精品解析：2026年湖南省长沙市华益中学二模数学试题

2026年九年级中考全真模拟测试二 数学 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中最适合采用全面调查的是（ ） A. 某批次汽车的抗撞击能力 B. 某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数 C. 某班名同学的身高情况 D. 全国中学生视力和用眼卫生情况 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，直线与，分别相交于点，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 每年的4月24日是“中国航天日”，学校组织了一场“未来航天工程师”青创赛．本次青创赛共有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，已知本次青创赛一共进行了240次评审，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A. 3 B. C. D. 1 10. 如图，中，、交于点O，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点E，交于点F，连接，若，的周长为14，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：________． 12. 分式方程的解是_________． 13. 小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是_____； 14. 如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________． 15. 已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 16. 如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）． 两人先同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果进行移动（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头；若手势相同，则结果为平局），移动规则如下： ①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度； ②若乙赢，则甲将黑棋向左移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动2个单位长度； ③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度； 前四局的部分情况如下表： 局次 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 剪刀 剪刀 布 布 乙的手势 剪刀 布 石头 若第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是5，此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题等小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O、C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 20. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 m 7 乙 n 8 7 （1）表格中的__________，__________，__________（填“”“”或“”）； （2）补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角的度数__________； （3）如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用直接列举法或树状图法求两家种植户选择同一快递公司的概率． 21. 如图，在中，．垂足为D，，延长至E，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 22. “中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，新能源汽车的销量稳步提升．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． （1）求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）该公司计划用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号均购买），请你帮助该公司设计购买方案． 23. 已知：如图，在正方形的外部有两个点、均在直线上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，且的面积为12，求正方形的周长． 24. 我校的育人目标是培养品德高尚、乐学普思、自信全面、勇于创新的华益学子，相信历经三年华益的学习生活，你已成为一名优秀的“益美少年”．在数学上，我们约定：对于二次函数（其中a、b、c为常数，且，），我们把一次函数叫作该二次函数的“益美函数”．例如：二次函数的“益美函数”为：． （1）若一次函数是二次函数的“益美函数”，则__________，__________． （2）已知二次函数的“益美函数”经过二次函数图象的顶点，请判断此时二次函数图象与x轴交点的个数，并说明理由； （3）已知．二次函数的顶点为A，与x轴交于B、C两点，过点A作y轴的平行线交该二次函数的“益美函数”于点D，求四边形面积的最小值，并写出此时一次函数的解析式． 25. 如图，矩形中，点是延长线上一动点，点，分别是，的中点，与相交于点． （1）①如图1，若，，，__________； ②证明：； （2）以H为圆心，为半径画圆． ①如图2，当经过点时，四边形是正方形，求此时的值； ②如图3，若与、分别相切于点、，已知的半径为，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级中考全真模拟测试二 数学 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，读懂题意，按照科学记数法的表示原则得到即可确定答案，表示时关键要正确确定的值以及的值．注意，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：， 故选：C． 2. 由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：左视图：由左向右观察物体得到的视图，对于该几何体，左视图从左到右有两列，第1列为1个小正方形，第2列为2个小正方形，C选项符合． 3. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质． 根据不等式的基本性质，对选项进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴选项、、不符合题意， ∵， ∴， ∴， ∴选项符合题意， 故选：． 4. 下列调查中最适合采用全面调查的是（ ） A. 某批次汽车的抗撞击能力 B. 某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数 C. 某班名同学的身高情况 D. 全国中学生视力和用眼卫生情况 【答案】C 【解析】 【分析】根据调查的破坏性，调查范围大小判断合适的调查方式，对象数量少，无破坏性的调查适合采用全面调查． 【详解】解：A、调查某批次汽车的抗撞击能力，调查具有破坏性，不适合全面调查； B、调查鞋底能承受的弯折次数，调查具有破坏性，不适合全面调查； C、调查某班名同学的身高情况，调查对象数量少，范围小，适合全面调查； D、调查全国中学生视力和用眼卫生情况，调查范围大，对象数量多，不适合全面调查． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：，A错误． 选项B：，B错误． 选项C：，C错误． 选项D：，D正确． 6. 如图，直线，直线与，分别相交于点，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用平行线的性质求出，然后利用三角形外角的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 7. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得∠ACB=90°，则有∠A=40°，然后根据圆内接四边形的性质可求解． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴∠ACB=90°， ∵， ∴∠A=40°， ∵四边形ABDC是圆内接四边形， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查圆周角及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关键． 8. 每年的4月24日是“中国航天日”，学校组织了一场“未来航天工程师”青创赛．本次青创赛共有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，已知本次青创赛一共进行了240次评审，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，且本次青创赛一共进行了240次评审，列出方程进行求解即可. 【详解】解：∵共有名学生参加，每名学生不需要评审自己的方案，只需给其余所有同学的方案评审， ∴每名学生对应产生次评审， ∵已知总评审次数为， ∴可列方程为 . 9. 如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A. 3 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠性质，勾股定理，解答即可． 本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， 故选：A． 10. 如图，中，、交于点O，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线，交于点E，交于点F，连接，若，的周长为14，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得EA=EC，再根据三角形BCE的周长可以得到AB的长，从而得到CD的长 ． 【详解】解：由已知条件可知EF是AC的垂直平分线，所以EA=EC， ∵△BCE 的周长为14， ∴BC+CE+EB=14， ∴BC+EA+EB=14， 即BC+AB=14， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC=AB，BC=AD=6， ∴DC=14-BC=14-6=8， 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质、线段垂直平分线的作图与性质是解题关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提出公因数3，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 12. 分式方程的解是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 方程两边同乘得： 去括号得： 移项、合并同类项得： 系数化为得： 检验：当时，， 因此，是原分式方程的解． 13. 小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是，若烛焰的高是，则实像的高是_____； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形实际应用，解题关键是正确列出比例式． 根据题意，列出比例式求解． 【详解】解：∵小李在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是6：13，∴， ∵烛焰的高是3cm， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据垂径定理可得垂直平分，根据题意可得平方，可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， A、B、C是上的点，， ， D为OC的中点， ， 四边形是菱形，， ． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键． 15. 已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据若是一元二次方程的两个实数根，可得，代入对应数值计算即可得到结果． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， 则． 16. 如图，在一张纸上画出一条水平的数轴，在数轴上放置一枚黑棋、一枚白棋，黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，甲、乙两人做沿数轴移动棋子的游戏（甲移动黑棋，乙移动白棋）． 两人先同时出示“石头、剪刀、布”三种手势中的一种，再根据获胜或平局的结果进行移动（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头；若手势相同，则结果为平局），移动规则如下： ①若甲赢，则甲将黑棋向右移动2个单位长度，同时乙将白棋向右移动1个单位长度； ②若乙赢，则甲将黑棋向左移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动2个单位长度； ③若平局，则甲将黑棋向右移动1个单位长度，同时乙将白棋向左移动1个单位长度； 前四局的部分情况如下表： 局次 第一局 第二局 第三局 第四局 甲的手势 剪刀 剪刀 布 布 乙的手势 剪刀 布 石头 若第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是5，此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了数轴上表示有理数以及数轴上动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先正确理解游戏规则，再根据移动规则，向右移动则运用加法，向左移动则运用减法，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，第一局是平局， ∴， ∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，4，第二局是甲赢， ∴，， ∵黑棋和白棋在数轴上的位置所对应的数分别是，5，第三局是甲赢， ∴， ∵若第四局结束后，白棋在数轴上的位置所对应的数是5， ∴，即白棋向左移动1个单位长度， ∴第四局是平局， ∴， ∴此时黑棋在数轴上的位置所对应的数是1， 故答案为：1． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题等小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，15 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，先根据乘法公式和单项式与多项式的乘法法则计算，再去括号合并同类项，然后把代入计算即可． 【详解】原式 ， 当时， 原式． 19. 随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛．如图，O、C是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A点测得C点的俯角为，A，C两点的距离为．无人机继续竖直上升到B点，在B点测得C点的俯角为．求无人机从A点到B点的上升高度（结果精确到）．（点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】利用直角三角形性质求出的长，利用勾股定理求出的长，再解，求出的长，利用线段的和差关系求出的长即可． 熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，，． ， ， 在中，， ， （）， 无人机从点到点的上升高度为． 20. 随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势、某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如图： 项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 8 m 7 乙 n 8 7 （1）表格中的__________，__________，__________（填“”“”或“”）； （2）补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中圆心角的度数__________； （3）如果A，B两家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，请用直接列举法或树状图法求两家种植户选择同一快递公司的概率． 【答案】（1）8.5，8， （2）； ； （3） 【解析】 【分析】（1）一共有10家种植户的评分，中位数是从小到大排列，第五名，第六名的平均分，观察甲快递公司配送速度的直方图，可知第五名8分，第六名9分，求平均数即可得到，利用平均数公式求出的值，分别计算服务质量的方差、，即可比较大小； （2）算出甲快递公司评分为9的商家数量，即可补全直方图；先求出7分所占的比例，乘以这个比例，即可求出； （3）用树状图展示所有等可能的结果数，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：观察甲快递公司配送速度的直方图，可知10家种植户中，给出评分6的两家，评分7的两家，评分8的一家，评分10的一家， 给出评分9的：（家）， 甲公司配送速度得分从小到大排列为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10， 甲快递公司的中位数，是第五名，第六名的平均分，即， ， 由扇形图可知：， ， ． 【小问2详解】 ①略； ②解：7分所占的比例为：， ． 【小问3详解】 解：画树状图，列出所有可能结果，如下： 由树状图可知共有4种可能结果，其中两家种植户选择同一快递公司的有2种结果， 两家种植户选择同一快递公司的概率． 21. 如图，在中，．垂足为D，，延长至E，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ． （2） 22 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的判定方法证明，即可得证； （2）利用勾股定理求出的长，利用全等三角形的性质得到，得出的长，再利用勾股定理求出的长，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ， ， 由（1）得，， ， ， ， ∴， 的面积． 22. “中国智造”的新能源汽车正引领世界潮流，新能源汽车的销量稳步提升．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． （1）求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）该公司计划用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号均购买），请你帮助该公司设计购买方案． 【答案】（1）型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元 （2）共有种购买方案，分别为①购买型汽车辆，型汽车辆；②购买型汽车辆，型汽车辆；③购买型汽车辆，型汽车辆 【解析】 【分析】（1）设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元，根据题意可得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值即可得出答案； （2）设购买型汽车辆，型汽车辆，根据总费用为万元，结合（1）中所求进价，得出关于、的二元一次方程，根据、都是正整数，求出方程的正整数解即可得答案． 【小问1详解】 解：设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元， ∵辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元， ∴， 解得：， ∴型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元． 【小问2详解】 解：设购买型汽车辆，型汽车辆， ∵公司计划用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号均购买）， ∴， 整理得，， ∵、都是正整数， ∴或或， ∴共有种购买方案，分别为①购买型汽车辆，型汽车辆；②购买型汽车辆，型汽车辆；③购买型汽车辆，型汽车辆． 23. 已知：如图，在正方形的外部有两个点、均在直线上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，且的面积为12，求正方形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）48 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，三角形的面积和正方形的周长． （1）连接，根据正方形的性质得，，再由推出，再根据在四边形中，对角线互相垂直平分，判定四边形是菱形； （2）先由已知得，进而得，即可求出正方形的边长，进而可求正方形的周长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴在四边形中，，，， 即在四边形中，对角线互相垂直平分， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵，且的面积为12， ∴， ∴， ∵， ∴正方形的边长为12， ∴正方形的周长为． 24. 我校的育人目标是培养品德高尚、乐学普思、自信全面、勇于创新的华益学子，相信历经三年华益的学习生活，你已成为一名优秀的“益美少年”．在数学上，我们约定：对于二次函数（其中a、b、c为常数，且，），我们把一次函数叫作该二次函数的“益美函数”．例如：二次函数的“益美函数”为：． （1）若一次函数是二次函数的“益美函数”，则__________，__________． （2）已知二次函数的“益美函数”经过二次函数图象的顶点，请判断此时二次函数图象与x轴交点的个数，并说明理由； （3）已知．二次函数的顶点为A，与x轴交于B、C两点，过点A作y轴的平行线交该二次函数的“益美函数”于点D，求四边形面积的最小值，并写出此时一次函数的解析式． 【答案】（1） ， （2） 当时，交点个数为；当时，交点个数为；当时，交点个数为 （3） 四边形面积的最小值为，此时一次函数解析式为 【解析】 【分析】（1）求出二次函数中的值，根据定义得到即可； （2）将二次函数的顶点坐标为，代入“益美函数”为，整理得，当时，可以为任意值，此时可为任意值；当时，，由此得到答案； （3）将已知等式整理得，由此求出，即，得二次函数为，其“益美函数”为，求出顶点，由轴，交该二次函数的“益美函数”于点D，得，进而求出，再求出，根据四边形的面积列得函数解析式，再根据二次函数的性质解答即可求出，，由此得到“益美函数”为． 【小问1详解】 解：二次函数中， ， ∵一次函数是二次函数的“益美函数”， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：二次函数的顶点坐标为，其“益美函数”为， 将顶点坐标代入“益美函数”，得 ， 整理得， 当时，可以为任意值，此时可为任意值，当时，交点个数为；当时，交点个数为；当时，交点个数为； 当时，， 综上，当时，交点个数为；当时，交点个数为；当时，交点个数为； 【小问3详解】 解：， 整理得 ， ∴， ∴，即， ∴二次函数为，其“益美函数”为， 二次函数顶点A的横坐标为， 代入二次函数得点A的纵坐标为， ∴， ∵轴，交该二次函数的“益美函数”于点D， ∴将代入“益美函数”，得， ∴， 二次函数与x轴交于B、C两点，满足， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 令，则， ∴， 当时，S取得最小值， 此时，“益美函数”为． 25. 如图，矩形中，点是延长线上一动点，点，分别是，的中点，与相交于点． （1）①如图1，若，，，__________； ②证明：； （2）以H为圆心，为半径画圆． ①如图2，当经过点时，四边形是正方形，求此时的值； ②如图3，若与、分别相切于点、，已知的半径为，求四边形的面积． 【答案】（1）①； ②证明：如图，取中点，连接，设，，， 同理①可得，是的中位线， ∴，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴． （2）①；② 【解析】 【分析】（1）①取的中点，连接，容易判断是的中位线，则，，，容易计算出，使用正切函数的定义进行计算即可； ②取的中点，连接，设，，，仿照①的解法可以计算出，容易计算出，从而得到，因此； （2）①连接，设，由正方形的性质容易计算出，，由垂径定理可得垂直平分，则，从而得到．由等角的余角相等可得，在中，计算出即可； ②连接、，作于点，由切线的性质容易证明四边形是正方形，则，，由勾股定理可得．容易判定是等腰直角三角形，则，使用三角函数可计算出，结合可得，从而得到，则，最后使用梯形面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：①如图，取的中点F，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴在中，； ②略 【小问2详解】 解：①如图，连接，设， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在中，， ∵是弦的中点， 又∵过圆心， ∴，，即垂直平分， ∴，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴； ②如图，连接、，作于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵与、分别相切于点、， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $