精品解析：2025年江苏省苏州市工业园区星湾学校中考数学二模试题

2024-2025学年第二学期教学调研 九年级数学试卷 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. “花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着诸多数学美．下列窗棂图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂除法，根据合并同类项，完全平方公式，积的乘方，同底数幂除法运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，选项运算错误，故不符合题意； B、，选项运算错误，故不符合题意； C、，选项运算错误，故不符合题意； D、，运算正确，故符合题意， 故选：D． 4. 一季度是全年经济风向标，是实现全年良好开局关键．日前，江苏13市陆续发布了一季度经济数据，江苏13市一季度的经济总量均超1000亿元．苏州以6095亿元的经济总量稳居首位，比去年5549亿元还多出了500多亿元．数据“6095亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据6095亿用科学记数法表示为； 故选C． 5. 一元二次方程实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 无实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知判别式小于0时，方程无实数根是解题的关键； 根据一元二次方程的判别式进行解答即可. 【详解】解：因为方程判别式， 所以一元二次方程无实数根； 故选：B. 6. 学校抽查了10名青年教师的年龄情况（见下表）： 年龄（岁） 24 25 26 27 28 人数 2 3 2 1 2 这10名教师年龄的众数、中位数分别是（ ） A. 2，25岁 B. 2，26岁 C. 28岁，岁 D. 25岁，岁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数与中位数，熟知二者的概念是解题关键； 根据众数（众数指在一组数据中出现次数最多的数值）和中位数（中位数‌是指将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。如果数据的个数是奇数，则中位数是中间那个数；如果数据的个数是偶数，则中位数是中间两个数的平均值‌）的定义求解即可. 【详解】解：这10个数据中，25出现的次数最多，有3次， 所以这组数据的众数是25岁； 按照从小到大的顺序排列后，第5和第6个数据分别是25和26， 所以这组数据的中位数是岁； 故选：D. 7. 如图，，平分．以下结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可根据平行线的性质、角平分线的定义，对每个选项逐一进行分析判断．本题主要考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、角平分线的定义以及三角形的性质（等角对等边、三边关系）．解题的关键在于熟练运用这些性质，通过角与角之间的等量代换，以及边与边关系的推导，对每个选项进行准确判断． 【详解】解：选项A： ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴，该选项成立． 选项B： 仅由，平分，无法得出． 例如，当时，，，的度数取决于的形状，不一定等于 ，该选项不一定成立． 选项C： ∵， ∴，又平分，即， ∴． 在中，等角对等边， ∴，该选项成立． 选项D： 中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边， ∵（已证）， ∴，即，也就是，该选项成立． 故选：B． 8. 如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，且反比例函数的图像经过点，连接，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据题意表示出，，设，得到，然后根据点D是的中点得到，代入求出，然后表示出，，然后表示出与的面积，进而求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过的中点， ∴设 ∵的顶点在轴正半轴上， ∴点A的横坐标为0， ∴点B的横坐标为 ∵ ∴点E，点C的横坐标为 ∵点E在，反比例函数图象上，反比例函数的图像经过点， ∴， 设 ∴ ∴ ∵点D是的中点 ∴ ∴ ∴， ∴， ∴的面积，的面积 ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了反比例函数和几何综合，平行四边形的性质，中点坐标公式等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．） 9. 若式子 有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数大于等于0求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 10. 已知，，则代数式的值是__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将代数式进行因式分解，再利用整体代入法进行求解即可． 【详解】解：， ∵，， ∴原式； 故答案为：12． 11. 分式方程的解为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是关键；原方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解后再检验即可得解． 【详解】解：去分母，得， 解得：， 经检验：是原方程的解； 故答案为：3． 12. 从英文单词“success”中随机选择一个字母，选中字母“s”的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率计算．利用简单事件的概率计算公式即可得． 【详解】解：在“success”中，任选一个字母的所有可能的结果共有7种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，选取的字母为“s”的结果共有3种， 则所求的概率为， 故答案为：． 13. 如图，小球由地面沿坡度的坡面向上前进，则小球离地面的高度是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理在直角三角形中的运用，坡度i的定义，根据i可以求得、的长度的比值，已知米，根据勾股定理即可求的值，即可解题． 【详解】解：小球沿着坡面向上前进了假设到C处，过C作， ∵， ∴， 设，， 在中，，， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 14. 如图，已知的半径为5，弦的长为8，是的延长线上一点，，则等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理的应用，过作于,根据垂径定理求出、,根据勾股定理求出,根据勾股定理求出即可，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键， 【详解】解：过作于,则， ，过， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 15. 如图，中，，将绕点按顺时针旋转得到，射线与射线相交于点，连接．当四边形是矩形时，的值等于__________ 【答案】 【解析】 【分析】证明得出，，证明得出，设，，则，从而可得，求出，最后由正切的定义计算即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正切的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 16. 对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（ ）和二次函数（ ） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最大值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数 图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最大最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最大最小值并求差，再根据差值相等列方程求解 ，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解． 【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵， ∴，那么最大值与最小值的差为： ． 二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ． 情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ， ∴此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ， ∴ ， ∵ ， ∴解得 ． 情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ， ∵ ，解得 ． 情况三：当，即 时, 当时，． 当时，函数值 ； 当时，函数值 ． 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，即， ∴， ∴ 此时 ∴（舍去）或（舍去） 综上所述， 或 故答案为：或 三．解答题（共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是立方根、指数幂、零次幂，先计算负整数指数幂，零次幂，再合并即可. 【详解】解： 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ②①得，， 解得， 将代入②得，， 解得， ∴方程组的解为． 19. 求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，属于常考题型，熟练掌握分式的混合运算法则是关键； 先根据分式的混合运算法则化简，再把代入化简后的式子求解即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 20. 如图，点在上，，，且． （1）求证：； （2）取的中点，连接．若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明，再利用证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，由（1）可得，证明为等边三角形，得出，再由等边三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）可得， ∴为等边三角形， ∴， ∵取的中点，连接． ∴． 21. 某校为了解学生周末使用手机的情况（选项：A．聊天；B．学习；C．购物；D．游戏；E．其它），随机抽取九年级若干名学生进行调查，得到了下列图表（部分信息未给出）： 选项 频数 频率 A 10 m B n 0.2 C 5 0.1 D p 0.4 E 5 0.1 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是__________． （2）__________，并补全条形统计图； （3）若该校九年级有1000名学生，估计该校九年级学生利用手机聊天或玩游戏共有多少人？ 【答案】（1）50 （2），见解析 （3）600人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、频数与频率的关系、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计的相关知识是解题的关键； （1）用C组的频数除以其频率即可； （2）用A组的人数除以样本容量即可求出m，再根据频数与频率的关系求出n、p，即可补全统计图； （3）利用样本估计总体的思想求解即可. 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量是； 故答案为：50； 【小问2详解】 解：， ，，补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：； 答：估计该校九年级学生利用手机聊天或玩游戏共有600人. 22. 端午节期间，小峰一家人准备选取苏州拙政园（记为）、狮子林（记为）、寒山寺（记为）、西园寺（记为）中的部分景点去游玩． （1）若选取一个景点，则选中拙政园的概率是__________； （2）若选取两个景点，求恰好选中拙政园、狮子林的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据概率的公式计算即可； （2）根据题意列表，得出所有等可能的结果数以及符合题意的情况数，再利用概率的公式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得，共有4种等可能的结果，选中拙政园的结果有1种， 选中拙政园的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 由表格可得，共有12种等可能的结果，恰好选中拙政园、狮子林的情况有2种， 恰好选中拙政园、狮子林的概率． 23. 人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛。使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为，如图①所示． （1）如图②，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离；（结果保留一位小数） （2）如图③，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，求当桌面到地面的距离为多少时，才能保证坐姿正确? （结果保留一位小数，参考数据：，，，，，） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用． （1）根据题意，在中，，列式计算即可； （2）延长交于点，则，，先解直角三角形得到，继而得到本题答案． 【小问1详解】 解：在中，，， ． 故眼睛与屏幕距离约为； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， 则，， ∵， ∴． 在中，，， ， ． 24. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点，点在第二象限内，点的坐标是，且，． （1）求直线的函数关系式； （2）若直线与反比例函数的图像交于另一个点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数综合题，考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）将点代入正比例函数，得到点的坐标，再将点代入反比例函数解析式，求出的值即可，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得到，，进而得到点的坐标，再利用待定系数法即可求出所在直线的解析式； （2）延长交反比例函数图象于点D，连接，设与y轴交于点F，令，求出点F的坐标，联立直线与反比例函数解析式可求出点的坐标，根据利用三角形面积公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：点在正比例函数的图象上， ， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为； 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ，， ， 设所在直线的解析式为， ， 解得：， 所在直线的解析式为； 【小问2详解】 解：延长交反比例函数图象于点D，连接，设与y轴交于点F， 由（1）知，直线解析式为，反比例函数解析式为， 令，则， ， 联立， 解得：，， ， ． 25. 矩形中，与相交于点，点在边上，以点为圆心，的长为半径的圆与相切． （1）在图①中，利用无刻度直尺和圆规作出（要求：保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求的长； （3）如图②，连接，与相交于点．若点恰好在对角线上，求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】（1）作图见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）如图，在上截取，过作，交于，以为圆心，为半径作圆即可； （2）求解，，设，则，，结合，从而可得答案； （3）如图，延长交于，连接，而点恰好在对角线上，由作图可得：，，是的垂直平分线，，设，证明，可得，可得，求解，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：如图，在上截取，过作，交于，以为圆心，为半径作圆即可； 理由如下： 由作图及矩形性质可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：∵矩形，，， ∴，， 由（1）得：，，， ∴，， 设，则，， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 证明：如图，延长交于，连接，而点恰好在对角线上， 由作图可得：，， ∴是的垂直平分线，， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴点是线段的黄金分割点． 【点睛】本题考查的是复杂作图，圆的切线的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理与外角的性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，黄金分割的含义，作出合适的辅助线是解本题的关键． 26. 如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． （1）若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．设出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、．当和时，都有． ①则甲的速度是__________，乙的速度是__________； ②求与的函数关系式； （2）若甲从点先出发，骑车向北匀速直行；1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．当甲到达点时休息了1分钟，然后继续向北骑行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，求甲出发多长时间，两人与点的距离相等? 【答案】（1）①240；80；② （2）甲出发4分钟或分钟后，两人与点的距离相等 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、求一次函数的解析式，理解题意是解题的关键． （1）①设甲的速度是，乙的速度是，根据题意列出方程组，解出的值即可；②根据①中甲的速度，分和两种情况即可求解； （2）设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、，根据题意分、、、四种情况分析，分别求出、与的关系式，结合列出方程，求出的值即可解答． 【小问1详解】 解：①设甲的速度是，乙的速度是， 当时，，， 当时，，， 由题意得，， 解得：， 甲的速度是，乙的速度是． 故答案为：240；80； ②甲的速度是， 甲到达的时间为， 当时，； 当时，； 与的函数关系式为． 【小问2详解】 解：设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、， ①当时，，， 令，则，解得（舍去）； ②当时，，， 令，则，解得； ③当，，， 令，则，解得（舍去）； ④当，，， 令，则，解得； 答：甲出发4分钟或分钟后，两人与点的距离相等． 27. 如图①，抛物线（其中为大于1的常数）与轴相交于点、（在的右边），与轴相交于点，点是抛物线的顶点，对称轴与轴相交于点． （1）点的坐标是__________； （2）点是对称轴上的一动点，当的最小值为时，求的周长； （3）如图②，射线与抛物线相交于另一点，若的面积与的面积相等，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及到抛物线与坐标轴交点，线段和最值，面积与二次函数综合，相似三角形的判定与性质； （1）由，即可求出，，； （2）连接，根据对称性得到，则，由的最小值为，得到，结合，，利用勾股定理计算即可； （3）先求出，，得到，，，分别过、作的垂线，垂足分别为、，过作轴，交直线于，则，，根据的面积与的面积相等，得到，再证明，得到，最后根据，得到，代入列方程计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，；当时，， ∵抛物线（其中为大于1的常数）与轴相交于点、（在的右边），与轴相交于点， ∴，，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：连接， ∵点是对称轴上的一动点，抛物线（其中为大于1的常数）与轴相交于点、， ∴， ∴， ∴的最小值为的长 ∵的最小值为， ∴， ∵，， ∴, ∵， ∴， 解得， ∵为大于1的常数， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴的周长为； 【小问3详解】 解：∵抛物线， ∴，， ∴，，， 分别过、作的垂线，垂足分别为、，过作轴，交直线于，则，， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∵为大于1的常数， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期教学调研 九年级数学试卷 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. “花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透窗棂中蕴含着诸多数学美．下列窗棂图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一季度是全年经济风向标，是实现全年良好开局的关键．日前，江苏13市陆续发布了一季度经济数据，江苏13市一季度的经济总量均超1000亿元．苏州以6095亿元的经济总量稳居首位，比去年5549亿元还多出了500多亿元．数据“6095亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 无实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有实数根 6. 学校抽查了10名青年教师的年龄情况（见下表）： 年龄（岁） 24 25 26 27 28 人数 2 3 2 1 2 这10名教师年龄的众数、中位数分别是（ ） A. 2，25岁 B. 2，26岁 C. 28岁，岁 D. 25岁，岁 7. 如图，，平分．以下结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，且反比例函数的图像经过点，连接，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相对应的位置上．） 9. 若式子 有意义，则的取值范围是_____． 10. 已知，，则代数式的值是__________． 11. 分式方程的解为__________． 12. 从英文单词“success”中随机选择一个字母，选中字母“s”的概率是__________． 13. 如图，小球由地面沿坡度的坡面向上前进，则小球离地面的高度是__________． 14. 如图，已知的半径为5，弦的长为8，是的延长线上一点，，则等于_______． 15. 如图，中，，将绕点按顺时针旋转得到，射线与射线相交于点，连接．当四边形是矩形时，的值等于__________ 16. 对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为__________． 三．解答题（共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 求代数式的值，其中． 20. 如图，点上，，，且． （1）求证：； （2）取的中点，连接．若，求的度数． 21. 某校为了解学生周末使用手机的情况（选项：A．聊天；B．学习；C．购物；D．游戏；E．其它），随机抽取九年级若干名学生进行调查，得到了下列图表（部分信息未给出）： 选项 频数 频率 A 10 m B n 0.2 C 5 0.1 D p 0.4 E 5 0.1 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是__________． （2）__________，并补全条形统计图； （3）若该校九年级有1000名学生，估计该校九年级学生利用手机聊天或玩游戏共有多少人？ 22. 端午节期间，小峰一家人准备选取苏州拙政园（记为）、狮子林（记为）、寒山寺（记为）、西园寺（记为）中的部分景点去游玩． （1）若选取一个景点，则选中拙政园的概率是__________； （2）若选取两个景点，求恰好选中拙政园、狮子林的概率． 23. 人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛。使用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”为，如图①所示． （1）如图②，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离；（结果保留一位小数） （2）如图③，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，求当桌面到地面的距离为多少时，才能保证坐姿正确? （结果保留一位小数，参考数据：，，，，，） 24. 如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点，点在第二象限内，点的坐标是，且，． （1）求直线的函数关系式； （2）若直线与反比例函数图像交于另一个点，求的面积． 25. 矩形中，与相交于点，点在边上，以点为圆心，的长为半径的圆与相切． （1）在图①中，利用无刻度直尺和圆规作出（要求：保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求长； （3）如图②，连接，与相交于点．若点恰好在对角线上，求证：点是线段的黄金分割点． 26. 如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． （1）若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．设出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、．当和时，都有． ①则甲的速度是__________，乙的速度是__________； ②求与函数关系式； （2）若甲从点先出发，骑车向北匀速直行；1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．当甲到达点时休息了1分钟，然后继续向北骑行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，求甲出发多长时间，两人与点的距离相等? 27. 如图①，抛物线（其中为大于1的常数）与轴相交于点、（在的右边），与轴相交于点，点是抛物线的顶点，对称轴与轴相交于点． （1）点的坐标是__________； （2）点是对称轴上的一动点，当的最小值为时，求的周长； （3）如图②，射线与抛物线相交于另一点，若的面积与的面积相等，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $