精品解析：2026年湖南省益阳市沅江市两校联考二模数学试题

2025-2026学年下学期第二次中考模拟检测试卷 数 学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 一、选择题（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 在实数，3，0，0.5中，最小的数是( ) A. B. 3 C. 0 D. 0.5 2. 月球与地球之间的平均距离约为38.4万公里，384000用科学记数法表示为（       ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，计算正确的是（　　） A. 6a﹣2b＝4ab B. （a2）3＝a5 C. a8÷a4＝a2 D. a2•a＝a3 4. 下列几何体的三视图都相同的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A（-2，1）的对应点为A′（3，-1），点B的对应点为B′（4，0），则点B的坐标为（ ） A. （9，-2） B. （-1，2） C. （3，-1） D. （-3，-1） 6. 一个不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、4个黑球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意为：孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．设孩童有x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，内接于，．若 ，则弧的长为（ ） A. π B. C. D. 9. 请根据学习函数的经验，自主尝试探究表达式为的函数图象与性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象与轴的交点是 B. 图象与轴有一个交点 C. 随的增大而减小 D. 当时， 10. 已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（　　） A. 5 B. 5 C. 5 D. 不能确定 二、填空题（本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项） 11. 分解因式：_________． 12. 若，则______． 13. 一个八边形的所有内角都相等，它的每一个外角等于_____度． 14. 将直线向上平移3个单位长度，所得直线的函数表达式是__________________． 15. 如图，街道与平行，其中一个拐角，则另一个拐角的度数为_______． 16. 如图，在中，，点E，F分别在，上，将沿折叠后，正好点C落在的M处．若，则的度数为______． 17. 中，O是两内角平分线的交点，，O到的距离是______． 18. 如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是_______ 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简， 再求值：，其中． 21. 某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．根据以上的信息，回答下列问题： （1）被调查学生的总数为__________人，统计表中m的值为__________统计图中n的值为__________； （2）在统计图中，E类所对应扇形的圆心角的度数为__________； （3）喜爱体育电视节目的学生中有4人甲、乙、丙、丁在学校参加体育训练，现要从4个人中选拔两人参加市运动会，求出甲丙同时被选中的概率是多少？ 类别 A B C D E 节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 24 60 m 108 18 22. 西安曲江池遗址公园的阅江楼，是彰显唐文化的仿古建筑，楼阁错落有致、飞檐映水，承载着西安的盛唐底蕴．某数学活动小组开展测量阅江楼高度的活动，记录如下． 活动主题 测量阅江楼的高度 测量工具 皮尺、自制直角三角纸板、平面镜等 测量过程 1．小明手持自制直角三角纸板（，使长直角边与水平地面平行），调整自己站的位置，当在D处时其眼睛在C处看到C，F及阅江楼顶端A在一条直线上； 2．小华在B，D之间平放一块平面镜，通过调整平面镜的位置，当平面镜在点G处，小明在D处恰好能从平面镜中看到阅江楼顶端A的像 测量示意图 测量说明 ，，，均与水平地面垂直，图中所有的点都在同一平面内，点B，D，G在同一水平线上，忽略平面镜的厚度及大小 测量结果 米，米，米，米 请你根据活动报告中的信息，计算阅江楼的高度． 23. 如图，菱形ABCD的对角线交于点O，DF∥AC，CF∥BD． （1）求证：四边形OCFD是矩形；（2）若AD＝5，BD＝8，计算tan∠DCF的值． 24. “绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备，已知3台A型设备和2台B型设备日处理能力一共为54吨；5台A型设备和1台B型设备日处理能力一共为62吨． （1）求1台A型设备、1台B型设备日处理能力各多少吨？ （2）若购买A、B两种型号的垃圾处理设备共20台（A、B两种型号均购买），并且它们的日处理能力不低于235吨．请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案； （3）已知每台A型设备价格为5万元，每台B型设备价格为7万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于137万元时，则按9.5折优惠；问：采用（2）中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由． 25. 数学兴趣小组的同学在学习正方形时，将图形折叠到一些特殊的位置．如图①，正方形的边长为，是边上的一点，连接，将沿折叠至． （1）如图②，当点的对应点恰好落在对角线上时，________； （2）在（1）的条件下，求的长； （3）如图③，当时，与对角线交于点，求的长． 26. 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+4交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（6，7）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F，作PM⊥CD于点M． （1）求抛物线的解析式及sin∠PFM的值． （2）设点P的横坐标为m： ①若P在CD上方，用含m的代数式表示线段PM的长，并求出线段PM长的最大值； ②当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期第二次中考模拟检测试卷 数 学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 一、选择题（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 在实数，3，0，0.5中，最小的数是( ) A. B. 3 C. 0 D. 0.5 【答案】A 【解析】 【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】根据题意可得：＜0＜0.5＜3， 所以最小的数是， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 2. 月球与地球之间的平均距离约为38.4万公里，384000用科学记数法表示为（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法表示较大的数的一般形式为，其中，为整数，确定与的值即可解题． 【详解】∵ 科学记数法要求满足，需要将384000转化为符合要求的形式， ∴ 把384000的小数点向左移动5位，得到，可得． 故选：B． 3. 下列各式中，计算正确的是（　　） A. 6a﹣2b＝4ab B. （a2）3＝a5 C. a8÷a4＝a2 D. a2•a＝a3 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可． 【详解】解：A.6a与﹣2b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B．(a2)3＝a6，故本选项不合题意； C．a8÷a4＝a4，故本选项不合题意； D. a2•a＝a3，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 4. 下列几何体的三视图都相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图等知识，逐项判断出各几何体的三视图即可求解． 【详解】解：A. 圆台的主视图、左视图是等腰梯形，俯视图是两个同心圆，故不合题意； B. 圆柱的主视图、左视图都是矩形，俯视图是一个圆，不合题意； C. 圆锥的主视图、主视图都是等腰三角形，俯视图是一个圆，不合题意； D. 球体的三视图都是圆，符合题意． 故选：D 5. 在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A（-2，1）的对应点为A′（3，-1），点B的对应点为B′（4，0），则点B的坐标为（ ） A. （9，-2） B. （-1，2） C. （3，-1） D. （-3，-1） 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【详解】解：∵点A（-2，1）的对应点为A′（3，-1）， ∴A点向右移动5个单位长度，向下移动2个单位长度，得到点， ∴点向左移动5个单位长度，向上移动2个单位长度，得到点B， 即：4-5=-1，0+2=2， ∴点B的坐标为（-1，2）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了图形的平移变换，熟记坐标系中的正负方向是解题的重点． 6. 一个不透明袋子中装有7个球，其中有2个红球、4个黑球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据袋子装有7个球，其中有2个红球，再根据概率公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：袋子装有7个球，其中有2个红球， 从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了根据概率公式计算概率，熟练掌握概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 7. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意为：孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．设孩童有x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意，找到等量关系是解题关键． 根据梨的总数不变列方程即可． 【详解】解：由题意可列方程． 故选：D． 8. 如图，内接于，．若 ，则弧的长为（ ） A. π B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，求弧长，勾股定理，三角形内角和定理，由三角形内角和定理求出，则由圆周角定理得到，再利用勾股定理求出的长，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧的长为， 故选：A． 9. 请根据学习函数的经验，自主尝试探究表达式为的函数图象与性质，下列说法正确的是（ ） A. 图象与轴的交点是 B. 图象与轴有一个交点 C. 随的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与平移，利用反比例函数图象性质逐项判断解题即可． 【详解】解：函数的图象是函数向右平移个单位得到， A、 当时，，则图象与轴的交点是，原说法错误； B、令，方程无解，故图象与轴无交点，原说法错误； C、 在每个分支上，随的增大而减小，原说法错误； D、 当时，，说法正确； 故选：D． 10. 已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（　　） A. 5 B. 5 C. 5 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP＝QN＝BC，即可得出答案． 【详解】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，则P是AC中点， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠QBP＝∠MBP，AB=BC， 即Q在AB上， ∵M为BC中点， ∴Q为AB中点， ∵MQ⊥BD， ∴， ∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形， ∴，BQ＝CN， ∴四边形BQNC是平行四边形， ∴， ∴， 而点Q是AB的中点， 故PQ是△ABD的中位线，即点P是BD的中点， 同理可得，PM是△ABC的中位线， 故点P是AC的中点， 即点P是菱形ABCD对角线的交点， ∵四边形ABCD是菱形， 则△BPC为直角三角形， ∴CP＝ AC＝3，BP＝ BD＝4， 在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC＝5， 即NQ＝5， ∴MP+NP＝QP+NP＝QN＝5， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置． 二、填空题（本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项） 11. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【详解】此题考查因式分解知识点，考查提取公因式法、公式法的因式分解的方法；首先看是否有公因式，如果有先提取公因式，然后利用公式法进行分解，要分解到不能再分解为止； 解：原式=； 12. 若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂和负整数指数幂、同底数幂的乘法等知识． 根据指数运算规则，同底数幂相乘，指数相加进行计算，比较后即可得到答案.． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：1． 13. 一个八边形的所有内角都相等，它的每一个外角等于_____度． 【答案】45 【解析】 【分析】根据多边形的外角和是360度，再用360°除以边数可得外角度数． 【详解】外角的度数是：360°÷8=45°， 故答案为45. 【点睛】本题考查的是多边形，熟练掌握多边形外角的特点是解题的关键. 14. 将直线向上平移3个单位长度，所得直线的函数表达式是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移法则上加下减可得出平移后的解析式． 【详解】解：将直线向上平移3个单位长度，所得直线的函数表达式是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 15. 如图，街道与平行，其中一个拐角，则另一个拐角的度数为_______． 【答案】##150度 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得答案． 【详解】解：∵街道与平行，即， ∴． 16. 如图，在中，，点E，F分别在，上，将沿折叠后，正好点C落在的M处．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由平行四边形得到，，折叠得到，由三角形的外角性质求出，再由平角的意义即可求解． 【详解】解：如图， ∵平行四边形， ∴， ∴， 折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 中，O是两内角平分线的交点，，O到的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、角平分线的性质，连接，过点O作于D，于E，于F，根据勾股定理的逆定理得到，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于D，于E，于F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵O是两内角平分线的交点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 则O到的距离是2， 故答案为：2． 18. 如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是_______ 【答案】 【解析】 【分析】将一次函数与反比例函数解析式联立，求出点A，B坐标，根据求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，得到矩形， 联立，得：， 联立，得：， ，， ，， ， ， 点，在函数图象上， ， ． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据负整数指数幂，非零数的零次幂等于1，特殊角三角函数值，绝对值的意义，化简求值即可； 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查实数的运算，涉及到负整数指数幂运算、零指数幂运算、特殊角的三角函数和去绝对值运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 20. 先化简， 再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．根据以上的信息，回答下列问题： （1）被调查学生的总数为__________人，统计表中m的值为__________统计图中n的值为__________； （2）在统计图中，E类所对应扇形的圆心角的度数为__________； （3）喜爱体育电视节目的学生中有4人甲、乙、丙、丁在学校参加体育训练，现要从4个人中选拔两人参加市运动会，求出甲丙同时被选中的概率是多少？ 类别 A B C D E 节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 24 60 m 108 18 【答案】（1）300，90，36；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）用类别人数除以其所占的百分比可得被调查的总人数，即可顺便解决另两空； （2）用乘以类别人数占总数的比例； （3）画树状图，共有12种结果，满足条件的有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）被抽查的学生总人数为：（人） 故答案是：， 统计表中m的值为：， 故答案是：90， 统计图中n的值为：， 解得：， 故答案是：36； （2）E类所对应扇形的圆心角的度数为：， 故答案是：； （3）画树状图如下： 可得共有12种等可能的情况，其中甲丙被同时选上的有2种可能，甲丙被同时选中的概率是． 【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率及统计表和扇形统计图，解题的关键是：用树状图列出所有可能的结果，再利用概率公式求解． 22. 西安曲江池遗址公园的阅江楼，是彰显唐文化的仿古建筑，楼阁错落有致、飞檐映水，承载着西安的盛唐底蕴．某数学活动小组开展测量阅江楼高度的活动，记录如下． 活动主题 测量阅江楼的高度 测量工具 皮尺、自制直角三角纸板、平面镜等 测量过程 1．小明手持自制直角三角纸板（，使长直角边与水平地面平行），调整自己站的位置，当在D处时其眼睛在C处看到C，F及阅江楼顶端A在一条直线上； 2．小华在B，D之间平放一块平面镜，通过调整平面镜的位置，当平面镜在点G处，小明在D处恰好能从平面镜中看到阅江楼顶端A的像 测量示意图 测量说明 ，，，均与水平地面垂直，图中所有的点都在同一平面内，点B，D，G在同一水平线上，忽略平面镜的厚度及大小 测量结果 米，米，米，米 请你根据活动报告中的信息，计算阅江楼的高度． 【答案】阅江楼的高度为米 【解析】 【分析】过点作，得到矩形，由，则进而得到，即，根据镜面反射的等角性质，证得，结合建立方程，解得． 【详解】解：过点作于，如下图： ，，， 四边形是矩形， 又∵，， ∴点E在上， ，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 由题意得，， 又， ， 解得， ，，， ∴ ∴ 解得， 答：阅江楼的高度为米． 23. 如图，菱形ABCD的对角线交于点O，DF∥AC，CF∥BD． （1）求证：四边形OCFD是矩形；（2）若AD＝5，BD＝8，计算tan∠DCF的值． 【答案】（1）见解析；（2）tan∠DCF＝． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得到四边形OCFD是平行四边形，根据菱形的性质得到∠DOC＝90°，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到AD＝CD，得到CD＝5，OD＝OB＝BD，求得OD＝4，根据矩形的性质得到OD＝CF，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵DF∥AC，CF∥BD， ∴四边形OCFD是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠DOC＝90°， ∴平行四边形OCFD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD， ∵AD＝5， ∴CD＝5， ∵菱形ABCD两条对角线交于O， ∴OD＝OB＝BD， ∴OD＝4， ∵四边形OCFD是矩形， ∴OD＝CF， ∴在Rt△CFD中，CF2+DF2＝CD2， ∴DF＝3， ∴tan∠DCF＝＝． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键． 24. “绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备，已知3台A型设备和2台B型设备日处理能力一共为54吨；5台A型设备和1台B型设备日处理能力一共为62吨． （1）求1台A型设备、1台B型设备日处理能力各多少吨？ （2）若购买A、B两种型号的垃圾处理设备共20台（A、B两种型号均购买），并且它们的日处理能力不低于235吨．请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案； （3）已知每台A型设备价格为5万元，每台B型设备价格为7万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于137万元时，则按9.5折优惠；问：采用（2）中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由． 【答案】（1）A设备处理能力为一天10吨，B设备一天12吨； （2）方案①买A设备1台，B设备19台；方案②买A设备2台，B设备18台； （3）方案①最省钱． 【解析】 【分析】（1）设1台A设备日处理能力为x吨，1台B设备日处理能力为y吨，根据题意列出方程组，解之即可； （2）设购买A设备m台，根据日处理能力不低于235吨，列出不等式，求出整数解，从而可得方案； （3）分别计算出三种方案对应的费用，再比较即可． 【小问1详解】 解：设1台A设备日处理能力为x吨，1台B设备日处理能力为y吨， 由题意可得：， 解得：， ∴A设备处理能力为一天10吨，B设备一天12吨； 【小问2详解】 解：设购买A设备m台，则B设备台， ∴， 解得：， ∵m为正数， ∴或2，则一共有2种方案： 方案①买A设备1台，B设备19台； 方案②买A设备2台，B设备18台； 【小问3详解】 解：方案①：， 则实际付款：（万元）； 方案②：， 则实际付款136万元； ， ∴方案①最省钱． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系和不等关系，列出方程组和不等式． 25. 数学兴趣小组的同学在学习正方形时，将图形折叠到一些特殊的位置．如图①，正方形的边长为，是边上的一点，连接，将沿折叠至． （1）如图②，当点的对应点恰好落在对角线上时，________； （2）在（1）的条件下，求的长； （3）如图③，当时，与对角线交于点，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得到，，根据折叠的性质得，求出，即可得到答案； （2）由正方形的性质和折叠的性质得到，求出，得到，即可得到 （3）延长，交的延长线于点，设，由正方形的性质和折叠的性质得到，继而得到，求出，得到，证明，得到，由求出． 【小问1详解】 解：正方形， ，， 根据折叠的性质得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，由折叠的性质，得，， 正方形的边长为6， ，，， ，， ， ， ； 【小问3详解】 （3）如图，延长，交的延长线于点， 设， 在正方形中，，， ， 由折叠的性质，得， ， ， ， ， 过点作于点， ，， 在中，， ， 解得， ， ， ， 又， ， ， 由（2）知，， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 26. 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+4交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（6，7）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F，作PM⊥CD于点M． （1）求抛物线的解析式及sin∠PFM的值． （2）设点P的横坐标为m： ①若P在CD上方，用含m的代数式表示线段PM的长，并求出线段PM长的最大值； ②当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由． 【答案】（1）， （2）①，；②当m为或 时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）易求C点的坐标，再把C和D点的坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c可求出b和c的值，则抛物线的解析式可求出；可求得，即可求得其值； （2）①设点P的横坐标为m，则P，F（m，m+4），可求得PF＝yP﹣yF＝﹣m2+6m，进而根据二次函数的性质即可求出线段PM长的最大值； ②若以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，只要PF＝OC＝4，构建方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：C在直线y＝x+4上， ∴C（0，4）． ∵点C（0，4）、D（6，7）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． ∵直线CD的解析式为y＝x+4， 直线CD是由直线y=x向上平移4个单位得到的， 又∵直线y=x与y轴的夹角为45°，直线轴， ∴∠PFM＝45°， ∴sin∠PFM＝sin45° 【小问2详解】 ①设点P的横坐标为m，则P，F（m，m+4）． ∵， 在Rt△PFM中， ， ∵0， ∴当m时，PM的最大值为． ∴，PM的最大值为． ②∵， ∴若以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，只要PF＝OC＝4， 由题意：或， 解得或或（舍弃） ∴当m为或时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题是二次函数综合题型，考查了一次函数的应用、平行四边形的性质、锐角三角函数、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用方程的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $