2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册期末综合测试

**基本信息** 初中数学期末综合测试全面覆盖不等式、三角形、函数、概率等核心知识，通过垃圾分类购买、纪念币分配等现实情境题与几何推理探究题（如24题Rt△动态问题），考查运算能力、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|不等式识别、等腰三角形性质、函数图像应用|基础概念辨析，如第1题不等式判断| |填空题|6/18|二元一次方程变形、统计估计（摸球频率）、几何动态计算（16题AD长）|结合统计与几何，如13题用频率估计黑球数量| |解答题|8/72|方程组与不等式组求解、几何证明（21题全等）、函数综合（20题）、实际应用（23题垃圾桶购买方案）|突出推理与模型，如23题方案优化考查模型意识，24题几何探究体现推理能力|

期末综合测试 时间: 60分钟 满分: 120分 一、选择题(每小题3 分，共30分) 1.下列数学表达式:①-3<0②2x+3y≥0 ③x=1 ④x²-2xy+y² ⑤x≠2 ⑥x+1>3.其中不等式有 ( ) A.3个 B.4 个 C.5个 D.6个 2.下列命题中，真命题的是 ( ) A.等腰三角形两腰上的中线相等 B.面积相等的两个等腰三角形全等 C.等腰三角形的中线与高重合 D.等腰三角形两底角平分线不相等 3.以下说法正确的是 ( ) A.若a>b>0,则( B.若a>b,则 C.若a>b>0,则 D.若a>b,c>d,则a+d>b+c 4.关于x 的不等式组 恰好有2个整数解，则a 满足的范围是( ) A.3≤a<4 B.4≤a<5 C.4≤a≤5 D. a>5 5.如图,在△ABC 中,有一点 P 在BC 边上移动,若AB=AC=13,BC=24,则AP 的最小值为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 6.如图,DC⊥AE,垂足为 C,且AC=CD,若用“HL”证明△ABC≌△DEC,则需添加的条件是 ( ) A. CE=BC B. AB=DE C.∠A=∠D D.∠ABC=∠E 7.甲、乙两人购买了蛇年纪念币共100枚，若甲给了乙10枚纪念币，则乙的纪念币的数量是甲的2倍，问甲、乙原来各有多少枚纪念币?设甲原有x枚纪念币，乙原有y枚纪念币，则可列方程组为 ( ) 8.一个六边形的六个内角都是120°(如图)，连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是 ( ) A.13 B.14 C.15 D.16 9.如图，函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点B(2，0)，与函数y=2x的图象交于点A，则不等式0＜kx+b＜2x的解集为 ( ) A.0＜x＜1 B.x＞1 C.x＞2 D.1＜x＜2 10.已知，如图△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于点Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE=∠C ②AQ=BQ ③BP=2PQ ④AE+BD=AB.其中正确的结论有 ( ) A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④ 二、填空题(每小题3分，共18分) 11.已知二元一次方程2x-3y=5，用含y的代数式表示x，则x= . 12.如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段DE射出(此时∠1=∠2)，若测得∠DCF=100°，则∠A= . 13.社团课上，同学们进行了“摸球游戏”.在一个不透明的盒子里装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图如图所示，经分析可以估计盒子里黑球的个数可能为 个. 14.某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品.已知购买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元.学校准备购买A，B两种奖品共20个，且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的2/5，则在购买方案中最少费用是 元. 15.如图,△ABC 是边长为7的等边三角形,点 P 在AB 上,过点 P 作 垂足为点 E,延长BC 到点Q,使CQ=PA,连接PQ交AC 于点D,则 DE 的长为 . 16.如图，在 中， .若点 D 在直线 AB 上(不与点A,B 重合),且 ,则AD 的长为 . 三、解答题(共72分) 17.(8分)解下列方程组和不等式组： (1)解方程组 (2)解不等式组 并利用数轴确定不等式组的解集. 18.(7分)在解方程组 时，甲正确解得方程组的解为 乙由于粗心看错了方程组中的c，从而得到解为 (1)求c 的正确值; (2)求不等式 ax-b≤bx-c 的正整数解. 19.(7分)如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字.求： (1)转到数字8是 ；(填“随机事件”“必然事件”或“不可能事件”) (2)转动转盘，转出的数字不大于3的概率是 ； (3)现有两张分别写有2和5的卡片，随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度. ①这三条线段能构成三角形的概率是多少? ②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少? 20.(9分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数.y=kx+b的图象与x 轴交于点A(-2,0),，且与正比例函数y=2x的图象交于点C(m，4). (1)求 m 的值及一次函数y=kx+b的表达式; (2)根据图象,直接写出0<2x≤kx+b 的解集是 ; (3)若 P 是x轴上一点,且 求点 P 的坐标. 21.(9分)核心素养·推理能力如图，在 中， 于点E，且 (1)求证:AB=CB; (2)若 于点D,F为BC中点,BE 与DF,DC分别交于点G,H. ①判断线段 BH 与AC 相等吗?请说明理由； ②求证： 22.(10分)如图,直线 与直线 相交于点 P(1,b),与x轴分别交于A，B 两点. (1)求直线 l₂的表达式； (2)①关于x,y 的方程组 的解是 ； ②关于x 的不等式( 的解集为 ； (3)若垂直于x轴的直线x=a与直线 分别交于点C，D，线段CD的长为3，求 的面积. 23.(10分)为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A，B两种型号的新型垃圾桶.现有如下材料： 材料一：已知购买3个A 型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元. 材料二：据统计该社区需购买A，B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15 300元，且 B型号的新型垃圾桶数量不少于 A 型号的新型垃圾桶数量的 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求A，B两种型号的新型垃圾桶的单价； 任务二：有哪几种购买方案? 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元? 24. 核心素养·推理能力(12分)已知在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,点 D 是AC 的中点,点 E 是BC 上一点. (1)如图1,若AB=6,BC=8,DE 是AC 的垂直平分线,求 BE 的长; (2)点 F 是AB 上一点,已知 DF⊥DE,连接EF. ①如图2,延长ED 到点G,使得DE=DG,连接AG,FG,探索AF,EF 和CE 之间的数量关系,并加以证明； ②如图3,当AB=BC=4,CE=1时,其他条件不变,求DE 的长. 1. B 2. A 3. A 4. B 5. A 6. B 7. A8. C 9. D 10. D 解析:∵△ABC 是等边三角形,∴AB=AC=BC,∠BAE=∠C=60°.在△BAE 和△ACD 中, ∴△BAE≌△ACD(SAS), ∴∠ABE=∠CAD. ∵∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°, ∴∠APE=∠BAD+∠ABE=60°, ∴∠APE=∠C,故①正确; ∵BQ⊥AD,∴∠BQP=90°. ∵∠BPQ=∠APE=60°, ∴BP=2PQ,故③正确; ∵AE=CD, ∴AE+BD=CD+BD=BC=AB,故④正确； 若AQ=BQ,BQ⊥AD,则△ABQ为等腰直角三角形，∠ABQ=45°.但题目中没有此条件，故②错误. ∴正确的有①③④. 12.50°13.4 14.330 15.3.5 解析:过点 P 作 PF∥BC 交 AC 于点F, ∵PF∥BC, ∴∠FPD=∠CQD,∠APF=∠B=60°, ∴△APF 是等边三角形, ∴PF=PA=CQ. 又∵PE⊥AC, ∴PE 是等边△APF 的中线, ∴AE=EF, 在△PFD 和△QCD中, ∴△PFD≌△QCD(AAS), ∴DF=DC, 16.6 或 12 解析:∵AB =8,∠A = 30°,∠ACB=90°, ①当点 D 在点 B 左上方时，如图1所示， ∵∠ACB=90°,∠A=30°, ∴∠ABC=60°. 又∵∠BCD=30°, ∴BD=BC=4, ∴AD=AB+BD=8+4=12. ②当点 D 在点B 的右下方时，如图2所示。 ∵∠ABC=60°,∠BCD=30°. ∴∠CDA=90°, 综上所述，AD 的长为6或12. 17.解：(1)原方程组的解为 解不等式①,得x≥-1, 解不等式②,得x<2, 在数轴上表示为： ∴不等式组的解集为-1≤x<2. 18.解:(1)将 代入 cx-3y=-2,得c-3×(-1)=-2,∴c=-5; (2)将 代入 ax+ by=3,得 2a+b=3, 将 代入 ax+ by=3,得a-b=3, 解得 ∴2x-(-1)≤-x-(-5),解得 ∴正整数解为x=1. 19.解:(1)不可能事件;(2) (3)①设第三条线段长为x,则3<x<7, ∵x为转盘中的数字， ∴x可以取值为4,5,6, ∴这三条线段能构成三角形的概率是 ②∵x可以取值为4,5,6, 又∵这三条线段能构成等腰三角形， ∴x的取值为5， ∴这三条线段能构成等腰三角形的概率是 20.解:(1)将C(m,4)代入y=2x,得4=2m,解得m=2, ∴C(2,4). ∵一次函数y=kx+b的图象与x 轴交点为A(-2,0),且与正比例函数y=2x的图象交于点C(2,4), 解得 ∴一次函数的表达式为y=x+2; (2)0<x≤2; (3)设P 点坐标为(t,0), 解得t=2或t=-6, ∴点 P 的坐标为(2,0)或(-6,0). 21.解:(1)证明:∵BE⊥AC, ∴∠AEB=∠CEB=90°. 在△ABE 与△CBE中, ∴△ABE≌△CBE(ASA), ∴AB=CB; (2)①BH=AC,理由如下: ∵CD⊥AB,BE⊥AC, ∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°. ∵∠ABC=45°, ∴DB=DC. ∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°, ∴∠A+∠ACD=90°,∠A+∠HBD=90°, ∴∠HBD=∠ACD. 在△DBH 和△DCA 中, ∴△DBH≌△DCA(ASA), ∴BH=AC; ②证明:如图,连接CG,由①知,DB=CD. ∵F 为BC 的中点, ∴DF 垂直平分BC, ∴BG=CG. ∵BE⊥AC,由(1)知AB=CB, ∴EC=EA. 在 Rt△CGE 中,由勾股定理,得CG²- ∵CE=AE,BG=CG, 22.解:(1)将点 P(1,b)代入y=2x+1, ∴2+1=b,即b=3, ∴P 为(1,3). 将点 P(1,3)代入y= mx+4, ∴m+4=3,∴m=-1, ∴直线l₂的表达式为y=-x+4; ②∵(2-m)x-3≤0, ∴2x+1-(mx+4)≤0, ∴2x+1≤mx+4, ∴关于x的不等式(2-m)x-3≤0的解集为函数y=2x+1的图象在 y= mx+4图象下方时对应的自变量取值范围，结合图象得此时x≤1. 故答案为:x≤1; (3)由题意,得点 C 的坐标为(a,2a+1),点D的坐标为(a,-a+4), ∵线段CD 的长为3, ∴|2a+1-(-a+4)|=3,∴a=0或2, ∴C(0,1),D(0,4)或C(2,5),D(2,2). ∵直线l₂的表达式为y=-x+4与x轴交于点B,∴B(4,0). ∵CD⊥x轴, ∴B 到直线CD 的距离h 为4 或2. ∴S△BCD=6 或3. 23.解：任务一：设A 型号的新型垃圾桶的单价是x元，B型号的新型垃圾桶的单价是 y元，根据题意，得 解得 答：A型号的新型垃圾桶的单价是60元，B型号的新型垃圾桶的单价是100元； 任务二：设购买m个A型号的新型垃圾桶，则购买(200-m)个B型号的新型垃圾桶，根据题意，得 解得 又∵m为正整数， ∴m可以为118,119,120, ∴共3种购买方案， 方案1：购买118个 A 型号的新型垃圾桶，82个B型号的新型垃圾桶； 方案2：购买119个 A 型号的新型垃圾桶，81个B型号的新型垃圾桶； 方案3：购买120个 A 型号的新型垃圾桶，80个B型号的新型垃圾桶； 任务三：选择方案1所需费用为60×118+100×82=15 280(元); 选择方案 2 所需费用为 60×119+100×81=15 240(元); 选择方案 3 所需费用为60×120+100×80=15 200(元), ∵15 280>15 240>15 200, ∴方案3更省钱，最低购买费用是15 200元. 24.解:(1)如图1,连接AE, ∵DE 是AC 的垂直平分线, ∴AE=CE, 设BE=x,则AE=CE=BC-BE=8-x,在 Rt△ABE 中,由勾股定理,得 即 解得 即 证明:∵DE⊥DF,DE=DG, ∴DF 是EG 的垂直平分线, ∴EF=FG. ∵D 是AC 的中点, ∴AD=CD. ∵∠ADG=∠CDE, ∴△ADG≌△CDE(SAS), ∴AG=CE,∠DAG=∠DCE, ∴AG∥CE, ∴△AFG是直角三角形， ②如图2,连接BD, 在Rt△ABC中,AB=BC,点 D 是AC的中点,∴ BD = CD,∠BDC = 90°,∠ABD =∠CBD=∠C=45°, ∴∠EDF=∠BDC, ∴∠EDF-∠BDE=∠BDC-∠BDE,即∠BDF=∠CDE, ∴△BDF≌△CDE(ASA), ∴DF=DE,BF=CE=1. 又∵BE=BC-CE=3, ! 任Rt△DEF 中, 学科网（北京）股份有限公司 $