2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册综合测试

**基本信息** 聚焦必修二核心知识，通过多样化题型整合复数、立体几何、统计概率、解三角形及向量模块，注重知识内在逻辑与综合应用，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数|2题|概念辨析与运算|共轭复数、几何意义及模的综合应用| |立体几何|4题|空间位置关系证明、线面角及最短距离|直观图还原、空间向量与几何法结合| |统计概率|4题|数据特征、频率分布及独立事件概率|从数据处理到概率计算的逻辑链条| |解三角形|3题|形状判断、面积与周长范围|正弦定理、余弦定理的灵活应用| |向量|3题|线性运算、数量积及投影|平面与空间向量的概念延伸与运算统一|

人教A版高一下必修二综合测试 一、单选题 1．复数z满足，则复数z的共轭复数的虚部为（    ） A． B．2 C． D． 2．如图，这是水平放置的的直观图，其中1，则在中，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的面积为4 3．已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（当一人赢得两局胜利时，该人获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为0.6（没有平局），且每局比赛结果相互独立，则两人进行第三局比赛的概率为（    ） A．0.16 B．0.36 C．0.48 D．0.52 5．记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或直角三角形 6．在中，边上的中线为，的中点为E，过点E的一条直线与，分别交于点F，G．若，，则（   ） A． B． C． D． 7．正方体的棱长为1，若在内（包括边界）运动，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知复数，其中，且，设在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（ ） A．的虚部为 B．点在第二象限 C．点在直线上 D．的最大值为 10．如图，在空间四边形中，，分别是的中点，分别在上，且，则下列说法正确的是（ ） A．当时，四边形是一个正方形 B．当时， C．当时，四点共面 D．当时，直线相交于一点 11．下列说法正确的是（   ） A．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数小于中位数 B．从装有3个红球，4个白球的袋中任意摸出3个球，事件“恰好摸出1个红球”，事件“恰好摸出2个红球”，则事件与事件是互斥事件 C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是； D．样本的方差，则这组样本数据总和等于60 三、填空题 12．已知一组样本数据7，9，10，5，6，11，8，12，4，10，则该组数据的下四分位数为________. 13．已知，是非零向量，，且与的夹角为，若，则在方向上的投影向量的坐标为___________. 14．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则角____________；若，则面积的取值范围为____________． 四、解答题 15．已知向量，． (1)若，求的值； (2)设，，求的取值范围． 16．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是PD的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 17．树人中学为了了解，两个校区高一年级学生期中考试的物理成绩（百分制），从，两个校区各随机抽取了名学生的物理成绩，将收集到的数据按照，，，，分组，绘制成绩频率分布直方图如图： (1)从校区全体高一学生中随机选取一名，估计这名学生的成绩不低于分的概率； (2)如果把频率视为概率，从校区全体高一学生中随机选取一名，从校区全体高一学生中随机选取两名，求这三名学生中至少有一名学生的成绩不低于分的概率； (3)根据频率分布直方图，分别从中位数和平均数的角度，比较，两个校区的物理成绩． 18．在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知，求周长的取值范围． 19．如图，在圆锥中，过高上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，圆柱的另一个底面的圆心与重合，称该圆柱为圆锥的内接圆柱．    (1)若底面直径和高均为的圆锥有一个底面半径为，高为的内接圆柱． ①求与的关系式； ②求内接圆柱侧面积的最大值． (2)若圆锥的高为，底面直径为，一只蚂蚁从底面圆周上的点出发绕着圆锥侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C C B C A BC BCD 题号 11 答案 BD 1．B 【详解】因为，所以， 则，其虚部为2． 2．B 【详解】将水平放置的的直观图还原，如图所示： 可知，， 且，，故A错误； 由勾股定理得， 则，故B正确； 因为，所以C错误； 的面积为，故D错误． 3．A 【详解】因为一组数据，，的平均数为，方差为， 所以数据，，，的平均数为，方差为. 4．C 【详解】只进行两局比赛结束的概率为， 则两人进行第三局比赛的概率为． 5．C 【详解】因为，由正弦定理得，又，故， 由余弦定理得，故， 得，所以， 得， 所以，或，，所以为钝角三角形. 6．B 【详解】如图：    由题意可得．因为E是AD的中点， 所以． 因为F，E，G三点共线，所以， 因为，所以， 所以消去x，可得． 7．C 【详解】连接， 在正方体中，平面， 对于平面，为垂线，为斜线，为射影， 所以即为直线与平面ABCD所成角， 设，则， 因为P是内（包括边界）的动点， , 当P与O重合时，最小， 此时最大， 当P与B重合时，最大， 此时最小， 所以.    8．A 【详解】因为点是线段的中点，所以向量， 所以，又向量方向相反，且， 所以． 9．BC 【详解】， 选项A，的虚部是实数，不是 ，所以A错误. 选项B，对应点的坐标为 ，因为，所以 ， ，点在第二象限，B 正确. 选项C，点的坐标 ，满足，所以点在直线上，C正确. 选项D，， 当时，，D错误. 10．BCD 【详解】因为分别是的中点，所以， 当时，，所以， 四边形是一个平行四边形，且，易得， 所以四边形是一个菱形，则， 不能得出四边形是一个正方形，所以A错误，B正确； 对于C，当时，，，则， 所以四点共面，C正确； 对于D，当时，，但，而， 所以但不相等，所以四边形是一个梯形， 假设相交于点，因为平面，平面， 又平面平面，所以， 从而可得直线相交于一点，D正确，故选：BCD. 11．BD 【详解】根据频率分布直方图的特点，中位数在面积为0.5的分界点，而平均数则会偏移到长拖尾一边，故平均数比中位数大，A错误； 事件“摸出一个红球，两个白球”；事件“摸出两个红球，一个白球”，，故两个事件为互斥事件，B正确； 根据古典概型的计算公式可知概率为，C错误； 由方差公式可知，共有20项，且平均数为3，故样本数据总和等于，D正确． 12．6 【详解】数据排序为4，5，6，7，8，9，10，10，11，12，项数， 下四分位数位置，向上取整为第3项， 下四分位数为6， 13． 【详解】由已知可得，. 因为，所以，即， 解得或（舍去），所以. 故在方向上的投影向量为，则坐标为. 14． （1） （2） 【详解】已知，根据正弦定理，. 因为，且，化简得. 因为是锐角三角形，所以. 因为，所以，即. 因为为锐角三角形，故，解得. 由正弦定理，所以，. 因此面积. 由，得，故， 因此. 15．(1) (2) 【详解】（1）因为，则，即，得. （2） 所以 . 因为，所以， 则，， 因此，即的取值范围为. 16．(1) 证明：连接交于点，连接； 因为底面是矩形，故为中点； 又因为M是PD的中点，故； 因为平面，平面， 故平面； (2)证明：因为平面，平面，故； 因为底面是矩形，故； 因为，且平面； 故平面，因为平面，故； 又因为，且M是PD的中点，故； 因为，且平面， 故平面． 17．(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）从校区抽取的名学生中随机选取一名，这名学生的成绩不低于分的频率为， 利用样本估计总体，频率估计概率，所以从校区全体高一学生中随机选取一名，估计这名学生的成绩不低于分的概率为. （2）由频率分布直方图可得校区随机选取一名学生，物理成绩不低于分的概率约为， 校区随机选取一名学生，物理成绩不低于分的概率约为， 则这三名学生物理成绩都低于分的概率约为， 这三名学生中至少有一名学生成绩不低于分的概率为． （3）校区的中位数是， 校区的中位数是， 因为，所以，校区物理成绩的中位数高于校区物理成绩的中位数； 校区成绩平均数为， 校区成绩平均数为， ，所以，校区物理成绩的平均数高于校区物理成绩的平均数． 18．(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理，得， 代入原式，化简得， 交叉整理，变形为. 若，化简得，与三角形内角范围矛盾，舍去； 若，则，结合，得，即. （2）由，，，得. ，， ， ，则，所以， 所以. 周长，即. 19．(1) ① ② (2) 【详解】（1）   ①记与圆柱的上底面交于点，连接、，则，则， 即，整理可得，所以与的关系式为. ②已知，当且仅当， 即时取等号，则， 因此圆柱的侧面积， 即时，圆柱的侧面积取最大值. （2）由高的长为，底面直径为， 得圆锥母线， 把圆锥的侧面沿母线剪开展开在平面内，得如图所示的扇形，    显然圆弧的长为，因此， 在中，，所以，因此， 所以蚂蚁爬行的最短距离是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $