单元集训卷05导数及其应用-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数核心概念与应用，构建从基础计算到综合应用的逻辑链条，覆盖高频考点，强化数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|题1、14|导数定义与运算法则直接应用|概念生成：从导数定义到运算法则| |几何意义|题2、12|切线方程及公切线问题|原理推导：导数几何意义的应用拓展| |单调性/极值/最值|题3、5、15、16|含参数单调性判断、极值点识别、区间最值|应用逻辑：导数符号与函数性质的关联| |零点问题|题8、11、13|函数零点个数与参数范围|综合应用：导数工具分析函数图像与交点| |综合探究|题17-19|证明、极值点个数、跨知识结合|能力提升：数学语言表达与逻辑推理|

单元集训卷05　导数及其应用 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】求得函数的导数，求得，得到，即可求得的值. 【详解】由题意，函数，可得， 令，可得，解得，所以， 所以. 2．已知曲线的一条切线过点，且与直线平行，则（   ） A．6 B．23 C．6或38 D．23或38 【答案】C 【分析】由切线斜率求出切点坐标，确定切线方程，即可求解. 【详解】因为切线与直线平行， 所以切线斜率， 对求导得：， 设切点横坐标为，则切线斜率满足： ， 解得或， 切线方程为 ， 因为切线过点 ，将 代入得： ， 当时： ， 当时： ， 因此或. 3．已知函数的导函数的图像如图所示，则在内有（    ） A．3个驻点 B．4个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点 【答案】C 【分析】由图象判断区间符号和零点个数，进而判断的驻点、极值点个数. 【详解】由题图知：从左到右依次分为5个区间， 区间符号依次为：正、负、正、正、负，且共有4个零点， 即有4个驻点，综上，对于中的4个驻点有2个极大值点，1个极小值点， 所以C正确，A、B、D错误. 4．已知，则的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分区间求解的解集，结合函数单调性确定x的范围后，再代入解关于a的不等式即可. 【详解】 分情况讨论不等式的解： 当时，，不等式， 与前提矛盾，故此时不等式无解； 当时，，对其求导得. 当时，，即在上单调递增. 又， 因此. 综上，的解为. 将代入得，解得，即. 5．若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导得，转化为在上有解，最后分离参数即可. 【详解】函数，则 ， 因为在上存在单调递增区间，所以在上有解， 所以当时，有解， 令，而当时，令 ， 即为， 此时(此时)，所以， 故实数a的取值范围为. 6．设函数，若，，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据的单调性以及恒成立得出，，进而得到，令 ，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】因为函数在上均为增函数， 且当时，可得，当时，， 若，则，即，又，则，， 令 ，有， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即的最大值为1. 7．已知函数的极大值点是，则实数（   ） A．0或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】求函数导数，由极值点处导数为0，解得的值，结合函数单调性检验是否符合题意即可得解. 【详解】. 由题意知，，即，解得或. 当时，， 则时，单调递增；时，单调递减； 时，单调递增； 所以在处取得极大值，则为极大值点，满足题意. 当时，， 则时，单调递增；时，单调递减； 时，单调递增； 所以在处取得极小值，则为极小值点，不满足题意. 综上，实数. 8．若关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数分析其单调性与极值，结合定义域及极限情况，确定函数零点个数，从而得出的取值范围. 【详解】令，且，求导得. 当时，，在上单调递增， 在上，从递增到有一个零点； 在上，从递增到，无零点； 故时，方程仅有1个实数根，不符合题意. 当时，令，解得（极值点）， 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 在处取得极大值，. 设，求导得，令，解得. 在上单调递减，在上单调递增，最小值为， 故，即极大值恒正. 在上：从递增到极大值，必有一个零点； 在上：从极大值递减到，必有一个零点； 又不在定义域内，且在两侧均趋近于，不影响零点个数. 综上，当时，方程有2个不相等的实数根. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．，存在极值 C．存在，使得恒成立 D．若在上存在单调递减区间，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】对A，取的特殊值，结合参数分析的符号，判断是否恒满足，对B，先求的导数，再分析导数的单调性与最值，判断导数是否存在变号零点；对C，将代入表达式化简不等式，转化为判断是否存在实数使得不等式对任意恒成立，分析因式符号判断；对D，将在上存在单调递减区间，转化为在上有解，分离参数后构造新函数求值域，确定的范围. 【详解】由，得 ， 对于A ：对任意实数，指数函数恒成立，因此恒成立， 则 恒成立，A正确； 对于B ：，令，则，时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以在处取最小值： ， 若，则，即恒成立， 因此恒成立，单调递增，不存在极值，B错误； 对于C ：由得， 整理得， 取，不等式变为， 时，，则，所以，成立； 时，，则，所以，成立； 即 不等式对所有恒成立，故存在，使得，C正确； 对于D： 在存在单调递减区间，等价于存在使得， 整理得， 令，则，时，，单调递减， 时，，单调递增，所以最小值为， 因此要存在满足，只需，解得， 即，D正确. 10．已知函数，则下列结论正确的是（     ） A．当时， 在定义域上恒成立 B．若函数在 上存在零点，则 C．若在区间 上单调递减，则的取值范围为 D．若在区间 上不单调，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】求得，得到单调区间，求得，可判定A正确；当时，求得，得到单调区间，结合题意，列出不等式组，求得的范围，可判定B错误；求得，转化为在上恒成立，求得的取值范围，可判定C正确；转化为在上有解，令，结合的单调性，求得的值域，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，函数，可得其定义域为， 且，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值，， 所以在定义域上恒成立，所以A正确； 对于B，由函数，可得， 当时，，显然函数没有零点； 当时，令，解得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在单调递减， 因为， 要使得在上存在零点，则满足或， 即或，解得或，所以， 当时，可得函数在上单调递减，在单调递增， 要使得在上存在零点，则满足或， 即或，此时不等式组无解， 综上可得，实数的范围，所以B错误. 对于C，由函数， 可得， 要使得函数在区间上单调递减，则满足在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则满足，解得， 所以实数的取值范围为，所以C正确； 对于D，要使得函数在区间上不单调，即在上有解， 即方程在上有解，即在上有解， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，且，所以， 当时，即时，此时， 所以，函数在区间 上单调递增，不符合题意， 所以实数的取值范围为 ，所以D正确. 11．已知函数，则关于此函数的下列命题正确的是（    ） A．使函数有一个零点 B．使恒成立 C．使函数有两个极值点 D．，曲线与定直线相切 【答案】AC 【详解】选项A，函数的定义域为，令，解得一个零点为， 若，另一零点为. 当时，取，则，两个零点重合，函数只有一个零点，故存在这样的，A正确； 选项B，若，对任意，有，，故，不可能满足恒成立，B错误； 选项C，取，则， 令 则，（为的导函数）， 所以在上严格递减． 又，故存在唯一的，使． 当时，，当，， 因此在上严格递增，在上严格递减． 又，， 因为，所以在内有且仅有一个根，在内有且仅有一个根． 并且在两侧由负变正，在两侧由正变负，所以在处取得极小值，在处取得极大值． 故存在使函数有两个极值点，C正确． 对于D，若命题成立，则当和时，两条曲线也应存在同一条切线． 当时，曲线为． 设切点横坐标为，则切线为 当时，曲线为． 设切点横坐标为，则， 所以切线为 若两条切线重合，则斜率和截距分别相等，故 令 因为且，所以． 若，则，从而，矛盾． 故且． 由和第一个等式，得 另一方面，对任意，有，所以 因为，所以这与矛盾． 因此上述两条曲线不存在公切线，更不可能所有参数对应的曲线都与同一条定直线相切，D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 【答案】 【分析】根据两条曲线的其中一条公切线为，结合导数的几何意义求出，设出另一条切线的两条曲线的切点坐标，得到切线方程，联立方程组求解即可. 【详解】对，求导得， 设切点为，切线斜率，解得，则切点为，切线方程为，满足条件. 对，求导得. 设切点为，则切线斜率为，所以，故切点坐标为， 代入切线中得，，则. 设另一条公切线与相切于，则切线方程为， 即. 设该公切线与相切于，则切线方程为， 即. 所以，解得或. 当时，对应切线方程为，即已知切线方程； 当时，对应切线方程为. 故另外一条公切线的方程为. 13．若函数有且仅有一个零点，则实数a的取值范围_________． 【答案】 【分析】函数有且仅有一个零点转化为方程有且仅有一个解的问题，等价于函数与有且仅有一个交点的问题；令，确定函数的定义域，单调性，极值，渐近线等，作出函数的图象示意图，根据的图象特征，结合直线与它的交点情况，得到关于的不等式或等式，求出的取值范围. 【详解】令，得； 令，则有且仅有一个零点，等价于函数与有且仅有一个交点. 易得函数的定义域为，且， 令，解得； 当时，，当或时，， 在上单调递增；在和上单调递减. 当时，；当时，，则； 当时，. 当时，；当时，，则； 当时，，当时，. 的图象示意图如下：    由图可知，或，解得或. 实数的取值范围为. 14．已知，则______． 【答案】 【分析】将所求极限式拆分为两个符合导数定义的形式，代入已知的导数值计算即可得到结果． 【详解】 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数为． (1)求； (2)求的单调区间； (3)求在区间上的最值． 【答案】(1) (2)单调递增区间为、，单调递减区间为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）借助导数运算法则计算即可得； （2）求导后，利用导数正负即可判断函数单调性； （3）利用函数单调性与最值的关系计算极值点和端点的函数值即可得. 【详解】（1）； （2）由， 则当时，，当时，， 故的单调递增区间为、，单调递减区间为； （3）由的单调递增区间为、，单调递减区间为， 则当时，在上单调递增，在上单调递减， 又， ， ， 故在区间上的最大值为，最小值为. 16．已知函数 (1)函数在处取极值，求的值： (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，利用极值点处导数为零列方程求解； （2）求导，结合导数的性质及得出，分情况讨论求出各区间内的，进而求出函数在区间上的最小值． 【详解】（1）的定义域为，求导得， 已知在处取极值，则，解得． 当时，， 当时，，当时,，故在处极值，符合题意. （2）函数的导数为， 已知，，则， 当时，在上恒成立，单调递减， 最小值为； 当时，在上恒成立，单调递增， 最小值为； 当时，令，解得，则， 时，，单调递减； 时，，单调递增； 最小值在极值点处取得： ； 综上可得： ． 17．已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：； (3)若使方程三个不等的根，求的取值范围. 【答案】(1) (2)由题意知，定义域为，， ，当时，，显然为增函数， 当时，，当时，，根据零点存在定理， 使，而当， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，即，则即， 因为，所以，故，所以， 令，则， 故在为增函数，所以，即原不等式成立; (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，求出斜率，代入点斜式方程求出切线方程即可； （2）利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理，即可证明； （3）将方程有三个不等的根转化为两个函数有三个交点，即有三个单调区间，利用导数研究函数的单调性，分别对进行和的讨论，即可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，，，则切点为， 又，故，则切线方程为，即; （2）略； （3）由题意知，定义域为， 若使方程三个不等的根，即直线与图像有三个交点， 则应有三个单调区间，又，， ①当时，由（2）可知，在上单调递减，在上单调递增， 此时没有三个单调区间，不成立； ②当时，解得，解得， 故在单调递减，在上单调递增， 故， 当时，，此时在上单调递增，没有三个单调区间，不成立； 当时，，当时，，当时，， 根据零点存在定理，使，，使， 而当， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当时，， 故当时方程有三个实根， 综上所述，的取值范围是. 18．已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求； (2)当时，讨论的极值点个数； (3)若有两个零点，当取最大值时，求的值. 【答案】(1) (2)当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为； (3) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后，分、与讨论函数单调性，并根据单调性结合极值点定义计算即可得； （3）令，可得关于的方程有两根，设为、，则有，，借助比值换元及作差运算可得，计算可得取最大值时，也取得最大值，即可构造函数，求出使得取最大值时的的值. 【详解】（1）， 则有，解得； （2）当时，，则， 令，则， 当时，，，故在上单调递减， 此时无极值点； 当时，恒成立，故在上单调递减， 又，当时，， 故存在，使得， 当时，，时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 此时有唯一极值点； 当时，若，，若，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， 令，则在上单调递减，又， 故当时，，故在上单调递减， 此时无极值点； 当时，，又， 当时，， 故存在、，使得， 当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故此时存在两个极值点、； 综上所述：当时，的极值点个数为； 当时，的极值点个数为； 当时，的极值点个数为； （3）若，则，令， 即，令，则， 令，则， 若，则，即单调递增，不可能有两个零点，不符； 若，则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 由题意可得有两个零点，则， 即有，又时，，时，， 故此时有两个零点，设为、，且，则，， 有，， 作差得， 令，则，则， 即，则， 由，可得， 则，即， 又，故， 令，则，故单调递减， 则，故，则恒成立， 令，则， 令，则，故单调递增， 则， 即对任意，恒成立， 且越大，越小，即越大， 由，则也会越大， 因此的最大值与的最大值可同时取到， 即当取最大值时，也取得最大值， 令，， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故时，取得最大值， 即取最大值时，的值为. 19．已知正项数列中，，． (1)证明：； (2)已知． （i）讨论函数的单调性； （ii）证明：时，． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（ii）证明见解析. 【分析】（1）构造函数并利用导数确定单调性，进而证明不等式. （2）（i）求出函数的导数，按分类讨论的符号即可；（ii）利用单调性可得，再利用累加法推理得证. 【详解】（1）设函数，求导得 函数在上单调递减，，则当时，恒成立， 由，得，而，因此，数列单调递减， 所以 （2）（i）函数的定义域为，求导得， 设函数，， 当，即时，，，函数在上单调递增； 当，即时，有两个不相等实根，， 函数对称轴，，，则， 当或时，，，函数在上单调递增， 当时，，，函数在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增， 在上单调递减. （ii）由（i）知，当时，在上单调递增， 则当时，，即，由（1）知， 因此，即，则，即， 于是，当时，， 所以当时，. 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷05　导数及其应用 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 2．已知曲线的一条切线过点，且与直线平行，则（   ） A．6 B．23 C．6或38 D．23或38 3．已知函数的导函数的图像如图所示，则在内有（    ） A．3个驻点 B．4个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点 4．已知，则的解是（    ） A． B． C． D． 5．若函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．设函数，若，，则的最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 7．已知函数的极大值点是，则实数（   ） A．0或 B．或 C． D． 8．若关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．，存在极值 C．存在，使得恒成立 D．若在上存在单调递减区间，则的取值范围是 10．已知函数，则下列结论正确的是（     ） A．当时， 在定义域上恒成立 B．若函数在 上存在零点，则 C．若在区间 上单调递减，则的取值范围为 D．若在区间 上不单调，则的取值范围为 11．已知函数，则关于此函数的下列命题正确的是（    ） A．使函数有一个零点 B．使恒成立 C．使函数有两个极值点 D．，曲线与定直线相切 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 13．若函数有且仅有一个零点，则实数a的取值范围_________． 14．已知，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数为． (1)求； (2)求的单调区间； (3)求在区间上的最值． 16．已知函数 (1)函数在处取极值，求的值： (2)求函数在区间上的最小值． 17．已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：； (3)若使方程三个不等的根，求的取值范围. 18．已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求； (2)当时，讨论的极值点个数； (3)若有两个零点，当取最大值时，求的值. 19．已知正项数列中，，． (1)证明：； (2)已知． （i）讨论函数的单调性； （ii）证明：时，． 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $