴①正确，符合题意； ， ∴②正确，符合题意； 从书店到家的速度为（千米/分钟）， ， ∴从书店到家的速度是学校到书店速度的倍， ∴③不正确，不符合题意； 当小明离家的路程为0.8千米时，得， 解得， ∴经18分钟后小明离家的路程为0.8千米， ∴④正确，符合题意． 综上，正确的有3个，分别是①②④． 故选：C． 8. 如图，正方形中，点E是边的中点，连接，将沿翻折得，连接、．则以下结论：①，②，③，④．其中正确结论的序号是（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ②④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形的翻折变换及其性质、正方形的性质、锐角三角函数的定义、相似三角形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 根据点是边的中点，可设，结合正方形的性质和翻折的性质推出，，进而判断①；过点作直线，分别交、于点、，证明∽，在中，结合勾股定理及判断②；在和中，用勾股定理可以判断③；分别表示出和即可判断④． 【详解】解：①∵点是边的中点， ∴可设，则， ∵四边形是正方形， ∴，， 设， 由翻折性质得：，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故结论①正确； ②过点作直线，分别交、于点、，如图所示： ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 在和中， ，， ∴∽， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴，， ∴，， ∴， 故结论②正确； ③在中，， 在中，， ∴， 故结论③不正确； ④∵， 由翻折的性质得：， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 故结论④正确； 综上所述：正确的结论是①②④．   故选：D ． 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】完全平方公式：． 【详解】解：． 10. 某公司招聘一名技术人员，对小王进行了笔试和面试．小王笔试和面试的成绩分别为分和分，综合成绩按照笔试占，面试占进行计算，则小王的综合成绩为________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据题目给出的权重和对应成绩，利用加权平均数的计算方法即可求出小王的综合成绩． 【详解】解：由题意可得，小王的综合成绩为： （分）． 11. 若x，y满足，则代数式的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查的是整式乘法中利用整体代入的方法进行求值，灵活利用添括号的知识是解题的关键．将代数式变形为，然后利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：3． 12. 已知一次函数的y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的k的值为______． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【详解】解： 一次函数 中随的增大而增大， ， 解得， 故可取． 13. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14. 图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径，，则图1中图形（实线部分）的周长为______（结果保留）． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据图①确定图②的周长等于2个的长，根据弧长公式求解可得结论． 【详解】解：由图①得：的长的长的长，且实线部分是由四个图②组成， ∵半径，， 则图②的周长为：， 故图①中图形（实线部分）的周长为． 15. 如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点C和点D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线交于点M，若，，则__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线的基本作图，勾股定理，正弦函数，根据作图，得到，是的角平分线，利用等腰三角形三线合一性质，勾股定理计算，根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：连接， 由作图可知，，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，P、Q分别为、上的动点，点P以每秒3个单位长度的速度由A向D运动，同时，点Q以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，过点D作，垂足为点G，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，利用平行和与的比值得到必过的交点，所以为定长，因为 ，得到，定角对定长，点的运动轨迹是以为直径的圆，从而求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点， ， ∵， ∴， 在中，， ∵点P以每秒3个单位长度的速度由A向D运动，点Q以每秒2个单位长度的速度由C向B运动， 设运动时间为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段必过点， ∵， ∴， ∵，所对的边为定长， ∴点的运动轨迹是以为直径的圆， 点到圆上的最大长度要过圆心， ∴与重合时，取得最大值， ∵， ∴， 即的最大值为． 【点睛】本题主要考查了相似与隐圆的综合题，解题的关键是利用已知条件找出动点的运动轨迹，从而解出答案． 三、解答题（共82分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用立方根的性质、有理数的乘方运算法则、绝对值的性质分别化简得出答案． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①可得， 解不等式②可得， ∴不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中x满足x2－2x－2=0. 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由x2-2x-2=0得x2=2x+2=2（x+1），整体代入计算可得． 【详解】解：原式= = =， ∵x2-2x-2=0， ∴x2=2x+2=2（x+1）， ∴原式= ． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 20. 在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A.酚酞 B.氢氧化钠溶液（碱性） C.盐酸溶液（酸性） D.蒸馏水（中性） （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． （2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法、概率公式求概率，解决本题的关键是理解题目意义． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种， ∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下． 共有12种等可能的结果，其中混合后的溶液变红色的结果有，，共2种， 混合后的溶液变红色的概率为． 21. 如图所示，在中，于，于，与交于点，且． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解答此题的关键． （1）由同角的余角相等得出，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，由此计算即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵于，于， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 22. 数学小组为了了解我校同学对食堂就餐的评价，抽取部分同学参加问卷评价调查，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示．请根据图表信息解答下列问题： 组别 评价得分 频数 频率 A组 30 0.1 B组 90 n C组 m 0.4 D组 60 0.2 （1）本次问卷评价调查共抽取 名同学参与； （2）补全频数分布直方图； （3）小俊的评价分是所有被抽取学生评价分的中位数，据此推断他的评价得分在_____组； （4）若全校共1200人，试估计评价得分不低于80分的人数． 【答案】（1）300； （2） 补全频数分布直方图如下： （3）C； （4）720人 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，能从统计表中获取有用信息是解题的关键． （1）将A组频数除以频率即可求出抽取的同学人数； （2）先求出m的值，再补全频数分布直方图即可； （3）根据中位数的意义确定出中位数所在的组，从而推断出小俊的评价分在哪个组； （4）将评价得分不低于80分的频率乘以1200即可估计评价得分不低于80分的人数． 【小问1详解】 解：（名）， 故答案为：300； 【小问2详解】 解：， 【小问3详解】 解：∵所有被抽取学生评价分的中位数是位于第150，第151数据的平均数， ∴推断小俊的评价得分在C组， 故答案为：C； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计评价得分不低于80分的人数为720人． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，延长交反比例函数图象于点C． （1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出自变量x取值范围为______； （3）点M是x轴上一点，当时，请求出点M的坐标． 【答案】（1）一次函数表达式为；反比例函数的表达式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据图象，直接写出不等式解集即可； （3）设直线交x轴于点D，先求出，，再根据，继而求出点M坐标即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于，， ， ∴反比例函数的表达式为， 把，代入一次函数， 则， 解得：， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，自变量的取值范围为或． 【小问3详解】 解：如图，设直线交x轴于点D， ∵一次函数，当时，， 解得，则， ， ， ， ∵交反比例函数图象于点C， ∴点关于点O对称， ， ， ， 或 24. 如图，是的直径，点C是半圆的中点，点D是上一点，连接交于E，点F是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）连接、、，若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，利用圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和等量代换求得，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论； （2）利用圆周角定理得到，则，利用直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质得到的长，设的半径为r，利用勾股定理列出方程，解方程即可得出结论． 【小问1详解】 证明：连接，，如图， ∵点C是半圆的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 即， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 设半径为r，则， ∵， ∴， 解得：． ∴的半径为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆的切线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，弦切角定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 25. 随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得，． （1）求此时液压杆的长度； （2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作，垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即），求伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）3米 （2）伸长到的最大长度为6米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键． （1）过点作，分别解直角三角形和直角三角形，进行求解即可； （2）易得，旋转得到，解直角三角形得到，，利用，求出的长，再减去的长即可得出结果． 【小问1详解】 解：过点作， 在中，，， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 由题意，得：， 在中， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故：伸长到的最大长度为6米． 26. 综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对图形的翻折进行了如下探究． 问题背景：已知等腰直角三角形，． （1）如图1，若直线l经过的中点O，将边关于直线l翻折，点，分别为A，B的对应点．连接，判断四边形的形状，并说明理由； 问题迁移： （2）如图2，，直线l与交于点H，点A关于直线l的对称点恰好落在上，若恰好平分，求的长； 问题拓展： （3）如图3，，且，若直线l经过点C，将边关于直线l翻折，当A，B的对应点，与点D在同一条直线上时，求的度数． 【答案】（1）解：四边形是矩形，理由如下； 由折叠的性质得，， ∵直线l经过的中点O， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）； （3）的度数为或． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得，，又，则，根据对角相互平分且相等的四边形是矩形，即可判断； （2）设，由折叠的性质得，，推出，求得，∴，得到，，根据，列式计算即可求解； （3）分两种情况讨论，当共线时，连接，，作于点，证得也是等腰直角三角形，求得，，得到，利用余弦函数的定义求得，据此求解即可；当共线时，同理求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）设， 由折叠的性质得，， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴， ∵等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）当共线时，连接，，作于点，如图， 由折叠的性质得，即也是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当共线时，连接，，作于点，如图， 同理，，， ∴， 综上，的度数为或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，二次根式的混合运算．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 27. 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围； （3）已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）过点作轴交于，过点作轴交于，利用待定系数法可得到直线的解析式为，设，且，则，由，得，可得，即取最大值，结合，即可求得答案； （3）当点绕着点顺时针旋转得到点时，过点作轴于点，过点作轴于点，可证得，得出，，设点，则，，可得；当点绕着点逆时针旋转得到点时，则，代入抛物线解析式即可求得答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得：， 解得， 故抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 如图，过点作轴交于，过点作轴交于， 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 设，且，则， ， 将代入，得到 ， ，， 轴，轴， ， ， ， ， 当时，取得最大值， ， ， 的最大值为， ； 【小问3详解】 当点绕着点顺时针旋转得到点时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ，， ， ， ， ， ，， 点在直线：上，设点， 则，， ，， 点的坐标为， 点在抛物线上，代入抛物线解析式得：， 解得：，， 点的坐标为或 当点绕着点逆时针旋转得到点时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 同理可得点的坐标为 点在抛物线上，代入抛物线解析式得：， 解得：，， 点的坐标为或； 综上所述点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，同角的余角相等,全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期阶段练习试卷 九年级 数学学科 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列各数中比大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 小红家分了一套住房，她想在自己的房间的墙上钉一根细木条，挂上自己喜欢的装饰物，那么小红至少需要几根钉子使细木条固定（　　） A. 1根 B. 2根 C. 3根 D. 4根 3. 我国自主研发的人工智能“绝艺”获得全球前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质理和速度，其中一个大数据中心能存储580亿本书籍，数据580亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列选项中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一块含的直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其中点A，C分别落在直线a，b上，若，，则∠2的度数为（ ） A. 40° B. 30° C. 20° D. 10° 6. 已知一个布袋里装有个红球，个白球和个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出一个球是白球的概率为，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 小明放学后从学校骑车回家，途经书店，在书店购物花费5分钟，他离家的路程（千米）与所经过的时间（分）关系如图．有下列结论： ①学校到书店速度为0.15千米／分钟；②的值为15； ③从书店到家的速度是学校到书店速度的2倍；④经18分钟后小明离家的路程为0.8千米． 其中，正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，正方形中，点E是边的中点，连接，将沿翻折得，连接、．则以下结论：①，②，③，④．其中正确结论的序号是（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ②④ D. ①②④ 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 分解因式：______． 10. 某公司招聘一名技术人员，对小王进行了笔试和面试．小王笔试和面试的成绩分别为分和分，综合成绩按照笔试占，面试占进行计算，则小王的综合成绩为________分． 11. 若x，y满足，则代数式的值为_____． 12. 已知一次函数的y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的k的值为______． 13. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 14. 图1是由若干个相同的图形（图2）组成的美丽图案的一部分，图2中，图形的相关数据：半径，，则图1中图形（实线部分）的周长为______（结果保留）． 15. 如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点C和点D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线交于点M，若，，则__________________． 16. 如图，在四边形中，P、Q分别为、上的动点，点P以每秒3个单位长度的速度由A向D运动，同时，点Q以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，过点D作，垂足为点G，则的最大值为________． 三、解答题（共82分） 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 先化简，再求值：，其中x满足x2－2x－2=0. 20. 在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A.酚酞 B.氢氧化钠溶液（碱性） C.盐酸溶液（酸性） D.蒸馏水（中性） （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． （2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 21. 如图所示，在中，于，于，与交于点，且． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 22. 数学小组为了了解我校同学对食堂就餐的评价，抽取部分同学参加问卷评价调查，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示．请根据图表信息解答下列问题： 组别 评价得分 频数 频率 A组 30 0.1 B组 90 n C组 m 0.4 D组 60 0.2 （1）本次问卷评价调查共抽取 名同学参与； （2）补全频数分布直方图； （3）小俊的评价分是所有被抽取学生评价分的中位数，据此推断他的评价得分在_____组； （4）若全校共1200人，试估计评价得分不低于80分的人数． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，延长交反比例函数图象于点C． （1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出自变量x的取值范围为______； （3）点M是x轴上一点，当时，请求出点M的坐标． 24. 如图，是的直径，点C是半圆的中点，点D是上一点，连接交于E，点F是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）连接、、，若，，求的半径． 25. 随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得，． （1）求此时液压杆的长度； （2）若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作，垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即），求伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，，） 26. 综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对图形的翻折进行了如下探究． 问题背景：已知等腰直角三角形，． （1）如图1，若直线l经过的中点O，将边关于直线l翻折，点，分别为A，B的对应点．连接，判断四边形的形状，并说明理由； 问题迁移： （2）如图2，，直线l与交于点H，点A关于直线l的对称点恰好落在上，若恰好平分，求的长； 问题拓展： （3）如图3，，且，若直线l经过点C，将边关于直线l翻折，当A，B的对应点，与点D在同一条直线上时，求的度数． 27. 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围； （3）已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $