精品解析：河南洛阳市第一高级中学英才部2025-2026学年高二下学期6月月考数学试卷

洛一高英才部2024级数学6月月考试卷 命题人：王玮琪 审核人：刘宗毅 时长：120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 【答案】A 【解析】 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为． 则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余， 中位数仍为，A正确． ②原始平均数，后来平均数 平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确 ③ 由②易知，C不正确． ④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解. 2. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示，进而求出向量夹角. 【详解】由，得，则，， 而，则，所以与的夹角为. 故选：B 3. 设两个正态分布和曲线如图所示，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从正态曲线关于直线对称，看的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．看出的大小即可解决． 【详解】从正态曲线的对称轴的位置看，显然， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小，则，所以A正确. 故选：A. 4. 为了研究某班学生的脚长（单位厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为，据此估计其身高为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由已知, ， 故选C. 5. 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】 选D 6. 以为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，且满足，则点的轨迹是 A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心和圆上点建立关于半径的方程，得到和；根据整理出，从而得到点的轨迹. 【详解】因为 同理： 又因为，所以 则，即 设，则为直线 本题正确选项： 【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求解问题，关键在于能够将所求动点的横纵坐标建立起等量关系，从而转化为轨迹方程. 7. 设集合，选择集合的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）. A. 50种 B. 49种 C. 48种 D. 47种 【答案】B 【解析】 【分析】依中的最大数进行分类求解. 【详解】依中的最大数进行分类： ①若中的最大数为1，则有1种，则是集合的非空子集，有种，所以有（种）； ②若中的最大数为2，则有2种，则是集合的非空子集，有种，所以有种； ③若中的最大数为3，则有4种，则是集合的非空子集，有种，所以有种； ④若中的最大数为4，则有8种，则是集合的非空子集，有1种，所以有种. 所以可得，故不同的选择方法共有49种． 8. 已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性. 【详解】依题意，，，所以， A选项，圆锥的体积为，A选项正确； B选项，圆锥的侧面积为，B选项错误； C选项，设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，C选项正确； D选项，，所以，D选项错误. 故选：AC. 10. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 11. 已知函数的定义域为，，则（ ）． A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点 【答案】ABC 【解析】 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减， 显然，此时是的极大值点，故D错误. 故选：. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知二项式，则展开式中的系数为_____． 【答案】 【解析】 【详解】展开式的通项，其中， 令，得， 的系数为． 13. 已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________． 【答案】 【解析】 【详解】如图所示， 由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b， ∵∠MAN=60°， ∴|AP|=b， ∴|OP|=． 设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tan θ=． 又tan θ=， ∴，解得a2=3b2， ∴e=． 答案： 点睛： 求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，再根据和转化为关于离心率e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）． 14. 记的内角的对边分别为．已知，，若的面积为，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由余弦定理和已知求出，再由正弦定理得出用表示出的，利用面积求出可得答案. 【详解】因为，由余弦定理得， 因为，所以， 所以，可得， 因为，所以，所以， ， 由正弦定理， 得， ， 若的面积为，则， 解得，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用正余弦定理边角转化解三角形. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，，数列满足，. （1）证明：是等比数列； （2）数列满足，求数列的前项的和. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【详解】试题分析： (1)题中所给的递推关系整理可得：，且，据此可得是首项为2，公比为2的等比数列， (2)由题意结合(1)的结论可得，裂项求和可得. 试题解析： （1） ，又因为， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， （2） 满足上式. 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 16. 如图所示，在四棱台中，底面，四边形为菱形，，. （1）若为中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）连接，可证 ，又因为底面，可得，即可得证. （2）如图建立空间直角坐标系，求出和平面 的一个法向量的坐标，则直线与平面所成角的正弦值. 试题解析： （Ⅰ）∵四边形为菱形，，连结，则为等边三角形， 又∵为中点∴，由得∴ ∵底面，底面∴，又∵ ∴平面 （Ⅱ）∵四边形为菱形，，， 得，，∴ 又∵底面， 分别以，，为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系 、、、 ∴，， 设平面的一个法向量， 则有，令，则 ∴直线与平面所成角的正弦值 ． 点晴：本题考查的空间的线面关系以及空间的角.第一问通过证明直线和平面内的两条相交直线垂直，证明平面；第二问中通过建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量 ，结合得到结论. 17. 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． （1）求甲获得这次比赛胜利的概率； （2）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求的分布列及数学期望． 【答案】（1）0.648； （2）的分布列为： 2 3 0.52 0.48 　期望为2.48． 【解析】 【分析】（1）甲获胜有两种情况：一是第三第四两局都是甲胜，一是三第四两局甲乙各胜一局，第五局甲胜，由独立事件的概率公式可计算； （2）的取值可为2或3，注意可能是甲胜，也可能是乙获胜．分别计算可得概率分布列，再由期望公式计算出期望． 【详解】（1）因为甲获胜有两种情况：第三第四两局都是甲胜，或者第三第四两局甲乙各胜一局，第五局甲胜，故甲胜的概率为； （2）由已知的可能值为2或3， ， ． 故分布列如下： 2 3 0.52 0.48 ． 【点睛】本题考查相互独立事件的概率计算，考查随机变量的概率分布列和数学期望，属于基础题．在计算概率时，要注意事件发生的各种可能情形，即注意分类讨论． 18. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】（1） （2）且. 【解析】 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. 【小问2详解】 在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 19. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为分别为左、右焦点，为右顶点，为左支上的两个动点（不包括顶点）． （1）求的离心率； （2）是否存在常数，使得总成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （3）若为定值，直线经过，求的最小值． 【答案】（1） 2 （2） 存在，常数 （3） 【解析】 【分析】（1）根据渐近线的倾斜角，可得其斜率，即可得a，b的关系，求出a与c的关系，代入公式，即可得答案. （2）当时，根据条件，求出，即可得关系；当时，分别求出的表达式，化简整理，分析即可得关系. （3）设出直线的方程，与双曲线方程联立，根据韦达定理，可得表达式，进而可得表达式，利用导数求出的最小值，结合（2）及基本不等式，化简整理，即可得答案. 【小问1详解】 由题意，所以， 所以的离心率. 【小问2详解】 ①当时，，， 此时，有. ②当时，可得的斜率都存在，设， 则， 因为， 即，其中为锐角， 即，， 所以，即. 所以存在常数，使得总成立. 【小问3详解】 由对称性，设直线的方程为，代入， 得，即， 所以， 令，则， 令，则， 所以单调递增，所以的最小值为， 所以，当且仅当“”时，取等号. 由（2）可知， 所以. 所以 ， 当且仅当“且”时，取等号． 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛一高英才部2024级数学6月月考试卷 命题人：王玮琪 审核人：刘宗毅 时长：120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差 2. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 3. 设两个正态分布和曲线如图所示，则有（ ） A. B. C. D. 4. 为了研究某班学生的脚长（单位厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为，据此估计其身高为 A. B. C. D. 5. 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6. 以为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，且满足，则点的轨迹是 A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 7. 设集合，选择集合的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）. A. 50种 B. 49种 C. 48种 D. 47种 8. 已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）． A. 该圆锥的体积为 B. 该圆锥的侧面积为 C. D. 的面积为 10. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 11. 已知函数的定义域为，，则（ ）． A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知二项式，则展开式中的系数为_____． 13. 已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________． 14. 记的内角的对边分别为．已知，，若的面积为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，，数列满足，. （1）证明：是等比数列； （2）数列满足，求数列的前项的和. 16. 如图所示，在四棱台中，底面，四边形为菱形，，. （1）若为中点，求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局． （1）求甲获得这次比赛胜利的概率； （2）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求的分布列及数学期望． 18. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 19. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为分别为左、右焦点，为右顶点，为左支上的两个动点（不包括顶点）． （1）求的离心率； （2）是否存在常数，使得总成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； （3）若为定值，直线经过，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $