精品解析：上海市复旦大学第二附属学校2025-2026学年八年级下学期5月数学课堂学习诊断（4）

初二（下）数学课堂学习诊断（4） 一、选择题（共5小题，每题2分，共10分） 1. 四边形的不稳定性是指当四边形的边长一定时，不能确定的是（ ） A. 四边形的内角大小 B. 四边形的内角和 C. 四边形的外角和 D. 四边形的周长 2. 已知点、、是一次函数图象上的三点，则在、、中最大的数是（ ） A. B. C. D. 以上均有可能 3. 如果平行四边形的一条边长是10，那么下列各组数中，可作为这个平行四边形的两条对角线长是（ ） A. 12和8 B. 13和6 C. 28和6 D. 20和6 4. 在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（ ）     A. ，，， B. ， C. ，，， D. ， 5. 如图，在平行四边形中，E是延长线上一点，交于点F，交于点G，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共13小题，每题3分，共39分） 6. 如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，，，则的长为________． 7. 如图，已知，它们依次交直线、于点、、和、、，如果，，，则的长是________． 8. 如图，已知在中，平分交于点，交于点，，．则的长为________． 9. 如图，已知在正方形网格内有两个三角形（、），则________． 10. 采用如下方法可以得到线段的黄金分割点：如图，设是已知线段，经过点作，使；连接，在上取，在上截取．点即为线段的黄金分割点，若，则的长为________． 11. 商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离米，凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离米，凉亭离城楼底部的距离米，小亮身高米，，，三点在同一水平线上，则城楼的高度为________米． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点在第四象限，且．若，则点的坐标是______． 13. 已知、两点是一次函数和反比例函数 图象的两个交点，观察图象，写出不等式的解集_____ 14. 在同一平面内有两个边长相等的等边三角形，当它们的一组边重合时，两个三角形重心之间的距离为5，那么当它们的一组内角组成对顶角时，这两个三角形重心之间的距离为______． 15. 在中，为上一点，为上一点，与交于点，，，则________． 16. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则_____． 17. 如图，在菱形中，对角线交于点，点是延长线上一点，连接交于点，若，则菱形的周长为________． 18. 在正方形中，，点在边上，沿直线翻折后点落到正方形的内部点，连接、、，如图，如果，那么______． 三、解答题（第19、21、22题6分，第20题4分，第23题8分，第24题9分，第25题12分） 19. 已知：如图，在中，，点为上的一点，且． 求证：． 20. 已知甲、乙两地相距，小宁、小波两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段、线段分别表示小宁、小波离开甲地的路程与时间的函数关系的图象，根据图象解答下列问题： （1）小宁行驶的速度为_____． （2）求小波离开甲地的路程与时间的函数表达式； （3）当时间为何值时，都在行驶中的两人恰好相距． 21. 作图题 （1）已知线段，在线段上求作一点，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图，点、点、点、点都是格点，请你使用无刻度的直尺和铅笔作图（保留作图痕迹）在边上作出点，使得与相似． 22. 已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． （1）求证：； （2）求的值． 23. 如图，在矩形中，、分别是边、的中点，、分别是线段、的中点． （1）求证：； （2）判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论； （3）当_____时，四边形是正方形（只写结论，不需证明）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； （3）点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二（下）数学课堂学习诊断（4） 一、选择题（共5小题，每题2分，共10分） 1. 四边形的不稳定性是指当四边形的边长一定时，不能确定的是（ ） A. 四边形的内角大小 B. 四边形的内角和 C. 四边形的外角和 D. 四边形的周长 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 任意四边形的内角和恒为 ，外角和也恒为 ， ∴ B和C选项的量都是确定的； ∵ 四边形周长为四条边长的和，边长一定时，周长也一定， ∴ D选项的量是确定的； ∵ 四边形具有不稳定性，边长确定时，四边形可改变形状，内角大小会发生变化， ∴ 不能确定的是四边形的内角大小. 2. 已知点、、是一次函数图象上的三点，则在、、中最大的数是（ ） A. B. C. D. 以上均有可能 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数的比例系数判断函数增减性，再根据三点纵坐标的大小比较横坐标的大小即可． 【详解】∵一次函数 中，比例系数 ， ∴随的增大而减小，即纵坐标越小，对应的横坐标越大， 比较三点的纵坐标可得：， ∴对应横坐标的大小关系为：， ∴是三个数中最大的数． 3. 如果平行四边形的一条边长是10，那么下列各组数中，可作为这个平行四边形的两条对角线长是（ ） A. 12和8 B. 13和6 C. 28和6 D. 20和6 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的两条对角线互相平分和三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，解答即可． 【详解】解：平行四边形的两条对角线互相平分，即两条对角线的一半与平行四边形的一边可组成一个三角形， 设两条对角线长分别为x、y，则对角线的一半分别为、，平行四边形的一边长为10， 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：、，将A、B、C、D4个选项代入，只有D成立，，，故选D． 4. 在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（ ）     A. ，，， B. ， C. ，，， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用时，或，逐一判断即可． 【详解】解：当时，或，由此可得： A：∵，， ∴， ∴，， ∴，故A错误； B：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴，故B正确； C：缺少或的长度，无法计算与的比值关系，无法判断，故C错误； D：由可知为中点，但仅凭无法确定点位置及比例关系，无法判断，故D错误； 5. 如图，在平行四边形中，E是延长线上一点，交于点F，交于点G，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，根据平行四边形的性质可证，再根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 故、、正确， 根据已知条件无法判断，故不正确， 故选：． 二、填空题（共13小题，每题3分，共39分） 6. 如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，理解并熟练运用基本性质定理是解题关键． 直接根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7. 如图，已知，它们依次交直线、于点、、和、、，如果，，，则的长是________． 【答案】11 【解析】 【分析】过点作，交于点，交于点，根据相似三角形性质求解即可． 【详解】解：过点作，交于点，交于点，如下图 又∵ ∴四边形和四边形为平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，涉及了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 8. 如图，已知在中，平分交于点，交于点，，．则的长为________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用已知条件可得，设，利用得出比例式，依据比例式列出方程即可求解． 【详解】解：平分， ． ， ， ， ． ， ． ． ，，， ． 解得． 9. 如图，已知在正方形网格内有两个三角形（、），则________． 【答案】45 【解析】 【分析】通过网格利用勾股定理计算两个三角形的三边长度，验证三边对应成比例从而判定三角形相似，得出对应角相等，结合网格中特殊角的度数及三角形内角和定理即可求解 【详解】解：由图可得，，，； ，，， ，，， ， ， ， 由图可得，， ， 在中，． 10. 采用如下方法可以得到线段的黄金分割点：如图，设是已知线段，经过点作，使；连接，在上取，在上截取．点即为线段的黄金分割点，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，进而通过求出的长，再由，，计算求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵ ， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴． 11. 商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离米，凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离米，凉亭离城楼底部的距离米，小亮身高米，，，三点在同一水平线上，则城楼的高度为________米． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，交于点，构造出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出的长，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 由题意可知，，， ∴ ∵，  ∴四边形和四边形均为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴小亮头顶离地面的高度（米）， ∵小亮身高米， ∴城楼的高度为（米） 12. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点在第四象限，且．若，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，坐标系中点的坐标特征，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．过点作轴于点，过点作交的延长线于点，证明，得到，，根据点的坐标特征分别表示出、、、的长，列式得到，，结合已知的，可求得的值，进而可得点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， 点，点在第四象限， ，，，， ，， ，， ， ，即， 解得或， ， ， ， 点的坐标是． 故答案为：． 13. 已知、两点是一次函数和反比例函数 图象的两个交点，观察图象，写出不等式的解集_____ 【答案】或 【解析】 【详解】解：把代入，得， 反比例函数解析式为， 把代入，得， 解得， ， 由图象可得，不等式的解集为或． 14. 在同一平面内有两个边长相等的等边三角形，当它们的一组边重合时，两个三角形重心之间的距离为5，那么当它们的一组内角组成对顶角时，这两个三角形重心之间的距离为______． 【答案】10 【解析】 【分析】设等边三角形的一条中线长为a，则其重心到对边的距离为，重心到顶点的距离为，根据题意画出图形，进行求解即可. 【详解】解：设等边三角形的一条中线长为a，则其重心到对边的距离为，重心到顶点的距离为， ∵它们的一组边重合时，两个三角形重心之间的距离为5，如图1 ∴，即， ∴当它们的一组内角组成对顶角时，如图2，这两个三角形重心之间的距离为. 15. 在中，为上一点，为上一点，与交于点，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先过点F作FG∥CD，交AB与点G，得出，，再根据CA=3CF，求出DG=AG，设DG=x，则AG=2x，再根据，得出BG=3x，从而求出即可． 【详解】过点F作FG∥CD，交AB与点G， 则，， ∵CA=3CF， ∴=2， ∴DG=AG， ∴设DG=x，则AG=2x， ∵， ∴BD=2x， ∴BG=3x， ∴． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是作出平行线，得到成比例的线段，注意要把比例线段对应起来． 16. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可求出，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，满足，进而可求此时，然后在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则，证明△DE1E2是等边三角形，求出E1E2＝，即可得到，问题得解． 【详解】解：∵D为AB中点， ∴，即， 取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时DE1∥BC，， ∴， 在AC上取一点E2，使得DE1＝DE2，则， ∵∠A=30°，∠B=90°， ∴∠C=60°，BC＝， ∵DE1∥BC， ∴∠DE1E2=60°， ∴△DE1E2是等边三角形， ∴DE1＝DE2＝E1E2＝， ∴E1E2＝， ∵， ∴，即， 综上，的值为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等，根据进行分情况求解是解题的关键． 17. 如图，在菱形中，对角线交于点，点是延长线上一点，连接交于点，若，则菱形的周长为________． 【答案】48 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据菱形的性质得出是的中位线，得出相等的角，证明，利用对应边成比例进行求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴是的中位线， ∴， ，且， ∴， 则， 即， 解得， 则 菱形的周长为． 18. 在正方形中，，点在边上，沿直线翻折后点落到正方形的内部点，连接、、，如图，如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，延长交于点，先证明四边形是矩形，可得，，根据翻折可得，，再根据，可得是的中点，根据正方形的性质，易证，可得，设，，列二元一次方程组，求出和的值，再根据勾股定理可得的长． 【详解】解：连接，过点作于点，延长交于点，如图所示： ， 在正方形中，， 四边形是矩形， ，， 根据翻折，可得， ，， ， ， ， ， ， ， 在正方形中，，，， ，， ， ， ， ，且， ， ， ， 设，，则，， ，， 又，， ， 解得， ，， 根据勾股定理，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，本题综合性较强，属于中考常考题型． 三、解答题（第19、21、22题6分，第20题4分，第23题8分，第24题9分，第25题12分） 19. 已知：如图，在中，，点为上的一点，且． 求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例可得，由已知条件变形可得，进而可得，即可证明，推出，即得结论. 【详解】解：略. 20. 已知甲、乙两地相距，小宁、小波两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段、线段分别表示小宁、小波离开甲地的路程与时间的函数关系的图象，根据图象解答下列问题： （1）小宁行驶的速度为_____． （2）求小波离开甲地的路程与时间的函数表达式； （3）当时间为何值时，都在行驶中的两人恰好相距． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象及应用，看懂函数图象是解题的关键． （）根据函数图象解答即可求解； （）利用待定系数法解答即可求解； （）利用待定系数法求出线段的函数表达式，再分相遇前两人恰好相距和相遇后两人恰好相距进行解答即可求解； 【小问1详解】 解：由图可得，小宁行驶的速度为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设线段的函数表达式为，把点代入，得， 解得， ∴小波离开甲地的路程与时间的函数表达式为； 【小问3详解】 解：设线段的函数表达式为，把和代入得， ， 解得， ∴线段的函数表达式为， 相遇前两人恰好相距，则， 解得； 相遇后两人恰好相距，则， 解得； 当或时，都在行驶中的两人恰好相距． 21. 作图题 （1）已知线段，在线段上求作一点，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图，点、点、点、点都是格点，请你使用无刻度的直尺和铅笔作图（保留作图痕迹）在边上作出点，使得与相似． 【答案】（1）点C如图所示. （2）点M如图所示： 【解析】 【分析】（1）过点A任作射线，在上依次截取，连接，过点F作交于点C，根据平行线分线段成比例可得点C符合； （2）在延长线上取点E，使，连接交于点M，连接，则易得，而，则点M即为所求作的点． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 22. 已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用余角的性质得到，利用直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质可得，进而得到，即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质可得，设，表示出即可解决问题． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴． 23. 如图，在矩形中，、分别是边、的中点，、分别是线段、的中点． （1）求证：； （2）判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论； （3）当_____时，四边形是正方形（只写结论，不需证明）． 【答案】（1）证明见解析； （2）四边形是菱形，说明见解析； （3）当时，四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，可得，，根据全等三角形的判定和性质，即可； （2）根据三角形中位线的性质，则，；，，根据菱形的判定，即可； （3）当时，四边形是正方形，根据有一个角为直角的菱形是正方形得到结论． 【小问1详解】 解：证明如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：四边形是菱形，证明如下： ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【小问3详解】 解：当时，四边形是正方形，证明如下： ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 由（2）可得，四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； （3）点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）一次函数为，反比例函数为； （2） （3）或； 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理、待定系数法求函数的解析式，求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数求得的坐标，利用反比例函数求得点的坐标，过点B作轴，交直线于点E，求出直线的解析式为，得到，然后利用三角形面积公式求得即可． （3）设，则，当时，，列方程并解得或，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与与反比例函数的图象交于点， ，， ， ， ∴一次函数为，反比例函数为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， 当时，，当时，， ，， ∵点是反比例函数图象上一点， ， ， 过点B作轴，交直线于点E， 设直线的解析式为，把，代入得到 解得 ∴直线的解析式为， ∵点，轴， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴ ∴ ∴的面积． 【小问3详解】 解：设， ∵，， 则， 当时， 即，得到 解得：或， 故点P的坐标为或； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $