精品解析：江苏省苏州市昆山市秀峰中学2025-2026学年第二学期九年级二模数学试卷

初三中考适应性考试二数学试卷 一、选择题．（每小题3分，共8小题） 1. 下列各数：，0，，，其中最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种生活现象可以反映的数学原理是（ ） A. 线动成面 B. 点动成线 C. 面动成体 D. 点动成线、线动成面、面动成体 3. 我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量约为亿，人均占有淡水量仅为世界平均水平的，因此我们要节约用水，亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在野外探险中，有两条东西方向的平行步道，徒步者甲在步道上，徒步者乙在步道上．若某一时刻，甲看乙的方向是北偏东，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 不透明的袋子中有5张卡片，上面分别写着数字1，2，3，4，5，除数字外五张卡片无其它差别．从袋子中随机摸出一张卡片，其数字为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 某移动通讯公司提供了A，B两种方案的通讯费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系，如图所示，则以下说法错误的是( ) A. B. 若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元 C. 若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元 D. 若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多 E. 若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分 8. 某学习小组分到如图1所示农耕地用于劳动课种植果蔬，已知．小明（点）从点出发，同时小红（点）从点出发，以相同的速度按逆时针方向沿的边走动，记录测量数据，两人各执卷尺一端，卷尺（）保持笔直．当小明到达点时，小红刚好到达点；当小明到达点时，小红到点还差米．在小明从点到点的过程中，设为米，四边形的面积为平方米，如图2，关于的函数图象与轴的交点为，最低点的纵坐标为．下列结论正确的是（ ）． A. B. C. 的面积为平方米 D. 当四边形为梯形时， 二、填空题．（每小题3分，共8小题） 9. 对式子分解因式得_____________． 10. 七名同学一分钟排球垫球个数分别为，，，，，，，这组数据的众数是______． 11. 若，则代数式的值是______． 12. 一次函数的图象如图所示：则点在平面直角坐标系中位于第______象限． 13. 某长方形的长和宽分别等于关于的一元二次方程的两根，若该长方形的周长和面积的数值相等，则，的关系为______． 14. 已知弧的长是π，弧的半径为3，则该弧所对的圆心角度数为_____°． 15. 如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点，作于点；以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧在AC右侧交于点E，连接，若，，则的长为_____________．（用含m的式子表示） 16. 如图，在中，，点、分别为线段、上一点，，将沿折叠，使得点落在点F处，且．若，则的长为___________． 三、解答题（共11小题，共82分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简：，再从的范围中选择一个合适的整数代入求值． 20. 2026年央视春晚的吉祥物是一组名为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的骏马（分别记为A，B，C，D），将四匹骏马的图案印在如图所示的不透明卡片上，卡片背面完全相同，现将卡片背面朝上洗匀后抽取卡片． （1）若甲从中随机抽取一张，恰好抽到“驰驰（C）”的概率是______． （2）若乙从中随机抽取两张，求两张卡片中都没有“驰驰（C）”的概率． 21. 如图1，中，，E是边上一点，将沿边折叠，A的对应点F恰好落在边上，连接，与交于点O． （1）求证：四边形是菱形； （2）如图2，连接，若，，，求的长． 22. 为传承非遗文化，学校举办“传统剪纸”技艺大赛，从七、八年级学生中各随机抽取40名学生的比赛成绩（成绩为百分制且为整数，均不低于60分，用表示，分四组：A．；B．；C．；D．），部分信息如下： 七年级40名学生剪纸成绩在B组数据为81，82，82，83，84，85，85，86，87，88，88，89；D组有4人． 八年级40名学生成绩：61，64，66，67，70，71，72，73，73，74，75，75，76，77，78，78，78，78，79，82，83，83，84，85，86，87，88，89，89，90，91，92，92，93，94，95，95，96，97，98 七、八年级所抽取学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 73 七年级所抽取学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____； （2）结合以上数据，你认为哪个年级的比赛成绩更好？请说明理由（写一条理由即可）； （3）该校七年级有880人，八年级有760人，估计两个年级成绩不低于90分的学生总人数是多少？ 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． （1）求一次函数的解析式和m值； （2）当时，请根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）点P是线段上一点，过点P作轴于点D，交反比例函数的图象于点Q，连接，若的面积为，求点P的坐标． 24. 如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面． （1）当水桶在井里时，，求此时支点到小竹竿的距离（结果精确到）； （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 25. 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，D为圆上一点，且B，D两点位于AC异侧，连接BD，交AC于E，点F为BD延长线上一点，连接AF，使得∠DAF＝∠ABD． （1）求证：AF为⊙O的切线； （2）当点D为EF的中点时，求证：AD2＝AO•AE； （3）在（2）的条件下，若sin∠BAC＝，AF＝2，求BF的长． 26. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．交于点F，连接．设运动时间为．解答下列问题： （1）当时，求t的值； （2）设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 27. 如图，抛物线（m为常数）与x轴交于A、B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． （1）下列说法：①抛物线开口向上；②点C在y轴正半轴上；③；④抛物线顶点在直线上，其中正确的是______； （2）如图2，若直线与该抛物线交于M、N两点（点M在点N下方），试说明：线段的长是一个定值，并求出这个值； （3）在（2）的条件下，设直线与y轴交于点D，连接，当时，求此时m的值，判断与是否相似，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三中考适应性考试二数学试卷 一、选择题．（每小题3分，共8小题） 1. 下列各数：，0，，，其中最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用实数大小比较的基本规则，先区分负数，零和正数，再比较正数的大小即可得出结果． 【详解】解：∵负数小于0，0小于正数， ∴，且，都小于正数和， 又∵，， ∴， 综上可得四个数的排序为： ∴最大的数是． 2. 在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种生活现象可以反映的数学原理是（ ） A. 线动成面 B. 点动成线 C. 面动成体 D. 点动成线、线动成面、面动成体 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点、线、面、体的关系，熟练掌握点动成线，线动成面，面动成体是解题的关键．根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答． 【详解】解：在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种生活现象可以反映的数学原理是：点动成线， 故选：B． 3. 我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量约为亿，人均占有淡水量仅为世界平均水平的，因此我们要节约用水，亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．解题的关键是明确用科学记数法表示一个数的方法：（1）确定a：a是只有一位整数的数；（2）确定n：当原数的绝对值时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位上的零）．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，根据题意确定a和n即可． 【详解】解：亿. 故选C. 4. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则与合并同类项法则，根据对应法则计算各选项结果，即可得出答案． 【详解】解：A、，结果符合要求； B、，结果不符合要求； C、，结果不符合要求； D、与不是同类项，不能合并，结果不符合要求； 故选：A． 5. 如图，在野外探险中，有两条东西方向的平行步道，徒步者甲在步道上，徒步者乙在步道上．若某一时刻，甲看乙的方向是北偏东，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】标记，根据题意得到，根据平行的性质，得到，即可得到答案． 【详解】解：标记，如解图所示；易得， ， , , 故选C． 6. 不透明的袋子中有5张卡片，上面分别写着数字1，2，3，4，5，除数字外五张卡片无其它差别．从袋子中随机摸出一张卡片，其数字为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列出所有等可能的结果，然后找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解 ：所有可能的结果如下图： 一共有5种情况，其中数字为偶数的有2、4，共两种情况， ∴从袋子中随机摸出一张卡片，其数字为偶数的概率是， 故选：B． 【点睛】本题考查求简单事件的概率，不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键． 7. 某移动通讯公司提供了A，B两种方案的通讯费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系，如图所示，则以下说法错误的是( ) A. B. 若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元 C. 若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元 D. 若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多 E. 若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】A、从图象可以看出通话时间少于120 分钟，则B 方案比A 方案便宜 20元，故 A正确； B、由图象可以求得方案 A的解析表达式为y= ，方案 B的解析表达式为y=，所以通话时间超过 200分钟，则B 方案比 A方案便宜12 元，故 B正确； C、由y=60 作x 轴的平行线，从图象看出当通信费用为60 元时，则 B方案比 A方案的通话时间多，故 C正确； D、两种方案通信费用相差10 元时有多种情况，所以D 不正确． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了一次函数实际应用，运用数形结合的思想以及求函数解析式的方法求解．求函数的解析式时，常用待定系数法，即根据已知的自变量与函数的对应值，确定函数的解析式． 8. 某学习小组分到如图1所示农耕地用于劳动课种植果蔬，已知．小明（点）从点出发，同时小红（点）从点出发，以相同的速度按逆时针方向沿的边走动，记录测量数据，两人各执卷尺一端，卷尺（）保持笔直．当小明到达点时，小红刚好到达点；当小明到达点时，小红到点还差米．在小明从点到点的过程中，设为米，四边形的面积为平方米，如图2，关于的函数图象与轴的交点为，最低点的纵坐标为．下列结论正确的是（ ）． A. B. C. 的面积为平方米 D. 当四边形为梯形时， 【答案】B 【解析】 【分析】由初始点可得，的面积为平方米，故C错误；由题意可知，，，作于点，利用三角函数和等腰三角形的性质可得，，利用的面积构造方程，解得，则，，故A错误；作于点，利用计算出，从而得到，是一个二次函数，最低点为，故B正确，D错误． 【详解】解：根据题意，当时，， ∴的面积为平方米，故C错误； 由题意可知，，，， 如图，作于点，作于点， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴，故A错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ∴是关于的二次函数，图象开口向下，顶点坐标为， ∴，故B正确； 对于D：∵的最小值为，故D错误． 二、填空题．（每小题3分，共8小题） 9. 对式子分解因式得_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分解因式，直接用平方差公式分解因式即可． 【详解】， 故答案为：． 10. 七名同学一分钟排球垫球个数分别为，，，，，，，这组数据的众数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义，根据出现次数最多的数是众数解答即可，掌握众数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵这组数据中出现次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是， 故答案为：． 11. 若，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得，整体代入解答即可． 本题考查了整体代入计算代数式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键． 【详解】解：， 故． 故答案为：． 12. 一次函数的图象如图所示：则点在平面直角坐标系中位于第______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查了已知一次函数经过的象限求参数范围，判断点所在的象限．先观察图象，得出一次函数经过第一、三、四象限，即，故点位于第四象限，即可作答． 【详解】解：观察图象，得出一次函数经过第一、三、四象限， ∴， 则点在平面直角坐标系中位于第四象限， 故答案为：四. 13. 某长方形的长和宽分别等于关于的一元二次方程的两根，若该长方形的周长和面积的数值相等，则，的关系为______． 【答案】 且 【解析】 【分析】设，是关于x的一元二次方程的两正实数根，利用根与系数的关系，可得出，,结合矩形的周长和面积相等，即可找出p、q的关系． 【详解】解：设，是关于x的一元二次方程的两根， ∴，，且， ∵矩形的周长和面积的数值相等， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得，或，解得， ∵，即， ∴， ∴且． 14. 已知弧的长是π，弧的半径为3，则该弧所对的圆心角度数为_____°． 【答案】100 【解析】 【分析】根据弧长公式l=代入计算即可． 【详解】解：∵l=，r=3， ∴=， 解得：n=100°， 故答案为：100． 【点睛】本题考查了求圆心角的问题，做题的关键是掌握弧长公式l=． 15. 如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点M，N；分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点，作于点；以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧在AC右侧交于点E，连接，若，，则的长为_____________．（用含m的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定，解三角形、尺规作图，等知识点，连接，由作法可证明，，，设，可得，，再证明，可得，即可求出，，由即可解题． 【详解】解：如图，连接， 由作法可知：是的角平分线，，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴ 故答案为． 16. 如图，在中，，点、分别为线段、上一点，，将沿折叠，使得点落在点F处，且．若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】这是一个几何折叠问题，涉及到三角形的折叠、平行线性质以及直角三角形的相关知识．根据折叠可知 ，进而可得，结合可得四边形  为平行四边形，由此得出，再证明得出，由此即可求解． 【详解】解∶如图，延长  、 交于点  ，延长  交于点  ， 将  沿  折叠至  ，则； 是  的垂直平分线 ∴  又∵  ，即  ∴， 又∵， ∴四边形  为平行四边形，， ∴ ， ∵，由折叠可知：， ∴， ∴ ∵ ， ∴． 三、解答题（共11小题，共82分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再求其公共解即可． 【详解】解：， 解①，得； 解②，得； ∴不等式组的解集为：． 19. 先化简：，再从的范围中选择一个合适的整数代入求值． 【答案】，当时， 【解析】 【分析】先计算小括号内的减法，再计算除法，然后确定符合条件的的值再代入计算即可． 【详解】解： ， ∵，，， ∴且且， 又∵， ∴当时，原式． 20. 2026年央视春晚的吉祥物是一组名为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的骏马（分别记为A，B，C，D），将四匹骏马的图案印在如图所示的不透明卡片上，卡片背面完全相同，现将卡片背面朝上洗匀后抽取卡片． （1）若甲从中随机抽取一张，恰好抽到“驰驰（C）”的概率是______． （2）若乙从中随机抽取两张，求两张卡片中都没有“驰驰（C）”的概率． 【答案】（1） （2）列表见解析，概率为 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解； （2）列表展示出所有可能出现的结果，再找出都没有“驰驰（C）”的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：从四张卡片中随机抽取一张，恰好抽到“驰驰（C）”的概率是； 【小问2详解】 解：所有可能出现的结果有： 第2张 第1张 A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共12种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“两张卡片中都没有C”（记为事件）的结果有6种，所以． 21. 如图1，中，，E是边上一点，将沿边折叠，A的对应点F恰好落在边上，连接，与交于点O． （1）求证：四边形是菱形； （2）如图2，连接，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质、全等三角形的判定得出四边形是平行四边形，再根据折叠性质得到一组邻边相等，从而推导出四边形是菱形； （2）根据等边三角形性质和菱形性质求出长和，再利用锐角三角函数解直角三角形，以及勾股定理求出的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵折叠， ，， 在和中，，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：过点O作，垂足为点H， ∵折叠， ， ， 是等边三角形， ，， ∵四边形是菱形， ， 在Rt中，，即，， 在Rt中，，即，， 在Rt中，根据勾股定理得，． 22. 为传承非遗文化，学校举办“传统剪纸”技艺大赛，从七、八年级学生中各随机抽取40名学生的比赛成绩（成绩为百分制且为整数，均不低于60分，用表示，分四组：A．；B．；C．；D．），部分信息如下： 七年级40名学生剪纸成绩在B组数据为81，82，82，83，84，85，85，86，87，88，88，89；D组有4人． 八年级40名学生成绩：61，64，66，67，70，71，72，73，73，74，75，75，76，77，78，78，78，78，79，82，83，83，84，85，86，87，88，89，89，90，91，92，92，93，94，95，95，96，97，98 七、八年级所抽取学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 73 七年级所抽取学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____； （2）结合以上数据，你认为哪个年级的比赛成绩更好？请说明理由（写一条理由即可）； （3）该校七年级有880人，八年级有760人，估计两个年级成绩不低于90分的学生总人数是多少？ 【答案】（1）82，78，35； （2）八年级的比赛成绩更好，理由见解析 （3）429 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图，中位数、众数、平均数，样本估计总体，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （1）利用扇形统计图即可求出A 组，B组，组，组的人数，再利用中位数定义即可求出，再利用众数定义即可求出，最后利用扇形和C组人数即可求出； （2）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级40名学生竞赛成绩在A组中的数据有（人），在B组中的数据有12人，在组中的数据有（人），在D组中的数据有4人， ∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第20和21个数据，且数据从小到大排列后的第20和21个数据是82，82， ∴， ∵八年级40名学生竞赛成绩中出现次数最多的是78， ∴， ∵七年级40名学生竞赛成绩在C组中的数据共14个， ∴， ∴， 故答案为：82，78，35； 【小问2详解】 该校七年级学生“传统剪纸”技艺大赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生“传统剪纸”技艺大赛的成绩的平均数相同都是，但七年级“传统剪纸”技艺大赛的成绩的中位数82小于八年级“传统剪纸”技艺大赛的成绩的中位数，所以该校八年级学生“传统剪纸”技艺大赛的成绩较好； 【小问3详解】 解：（人）， 即估计该校七、八年级参加此次大赛成绩不低于分的学生人数共是429人． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． （1）求一次函数的解析式和m值； （2）当时，请根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）点P是线段上一点，过点P作轴于点D，交反比例函数的图象于点Q，连接，若的面积为，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）点P的坐标为 【解析】 【分析】（1）将代入得b，即得一次函数的解析式为，将代入一次函数解析式得m； （2）求出，由图可得，根据直线在双曲线上方的部分的自变量的取值范围，即可求解； （3）先求出反比例函数的解析式为，设点P的坐标为，得到点Q的坐标为，，，再根据三角形的面积公式，得到，求出，得到，即可解答． 【小问1详解】 解：一次函数图象过点， ， 解得， 一次函数解析式是 在一次函数的图象上， ， ， 【小问2详解】 解：由（1）得点， 由图象可得，一次函数与反比例函数的交点分别为点和， 当时的解集为； 【小问3详解】 解：将代入，得 ， ∴反比例函数的解析式为， 设点P的坐标为， ∵轴交反比例函数的解析式为于点Q， ∴点Q的坐标为，， ∴， ∴， ∴， 即， ， 解得， ∴， ∴点P的坐标为． 24. 如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面． （1）当水桶在井里时，，求此时支点到小竹竿的距离（结果精确到）； （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】（1）约为米 （2）约为米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题关键． （1）过点作，垂足为，先求出，再在中，解直角三角形即可得； （2）过点作，垂足为，设交于点，先求出，再在中，解直角三角形可得的长，在中，解直角三角形可得的长，最后利用求解即可得． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点，米， ∴米， 在中，（米）， 答：此时支点到小竹竿的距离约为米． 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为，设交于点， 由题意得：，，米， ∵， ∴， 在中，米， 由（1）可知，在中，米， ∴（米）， 答：点上升的高度约为米． 25. 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，D为圆上一点，且B，D两点位于AC异侧，连接BD，交AC于E，点F为BD延长线上一点，连接AF，使得∠DAF＝∠ABD． （1）求证：AF为⊙O的切线； （2）当点D为EF的中点时，求证：AD2＝AO•AE； （3）在（2）的条件下，若sin∠BAC＝，AF＝2，求BF的长． 【答案】（1）证明：连接． 是直径， ， ， ，， ， ， ， 为的切线． （2）证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）BF＝8． 【解析】 【分析】（1）欲证明是的切线，只要证明即可． （2）证明，可得结论． （3）过点作于．由题意，可以假设，，证明，可得，推出，，再证明，推出，推出，，由，推出，可得，利用勾股定理求出，，可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作于． 是直径， ， ， 可以假设，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ，， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题． 26. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．交于点F，连接．设运动时间为．解答下列问题： （1）当时，求t的值； （2）设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用得，即，进而求解； （2）分别过点C，P作，垂足分别为M，N，证得，，求得，再证得，得出，根据即可求出表达式； （3）当时，易证，得出，则，进而求出t值． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理得， ∵绕点A按逆时针方向旋转得到 ∴ ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ 答：当时，t的值为． 【小问2详解】 解：分别过点C，P作，垂足分别为M，N ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：假设存在某一时刻t，使 ∵ ∴ ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴存在时刻，使． 【点睛】本题考查了旋转与相似，利用勾股定理求线段长，平行线的性质，根据旋转的性质，找到相似图形是解决问题的关键，是中考中的常考题． 27. 如图，抛物线（m为常数）与x轴交于A、B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． （1）下列说法：①抛物线开口向上；②点C在y轴正半轴上；③；④抛物线顶点在直线上，其中正确的是______； （2）如图2，若直线与该抛物线交于M、N两点（点M在点N下方），试说明：线段的长是一个定值，并求出这个值； （3）在（2）的条件下，设直线与y轴交于点D，连接，当时，求此时m的值，判断与是否相似，并说明理由． 【答案】（1）①③④ （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由二次项系数判定①，令计算的值判定②，令，得到关于的一元二次方程，由函数与轴交于点和点得到该方程有两个不同的实数根判定③，由解析式得到顶点的坐标，然后代入直线判定④； （2）联立直线解析式和抛物线解析式得到关于的一元二次方程，进而由根与系数的关系得到点和点两点横坐标之间的关系，再结合两点之间的距离公式求得线段的长度，判定是否为定值； （3）先根据算出的长度，然后利用两点间的距离公式计算得到点的坐标，再将点的坐标代入抛物线解析式求出得到相关抛物线的解析式，进而联立直线和抛物线的解析式求出点和点的坐标进行判定三角形是否相似． 【小问1详解】 解：由得顶点坐标为，二次项系数为1， ∴开口向上，故①正确，符合题意； 当时，， ∴点不一定在轴正半轴上，故②错误，不符合题意； 令，得，即， ∵抛物线与轴交于两点，且点在点的右侧， ∴该方程有两个不同的实数根， 解得：，故③正确，符合题意； 将顶点坐标代入直线，得，故④正确，符合题意； 故答案为：①③④． 【小问2详解】 由，得：， 设，则， ， ， ∴线段的长度是定值． 【小问3详解】 ∵， ∴， ， 对直线，当时，， ， 设，则， 解得：或， 或 将代入，得， 解得：或， 当时，， 令时，或， ∴， 由，得：或， ∴，符合条件； ∴， ∴， ∴与不相似，舍去： 当时，， 令时，，无解； 将代入，得， 解得：或， 当时，不符合条件，舍去； 当时，， 由，得：或， ∴， 当时，， 解得：或， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，时，与相似． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式、二次函数的性质、两点之间的距离公式、相似三角形的判定、一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是学会将题目中的语句和相关的知识点连接解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $