精品解析：河南洛阳市第一高级中学英才部2025-2026学年高二下学期4月月考数学试卷

洛一高英才部2024级数学4月月考试卷 2026.4 命题人：王玮琪 审核人：刘宗毅 时长：120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 2. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图像在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 8. 若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列说法中正确的有（ ） A. 的展开式中不含的项 B. 的展开式中的常数项为84 C. 的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项 D. 的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数只有两个极值点 B. 方程有且只有两个实根，则的取值范围为 C. 方程共有4个根 D. 若，，则的最大值为2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种． 13. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 14. 函数恰有两个极值点，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992.求的展开式中， （1）二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项. 16. 设函数=[]． （1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求； （2）若在处取得极小值，求的取值范围． 17. 已知. （1）求； （2）求； （3）求. 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数在上的单调性； （3）证明：对任意的，有． 19. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）若对于恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛一高英才部2024级数学4月月考试卷 2026.4 命题人：王玮琪 审核人：刘宗毅 时长：120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】解：因为函数， 所以， 故选：C 2. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求定义域,再对函数求导,令导函数大于零,解出不等式解集即可. 【详解】解:由题知,定义域为, 所以, 令,解得, 所以的单调增区间为:. 故选:C 3. 已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得在上恒成立，可转化为.求出的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】由已知，函数的定义域为，所以， 由在定义域内单调递减，所以在上恒成立， 即，可转化为在上恒成立，所以． 因为，所以，所以． 因此实数的取值范围是． 故选：D． 4. 函数的图像在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】，，，， 因此，所求切线的方程为，即. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 5. 函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】函数定义域为，由函数在上不单调，则在上有零点，即方程在上有根，所以，进而求解. 【详解】函数定义域为， 由题意，函数在上不单调， 所以在上有零点， 即方程在上有根， 即方程在上有根， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 6. 设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意可知,,,即, ,解得．故B正确． 考点：1二项式系数；2组合数的运算． 7. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 【答案】C 【解析】 【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得. 【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解. 8. 若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】解：过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小. 设切点为，， 所以，切线斜率为， 由题知得或（舍）， 所以，，此时点到直线距离. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】求函数的导数，令导数等于4解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标. 【详解】依题意，令，解得 ， 故点的坐标为和， 故选：AC 10. 已知，则下列说法中正确的有（ ） A. 的展开式中不含的项 B. 的展开式中的常数项为84 C. 的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项 D. 的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等 【答案】BD 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式以及二项式系数的性质即可解出． 【详解】因为展开式的通项公式， 所以当时，，A错误； 当，B正确； 根据二项式系数的性质可知，最大， 所以的展开式中二项式系数最大的项是第五项和第六项，C错误； 的展开式中各项系数和为，二项式系数之和为，D正确. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数只有两个极值点 B. 方程有且只有两个实根，则的取值范围为 C. 方程共有4个根 D. 若，，则的最大值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】对函数求导，利用导数研究函数的极值判断；分析函数的性质，借助图象判断；结合图象和函数的零点判断；由结合取最大值的x值区间判断D作答. 【详解】对于，对求导得：，当或时，，当时，，即函数在，上单调递减，在上单调递增，因此，函数在处取得极小值，在处取得极大值，故选项正确； 对于，由选项知，作出曲线及直线，如图，要使方程有且只有两个实根，观察图象得当时，直线与曲线有2个交点， 所以方程有且只有两个实根，则的取值范围为，故选项错误； 对于，由得：，解得， 令，则，结合图象方程有两解，，，所以或， 因为，所以，所以方程有两解； 又因为，结合图象可知：也有两解， 综上：方程共有4个根，故选项正确； 对于，因为，而函数在上单调递减， 因此当时，，当且仅当， 所以t的最大值为2，故选项正确. 故选：CD 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察 与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种． 【答案】288 【解析】 【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可. 【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法， 故有种排法. 故答案为：288 13. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 【答案】-28 【解析】 【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 14. 函数恰有两个极值点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】函数，，由于函数两个极值点为，即是方程的两个不等实数根，即方程，且，；设，在同一坐标系内画出两个函数图象，如图所示, 要使这两个函数有个不同的交点，应满足，解得，所以的取值范围为，故选. 【方法点睛】本题主要考查函数的极值、函数与方程以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992.求的展开式中， （1）二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设可得求出n，进而求的展开式通项公式，根据二项式系数最大，结合对称性知，即可得二项式系数最大的项. （2）要使系数的绝对值最大，即最大，应用不等式法求对应值，即可得系数的绝对值最大的项. 【小问1详解】 令，则的系数和为，而的二项式系数和为， 由题设，，可得，则，解得， 所以的展开式通项为， 要使二项式系数最大即，则. 【小问2详解】 要使系数的绝对值最大，即最大，则，可得， 所以，又，即，故系数的绝对值最大的项为. 16. 设函数=[]． （1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求； （2）若在处取得极小值，求的取值范围． 【答案】(1) 1 (2)（，） 【解析】 【详解】分析：（1）先求导数，再根据得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围． 详解：解：（Ⅰ）因为=[]， 所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R） =［ax2–（2a+1）x+2］ex． f ′(1)=(1–a)e． 由题设知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1． 此时f (1)=3e≠0． 所以a的值为1． （Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex． 若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0； 当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0． 所以f (x)<0在x=2处取得极小值． 若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0， 所以f ′(x)>0． 所以2不是f (x)的极小值点． 综上可知，a的取值范围是（，+∞）． 点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 17. 已知. （1）求； （2）求； （3）求. 【答案】（1）800； （2）； （3）0. 【解析】 【分析】（1）利用多项式乘法法则，结合组合应用问题列式计算作答. （2）利用赋值法计算作答. （3）变形计算表达式，再利用赋值法计算作答. 【小问1详解】 在展开式中，含的项为， 所以. 【小问2详解】 令， 当时，，当时，， 所以. 【小问3详解】 . 因为，所以， 故 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数在上的单调性； （3）证明：对任意的，有． 【答案】（1） （2）在上单调递增. （3）证明如下： 原不等式等价于， 令，， 即证， ∵， ， 由（2）知在上单调递增， ∴， ∴ ∴在上单调递增，又因为， ∴，所以命题得证. 【解析】 【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程； （2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解； （3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证. 【小问1详解】 因为，所以， 即切点坐标为， 又， ∴切线斜率 ∴切线方程为： 【小问2详解】 因为， 所以， 令， 则， ∴在上单调递增， ∴ ∴在上恒成立， ∴在上单调递增. 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）若对于恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由由，得，构造函数，求解单调性，证明结果; （2）求解令，则，分类讨论求解的范围; （3）由（2）知，设，判断单调性，，所以只需证，由，即，只需证 （*）进而证明结果. 【小问1详解】 由，得. 要证，只需证. 令，则. 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，故， 因此. 【小问2详解】 令，则 ①当时，由，得， 因此，满足题意. ②当时，由，得， 因此，则在上单调递增. 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； 若，则， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，不合题意. 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，设， 则在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 故在上存在唯一的零点. 注意到，且在上单调递增. 要证明，只需证， 因为，所以只需证， 即证. 因为，即， 所以，只需证， 只需证（*） 由（1）得， 因此， 设， 则，所以在上单调递增， 所以， 从而，即，因此（*）得证， 从而. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $