精品解析：内蒙古自治区包头市第四十中学2025-2026学年第二学期八年级数学校内调研试题

包四十中2025-2026学年第二学期校内调研考试 初二年级数学试卷 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 2. 如图，把的一角折叠，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先，由折叠的性质得，然后，根据平角的定义及，得，进而得，最后，根据三角形的内角和定理得． 【详解】解：如图， ∵把的一角折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴，，，， 故选项B错误． 4. 下列各式中，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用提取公因式法以及公式法分解因式是解题关键． 直接利用公式法以及提取公因式法分解因式，进而判断得出答案． 【详解】解：A．，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，故此选项不合题意； B．，无法分解因式，故此选项不合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不合题意； 故选：C． 5. 如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ）． A. 不变 B. 扩大为原来的倍 C. 扩大为原来的倍 D. 缩小为原来的 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，将原分式中的、分别替换为、，利用分式的基本性质化简，将化简结果与原分式比较即可得出结论. 【详解】解：和扩大为原来的倍后，分式的值为，与原式相等， ∴值不变，选A． 6. 下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查原命题与逆命题的真假判断，先写出每个选项的逆命题，再结合初中知识分别判断原命题和逆命题的真假即可得到结果. 【详解】解：选项A：原命题全等三角形的对应角相等是真命题， 逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，不符合要求； 选项B：原命题直角三角形的两个锐角互余是真命题， 逆命题为两个锐角互余的三角形是直角三角形， ∵三角形内角和为，两个锐角互余即和为， ∴第三个角为=， ∴该三角形是直角三角形，逆命题是真命题，符合要求； 选项C：原命题若，则是真命题， 逆命题为若，则，是假命题， 例如时但，不符合要求； 选项D：原命题若，则是假命题，时也可以是，不符合要求； 故选B 7. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，平移距离为，则阴影部分的面积为（ ） A. 31 B. 31.5 C. 37 D. 37.5 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，，根据平移的性质得到，，进而得到，根据题意求出，即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 由平移的性质得到，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． 8. 如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵垂线段最短，且两点之间线段最短， ∴的最小值为的长，即的最小值为的长， 周长的最小值． 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 若点向下平移3个单位后位于坐标原点，则点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标的平移，掌握“纵坐标上加下减，横坐标左加右减”是解题关键．根据平移的规律求解即可． 【详解】解：点向下平移3个单位后位于坐标原点， ，， ， 点坐标为， 故答案为：． 10. 如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形序号是______． 【答案】③ 【解析】 【分析】根据中心对称的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形即可解答． 【详解】当涂黑③时，将图形绕O旋转180°，与原图重合，阴影部分为中心对称图形． 故答案为：③． 【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是关键． 11. 关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确理解“不等式组有且只有三个整数解”是解本题的关键．表示出不等式组的解集，根据解集中有且只有三个整数解，确定出a的范围即可． 【详解】解：解不等式组 ， 由得， 由得，即， 故不等式组的解集为． 由于解集有且只有三个整数解，且， ∴整数解为 ，，． ∴． 故答案为：． 12. 若关于x的分式方程 无解，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先化简分式方程，得，由分式方程无解，则，得，代入求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， ∵分式方程无解， ∴其解是使原方程分母为0的增根，故， ∴， 解得：． 13. 已知，则代数式的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】先对已知等式通分变形，得到与的数量关系，再将所求分式的分子分母分组提公因式变形，最后整体代入计算求值. 【详解】解：已知，对等式左边通分，得，整理得，即. ∴ 14. 如图，在直角三角形中，．以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，点为边上的一个动点，则 ①________（填“”“”或“”）； ②________（填“”“”或“”）； ③线段的最小值为________． 【答案】 ①. ②. ③. 3 【解析】 【分析】利用基本作图可判断，再过点P作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短得到，，从而得到线段的最小值为3． 【详解】解：①由作法得，平分， ∴， 故答案为：； ②过点P作于H，如图， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； ③∵， ∴线段的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了作图、角平分线的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 三、解答题 15. 把下列各式分解因式： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 16. 解下列不等式（组）： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 解得:； 【小问2详解】 解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：． 17. 计算题 （1）先化简，再求值：，其中． （2）解方程：． 【答案】（1）， （2）无解 【解析】 【小问1详解】 解： 当时，原式 【小问2详解】 解： 方程两边同时乘以得， ∴ 解得： 当时， ∴原方程无解 18. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：在， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． （）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长； （）根据三角形的内角和定理列式求出，根据等边对等角可得，，再计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 20. 某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知每个A款吉祥物的售价比每个B款吉祥物的售价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同． （1）求A，B两款吉祥物每个的售价． （2）为了促销，商店对A款吉祥物进行9折销售，B款吉祥物售价不变．李老师为了激励学生奋发向上，准备用不超过240元购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生，则李老师最多可购买多少个A款吉祥物？ 【答案】（1）每个B款吉祥物的售价为20元，每个A款吉祥物的售价为40元； （2）李老师最多可购买2个A款吉祥物； 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用问题，根据题意找到相等关系和不等关系是解题的关键． （1）设一个B款吉祥物的售价为元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解； （2）设李老师购买A款吉祥物个，则购买B款吉祥物个，根据总价不超过240元，列出一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元， 根据题意，得， 解得．经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）， 答：每个B款吉祥物的售价为20元，每个A款吉祥物的售价为40元； 【小问2详解】 解：设李老师购买A款吉祥物m个，则购买B款吉祥物个， 根据题意，得， 解得， 因为购买A款吉祥物的个数m为非负整数，所以m的最大值为2， 答：李老师最多可购买2个A款吉祥物． 21. 如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）求的长． （2）当点在边上运动，为等腰三角形时，求的值． （3）当点在的垂直平分线上时，求的长． （4）当点（与顶点，，重合除外）在的角平分线上时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）2或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）表示出，，然后根据题意得到，列方程求解即可； （3）由垂直平分线的性质得到，然后利用勾股定理求解即可； （4）分2种情况讨论，分别根据勾股定理和等面积法列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，点E的运动速度为每秒， ∴点E到达点A的时间为（秒） ∴当点在边上运动时，， ∴ ∵ ∴当为等腰三角形时， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：如图，当点在的垂直平分线上时， ∴ ∵，， ∴，即 ∴ ∴点E运动的路程为 ∴； 【小问4详解】 解：如图，当点E在的平分线上时，过点E作于点F， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； 如图，当点E在的平分线上时，过点E作于点H，过点E作于点G， ∴ ∵， ∴，是等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 综上所述，当点（与顶点，，重合除外）在的角平分线上时，直接写出的值为2或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包四十中2025-2026学年第二学期校内调研考试 初二年级数学试卷 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，把的一角折叠，若，则为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ）． A. 不变 B. 扩大为原来的倍 C. 扩大为原来的倍 D. 缩小为原来的 6. 下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角相等 B. 直角三角形的两个锐角互余 C. 若，则 D. 若，则 7. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，平移距离为，则阴影部分的面积为（ ） A. 31 B. 31.5 C. 37 D. 37.5 8. 如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 若点向下平移3个单位后位于坐标原点，则点坐标为________． 10. 如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形序号是______． 11. 关于x的不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是_______． 12. 若关于x的分式方程 无解，则 _____． 13. 已知，则代数式的值为______． 14. 如图，在直角三角形中，．以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，点为边上的一个动点，则 ①________（填“”“”或“”）； ②________（填“”“”或“”）； ③线段的最小值为________． 三、解答题 15. 把下列各式分解因式： （1） （2）． 16. 解下列不等式（组）： （1） （2） 17. 计算题 （1）先化简，再求值：，其中． （2）解方程：． 18. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 19. 如图，在中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数． 20. 某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知每个A款吉祥物的售价比每个B款吉祥物的售价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同． （1）求A，B两款吉祥物每个的售价． （2）为了促销，商店对A款吉祥物进行9折销售，B款吉祥物售价不变．李老师为了激励学生奋发向上，准备用不超过240元购买A，B两款吉祥物共10个来奖励学生，则李老师最多可购买多少个A款吉祥物？ 21. 如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）求的长． （2）当点在边上运动，为等腰三角形时，求的值． （3）当点在的垂直平分线上时，求的长． （4）当点（与顶点，，重合除外）在的角平分线上时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $