精品解析：2026年河南驻马店市第四中学中考模拟预测数学试题

九年级数学 一、单选题（30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，桌子上放着一个长方体的茶叶盒和一个圆柱形的水杯，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在射击选拔轮比赛之后，教练员记录甲、乙、丙、丁四人的成绩如下表，若选取一个成绩高且较为稳定的选手进入下轮比赛，则胜出的是（ ）． 选手 甲 乙 丙 丁 成绩平均分/环 成绩方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，若以原点O为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. 36 B. 9或 C. D. 9 8. 如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 跨学科化学 数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醚类化学式中，甲醚化学式为，乙醚化学式为，丙醚化学式为……当碳原子(C)的数目为（n为正整数）时，醚类的化学式可以表示为（ ） A. B. C. D. 10. 5G无人物品派送车已应用于实际生活中，如图1所示为无人物品派送车．该车从出发点沿直线路径到达派送点，在派送点停留一段时间后匀速返回出发位置，其行驶路程s与所用时间t的关系如图2所示（不完整）．下列分析正确的是（ ） A. 派送车从出发点到派送点往返行驶的路程为3.2km B. 在5~9min内，派送车的速度逐渐增大 C. 在0~5min内，派送车的平均速度为0.12km/min D. 在9~12min内，派送车匀速行驶 二、填空题（15分） 11. 因式分解：____． 12. 一个不透明的口袋中有3种颜色的小球，其中红球个，黄球个，白球个（小球除颜色外，其它完全相同）．随机摸出一个小球，若摸出白球的概率为，则的的值为________． 13. 若是一元一次不等式组的一个解，则的取值范围是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________． 15. 如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线的交点．若，．在旋转过程中，当线段最短时，的面积为______． 三、解答题（75分） 16. 计算： （1）； （2） 17. 当前针对老年人的电信网络诈骗案件频发，老年人防范意识薄弱、辨别能力不足，易成为诈骗分子的重点目标．开展老年人防电诈知识竞赛，能有效普及防电诈知识，提升老年人自我保护能力，守护老年人的财产安全和晚年幸福，因此特举办本次甲、乙两个社区老年人防电诈知识竞赛．竞赛满分为10分，得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．下面是甲、乙两个社区参赛老年人的成绩统计表和成绩分布折线统计图： 甲、乙两个社区参赛老年人的成绩统计表 社区 平均数/分 中位数/分 合格率 优秀率 甲社区 a 6 乙社区 b （1）求出参赛老年人成绩统计表中a，b的值； （2）张爷爷说：“这次竞赛我得了7分，在我们社区里排名属于中游略上！”请你判断张爷爷是哪个社区的参赛老年人，并说明理由； （3）上面两个社区中，你认为哪个社区的竞赛成绩好一些？并说明你的依据． 18. 如图，反比例函数的图象经过点和点，点在点的右侧，连接，以为边，在右上方作等边． （1）求反比例函数的解析式． （2）尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹）． （3）在（2）所作图形中，连接，．若的平分线过原点，求证：． 19. 为打造花园式居住环境，某物业公司计划购进A、B两种花木对小区进行美化，已知B种花木比A种花木每棵贵20元，且购买2棵A种花木与3棵B种花木共需要210元． （1）求A、B两种花木的单价各是多少元？ （2）如果购进的这批花木共6000棵，A种花木至多购进4000棵，为了使购进的这批花木的费用最低，应购进A种花木和B种花木各多少棵？并求出最低费用． 20. 乡村振兴，亮化先行．如图是某地一新型太阳能路灯的示意图，灯杆垂直于地面，是灯臂，灯杆与灯臂的夹角，D，E两点分别在地面和灯杆上，斜拉绳恰好与点C在同一条直线上，且米，米． （1）求的长； （2）已知该路灯的灯臂的长为2米，求灯臂的端点距离地面的高度．（结果精确到米，） 21. 独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，以的边为直径作，交于点P，是的切线，且，垂足为点D． （1）求证：； （2）若，求的半径． 22. 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线、攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知，． 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为、水平距离s（水平距离水平速度时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表．守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … 9 12 15 18 21 … … 5 … （1）求h关于s的函数表达式． （2）若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． （3）求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 23. 综合与实践 【问题背景】小明同学是个善于思考、善于总结的孩子，他总能把一些相关联的数学现象放在一起进行对比分析，总结提炼，他将学过的角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行了汇总，如表： 角平分线定理 线段垂直平分线定理 垂径定理 切线长定理 ， ， ， ， 【归纳总结】 （1）小明发现这四个图中都有一个非常类似的四边形，经过查找资料，知道了它们都可叫作筝形．我们规定：如图，四边形中，若，，则称四边形为筝形． 他类比研究特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的方法，进一步得到了筝形的相关性质，请聪明的你也总结两条筝形的性质（可从边、角、对角线、对称性、面积等方面考虑，不用说理）： ①________；②________； 【知识迁移】 （2）李老师引导小明深入思考，如图1，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，得到正方形，两个正方形的边与CD交于点E，求证：四边形是筝形； （3）将（2）中的条件“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，如图2，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形的正确结论； 【拓展延伸】 （4）在图1中，连接AE，交于点O，请在图3上画出符合条件的图形，若正方形ABCD的边长为6，求CO的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一、单选题（30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的概念计算即可得到结果． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 故的倒数为． 2. 古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 如图，桌子上放着一个长方体的茶叶盒和一个圆柱形的水杯，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是从不同的方向看几何体得到的形状，先细心观察原立体图形中圆柱和正方体的位置关系，找到从上面看所得到的图形即可解决． 【详解】解：圆柱的俯视图是矩形，正方体的俯视图是正方形，所以它们的俯视图是图C． 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．∵，∴A错误； B．∵，∴B错误； C．∵，∴C正确； D．∵，∴D错误． 5. 在射击选拔轮比赛之后，教练员记录甲、乙、丙、丁四人的成绩如下表，若选取一个成绩高且较为稳定的选手进入下轮比赛，则胜出的是（ ）． 选手 甲 乙 丙 丁 成绩平均分/环 成绩方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数和方差的定义，比较四人的成绩即可得到答案． 【详解】解：对比四个人的成绩可知，乙和丁的平均分最高为分，同时丁的方差小于乙，说明丁的成绩更为稳定， ∴胜出的人是丁． 6. 已知在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，若以原点O为位似中心，相似比为2，将放大，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由以原点为位似中心的位似变换性质，需分位似图形与原图形在原点同侧和异侧两种情况求解对应点坐标． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换，若相似比为，则位似图形对应点的坐标为原坐标乘或． 已知点坐标为，本题相似比为． ∴当对应点与在原点同侧时，对应点坐标为，即． 当对应点与在原点异侧时，对应点坐标为，即． 因此点的对应点坐标为或． 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. 36 B. 9或 C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 根据一元二次方程根的判别式可知，求出解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故选：D． 8. 如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到，根据得到，即可得到的度数．关键是根据圆内接四边形的性质得到解答． 【详解】解：由圆内接四边形的性质可知：， ， ， ∵， ． 故选：C． 9. 跨学科化学 数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醚类化学式中，甲醚化学式为，乙醚化学式为，丙醚化学式为……当碳原子(C)的数目为（n为正整数）时，醚类的化学式可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了规律型中的数字的变化规律类，解题的关键是找出变化规律． 根据题意，找出各原子的个数规律即可． 【详解】解：由题意可知，醚类的化学式中，氧原子(O)的数目为1，且位于中间，左右两侧所含原子种类相同和数量相等，且氧原子每侧的氢原子(H)的数目比该侧的碳原子(C)数目的2倍多1，故当碳原子(C)的总数目为 (n为正整数)时，醚类的化学式可以表示为. 故选：D. 10. 5G无人物品派送车已应用于实际生活中，如图1所示为无人物品派送车．该车从出发点沿直线路径到达派送点，在派送点停留一段时间后匀速返回出发位置，其行驶路程s与所用时间t的关系如图2所示（不完整）．下列分析正确的是（ ） A. 派送车从出发点到派送点往返行驶的路程为3.2km B. 在5~9min内，派送车的速度逐渐增大 C. 在0~5min内，派送车的平均速度为0.12km/min D. 在9~12min内，派送车匀速行驶 【答案】C 【解析】 【分析】将图象信息与实际运行状态对应，注意图象拐点，结合行程公式处理； 【详解】解：A. 图象不完整，无法判断往返路程，本选项不合题意； B. 如图，无法得出结论，本选项不合题意； C. 截至第5分钟末，行驶路程为，平均速度；本选项符合题意； D. 在9~12min内，派送车处于停留阶段；本选项不合题意； 故选：C 【点睛】本题考查函数图象；理解图象信息，将图象信息与实际运行状态对应是解题的关键． 二、填空题（15分） 11. 因式分解：____． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 12. 一个不透明的口袋中有3种颜色的小球，其中红球个，黄球个，白球个（小球除颜色外，其它完全相同）．随机摸出一个小球，若摸出白球的概率为，则的的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率、一元一次方程的解法．首先根据随机摸出一个小球，摸出白球的概率为，可知白球占总数的，所以小球的总数可以表示为，也可以表示为，从而得到关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：随机摸出一个小球，摸出白球的概率为， 白球占总数的， 根据题意可得：， 解方程得：， 的值为． 故答案为： ． 13. 若是一元一次不等式组的一个解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组的解法：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解求解即可． 【详解】∵是一元一次不等式组的一个正数解， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图， ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴（负值已舍），则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故答案为：8． 15. 如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线的交点．若，．在旋转过程中，当线段最短时，的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识．证明，则，推出，由题意知，在以为圆心，1为半径的圆上运动，如图，当在下方且与相切时，线段最短，证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，则，根据，计算即可求解． 【详解】解：∵和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 由题意知，在以为圆心，1为半径的圆上运动，如图， ∵， ∴当在下方且与相切时，线段最短， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（75分） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和整式的四则运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别计算算术平方根、绝对值以及负整数指数幂，再进行加减运算即可； （2）原式根据完全平方公式和平方差公式去括号后再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 当前针对老年人的电信网络诈骗案件频发，老年人防范意识薄弱、辨别能力不足，易成为诈骗分子的重点目标．开展老年人防电诈知识竞赛，能有效普及防电诈知识，提升老年人自我保护能力，守护老年人的财产安全和晚年幸福，因此特举办本次甲、乙两个社区老年人防电诈知识竞赛．竞赛满分为10分，得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．下面是甲、乙两个社区参赛老年人的成绩统计表和成绩分布折线统计图： 甲、乙两个社区参赛老年人的成绩统计表 社区 平均数/分 中位数/分 合格率 优秀率 甲社区 a 6 乙社区 b （1）求出参赛老年人成绩统计表中a，b的值； （2）张爷爷说：“这次竞赛我得了7分，在我们社区里排名属于中游略上！”请你判断张爷爷是哪个社区的参赛老年人，并说明理由； （3）上面两个社区中，你认为哪个社区的竞赛成绩好一些？并说明你的依据． 【答案】（1）， （2）张爷爷是甲社区的参赛老年人，理由如下： ∵张爷爷得7分，高于甲社区成绩的中位数6分，低于乙社区成绩的中位数分， 又∵张爷爷的成绩在社区里排名属于中游略上， ∴可以判断张爷爷是甲社区的参赛老年人； （3） 乙社区的竞赛成绩好一些． 理由：乙社区成绩的平均数和中位数高于甲社区，故乙社区的竞赛成绩好一些．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】（1）根据加权平均数，中位数的定义求解即可； （2）与中位数比较，大于中位数，中位数所在小区就是所求； （3）利用平均数，中位数决策求解即可． 【小问1详解】 解：（分）； 将乙社区老年人的参赛成绩从小到大排列如下：5，5，6，7，7，8，8，8，9，9．排在第5位和第6位的数字分别是7，8， ∴（分）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，反比例函数的图象经过点和点，点在点的右侧，连接，以为边，在右上方作等边． （1）求反比例函数的解析式． （2）尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹）． （3）在（2）所作图形中，连接，．若的平分线过原点，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式的求法，尺规作图，角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，正确掌握基本作图的要领是解题的关键． （1）把点代入反比例函数中，求出k，即可得结果； （2）按照角平分线的画法画出射线即可； （3）由平分，过原点O得到，又是等边三角形得到，然后证明即可得到结论． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， ， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 如图所示，即为所求， 【小问3详解】 证明：平分，过原点O， ， 又是等边三角形， ， ， ， ． 19. 为打造花园式居住环境，某物业公司计划购进A、B两种花木对小区进行美化，已知B种花木比A种花木每棵贵20元，且购买2棵A种花木与3棵B种花木共需要210元． （1）求A、B两种花木的单价各是多少元？ （2）如果购进的这批花木共6000棵，A种花木至多购进4000棵，为了使购进的这批花木的费用最低，应购进A种花木和B种花木各多少棵？并求出最低费用． 【答案】（1）A，B两种花木的单价分别是30元和50元 （2）购进A种花木4000棵，B种花木2000棵，能使得购进这批花木的费用最低，为220000元 【解析】 【分析】（1）设A种花木每棵x元，B种花木每棵y元，依据题意可得，求解即可； （2）设购进A种花木t棵，这批花木的费用为w元，则．根据函数的性质求解即可； 【小问1详解】 解：设A种花木每棵x元，B种花木每棵y元， 依据题意可得， 解得． 答：A，B两种花木的单价分别是30元和50元． 【小问2详解】 解：设购进A种花木t棵，这批花木的费用为w元， 则． ∵， w随着t的增大而减小，， ∴当时，w最小． 此时，B种花木有（棵）， ． 答：购进A种花木4000棵，B种花木2000棵，能使得购进这批花木的费用最低，为220000元． 20. 乡村振兴，亮化先行．如图是某地一新型太阳能路灯的示意图，灯杆垂直于地面，是灯臂，灯杆与灯臂的夹角，D，E两点分别在地面和灯杆上，斜拉绳恰好与点C在同一条直线上，且米，米． （1）求的长； （2）已知该路灯的灯臂的长为2米，求灯臂的端点距离地面的高度．（结果精确到米，） 【答案】（1）6米 （2）灯臂的端点距离地面的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直定义可得， 然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）过点作， 交的延长线于点， 先利用平角定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长， 再分别在和中， 利用锐角三角函数的定义求出和的值，从而列出方程进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵米， 米， (米)， 【小问2详解】 解：过点作， 交的延长线于点， ∵， ∴， 在中， 米， (米) ， 在中，， 在中， ， ∵， ， 解得： (米)， ∴灯臂的端点距离地面的高度约为米． 21. 独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，以的边为直径作，交于点P，是的切线，且，垂足为点D． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）5． 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质． （1）连接，如图，先根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后利用可得到结论； （2）连接PB，如图，先利用勾股定理计算出，再根据圆周角定理得到，接着证，则利用相似比可计算出，然后利用得到，从而得到的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， 在中，∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∴的半径为5． 22. 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线、攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知，． 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为、水平距离s（水平距离水平速度时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表．守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … 9 12 15 18 21 … … 5 … （1）求h关于s的函数表达式． （2）若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． （3）求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 【答案】（1） （2）若守门员选择原地接球，不能防守成功， 理由如下： 在中，当时，， ∵， ∴若守门员选择原地接球，不能防守成功； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解表格中的数据求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）计算出当时h的值即可得到答案； （3）当守门员刚好接到球时，则，求出此高度下s的值，进而求出球运动的时间，进而求出守门员运动的最小路程，即可求出最小速度． 【小问1详解】 解：由表格中的数据可知当和当时，h的值相同， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴h关于s的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当守门员刚好接到球时，则， 把代入中得：， 解得， ∴此时球的飞行时间为， ∴守门员选择面对足球后退，能够防守成功，那么运动员在内肯定要到达能够刚好接球的位置，即守门员在内的路程要大于等于， ∴守门员的速度要大于等于， ∴守门员的最小速度为． 23. 综合与实践 【问题背景】小明同学是个善于思考、善于总结的孩子，他总能把一些相关联的数学现象放在一起进行对比分析，总结提炼，他将学过的角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的基础图形进行了汇总，如表： 角平分线定理 线段垂直平分线定理 垂径定理 切线长定理 ， ， ， ， 【归纳总结】 （1）小明发现这四个图中都有一个非常类似的四边形，经过查找资料，知道了它们都可叫作筝形．我们规定：如图，四边形中，若，，则称四边形为筝形． 他类比研究特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的方法，进一步得到了筝形的相关性质，请聪明的你也总结两条筝形的性质（可从边、角、对角线、对称性、面积等方面考虑，不用说理）： ①________；②________； 【知识迁移】 （2）李老师引导小明深入思考，如图1，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，得到正方形，两个正方形的边与CD交于点E，求证：四边形是筝形； （3）将（2）中的条件“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，如图2，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形的正确结论； 【拓展延伸】 （4）在图1中，连接AE，交于点O，请在图3上画出符合条件的图形，若正方形ABCD的边长为6，求CO的最小值． 【答案】（1）筝形的面积等于对角线乘积的一半，筝形是轴对称图形等； （2）证明：如图1，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的正方形， ，， ， ∴， ， ∴四边形是筝形； （3）解：四边形是筝形； 理由：如图2，连接， 由旋转知四边形和四边形为全等的菱形， ，， ， ， ， ， 四边形是筝形； （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，本题是新定义型，正确理解相对应的规定并熟练应用是解题的关键． （1）利用筝形的定义解答即可； （2）连接，利用正方形的性质得到，，利用全等三角形的判定与性质得到，依据筝形的定义解答即可； （3）连接，由旋转知，，得，，进而得，故可得结论； （4）利用筝形的性质和圆的有关性质得到点O在以为直径的半圆上运动，的中点M为该半圆的圆心，连接，结合图形得到当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为，利用正方形的性质和勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解：由筝形的定义可得：本题答案不唯一，只要正确即可，如：①筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线；②筝形的面积等于对角线乘积的一半；③筝形是轴对称图形等； 故答案为：筝形的面积等于对角线乘积的一半，筝形是轴对称图形等； （2）略 （3）略 （4）解：如图3， 由（2）知四边形是筝形， ，， 点A，E在线段的垂直平分线上， ， ， 点O在以为直径的半圆上运动， 取的中点M，则点M为该半圆的圆心，连接，， ， 当点M，O，C三点在一条直线上时，取得最小值，最小值为． ∵正方形的边长为6，， ，M为的中点， ，， 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $