精品解析：广东广州某校2025-2026学年八年级下学期阶段测试数学试题

2025－2026学年第二学期第一次月考 八年级数学试卷 （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A. 1，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 若一个多边形的每个外角的度数是，则这个多边形是（ ） A. 九边形 B. 八边形 C. 七边形 D. 六边形 4. 如图，为了测量湖两岸、两点间的距离，可在、外选一点，再确定、的中点、，测得，则两点间的距离是（　　） A. B. C. D. 5. 某学校举行知识竞赛，其中名选手的得分如下表： 得分 人数 则这名选手得分的众数、中位数分别是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的顶点与边的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，．若，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 如图，若，则添加下列选项后不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 9. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在中，于点，于点，若，的周长为10，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：__________． 12. 若要使有意义，则的取值范围为_____. 13. 在实验中学运动会的跳高比赛中，甲、乙两位选手进行了五轮比赛，小红对他们的比赛成绩（单位：分，满分10分）进行了收集和分析，并绘制了如图所示的折线统计图，则成绩的稳定性更好的选手是________（填“甲”或“乙”）． 14. 如图，一架长的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时，梯子底端距墙底端距离，如果梯子的顶端沿墙下滑，则梯子底端将向外移______． 15. 如图，在矩形中，，点E为上一点，把沿翻折，点C 恰好落在边上的F处，则的长是_____． 三、解答题（一）（每题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 李老师在计算学生的学期综合成绩时，从平时作业、期中考试、期末考试三个方面进行考核，各项满分均为100分．小丽和小强两位同学的各项成绩如表所示： 平时作业/分 期中考试/分 期末考试/分 小丽 80 82 92 小强 87 84 90 根据以上信息，解答下列各题． （1）这两人中平均成绩更高的同学是_____，该同学的平均成绩是______分． （2）若对平时作业、期中考试、期末考试的成绩分别赋予它们2，2，6的权，请计算小丽的平均成绩． 18. 如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且．求证：． 四 、解答题（二）（每题9分，共27分） 19. 如图所示，在中，，垂足为D． （1）判断的形状，并说明理由． （2）求的长． 20. 高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，满足不考虑阻力的影响 （1）求物体从的高空落到地面的时间结果保留根号； （2）已知从高空坠落的物体所带能量单位：物体质量高度，一串质量为的钥匙经过3落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？注：人体只需要的能量就会对人体造成危害 21. 平行四边形中，过点D作于点E，点F在上，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，直接写出矩形的周长． 五、解答题（三）（22题13分，23题14分，共27分） 22. 根据题目条件，解答下列各题 （1）【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．与的数量关系是 ． （2）【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． （3）【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 23. 【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； （2）【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期第一次月考 八年级数学试卷 （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式需要满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A．的被开方数含有分母，不满足条件，不是最简二次根式． B．，被开方数20含有能开得尽方的因数4，不满足条件，不是最简二次根式． C．同时满足两个条件，是最简二次根式． D．，被开方数含有分母，不满足条件，不是最简二次根式． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（） A. 1，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是指三个正整数，且满足．根据定义，逐项判断即可． 【详解】解：∵勾股数需为正整数且满足． A：，不是正整数，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； B：、、不是正整数，不是“勾股数”故此选项不符合题意； C：，不是“勾股数”，故此选项不符合题意； D：，是“勾股数”，故此选项符合题意． 故选D． 3. 若一个多边形的每个外角的度数是，则这个多边形是（ ） A. 九边形 B. 八边形 C. 七边形 D. 六边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角问题，多边形内角和与外角和综合，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用多边形外角和为的性质，根据每个外角度数求边数. 【详解】解：因为多边形的外角和为，每个外角为， 所以边数， 所以这个多边形是九边形， 故选：A． 4. 如图，为了测量湖两岸、两点间的距离，可在、外选一点，再确定、的中点、，测得，则两点间的距离是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位线判定和性质，根据题意得到是中位线，则由即可求解． 【详解】解：确定、的中点、，测得， ∴是中位线， ∴， 故选：D ． 5. 某学校举行知识竞赛，其中名选手的得分如下表： 得分 人数 则这名选手得分的众数、中位数分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数的概念，根据概念分别计算即可得到结果． 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数，本题中得分的人数最多，为人， ∴众数为， ∵共有个数据，将数据从小到大排列后，偶数个数据的中位数是中间两个数的平均数，即第个和第个数据的平均数， 将数据从小到大排列为，则排列后可得第个数据为，第个数据为， ∴中位数为， 因此这组数据的众数为，中位数为． 6. 如图，的顶点与边的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，．若，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理和数轴上两点间距离的计算，熟练掌握“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”是解题的关键． 先根据数轴求出的长度，再利用直角三角形斜边中线定理（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），结合是中点的条件，求出的长． 【详解】解：∵、在数轴上对应的数分别为、， ∴． ∵，是的中点， ∴． ∴． 故选：C． 7. 如图，若，则添加下列选项后不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定定理．解题关键在于熟悉各种平行四边形的判定方法，并结合已知条件，从判定定理中选择合适的方式来添加条件，使四边形满足平行四边形的判定要求．本题已知，要使四边形成为平行四边形，需依据平行四边形的判定定理添加合适条件．平行四边形有多种判定方法，如两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分等，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， A、，由一组对边平行且相等，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、，由两组对边分别相等，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； C、，则，由一组对边平行且相等，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，符合题意； 故选：D． 8. 如图，矩形中，对角线交于O点．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形中，对角线，交于点，，判定是等边三角形，得到，解答即可． 【详解】解：∵矩形中，对角线，交于点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 9. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了在格点图中勾股定理的应用．根据半径相等，得出，再根据勾股定理即可求出的长，即可得出的长． 【详解】解：∵以点A为圆心，长为半径作弧， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，在中，于点，于点，若，的周长为10，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据周长是10可得，根据平行四边形的面积可得，再由可得，从而得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ∵的周长是10， ， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和面积，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 12. 若要使有意义，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：由于二次根式有意义的条件为被开方数是非负数．则，解得：． 13. 在实验中学运动会的跳高比赛中，甲、乙两位选手进行了五轮比赛，小红对他们的比赛成绩（单位：分，满分10分）进行了收集和分析，并绘制了如图所示的折线统计图，则成绩的稳定性更好的选手是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，理解方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是解题的关键．根据方差的意义即数据波动越小，数据越稳定即可得出答案． 【详解】解：由折线图可知，甲选手的成绩波动范围较小（从最低分到最高分，差值为），而乙选手的成绩波动范围更大（从分到分，差值为），因此，甲选手的成绩更稳定． 故答案为：甲． 14. 如图，一架长的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时，梯子底端距墙底端距离，如果梯子的顶端沿墙下滑，则梯子底端将向外移______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，进而得出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，由题意可知，，，，， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ， 即梯子底端将向外移， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，点E为上一点，把沿翻折，点C 恰好落在边上的F处，则的长是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由折叠和矩形的性质得到，，利用勾股定理得出的长度，进而得到的长，在中求解的长即可得到答案． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 设，则． 在中，由勾股定理可得： 即 解得：， ∴． 三、解答题（一）（每题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，先根据二次根式的性质化简，再运算乘除，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 17. 李老师在计算学生的学期综合成绩时，从平时作业、期中考试、期末考试三个方面进行考核，各项满分均为100分．小丽和小强两位同学的各项成绩如表所示： 平时作业/分 期中考试/分 期末考试/分 小丽 80 82 92 小强 87 84 90 根据以上信息，解答下列各题． （1）这两人中平均成绩更高的同学是_____，该同学的平均成绩是______分． （2）若对平时作业、期中考试、期末考试的成绩分别赋予它们2，2，6的权，请计算小丽的平均成绩． 【答案】（1）小强，87 （2）小丽的综合成绩为87.6 【解析】 【分析】（1）根据算术平均数公式分别计算两人的平均成绩，再比较大小． （2） 根据加权平均数公式，将各项成绩乘以对应权重后求和，再除以权重总和． 【小问1详解】 解：小丽的平均成绩为分， 小强的平均成绩为分， ， 平均成绩更高的同学是小强，该同学的平均成绩是87分． 【小问2详解】 解：小丽的加权平均成绩为 分． 18. 如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 四 、解答题（二）（每题9分，共27分） 19. 如图所示，在中，，垂足为D． （1）判断的形状，并说明理由． （2）求的长． 【答案】（1） 是直角三角形，理由如下： ， ， 是直角三角形，且； （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，等积法求线段的长，熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键： （1）直接利用勾股定理逆定理进行求解即可； （2）利用等积法进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是的高 又 ． 20. 高空抛物是一种不文明的危险行为，被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．物理兴趣小组通过查阅相关资料了解到，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，满足不考虑阻力的影响 （1）求物体从的高空落到地面的时间结果保留根号； （2）已知从高空坠落的物体所带能量单位：物体质量高度，一串质量为的钥匙经过3落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量会对楼下行人产生危害吗？注：人体只需要的能量就会对人体造成危害 【答案】（1）落到地面的时间为； （2） 由题意，，， ， 这串钥匙在下落后会对人体造成危害． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，由，，则，进而可以得解； （2）依据题意，由，，则，从而，结合人体只需要的能量就会对人体造成危害，即可判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，，， ， 答：落到地面的时间为； 【小问2详解】 略 21. 平行四边形中，过点D作于点E，点F在上，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，直接写出矩形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）18 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再利用可得结论； （2）先证明 ，再由勾股定理求解，从而可得矩形的周长． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的周长为：． 五、解答题（三）（22题13分，23题14分，共27分） 22. 根据题目条件，解答下列各题 （1）【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．与的数量关系是 ． （2）【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． （3）【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______． 【答案】（1） （2）成立，理由如下： 四边形是平行四边形 、 在和中 （3）3，12 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，证得，进而得到； （2）根据平行四边形的性质得到，证得，进而得到； （3）根据题意易得，进而得到，由（1）知，则，同理可得，再利用解答即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形 、 ， 在和中 ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：、 由（1）知 同理可得 故答案为：3；12． 23. 【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，图②梯形的面积可表示为：______，也可以表示为：______，由此可以推出； （2）【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）【迁移应用】小明思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程． 【答案】（1）； （2）新路比原路少千米 （3）设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得， ． 【解析】 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，求解即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【小问1详解】 解：梯形的面积为，也可以表示为， ，即； 【小问2详解】 解：设， ， 在中，，即， 解得， 即（千米）， （千米）， 答：新路比原路少千米； 【小问3详解】 解：略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $