2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册期末测试卷

**基本信息** 高一下学期人教A版必修二期末试卷，涵盖复数、向量、统计、概率、立体几何等核心知识，以现实情境（如“重庆呆呆刨猪汤”调查）和动态问题（如翻折二面角）为载体，考查数学眼光、思维与语言，层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|复数运算、向量投影、分位数等|基础概念辨析，如独立事件与互斥关系判断| |多选题|3题|统计图表、解三角形、概率|结合频率分布直方图分析年龄分布，考查数据意识| |填空题|3题|三角形面积最值、纯虚数、外接球|四棱锥外接球表面积计算，体现空间观念| |解答题|5题|向量投影、立体几何证明、统计案例等|翻折问题中体积与线段最值，融合空间想象与逻辑推理|

高一下学期人教A版必修二期末试卷 一、单选题 1．已知复数满足，则（     ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 3．数据的80%分位数为（    ） A．8 B．9 C．6.4 D．7 4．“事件相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知棱台的上下底面均为有一个角为的菱形，且上下底面的边长分别为2和3，若该棱台的高为，则该棱台的体积为（     ） A． B． C． D． 6．在中，边上的中线为的中点为，过点的一条直线与分别交于点．若，则（     ） A． B． C． D． 7．如图，在三中，，二面角的余弦值为，则的长为（   ）    A．1 B．2 C． D． 8．设样本数据的平均数为，方差为，设，样本数据的平均数为，方差为，则下列选项错误的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）（   ） A． B．所调查市民年龄众数的估计值为40 C．所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5 D．所调查市民的平均年龄约为34.5岁 10．在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则满足这组条件的三角形有两个 C．若，则是钝角三角形 D．若，则为等腰的三角形 11．甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，则下列说法正确的是（   ） A．若，甲得4分的概率为 B．乙至少赢一场的概率为 C．若，乙赢得比赛的概率为 D．要使甲获胜的概率大，的取值范围 三、填空题 12．在中，内角所对的边分别为，已知，的面积为，则的最小值为__________ 13．已知复数是纯虚数，则__________． 14．已知在四棱锥中，底面为边长是4的正方形，侧面底面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为_____． 四、解答题 15．已知平面向量，且， (1)求在方向的投影向量的坐标； (2)若，且，求向量的坐标； (3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16．如图，在直三棱柱中，，、分别是棱、上的点（点不在的端点处），且，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 17．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)求这组数据的平均数与方差； (3)已知满意度评分值在内的男性人数与女性人数的比为.若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率. 18．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， (1)求角A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 19．如图所示，在直角梯形中，，，分别是上的点，且，，，，将四边形沿向上翻折，连接，在翻折的过程中，记二面角的大小为，． (1)当时，求三棱锥的体积； (2)若平面⊥平面． ①求证：； ②求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B D D B A B ACD AC 题号 11 答案 CD 1．B 【详解】， ， . 2．D 【详解】由，得，因此. 根据向量投影向量的定义，向量在向量上的投影向量为： 将，，，代入得： . 因此，向量在向量上的投影向量为. 3．B 【详解】共8个数， 由， 故第7个数9为80%分位数. 4．D 【详解】由，结合公式，可得，即事件互斥。 事件相互独立的定义为. 充分性：若相互独立，无法推出，即无法推出. 必要性：若，即互斥，无法推出相互独立. 综上，“事件相互独立”是“”的既不充分也不必要条件. 5．D 【详解】由题意，得棱台的上底面面积为， 下底面面积为， 所以该棱台的体积为. 6．B 【详解】由题意可得． 因为是的中点，所以． 因为三点共线，所以． 又因为，所以， 所以，消去，可得．    7．A 【详解】如图所示，取的中点，连接，．   ，， 为二面角的平面角， 根据已知条件可得，，． 在中，由余弦定理， ， ． 8．B 【详解】对于A，因为，所以，化简得，故A正确， 对于B，因为，所以由方差的性质得，故B错误， 对于C，由题意得， 由均值的性质得，得到， 则，故C正确， 对于D，由方差的性质得，则， 由题意得 ，故D正确. 故选：B 9．ACD 【详解】对于A，由题可得，解得，故A正确： 对于B，由频率分布直方图可知，年龄位于区间的频率最大，故所调查市民年龄众数的估计值为，故B错误； 对于C，设第75百分位数为，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，故第75百分位数在第4组，所以，解得，所以所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5，故C正确； 对于D，所调查市民的平均年龄约为岁，故D正确. 10．AC 【详解】若，则，由正弦定理得，故A正确； 因为，满足这组条件的三角形不存在，故B错误； 若，由正弦定理得， 由余弦定理得，则角为钝角，则是钝角三角形，故C正确； 若，而为三角形内角， 则或，即或， 故为等腰三角形或直角三角形，D错误． 11．CD 【详解】A选项，甲得4分意味着甲赢局，输局，其概率为，故A错误； B选项，甲全部赢的概率为，则乙至少赢一场的概率为，故B错误； C选项，由AB选项知，甲获胜的概率为， 故乙赢得比赛的概率为，故C正确； D选项，要使甲获胜的概率大，则，得， 则的取值范围，故D正确. 故选：CD 12．12 【详解】已知， 由正弦定理边化角得. 由于， 因此. 又，，所以，则. 因为的面积为， 所以，解得， 所以，当且仅当时等号成立， 因此的最小值为12. 13． 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得． 14． 【详解】如图所示，在四棱锥中，取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过，作两个平面的垂线交于点O， 则由外接球的性质知，点O即为该球的球心， 取线段的中点E，连，，，，则四边形为矩形， 在等边中，可得，则，即， 在正方形中，因为，可得， 在直角中，可得，即， 所以四棱锥外接球的表面积为. 15．(1) (2)或 (3) 【详解】（1），， 故，所以 所以在上的投影向量为 所以在上的投影向量为. （2）设，， ，又， 或， 或 （3）因为， 所以，， 因为与的夹角为锐角， 所以且与不共线 即 解得且 即k的取值范围是 16．(1)在直三棱柱中，平面，平面， ， ，且平面， 平面. (2)根据（1）得平面， 平面， ， 在中，， 为的中点， 连接，得，且，即四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面． 【详解】（1）略 （2）略 17．(1) (2)77；106 (3) 【详解】（1）由频率分布直方图可知各组频率依次为， 由，解得. （2）用每组区间的中点值为代表， 则平均数， 方差. （3）在的人数有人，其中男生3人，女生2人， 记三个男生分别为，两个女生分别为， 则从5人中随机抽取2人进行座谈所有样本点： ，，共10个； 恰有1名女生的样本点：，共6个； 所以从5人中随机抽取2人进行座谈恰有1名女生的概率为. 18．(1) (2) (3) 【详解】（1）， 由正弦定理可得， ∴， 即，， 因为，所以，所以， 即，即， 又，∴，则． （2）由（1）及题设可得，即， 整理得，解得（负值舍去），故． （3）因为D为BC的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，， 则，解得， 所以，所以，则， 即， 所以，所以中线AD的取值范围是． 19．(1) (2)①过点作交于点， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，则； 根据题意平面图形翻折后，， 且，是平面内两条相交直线， 所以平面，又，得平面， 又平面，则， 因为是平面内两条相交直线，所以平面； 又平面，则. ② 【详解】（1）根据题意可知，，且， 所以，且为二面角的平面角，即， . （2）①略， ②取的中点S，连接，， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，由①得，所以， 在中，， 在中，， 在中，，因此， 化简得到， 因为，，所以， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $