精品解析：2026年河南省周口市项城市新华学校九年级中考模拟预测数学试题

河南省中考导向核心检测模拟试卷 数学（三） 注意事项：1．本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ）． A. B. C. D. 0 2. 伴随“互联网＋”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到450000000人，将数据450000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，连接，交于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 米斗是我国古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．如图（1）是一种无盖米斗，其示意图（不记厚度）如图（2）所示，则其俯视图为 （ ） A. B. C. D. 5. 若不等式的解集为，则以下数轴表示中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 小明购买了四张背面一样的“二十四节气”主题卡片，分别是“立秋、秋分、寒露、霜降”，把卡片背面朝上洗匀后，从中随机同时抽取两张卡片，恰好抽到“秋分、寒露”这两个节气的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖CD的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，测得直径为，，则提梁的长为（ ） A. B. C. D. 10. 化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下面四种说法：①加入絮凝剂的体积越大，净水率越高；②未加入絮凝剂时，净水率为0；③絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等；④加入絮凝剂的体积是时，净水率达到．错误的说法有几种（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 11. 单项式的次数是_____． 12. 某校组织“纪念五四运动，争做时代青年”才艺汇演，参赛选手比赛成绩由专评组、大众组、亲友团三类评分，并按计算成绩，某班舞蹈表演三类分别得分为96、95、100，该班舞蹈表演最终成绩是______． 13. 设，是方程的两个实数根．若，则_____． 14. 如图，四边形为菱形，在延长线上，连接，过作，垂足为，连接，已知，若，，则的长为______． 15. 如图，在一个边长为的等边三角形中，，分别为边，上的两个动点，，连接交于点，则 （1）___________°； （2）连接，的最小值为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某校为了了解学生做家务的情况，对七、八年级学生进行了劳动能力测试，并从七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩进行整理分析（测试成绩用表示，：；：；：；：；其中等级为优秀），下面给出了部分信息： 抽取的七年级学生的成绩在组的全部数据：； 抽取的八年级学生的成绩在两组的全部数据：． 七、八年级学生劳动能力测评成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为从七、八年级的劳动能力测评成绩来看，哪个年级学生的劳动能力更强？请说明理由． 18. 如图，在中，，，反比例函数的图象经过点． （1）的长为_____； （2）若点的坐标为，轴，求的值． 19. 如图1，是南昌之星摩天轮，它是南昌市标志性建筑．某校数学兴趣小组把“如何测量南昌之星摩天轮的高度”作为一项课题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间实地测量． 课题 如何测量南昌之星摩天轮的高度 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 如图2，在点处放置高为的测角仪，此时测得南昌之星摩天轮顶端的仰角为，再沿方向走到达点处，此时测得南昌之星摩天轮顶端的仰角为． 说明：点A，B，C，D，E，F，在同一平面内，点A，C，E在同一水平线上． （1）的度数为_____； （2）请你根据表中信息帮助该数学兴趣小组求南昌之星摩天轮的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 20. 如图，，，在上，连结，，求作的中点． 下面是甲同学的作法： 以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧交于点，射线交于点，即为所求． （1）请根据甲同学的作法，在图中画出点，并判断该作法是否正确，说明理由． （2）请尝试用其他方法，在图中画出点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 21. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 22. 2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系，如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足二次函数关系． 在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下表： 水平距离 3 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 （1）根据表中数据，直接写出的值为__________，跳水的最大高度为__________． （2）求满足的二次函数关系式； （3）在（1）（2）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足二次函数关系：，记比赛当天入水点的水平距离为，判断与的大小关系，并说明理由． 23. 综合与实践 如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，且点D与的中点M重合，． 观察发现 （1）①的长为______； ②如图1，设与的交点为F，则的长为______． 类比迁移 （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，连接． ①当旋转角为60°时，求的长； ②当时，请直接写出以为边的正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省中考导向核心检测模拟试卷 数学（三） 注意事项：1．本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1. 如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ）． A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴．由题意得，手掌遮住的数大于且小于0，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，手掌遮挡住的数大于且小于0， ∴四个选项中只有C选项中的数符合题意， 故选：C． 2. 伴随“互联网＋”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到450000000人，将数据450000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：将数据450000000用科学记数法表示为． 故选：C． 3. 如图，已知，连接，交于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据平行线的性质求角度，根据平行线的性质，求出的度数，，得到，利用角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 4. 米斗是我国古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．如图（1）是一种无盖米斗，其示意图（不记厚度）如图（2）所示，则其俯视图为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体三视图，正确识别几何体的三视图是解题的关键. 根据米斗的示意图，即可得到米斗的俯视图. 【详解】解：米斗的示意图如图2所示， 米斗的俯视图为 故选：B. 5. 若不等式的解集为，则以下数轴表示中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”．用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．据此求解即可． 【详解】解：在数轴上表示如下： 故选：D． 6. 如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点．若，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形和等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．根据矩形的性质及平分分别判定及为等边三角形，然后求得，则可在中求得的度数． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵平分， ， ， ∴， ． ， ，又， 为等边三角形， ， ∴， ∵， ∴， ． 故选：D． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查指数运算及合并同类项法则．通过指数运算和合并同类项的法则，逐一验证各选项的正确性． 【分析】解：对于A：∵ ， ∴ A错误． 对于B：∵ ， ∴ B正确． 对于C：∵ ， ∴ C错误． 对于D：∵ ， ∴ D错误， ∴ 故选：B． 8. 小明购买了四张背面一样的“二十四节气”主题卡片，分别是“立秋、秋分、寒露、霜降”，把卡片背面朝上洗匀后，从中随机同时抽取两张卡片，恰好抽到“秋分、寒露”这两个节气的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：将四张卡片“立秋、秋分、寒露、霜降”分别记为，则可画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好抽到“秋分、寒露”这两个节气的结果数有2种， ∴恰好抽到“秋分、寒露”这两个节气的概率是． 故选：D． 9. 如图是一款带有提梁的茶壶，提梁与壶盖CD的平面图可近似看作半圆，为了防止烫伤和保护提梁，常在提梁上缠绕一层隔热布，已知隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，测得直径为，，则提梁的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查弧长的计算，根据题意得出，再由弧长公式计算即可． 【详解】解：∵隔热布两端点A与点B关于直线L对称，直线于点O，O为中点，直径为，， ∴， ∴的长为：， 故选：D． 10. 化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下面四种说法：①加入絮凝剂的体积越大，净水率越高；②未加入絮凝剂时，净水率为0；③絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等；④加入絮凝剂的体积是时，净水率达到．错误的说法有几种（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查从折线统计图中提取、分析数据的能力，从函数的图象获取信息的能力，同时结合“变量关系（絮凝剂体积与净水率）”的实际应用，精准读取数据：注意横轴（体积）和纵轴（净水率）的对应数值，进行分析和判断即可． 【详解】解：①从图像能看到，絮凝剂体积超过后，净水率开始下降，因此加入絮凝剂的体积越大，净水率越高，该说法错误； ②未加入絮凝剂时，净水率为，非0，因此该说法错误。 ③从图像可知，絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量不相等，因此该说法错误。 ④从图像可知，加入絮凝剂的体积是时，净水率达到，此说法正确， ∴错误的说法是①②③，有3种， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 11. 单项式的次数是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查单项式的次数，熟练掌握单项式的次数是解题的关键；因此此题可根据“单项式的次数是所有字母指数的和”进行求解即可． 【详解】解：单项式的次数是6； 故答案为：6． 12. 某校组织“纪念五四运动，争做时代青年”才艺汇演，参赛选手比赛成绩由专评组、大众组、亲友团三类评分，并按计算成绩，某班舞蹈表演三类分别得分为96、95、100，该班舞蹈表演最终成绩是______． 【答案】96 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数．根据加权平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：该班舞蹈表演最终成绩是（分） 故答案为：96． 13. 设，是方程的两个实数根．若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，根据两根之和求另一根． 【详解】解：方程 中，，， 由根与系数的关系，得两根之和 ． 已知 ，代入得 ， 解得 ． 故答案为． 14. 如图，四边形为菱形，在延长线上，连接，过作，垂足为，连接，已知，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，过点作于点，设，由四边形是菱形，且，所以， ，证明和全等得，则，再证明，得，进而得，则，然后证明和相似，得，即，由此解出，继而即可得出的长． 【详解】解：连接交于点，过点作于点，如图所示， ∴， ∵四边形是菱形，且， ∴， ， 设， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∵垂足为， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 即的长为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解菱形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键 15. 如图，在一个边长为的等边三角形中，，分别为边，上的两个动点，，连接交于点，则 （1）___________°； （2）连接，的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，等边三角形的性质等等，求出是解题的关键． （1）可证明得到，则可证明，据此可得答案； （2）作的外接圆，设圆心为O，在优弧上取一点H，连接，可证明，则，进而得到；证明，得到，解直角三角形得到；根据，可得当点F在线段上时，有最小值，最小值为． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，作的外接圆，设圆心为O，在优弧上取一点H，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，连接交于N，连接， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴当点F在线段上时，有最小值，最小值为， 故答案为：1． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂，负整数指数幂，分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算立方根，零指数幂，负整数指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算减法即可得到答案； （2）先把除法变成乘法后约分化简，再计算减法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某校为了了解学生做家务的情况，对七、八年级学生进行了劳动能力测试，并从七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩进行整理分析（测试成绩用表示，：；：；：；：；其中等级为优秀），下面给出了部分信息： 抽取的七年级学生的成绩在组的全部数据：； 抽取的八年级学生的成绩在两组的全部数据：． 七、八年级学生劳动能力测评成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为从七、八年级的劳动能力测评成绩来看，哪个年级学生的劳动能力更强？请说明理由． 【答案】（1），， （2）解：八年级学生的劳动能力更强，理由如下：七年级和八年级测评成绩的平均数相同，但是八年级学生测评成绩的中位数和众数都高于七年级，故八年级学生的劳动能力更强． 【解析】 【分析】（）根据中位数和众数的定义及扇形统计图解答即可求解； （）根据平均数、中位数和众数的意义即可判断求解． 【小问1详解】 解：∵七年级抽取了名学生的测试成绩， ∴七年级学生测试成绩由低到高排列，中位数为第名学生的测试成绩， 由条形统计图可知，七年级第名学生测试成绩在组，是组数据由小到大排序的第个， ∵组数据由小到大排序为， ∴中位数， 由题意可得，抽取的八年级学生成绩在、组的共有人， ∴八年级组和组学生人数所占百分比为 ， ∴八年级组学生人数所占百分比为 ，即， ∴八年级组学生人数为 人，组学生人数为人， 又由抽取的八年级学生成绩在、组的全部数据可知：成绩为分的有人，是两组中出现次数最多的，且大于两组人数， ∴八年级学生测试成绩的众数， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，，，反比例函数的图象经过点． （1）的长为_____； （2）若点的坐标为，轴，求的值． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形． （1）过点B作于点H，易得是等腰三角形，推出，解直角三角形求出，即可解答； （2）延长，交轴于点，根据轴，解直角三角形求出，进而求出，在中，利用勾股定理求出，得到点的坐标为，即，求出点的坐标为，即可求解． 【小问1详解】 解：过点B作于点H， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长，交轴于点． 轴， ，即． ，， ， ， ， 在中，， 点的坐标为，即， ， 点的坐标为， ． 19. 如图1，是南昌之星摩天轮，它是南昌市标志性建筑．某校数学兴趣小组把“如何测量南昌之星摩天轮的高度”作为一项课题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间实地测量． 课题 如何测量南昌之星摩天轮的高度 测量工具 测角仪，皮尺等 测量方案 如图2，在点处放置高为的测角仪，此时测得南昌之星摩天轮顶端的仰角为，再沿方向走到达点处，此时测得南昌之星摩天轮顶端的仰角为． 说明：点A，B，C，D，E，F，在同一平面内，点A，C，E在同一水平线上． （1）的度数为_____； （2）请你根据表中信息帮助该数学兴趣小组求南昌之星摩天轮的高度．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，三角形外角性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质进行列式计算，即可作答． （2）先证明四边形，是矩形，得，，证明是等腰直角三角形．则把数值代入，得．即，解得的值，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， 则， ∴， ∴四边形是矩形， 同理得四边形是矩形， ∴，， ∵，， 是等腰直角三角形． 设， ， 在中，，， ． ， 即， 解得， ， ， 南昌之星摩天轮的高度约为． 20. 如图，，，在上，连结，，求作的中点． 下面是甲同学的作法： 以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧交于点，射线交于点，即为所求． （1）请根据甲同学的作法，在图中画出点，并判断该作法是否正确，说明理由． （2）请尝试用其他方法，在图中画出点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）正确，见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用尺规作图作的平分线交于点，根据圆周角定理可知点即为的中点． 作线段的垂直平分线，交弧于点，则点即为所求． 【小问1详解】 如图所示，点即为所求． 正确， 理由：由作图知，平分， ， ； 【小问2详解】 如图，连接，作线段的垂直平分线，交弧于点， 则点即为所求． 21. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 【答案】任务一：每个篮球元，每个排球元；任务二：购买篮球个，排球个，最节省费用． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 任务一：设每个篮球元，每个排球元，根据题意得，然后解方程组即可； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，费用为元，根据题意得，求出的取值范围，由，可得随的增大而增大，则当时，有最小值，从而求解． 【详解】解：任务一：设每个篮球元，每个排球元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个篮球元，每个排球元； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，总的费用为元， 根据题意得：， ∴且a为整数， ∴， ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，为元，此时， 答：购买篮球个，排球个，最节省费用． 22. 2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系，如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足二次函数关系． 在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下表： 水平距离 3 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 （1）根据表中数据，直接写出的值为__________，跳水的最大高度为__________． （2）求满足的二次函数关系式； （3）在（1）（2）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足二次函数关系：，记比赛当天入水点的水平距离为，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3），见解析 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）根据表格中数据先求出对称轴，然后设出顶点式，再由待定系数法求解函数解析式，即可求解，以及跳水的最大高度； （2）根据（1）中待定系数法即可得到答案； （3）分别求出两个解析式当时，x的值，进行比较即可． 【小问1详解】 解：根据表格得：函数图象过点， ∴抛物线对称轴为， ∴设抛物线表达式为：， ∴， 解得：， ∴； 当时，则， 解得， ∵抛物线开口向下， ∴跳水的最大高度为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）即可得到二次函数关系式为； 【小问3详解】 解：对于， 当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴米， 对于， 当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴． 23. 综合与实践 如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，且点D与的中点M重合，． 观察发现 （1）①的长为______； ②如图1，设与的交点为F，则的长为______． 类比迁移 （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，连接． ①当旋转角为60°时，求的长； ②当时，请直接写出以为边的正方形的面积． 【答案】（1）①4；②2 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定，得出，根据对应边相等得出结论；②根据等腰直角三角形三线合一性质得出点F是的中点，利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求出的长； （2）①根据旋转性质、等边三角形的判定和性质，以及外角的性质、锐角三角函数解直角三角形求出的长；②当时，分为两种情况，根据平行性质和锐角三角函数解直角三角形、勾股定理求出以为边的正方形的面积． 【小问1详解】 ①解：连接， ∵是等腰直角三角形，，点M是的中点， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，即， ∴， 在和中，，∴， ∴， ∵， ∴； ②解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴是等腰直角三角形顶角平分线， 又∵是等腰直角三角形， ∴是底边的中线， 即， ∴； 【小问2详解】 ①解：连接， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∵旋转， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，即， ∴； ②解：第一种情况：过点D作，垂足为点H， ∵和是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴点D在线段上， 由（2）①知，，， ∵，， ∴在中，，即， ∴； ，即， ∴； ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， ． 第二种情况：过点D作，交延长线于点H， ∵和是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴点D在射线上， 由（2）①知，，， ∵，， ∴在中，，即， ∴； ，即， ∴； ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质和判定、旋转的性质、全等三角形的性质和判定、特殊角的锐角三角函数解直角三角形、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质，解题关键是熟练掌握特殊三角形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $