精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年八年级下学期6月阶段检测数学试题

2025-2026学年第二学期八年级期末教学质量调研考试（五） 数学学科 考试时长：90分钟 满分：100分 注意事项∶ 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各点中，在正比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知某三角形的三条边长依次为，则该三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形中，，，在轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，某一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于和两点，则下列说法错误的是（ ） A. 此函数的表达式为 B. 当时， C. 当时，y随x的增大而增大 D. 将此直线向下平移2个单位所得到的直线必过原点 6. 下面的三个问题中都有两个变量： ①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量与使用时间； ②用固定长度的新型导热线型材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积与一边长； ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与燃烧时间． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 7. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，点恰好落在延长线上的点处，若交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 是直角三角形 C. 平分 D. 8. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图像可能是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 已知的三边分别为a，b，c．且a，b满足，．则______． 10. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿______方向航行． 11. 如图，直线y＝kx+b(k≠0)经过点A(﹣2，4)，则不等式kx+b＞4的解集为______. 12. 如图，是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．若，则的长为______． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 13. 计算： （1）． （2） 四、解答题：本题共4小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 在人教版八年级下册数学教材“测量学校旗杆高度”的数学活动里，聪聪设计了一种新颖的测量方法．从点C观察旗杆顶端的仰角为，接着往前走10米到达点D，观察旗杆顶端的仰角为． （1）直接写出与的数量关系； （2）根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度．（人的身高忽略不计，结果保留根号） 15. 某玩具工厂生产哪吒主题文创用品乾坤圈和混天绫，乾坤圈每个定价20元，混天绫每个定价6元．暑假期间开展促销活动，并向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个乾坤圈就赠送一个混天绫； 方案二：乾坤圈和混天绫都按定价的付款． 某哪吒主题文创用品店计划购进 80 个乾坤圈和x个混天绫（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． （1）分别写出关于x的函数解析式． （2）当时． ①请通过计算说明该文创用品店选择以上哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 16. 四边形为平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接、、，当时，求证：四边形是平行四边形． 17. 【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 （1）①线段之间的数量关系是_______________； ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是____________． 【拓展应用】 （2）如图2，若矩形的一个顶点是矩形对角线的中点，与边相交于点，延长交于点，与边相交于点，连接．矩形可绕点转动，猜想之间的数量关系，并进行证明． 【类比迁移】 （3）如图3，在中，，点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点．可绕点转动，当时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级期末教学质量调研考试（五） 数学学科 考试时长：90分钟 满分：100分 注意事项∶ 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各点中，在正比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征．熟练掌握正比例函数图象上的点坐标适合解析式，是解题的关键． 将各选项的横坐标代入函数解析式，验证计算结果是否等于纵坐标，即可判断． 【详解】A： 当时，，但该点纵坐标为，不符合，故A错误． B： 当时，，该点纵坐标为，完全符合，故B正确． C： 当时，，但该点纵坐标为，不符合，故C错误． D： 当时，，但该点纵坐标为，不符合，故D错误． 故选：B． 2. 已知某三角形的三条边长依次为，则该三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理逆定理的计算是解题的关键．根据勾股定理逆定理的计算判定即可． 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形， 故选：A． 3. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为是解本题的关键．利用勾股定理求出的长，再根据少走的路长为，计算即可． 【详解】解：，，， ， 少走的路长为， 故选：D． 4. 如图，在矩形中，，，在轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中利用勾股定理求出，继而得出的长，结合数轴的知识可得出点表示的数． 【详解】解：由题意得： ， 故， ， 点表示的数为， 点表示的数为， 点的坐标为． 故选：． 【点睛】此题考查了勾股定理及数轴的知识，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键． 5. 如图，某一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于和两点，则下列说法错误的是（ ） A. 此函数的表达式为 B. 当时， C. 当时，y随x的增大而增大 D. 将此直线向下平移2个单位所得到的直线必过原点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、求一次函数的解析式，先求出一次函数的解析式，再结合图形，逐项分析即可得解，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：设该一次函数的解析式为， 将和代入函数解析式可得， 解得：， ∴该一次函数的解析式为，故A正确； 由图象可得，当时，，当时，y随x的增大而减小，故B正确，C错误； 将此直线向下平移2个单位所得到的直线为，经过原点，故D正确； 故选：C． 6. 下面的三个问题中都有两个变量： ①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量与使用时间； ②用固定长度的新型导热线型材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积与一边长； ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与燃烧时间． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，①根据电池剩余电量y随使用时间x的增加而减小判断即可；②根据矩形的面积公式判断即可；③根据蜡烛的剩余高度y与随燃烧时间x的增加而减小判断即可． 【详解】解：①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，则电池剩余电量y随使用时间x的增加而减小，符合题意； ②用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，不符合题意； ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度y与随燃烧时间x的增加而减小，符合题意； 故选：C． 7. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，点恰好落在延长线上的点处，若交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 是直角三角形 C. 平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据平行四边形的性质，折叠的性质，数形结合分析逐一判定即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， ∴，，则， ∴， ∴，即， ∴点是的中点， ∴，故D选项正确，符合题意； ∴是等腰三角形， ∵， ∴是直角三角形，错误，故B选项不符合题意； 如图所示，连接， ∴四边形是矩形， ∵的数量关系不确定， ∴平分错误，故C选项不符合题意； ∵，但的位置关系不确定， ∴， ∴，故A选项不符合题意； 综上所述，只有D选项正确， 故选：D． 8. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数图像所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图像所经过的象限，然后再判断即可． 【详解】解：当，正比例函数图像经过第一、三象限，则一次函数图像经过第一、三、四象限，故A选项错误，选项错误； 当，正比例函数图像经过第二、四象限，则一次函数图像经过第一、二、三象限，选项正确、C选项错误． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 已知的三边分别为a，b，c．且a，b满足，．则______． 【答案】84 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，勾股定理的逆定理，先根据二次根式的非负性得，，再结合，得出是直角三角形，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 则， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：84 10. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿______方向航行． 【答案】西北方向 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可． 【详解】解：由题知，海里，海里，海里，， ， ， 是直角三角形，且， ， “海天”号沿西北方向航行． 故答案为：西北方向 11. 如图，直线y＝kx+b(k≠0)经过点A(﹣2，4)，则不等式kx+b＞4的解集为______. 【答案】x＞-2． 【解析】 【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可． 【详解】观察图象知：当x＞-2时，kx+b＞4， 故答案为x＞-2． 【点睛】考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 12. 如图，是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，由得，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，即可得根据是等边三角形，得到，即可得解． 【详解】解：∵是等边三角形，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，则，， ∴， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴ ∴， ∴的长为． 故答案为：． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 13. 计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的性质，二次根式的除法，乘方，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再运算加减，即可作答． （2）先化简绝对值，乘方，运算二次根式的除法，再运算加减，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 四、解答题：本题共4小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 在人教版八年级下册数学教材“测量学校旗杆高度”的数学活动里，聪聪设计了一种新颖的测量方法．从点C观察旗杆顶端的仰角为，接着往前走10米到达点D，观察旗杆顶端的仰角为． （1）直接写出与的数量关系； （2）根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度．（人的身高忽略不计，结果保留根号） 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，等角对等边，含角的直角三角形的性质，勾股定理． （1）由题意可得，根据等角对等边即可得出答案； （2）由（1）知，米，，在中，根据勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 解：由题意及图，得 ∴，， ∴ ∴， ∴． 【小问2详解】 由（1）知，米， ∴， 在中， （米） 答：旗杆的高度为米． 15. 某玩具工厂生产哪吒主题文创用品乾坤圈和混天绫，乾坤圈每个定价20元，混天绫每个定价6元．暑假期间开展促销活动，并向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个乾坤圈就赠送一个混天绫； 方案二：乾坤圈和混天绫都按定价的付款． 某哪吒主题文创用品店计划购进 80 个乾坤圈和x个混天绫（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． （1）分别写出关于x的函数解析式． （2）当时． ①请通过计算说明该文创用品店选择以上哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 【答案】（1）， （2）①该店选择方案二更省钱②先按方案一购买80个乾坤圈，再按方案二购买120个混天绫，该方案所需费用为2176元 【解析】 【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）①将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答； ②设选择方案一购买a个乾坤圈，则选择方案二购买个乾坤圈，个混天绫，列出函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得： ， ． 【小问2详解】 解：①当时，，． ∵， ∴该厨具店选择方案二更省钱． ②设选择方案一购买a个乾坤圈，则选择方案二购买个乾坤圈，个混天绫， 则， ∵， ∴y随a的增大而减小． 由题意，得， ∴当时，y取最小值，为． 此时． 答：先按方案一购买80个乾坤圈，再按方案二购买120个混天绫，该方案所需费用为2176元． 16. 四边形为平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）连接、、，当时，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）只要证明，即可解决问题． （2）只要证明推出，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， 平分， ， ， ． 【小问2详解】 证明：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． 17. 【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 （1）①线段之间的数量关系是_______________； ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是____________． 【拓展应用】 （2）如图2，若矩形的一个顶点是矩形对角线的中点，与边相交于点，延长交于点，与边相交于点，连接．矩形可绕点转动，猜想之间的数量关系，并进行证明． 【类比迁移】 （3）如图3，在中，，点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点．可绕点转动，当时，请直接写出的面积． 【答案】（1）①②（2），证明见解析（3）或 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）①根据题型先证明，进而即可得出线段之间的数量关系； ②根据，得出，进而根据勾股定理得出，根据线段之间的数量关系，即可得出结论； （2）猜想：，连接，延长交于，证明，再利用勾股定理证明即可； （3）设，分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在延长线上时，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：；理由如下： 连接，如图2： ∵为矩形中心， ∴， 延长交于， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）设， ①当在线段上时，如图3， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又由（2）易知， ∴， ∴， 解得，即， ； ②当点在延长线上时， 同理可证， ∴， 又在中， ， ∴， 解得，即， ； 故的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $