专题09 圆锥曲线综合解答压轴题（期末复习讲义，5重难题型+分层验收）高二数学下学期沪教版

专题09 圆锥曲线综合解答压轴题 （期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 直线与圆锥曲线位置关系（大题核心） 题型02 中点弦问题（大题高频基础题型） 题型03 定点、定值问题（期末压轴高频） 题型04 最值、取值范围问题（期末难点） 题型05 圆锥曲线新定义 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 椭圆 压轴目标：能将向量垂直、共线、角度、面积最值等几何条件转化为代数方程；熟练破解椭圆定点、定值、参数取值范围问题；掌握分类讨论思想，规避斜率不存在、判别式小于0等失分点。 命题规律：压轴题固定结合韦达定理整体代换，搭配向量、不等式交汇考查。 高频易错：混淆a、b、c大小关系；忽略椭圆离心率0<e<1范围；中点弦问题忘记检验判别式；漏判直线斜率不存在的情况。 双曲线 压轴目标：能处理直线与双曲线相交的复杂联立运算，辨析相切、相交、相离位置关系；突破双曲线离心率取值范围、动态参数最值问题，规避双曲线特有易错陷阱。 命题规律：难度低于椭圆，重点考查学生对定义细节、渐近线公式的掌握；期末极少单独出压轴，以基础、中档题型为主。 高频易错：定义遗漏绝对值导致范围错误；渐近线a、b对应关系写反；混淆椭圆与双曲线基本量公式；直线与双曲线联立忽略二次项系数为0的情况。 抛物线 压轴目标：能结合向量、函数、不等式解决抛物线动态最值、定点定值问题；熟练处理抛物线中直线过定点、参数恒成立等压轴题型。 命题规律：极度侧重定义转化，是圆锥曲线中最值题型最多的模块；运算量小于椭圆，思路灵活性要求高，常结合几何对称解题。 高频易错：开口方向判断错误，焦点、准线符号出错；焦半径公式混用；忽略抛物线定义域（x≥0或y≥0）；焦点弦二级结论乱用、不验证条件。 直线与圆锥曲线综合 （期末压轴核心） 压轴目标：掌握定点定值消参、最值函数换元、参数范围不等式求解技巧；熟练处理存在性、恒成立压轴题型；能完整分类讨论直线斜率存在/不存在、直线与曲线位置关系等情况，规避步骤失分。 命题规律：沪教版期末命题固定套路：几何条件代数化→韦达整体代换→函数/不等式求解结论；必结合平面向量、二次函数、基本不等式交汇考查。 高频易错：忽略判别式Δ≥0导致范围出错；直线斜率分类讨论不全；韦达定理计算符号失误；不会整体代换导致运算繁琐；解题步骤不规范、漏写关键条件扣分。 知识点01 椭圆 1. 定义：平面内与两焦点距离之和等于2a（2a>|F₁F₂|=2c）的点的轨迹。 2. 标准方程 焦点在x轴：（） 焦点在y轴：（） 3. 核心关系：；离心率（e越小椭圆越圆）。 4. 常用性质 顶点：、；长轴长，短轴长。 通径长：；焦点三角形面积：（θ为焦点三角形顶角）。 知识点02 双曲线 1. 定义：平面内与两焦点距离之差的绝对值等于 2a（0<2a<2c）的点的轨迹（无绝对值仅表示单支双曲线）。 2. 标准方程 焦点在x轴：（） 焦点在y轴：（） 3. 核心关系：；离心率（e越大双曲线开口越开阔）。 4. 常用性质 渐近线：焦点在x轴；焦点在y轴。 实轴长，虚轴长；焦点三角形面积：。 知识点03 抛物线 1. 定义：平面内到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等的点的轨迹，离心率。 2. 四种标准方程（p>0，p为焦点到准线距离） 开口方向 标准方程 焦点坐标 准线方程 向右 向左 向上 向下 3. 常用性质 通径长：；焦点弦长：（θ为直线倾斜角）。 右开口抛物线焦半径：（为抛物线上动点）。 题型一 直线与圆锥曲线位置关系（大题核心） 答｜题｜模｜板 1. 设直线：优先设（斜率存在），务必单独验证斜率不存在的特殊情况； 2. 联立方程：将直线与圆锥曲线方程联立，消去y（或x），得到一元二次方程； 3. 判别式判定：直线与曲线相交，相切，相离； 4. 韦达定理：记录，，整体代入化简求解，避免单独求根。 【典例1】．（25-26高二上·上海·期中）已知抛物线的焦点为． (1)若点在抛物线上，求的值； (2)设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； (3)设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求直线斜率的取值范围． 【典例2】．（23-24高二下·上海·期末）满足一定条件的全体直线组成集合M，集合M的包络曲线E定义为：集合M中的每一条直线都是曲线E上某点处的切线，且曲线E上的每一点处的切线都是集合M中的某条直线． (1)若圆是集合的包络曲线，求m，n满足的关系式； (2)求证：集合的包络曲线E为：； (3)在（2）的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线，P在直线上若，求点P的坐标． 【变式1】．（24-25高二下·上海青浦·期末）已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为的等边三角形. (1)写出椭圆的标准方程和离心率； (2)当直线的一个法向量是时，求以为直径的圆的标准方程； (3)设点满足:，求证:为定值. 【变式2】．（25-26高二上·上海·期末）如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为，曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合． (1)求b的值； (2)已知过点的直线l与曲线交于E，F两点，若，求直线l的方程； (3)若直线与曲线交于M，N两点，记的面积为S，且，求实数的取值范围． 【变式3】．（24-25高二下·上海·期末）如图，为坐标原点，椭圆的左焦点为，双曲线：的一条渐近线方程为．    (1)求椭圆和双曲线的方程． (2)过点作直线与椭圆在第一象限交于点，与双曲线在第一象限交于点．已知为线段的中点，求点的坐标． (3)由（2）中过点作直线，已知与、共有3个不同的交点，求出所有可能的方程． 题型二 题型02 中点弦问题（大题高频基础题型） 解｜题｜技｜巧 优先使用点差法，计算量更小、效率更高；复杂题型可采用联立韦达法。 点差法步骤：设弦两端点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，两点均在曲线上，代入曲线方程后两式作差，结合中点坐标公式x₁+x₂=2x₀、y₁+y₂=2y₀，推导直线斜率。 【典例1】．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知椭圆的C的方程：． (1)设P为椭圆C异于椭圆左右顶点上任一点，直线的斜率为，直线的斜率为，试证明为定值． (2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程． (3)设椭圆上一点，且点M，N在C上，且，D为垂足．证明：存在定点Q，使得为定值． 【典例2】．（22-23高二上·上海浦东新·期末）在直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为的直线交椭圆于A，B (1)求椭圆的标准方程 (2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值； (3)设点A，B关于原点对称的点分别为C，D，求四边形ABCD面积的最大值. 【变式1】．（23-24高二下·上海·期末）已知、是双曲线的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 【变式2】．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知双曲线的渐近线为，左焦点为经过点的直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线在轴上截距为2，求； (3)若的中点横坐标为1，求直线的方程． 【变式3】．（24-25高二下·上海松江·期末）如图，已知椭圆的离心率为，该椭圆的左右焦点 恰好是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别是 和. (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别是，求证: ； (3)是否存在常数，使得 恒成立？若存在，求的值；若不存在， 请说明理由. 题型三 定点、定值问题（期末压轴高频） 解｜题｜技｜巧 1. 定点问题：设含参数的直线方程，联立曲线后借助韦达定理化简，令参数的对应系数为0，消去参数得到固定点坐标； 2. 定值问题：用参数表示目标式子（斜率和、距离、面积、比值等），化简后参数完全抵消，最终得到固定数值； 3. 速算技巧：优先设，可规避直线斜率不存在的讨论，大幅简化计算。 【典例1】．（25-26高二上·上海浦东新·期末）已知双曲线的左､右焦点为､，虚轴长为，离心率为，过双曲线的左焦点作直线交该双曲线的左支于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由. 【典例2】．（24-25高二下·上海·期末）已知椭圆：（）的焦距为，上、下顶点分别为、，点关于直线的对称点在椭圆上，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点、.    (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围； (3)当与相交于点时，试问点的纵坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若否，请说明理由. 【典例3】．（25-26高二上·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上； (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆：上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上；若关于原点对称，且，是否存在点，使得为定值；若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由； 【典例4】．（24-25高二下·上海崇明·期末）如图，已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆C上位于第一象限的点，M， N是y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足且，线段PN交x轴于点Q． (1)求椭圆的离心率； (2)若点M的坐标为，求点P的坐标； (3)求证：为定值． 【变式1】．（24-25高二上·上海·期末）已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线上的点到其两条渐近线的距离分别为，求的值； (3)已知点，求证：. 【变式2】．（22-23高二下·上海·期末）已知椭圆C：，四点中恰有三点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点． (3)如图，抛物线M：的焦点是F，过动点的直线与椭圆C交于P，Q两点，与抛物线M交于两点，且G是线段PQ的中点，是否存在过点F的直线交抛物线M于T，D两点，且满足，若存在，求直线的斜率k的取值范围；若不存在，说明理由．    【变式3】．（24-25高二下·上海静安·期末）已知为二次曲线上一点，则过点的二次曲线的切线方程为．椭圆Γ：的左焦点是、右焦点是，过点的直线l分别交Γ于两点P、Q，其中点P在x轴上方，O为坐标原点． (1)若，求的值； (2)现分别过点P、Q作椭圆Γ的两条切线相交于点T，求的面积的最小值． 【变式4】．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【变式5】．（24-25高二下·上海嘉定·期末）如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为S． (1)当，时，求S； (2)当，时，求直线AB的方程； (3)求S的最大值． 【变式6】．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知椭圆的图像经过点    (1)若椭圆的焦距为，求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与椭圆在第一象限交于点，点与点关于原点对称，连接，当取得最大值时，求椭圆的离心率； (3)若椭圆经过点，点是椭圆上的动点，直线与椭圆交于两点，为的中点，且满足，则的面积是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 题型四 最值、取值范围问题（期末难点） 答｜题｜模｜板 1. 几何法：利用圆锥曲线定义、对称性、三角形三边关系、垂线段最短等几何性质转化，快速求解最值； 2. 代数法：构建目标函数（以坐标、斜率为变量），结合二次函数单调性、基本不等式、判别式、导数求解最值与范围。 【典例1】．（24-25高二下·上海·期末）已知双曲线，左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点． (1)若，为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标． (2)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值． 【典例2】．（22-23高二下·上海松江·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点. (1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积； (2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围． 【变式1】．（24-25高二下·上海·期中）已知 是椭圆 上一个动点， 是椭圆的左焦点，若 的最大值和最小值分别为 和 . (1)求椭圆 的标准方程； (2) 是 轴正半轴上的一点，求 的最大值. (3)若动直线 与 交于点 ，点 是 轴正半轴上异于点(1，0)的一定点， 若直线 的倾斜角分别为 ，且存在实数 使得 恒成立，求点 的坐标及 的值. 【变式2】．（24-25高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，椭圆方程为．已知椭圆的长轴长为，离心率为，，分别是椭圆左、右焦点，直线与椭圆交于，两点. (1)求椭圆方程； (2)若直线是圆的任意一条切线，求的值； (3)若直线不经过左焦点，设焦点到直线的距离为，如果直线，，的斜率依次成等差数列，求的取值范围. 【变式3】．（24-25高二下·上海·期中）已知 是以 为焦点的抛物线 是离心率为 ，以 为焦点的双曲线，且 与 在第一象限有两个公共点 . (1)求双曲线 的标准方程； (2)求 的最大值； (3)是否存在 ，使得此时 的重心 恰好在双曲线 的渐近线上? 若存在 ，求出 的值: 若不存在，请说明理由. 题型五 圆锥曲线新定义 【典例1】．（2024高二下·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，对于点、直线，我们称为点到直线的方向距离. （1）设双曲线上的任意一点到直线，的方向距离分别为，求的值； （2）设点、到直线的方向距离分别为，试问是否存在实数，对任意的都有成立？说明理由； （3）已知直线和椭圆，设椭圆的两个焦点到直线的方向距离分别为满足，且直线与轴的交点为、与轴的交点为，试比较的长与的大小. 【变式1】．（25-26高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，若，则称点被直线分隔.若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线. (1)若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围； (2)已知动点到点的距离与到轴的距离之积为1.设点的轨迹为曲线，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线. 【变式2】．（25-26高二下·上海·期中）在研究复杂的平面曲线时，有时会把曲线上的点投影到直线上，我们引入以下两个定义： 【定义1】给定平面内一曲线和曲线上一点，以及一条不经过的直线. 对于上某一点（），若直线与有且只有一个交点，则称为点关于中心在上的投影点. 【定义2】给定平面内一曲线，点不在上，以及一条直线（不经过）.对于上任意一点，直线与曲线的交点个数称为关于中心和曲线的覆盖度，记为. 若上存在一点，对于以为中心的任意开区间内（以为中心的开区间是指，其中），都存在点使得，则称为在上的分歧投影点. (1)已知圆，点在上，投影直线. 若上有一点，求点关于中心在上的投影点的坐标. (2)已知椭圆，左顶点为，投影直线. 设 是 上异于点的两个不同动点，它们关于中心在上的投影点分别为和证明：直线经过定点的充要条件是. (3)已知双曲线，投影中心在轴上，直线为轴. 对于上任意一点，设关于中心和曲线的覆盖度为. 探究上关于中心和曲线的“分歧投影点”的个数是否与的取值有关？请说明理由，并求出所有分歧投影点的坐标. 【变式3】．（24-25高二下·上海·期中）如图所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点是角α终边上的点（异于原点），设，将点P绕O逆时针旋转θ后得到． (1)求证：． (2)已知曲线是函数的图象，曲线绕原点O逆时针旋转后得到，求的标准方程； (3)已知曲线表示一个中心在原点的椭圆，Q为第一象限内一点，且在椭圆的长轴上，满足，过点Q作直线交曲线于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交曲线于点G、H，试判断：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·上海·期末）已知抛物线. (1)倾斜角为的直线过的焦点，且与交于、两点，求； (2)设是上一点，、是的准线上两个不同的点，且圆是的内切圆.，求点的横坐标； 2．已知抛物线的焦点为上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为2. (1)求抛物线的方程； (2)已知点是抛物线上不同的三点. （i）若直线过点，且交准线于点，求的值； （ii）若直线的斜率分别为，且，求直线的斜率的取值范围. 3．（24-25高二下·上海·期末）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线； (2)写出曲线的两条性质； (3)过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点．证明：是直角三角形． 4．（25-26高二上·上海·期末）如图，已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点．    (1)设，求线段中点到轴的距离； (2)若直线的倾斜角为，求面积． 5．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线． (1)求上焦点的坐标； (2)若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标； (3)若为双曲线的上顶点，直线与双曲线交于C、D两点（异于点），，求实数的值． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．（24-25高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 7．（25-26高二上·上海宝山·期末）已知焦点在轴的双曲线，实轴长为2，焦距为4，、分别为双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线交于、两点. (1)求双曲线方程： (2)若直线的斜率为1，求的面积； (3)记左顶点为，直线、分别交直线于、两点，证明：为定值. 8．（24-25高二下·上海金山·期末）已知椭圆的长轴为，椭圆的离心率，左右焦点分别记作、，且，过、分别作直线、交椭圆于、（在轴上方），且； (1)求此椭圆方程． (2)当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值． (3)求四边形面积的最大值． 9．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知双曲线的离心率为，实轴长为2． (1)求的方程； (2)设点在双曲线的左支上，过点分别作斜率为1与-1的直线、与双曲线交于、两点，求的面积关于的函数表达式，并求的取值范围； (3)过点作的两条切线、，设直线、的斜率分别为、．若，求点的取值范围及的取值范围． 10．（25-26高二上·上海宝山·期末）已知点为椭圆：上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若点不在轴上，求的周长； (2)过右焦点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过，求的方程； (3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，在轴上方是否存在点，使得（）成立?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．（24-25高二下·上海·期中）已知且，曲线. (1)若曲线是焦点在轴上的等轴双曲线，求曲线的离心率； (2)设，点，曲线上有A、B两点（其中在第一象限）.若且，求点的坐标； (3)设为给定常数，且，过点的直线与曲线交于D、E两点，为坐标平面上的动点.若直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上？若存在，求该定直线的方程；若不存在，请说明理由. 12．（24-25高二下·上海·期末）已知椭圆：的左、右焦点为、. (1)已知为的上顶点，求的周长； (2)已知直线交于，两点，若，求直线的方程； (3)已知，，直线：与有两个不同的交点，.设为轴上一点，是否存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由. 13．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为分别为的上，下顶点，是上不同于点A的两点. (1)求的值； (2)记的面积分别为，若，求的取值范围； (3)若直线与的斜率之和为2，作，垂足为，试问：点是否在一个定圆上？若是，求出该圆的方程；若不是，说明理由. 14．（24-25高二下·上海闵行·期末）在直角坐标系中，已知椭圆（）的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为，且，求的值； (3)是否存在，使恒为定值？若存在，请求出与的值，若不存在，请说明理由． 15．（24-25高二上·上海·期末）已知双曲线，，分别为其左、右焦点，为其左顶点．设过右焦点的直线与的右支交于，两点，其中点位于第一象限内．当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)设直线，分别与直线交于，两点，问：是否存在实数，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 圆锥曲线综合解答压轴题 （期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 直线与圆锥曲线位置关系（大题核心） 题型02 中点弦问题（大题高频基础题型） 题型03 定点、定值问题（期末压轴高频） 题型04 最值、取值范围问题（期末难点） 题型05 圆锥曲线新定义 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 椭圆 压轴目标：能将向量垂直、共线、角度、面积最值等几何条件转化为代数方程；熟练破解椭圆定点、定值、参数取值范围问题；掌握分类讨论思想，规避斜率不存在、判别式小于0等失分点。 命题规律：压轴题固定结合韦达定理整体代换，搭配向量、不等式交汇考查。 高频易错：混淆a、b、c大小关系；忽略椭圆离心率0<e<1范围；中点弦问题忘记检验判别式；漏判直线斜率不存在的情况。 双曲线 压轴目标：能处理直线与双曲线相交的复杂联立运算，辨析相切、相交、相离位置关系；突破双曲线离心率取值范围、动态参数最值问题，规避双曲线特有易错陷阱。 命题规律：难度低于椭圆，重点考查学生对定义细节、渐近线公式的掌握；期末极少单独出压轴，以基础、中档题型为主。 高频易错：定义遗漏绝对值导致范围错误；渐近线a、b对应关系写反；混淆椭圆与双曲线基本量公式；直线与双曲线联立忽略二次项系数为0的情况。 抛物线 压轴目标：能结合向量、函数、不等式解决抛物线动态最值、定点定值问题；熟练处理抛物线中直线过定点、参数恒成立等压轴题型。 命题规律：极度侧重定义转化，是圆锥曲线中最值题型最多的模块；运算量小于椭圆，思路灵活性要求高，常结合几何对称解题。 高频易错：开口方向判断错误，焦点、准线符号出错；焦半径公式混用；忽略抛物线定义域（x≥0或y≥0）；焦点弦二级结论乱用、不验证条件。 直线与圆锥曲线综合 （期末压轴核心） 压轴目标：掌握定点定值消参、最值函数换元、参数范围不等式求解技巧；熟练处理存在性、恒成立压轴题型；能完整分类讨论直线斜率存在/不存在、直线与曲线位置关系等情况，规避步骤失分。 命题规律：沪教版期末命题固定套路：几何条件代数化→韦达整体代换→函数/不等式求解结论；必结合平面向量、二次函数、基本不等式交汇考查。 高频易错：忽略判别式Δ≥0导致范围出错；直线斜率分类讨论不全；韦达定理计算符号失误；不会整体代换导致运算繁琐；解题步骤不规范、漏写关键条件扣分。 知识点01 椭圆 1. 定义：平面内与两焦点距离之和等于2a（2a>|F₁F₂|=2c）的点的轨迹。 2. 标准方程 焦点在x轴：（） 焦点在y轴：（） 3. 核心关系：；离心率（e越小椭圆越圆）。 4. 常用性质 顶点：、；长轴长，短轴长。 通径长：；焦点三角形面积：（θ为焦点三角形顶角）。 知识点02 双曲线 1. 定义：平面内与两焦点距离之差的绝对值等于 2a（0<2a<2c）的点的轨迹（无绝对值仅表示单支双曲线）。 2. 标准方程 焦点在x轴：（） 焦点在y轴：（） 3. 核心关系：；离心率（e越大双曲线开口越开阔）。 4. 常用性质 渐近线：焦点在x轴；焦点在y轴。 实轴长，虚轴长；焦点三角形面积：。 知识点03 抛物线 1. 定义：平面内到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等的点的轨迹，离心率。 2. 四种标准方程（p>0，p为焦点到准线距离） 开口方向 标准方程 焦点坐标 准线方程 向右 向左 向上 向下 3. 常用性质 通径长：；焦点弦长：（θ为直线倾斜角）。 右开口抛物线焦半径：（为抛物线上动点）。 题型一 直线与圆锥曲线位置关系（大题核心） 答｜题｜模｜板 1. 设直线：优先设（斜率存在），务必单独验证斜率不存在的特殊情况； 2. 联立方程：将直线与圆锥曲线方程联立，消去y（或x），得到一元二次方程； 3. 判别式判定：直线与曲线相交，相切，相离； 4. 韦达定理：记录，，整体代入化简求解，避免单独求根。 【典例1】．（25-26高二上·上海·期中）已知抛物线的焦点为． (1)若点在抛物线上，求的值； (2)设，直线与抛物线交于两点，若抛物线上存在点满足，求证：； (3)设四边形的顶点均在抛物线上，直线过抛物线的焦点，对角线交于点，若点的横坐标的取值范围是，求直线斜率的取值范围． 【答案】(1)6； (2)证明见解析； (3) 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）利用抛物线定义求焦半径； （2）结合向量运算与韦达定理，通过判别式限制参数范围； （3）利用抛物线弦的纵坐标性质求点坐标，化简斜率表达式后分析取值范围. 【详解】（1）点在抛物线上，代入得. 抛物线的焦点为，准线为. 由抛物线定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，故. （2）抛物线的焦点为，由， 得： 联立直线与抛物线，得， 故，. 因此，. 因在抛物线上，故. 直线与抛物线有两交点，判别式， 代入得：， 又，故. （3）设， 设直线的方程为， 由消去并化简得， ，则， 则，，故. 直线过，联立与抛物线，得， 故，，即. 同理，直线过，得，，即. 直线的斜率：， 令，，则. 令，. 函数在上递增： 当（即），，故； 当（即），，故. 综上所述，的取值范围是. 【典例2】．（23-24高二下·上海·期末）满足一定条件的全体直线组成集合M，集合M的包络曲线E定义为：集合M中的每一条直线都是曲线E上某点处的切线，且曲线E上的每一点处的切线都是集合M中的某条直线． (1)若圆是集合的包络曲线，求m，n满足的关系式； (2)求证：集合的包络曲线E为：； (3)在（2）的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线，P在直线上若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)或 【知识点】集合新定义、求抛物线的切线方程、由直线与圆的位置关系求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）圆心到直线的距离等于1，得到方程，求出； （2）在上任取一点，求出在该点处的切线方程，令直线族中，得到直线，而对于任意，都是抛物线在点处的切线，证明出结论； （3）设，求出抛物线在点处的切线方程为，同理，抛物线在点处的切线方程为，从而得到直线的方程为，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，得到，求出，将其代入，得到方程，求出或，求出答案. 【详解】（1）由定义可知，与相切， 即圆心到直线的距离等于1， 即，故， （2）， 在上任取一点，在该点处的切线斜率为， 于是可以得到在处的切线方程为， 即， 令直线族中，故， 则直线， 所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线， 而对于任意，都是抛物线在点处的切线， 所以集合的包络曲线； （3）设， 则抛物线在点处的切线方程为， 即， 故， 同理，抛物线在点处的切线方程为， 又两切线交点为， 所以，所以直线的方程为， 联立，得， 故， 因为，所以， 即， ， 由于，所以， 又因为，所以，所以， 故， 又点在直线上，所以， 解得或， 故点或 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 【变式1】．（24-25高二下·上海青浦·期末）已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为的等边三角形. (1)写出椭圆的标准方程和离心率； (2)当直线的一个法向量是时，求以为直径的圆的标准方程； (3)设点满足:，求证:为定值. 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、求直线与椭圆的交点坐标、根据a、b、c求椭圆标准方程、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）根据已知求出椭圆参数，即可得椭圆方程； （2）根据已知有，联立椭圆得，进而求圆心和半径，即可得圆的方程； （3）设点，直线为:，直线为，联立求的横坐标，再应用三角形面积公式求比值. 【详解】（1）因为是边长为的等边三角形，所以，， 又，所以，， 故椭圆的标准方程为，离心率为； （2）因为的一个法向量是且直线过点， 所以直线方程为， 联立直线方程与椭圆方程，得，解得， 所以线段中点为，线段长度为， 故以为直径的圆的标准方程为； （3）由题意，点为直线过点的垂线与直线过点的垂线的交点， 设点，所以直线为:，直线为， 则直线为，直线为， 联立直线方程与直线方程，消去，得， 整理得，即，解得， 因为， 所以，得证. 【变式2】．（25-26高二上·上海·期末）如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为，曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合；当时，曲线与双曲线重合． (1)求b的值； (2)已知过点的直线l与曲线交于E，F两点，若，求直线l的方程； (3)若直线与曲线交于M，N两点，记的面积为S，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆中的最值问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）将点代入椭圆、双曲线方程求解； （2）设，由得到，再分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在时分析判断. （3）根据设直线方程为，由，且，得到，再根据，得到直线m与曲线的交点都在椭圆上，与椭圆方程联立，结合韦达定理求解. 【详解】（1）由于椭圆与双曲线在第一象限的公共点为， 即，得，所以； （2）设，，则， 由得，，即，则， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：，此时，成立； 当直线l的斜率存在时，由题意知交点E，F必定在直线的两侧， 即左侧为与椭圆的交点，右侧与双曲线的交点， 由椭圆的对称性，当交点在第一象限且在椭圆上曲线段时， ，此时，故不可能，舍去； 而双曲线的渐近线方程为：，， 与双曲线没有横坐标大于2的交点，即当交点位于椭圆第二象限时，不可能； 同理，当直线l与椭圆交于x轴下方时，也不成立， 综上直线l的方程为； （3）直线方程为，， 因为，且， 所以， 而， 因为，所以直线m与曲线的交点都在椭圆上， 与椭圆方程联立，消去y得， 由韦达定理得， 所以， 令，则， 所以， 又，对于成立， 所以单调递增趋于正无穷大，又， 所以单调递减， 所以时，取得最大值， 又，所以实数的最大值为， 且当趋于正无穷时，趋于，则， 所以. 【变式3】．（24-25高二下·上海·期末）如图，为坐标原点，椭圆的左焦点为，双曲线：的一条渐近线方程为．    (1)求椭圆和双曲线的方程． (2)过点作直线与椭圆在第一象限交于点，与双曲线在第一象限交于点．已知为线段的中点，求点的坐标． (3)由（2）中过点作直线，已知与、共有3个不同的交点，求出所有可能的方程． 【答案】(1)；：； (2)； (3)；；；；； 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求直线与椭圆的交点坐标、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据题意结合椭圆、双曲线的方程与性质运算求解； （2）首先设点，并表示点的坐标，分别代入椭圆和双曲线方程，联立方程，即可求解； （3）由直线和椭圆，双曲线的交点个数，转化为直线与椭圆，双曲线的位置关系，通过联立方程，分情况求解. 【详解】（1）由题意得：，解得：， 因此可得：；. （2）设点的坐标．由点是线段的中点，可知点的坐标为． 将点、点的坐标分别代入椭圆和双曲线的方程： 由（1）得 （3），将（3）代入（2）得， 化简得，，由，得（4）， 将（4）代入（3）得，由，计算得， 因此点的坐标为． （3）设直线的斜率为． ①直线与椭圆有一个交点，与双曲线有两个交点． 此时是椭圆的切线，设，联立椭圆， 得， ，得， 所以椭圆在点的切线方程为． 联立得，，，与双曲线有2个交点，满足条件； ②直线与椭圆有两个交点，与双曲线有一个交点． 将代入双曲线得，， 化简得， 若，若，则等式变为，矛盾． 若，则等式为一元一次方程，此时直线与双曲线有一个交点． 直线的方程为，且与椭圆有2个交点，满足条件； 若，令得，， 可知其中的一个解为（舍）；由韦达定理，另一个解为． 此时直线与双曲线相切，直线的方程为，且与椭圆有2个交点，满足条件； ③直线过椭圆与双曲线都相交，但有一个交点重合． 根据椭圆和双曲线的方程，可知椭圆和双曲线交于点和点．分别代入计算，得到直线方程为或． 综上，直线可能的方程为：；；     ；；. 题型二 题型02 中点弦问题（大题高频基础题型） 解｜题｜技｜巧 优先使用点差法，计算量更小、效率更高；复杂题型可采用联立韦达法。 点差法步骤：设弦两端点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，两点均在曲线上，代入曲线方程后两式作差，结合中点坐标公式x₁+x₂=2x₀、y₁+y₂=2y₀，推导直线斜率。 【典例1】．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知椭圆的C的方程：． (1)设P为椭圆C异于椭圆左右顶点上任一点，直线的斜率为，直线的斜率为，试证明为定值． (2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程． (3)设椭圆上一点，且点M，N在C上，且，D为垂足．证明：存在定点Q，使得为定值． 【答案】(1) (2) (3)存在点，使得为定值. 【知识点】椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中的定值问题、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）设，则，再根据斜率公式代入即可计算的值； （2）设弦的两个端点分别为，利用点差法可得，联立直线和椭圆，即可得的范围 （3）设出点，的坐标，在斜率存在时设方程为, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到的关系，进而得直线恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点的位置. 【详解】（1）设，因为P为椭圆C上一点， 所以，所以， 所以， 所以. 故为定值. （2）设弦的两个端点分别为，的中点为. 则，① ，② ①减②得：， . 又，. 由于弦中点轨迹在已知椭圆内， 联立 故斜率为的平行弦中点的轨迹方程： （3）设点， 若直线斜率存在时，设直线的方程为：， 代入椭圆方程消去并整理得：， 可得，， 因为，所以，即， 根据,代入整理可得： ，              所以， 整理化简得， 因为不在直线上，所以， 故，于是的方程为， 所以直线过定点直线过定点. 当直线的斜率不存在时，可得， 由得：， 得，结合可得：， 解得：或（舍）. 此时直线过点. 令为的中点，即， 若与不重合，则由题设知是的斜边，故， 若与重合，则，故存在点，使得为定值. 【典例2】．（22-23高二上·上海浦东新·期末）在直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为的直线交椭圆于A，B (1)求椭圆的标准方程 (2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值； (3)设点A，B关于原点对称的点分别为C，D，求四边形ABCD面积的最大值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)4 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、椭圆中的定值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据已知条件建立的方程，求解即可； （2）设，利用点差法求得，利用两点斜率公式求得，计算即可证明； （3）设直线的方程为，按照利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤可求得弦长，利用点线距离公式可求得原点到直线的距离为.根据对称性可知四边形ABCD的面积，求出面积后再利用基本不等式求得最大值. 【详解】（1）依题意可知：，解得， 故椭圆的标准方程为. （2）证明：设，则. 把代入椭圆方程得， 两式相减可得：，即， 而，则. 故为定值. （3） 设直线的方程为， 联立方程组，整理得， ，即 又. 记原点到直线的距离为，则 因为点A，B关于原点对称的点分别为C，D， 所以四边形ABCD的面积 所以 当且仅当，即时，等号成立， 故四边形ABCD的面积的最大值为4. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 【变式1】．（23-24高二下·上海·期末）已知、是双曲线的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】求双曲线中的弦长、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）设，结合中点弦的“点差法”，即可求解； （2）由（1）知，直线的方程为，联立方程组，求得，结合弦长公式. 【详解】（1）设， 因为的中点的坐标为，可得，即， 又由，两式相减，可得， 可得，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 联立方程组，整理得， 则，即直线与双曲线相交，满足条件. 所以直线的方程为. （2）由（1）知，直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则，且， 所以两点间的距离为：. 【变式2】．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知双曲线的渐近线为，左焦点为经过点的直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线在轴上截距为2，求； (3)若的中点横坐标为1，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、求双曲线中的弦长、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】（1）根据渐近线方程，焦点坐标，列出的方程进行求解即可； （2）利用弦长公式直接计算即可； （3）先确定直线斜率是否存在，然后联立直线与双曲线，通过中点坐标公式列方程求解. 【详解】（1）由题意得，所以， 所以双曲线的标准方程为； （2）由题意得直线的方程为，由得，，设，则，所以； （3）当直线的斜率不存在时，中点横坐标为，显然不合题意，所以设直线的方程为， 由，得， 设，则，解得， 此时所联立方程可整理化简得：，满足，符合题意， 故直线的方程为． 【变式3】．（24-25高二下·上海松江·期末）如图，已知椭圆的离心率为，该椭圆的左右焦点 恰好是双曲线的左右顶点，是双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别是 和. (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别是，求证: ； (3)是否存在常数，使得 恒成立？若存在，求的值；若不存在， 请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中的弦长、双曲线中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）设椭圆的焦距为，根据题意，得到，由离心率，得到，进而求得椭圆的方程； （2）设点，可得，结合，即可求解； （3）设直线的方程为，则直线方程为 ，联立方程组，结合弦长公式，求得和，根据题目条件得，即可证得结论. 【详解】（1）设椭圆的焦距为， 因为椭圆焦点恰好是双曲线的左右顶点， 所以 ，故， 因为离心率，所以， 因为，所以 ，所以椭圆的方程是 . （2）设点，则 ， 因为点在双曲线上，所以，可得， 所以. （3）由 (2) 知 ， 设直线的方程为，则直线方程为 ， 联立方程组 ，整理得， 记，则， 所以 ，同理可得， 所以 ， 即 ， 所以存在，使成立. 题型三 定点、定值问题（期末压轴高频） 解｜题｜技｜巧 1. 定点问题：设含参数的直线方程，联立曲线后借助韦达定理化简，令参数的对应系数为0，消去参数得到固定点坐标； 2. 定值问题：用参数表示目标式子（斜率和、距离、面积、比值等），化简后参数完全抵消，最终得到固定数值； 3. 速算技巧：优先设，可规避直线斜率不存在的讨论，大幅简化计算。 【典例1】．（25-26高二上·上海浦东新·期末）已知双曲线的左､右焦点为､，虚轴长为，离心率为，过双曲线的左焦点作直线交该双曲线的左支于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由. 【答案】(1)； (2)不存在，说明见解析. 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据题意列式求出，即可得解； （2）设，，联立方程，利用韦达定理判断是否为零，即可判断. 【详解】（1）由题可知，，故， 又因为离心率， 解得， 故双曲线的方程为. （2）由题可知，，故， 易知直线的斜率不为，故可设直线，. 联立直线与双曲线，，得， ， 由韦达定理，可得，， 若点在以为直径的圆上，则，即， ，即，可得与不垂直， 故不存在直线，使得点在以为直径的圆上. 【典例2】．（24-25高二下·上海·期末）已知椭圆：（）的焦距为，上、下顶点分别为、，点关于直线的对称点在椭圆上，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点、.    (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围； (3)当与相交于点时，试问点的纵坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若否，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是， 【知识点】数量积的坐标表示、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题 【分析】（1）求出点关于直线的对称点，由椭圆的性质得出，进而得出椭圆的方程； （2）当直线的斜率不存在时，求出的坐标，由数量积公式得出， 当直线的斜率存在时，设出方程，并联立椭圆方程，由韦达定理求出，再由数量积公式得出，再结合的范围求出的取值范围； （3）设出直线，直线的方程，联立两直线方程求出点的纵坐标，再结合，从而可求解. 【详解】（1）因为点关于直线的对称点为，且在椭圆上， 所以，又因为又，故，则， 则椭圆的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，，此时； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 联立，消去整理得， 由题意可得，化简得， 则由根与系数关系得， 所以 ， 又因为，所以， 综上所述:. （3）点的纵坐标为定值，证明如下： 由题意得，：， 将两直线方程联立，消去得， 由（2）可得， 从而得， 故点的纵坐标为定值. 【典例3】．（25-26高二上·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上； (1)求双曲线的标准方程； (2)设点是双曲线上的动点，是圆：上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； (3)如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上；若关于原点对称，且，是否存在点，使得为定值；若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3)存在点，使得为定值，理由见解析 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据已知条件列方程组求解即可. （2）根据直线与圆相切得到，设出点坐标，结合二次函数性质求出，进而求得. （3）设出直线方程并与双曲线方程联立，结合韦达定理得到，；求出直线、方程，得到点、坐标，结合对称列方程求出，求得为定值，再结合直角三角形的性质求解即可. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，点在双曲线上， 所以，解得，. 所以双曲线的方程为. （2）圆：的圆心，半径为. 因为是圆上的动点，直线与圆相切，所以，. 所以. 设，因为点是双曲线上的动点，所以. 所以， 当时，取得最小值，此时， 所以. （3）由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为. 联立，整理得， 且， 设，，则，， 直线的方程为， 令，则，即. 同理可得，. 因为关于原点对称，所以， 即， 整理得， 即， 整理得，即， 所以或. 若，则，则直线方程为，即， 此时直线过点，不符合题意. 若，则直线方程为，恒过定点， 所以为定值， 又，在中，为斜边， 所以当为中点时，. 因此存在点，使得为定值. 【典例4】．（24-25高二下·上海崇明·期末）如图，已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆C上位于第一象限的点，M， N是y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足且，线段PN交x轴于点Q． (1)求椭圆的离心率； (2)若点M的坐标为，求点P的坐标； (3)求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定值问题、椭圆中向量点乘问题 【分析】（1）根据椭圆方程，直接求离心率； （2）首先利用垂直关系，先求点的坐标，再求点的坐标； （3）首先设，设，，首先根据，得到，再根据，得到坐标的关系，最后根据，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，，，则， 所以椭圆的离心率； （2），，设，，， 因为，所以，即，即 设，，， 由题意可知，，得，， 则； （3）设，，设，，，， 由，所以，得， ，，， 由，所以，且， 化简得，又， 所以，即 所以，得， . 【变式1】．（24-25高二上·上海·期末）已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.    (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线上的点到其两条渐近线的距离分别为，求的值； (3)已知点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】双曲线中的定值问题、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】（1）由渐近线方程得到，代入点即可求解； （2）由点到线的距离公式求解即可； （3）设直线方程，联立双曲线方程，结合韦达定理，由即可求证； 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为， 所以设双曲线方程为， 又双曲线过点， 则，所以双曲线的方程为， 即. （2）因为在曲线上， 则， 渐近线方程：， 所以： （3）由（1）可知的斜率存在且不为0，设的方程为， 联立，消去得， 设，由题意得， 则， 所以 ， 所以得证.    【点睛】关键点点睛：由，求证； 【变式2】．（22-23高二下·上海·期末）已知椭圆C：，四点中恰有三点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点． (3)如图，抛物线M：的焦点是F，过动点的直线与椭圆C交于P，Q两点，与抛物线M交于两点，且G是线段PQ的中点，是否存在过点F的直线交抛物线M于T，D两点，且满足，若存在，求直线的斜率k的取值范围；若不存在，说明理由．    【答案】(1) (2) 证明：①当斜率不存在时，设,， ∵直线与直线的斜率的和为， ∴， 解得m＝2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设,，， 联立，消去y整理得， 则，， 则 , 又，∴，此时， 故存在k，使得成立， ∴直线l的方程为，即 ∴l过定点． (3)存在， 【知识点】直线与抛物线交点相关问题、椭圆中的直线过定点问题、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆C上．把的坐标代入椭圆C，求出，即可求出椭圆C的方程； （2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利用判别式、根与系数的关系，结合已知条件得到，能证明直线l过定点； （3）利用点差法求出直线PQ的斜率，从而可得直线PQ的方程，与抛物线方程联立，由，及点G在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线TD的方程为，与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得m的取值范围，进而可求得直线的斜率k的取值范围． 【详解】（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C上， 又的横坐标为1， ∴椭圆必不过， ∴三点在椭圆C上． 把代入椭圆C， 得，解得， ∴椭圆C的方程为． （2）略 （3）∵点P，Q在椭圆上，所以，， 两式相减可得， 又是线段PQ的中点， ∴， ∴直线PQ的斜率， ∴直线PQ的方程为，与抛物线方程联立消去x可得， 由题可知，∴， 又G在椭圆内部，可知，∴，故， 设，，由图可知，， ∴， 当直线TD的斜率为0时，此时直线TD与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去， 设直线TD的方程为，与抛物线方程联立，消去x可得， ∴， 由，可知，即， ∴，即， ∴， ∵， ∴，解得，即， ∴直线TD即的斜率． 【点睛】思路点睛：处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 【变式3】．（24-25高二下·上海静安·期末）已知为二次曲线上一点，则过点的二次曲线的切线方程为．椭圆Γ：的左焦点是、右焦点是，过点的直线l分别交Γ于两点P、Q，其中点P在x轴上方，O为坐标原点． (1)若，求的值； (2)现分别过点P、Q作椭圆Γ的两条切线相交于点T，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求椭圆中的最值问题、求椭圆中的参数及范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）先由题意设直线l的方程，设和，由列出关于的等量关系式即可求解； （2）先分析直线l垂直于x轴时的面积，再分析直线l不为x轴且不垂直于x轴时，设，与椭圆联立求出韦达定理，再利用弦长公式求出，接着设两直线交点T的坐标为，根据两切线方程得直线的方程，进而由PQ恒过点求出点，于是可得点T到直线l的距离，再由=结合偶函数性质和导函数工具即可求解. 【详解】（1）由题， 由题意直线l垂直于x轴时或者为x轴时不成立，故可设直线l的方程为， 设，，则由，得， 由，得， 又，故，故， （2）当直线l垂直于x轴时，将代入椭圆方程得点， 根据已知条件切线的方程分别为：， 联立求得两直线交点T的坐标为，此时△TPQ的面积为； 直线l显然不为x轴，当直线l不垂直于x轴时，设， 代入椭圆方程得， 设，，则， 则， 设两直线交点T的坐标为， 根据已知结论有：，因此直线即直线l的方程为， 又PQ恒过点，代入此方程得， 从而直线的方程为，所以， 点到直线l的距离， 故的面积=， 这是关于k的偶函数，只需考虑， 时，， 所以在时单调递减，在时递增，在即直线l垂直于x轴时取得最小值，此时的面积为． 综上，的面积的最小值为. 【变式4】．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析 【知识点】双曲线中的定值问题、双曲线中存在定点满足某条件问题、根据离心率求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程； （2）设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； （3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设， 由，消去得， 显然，， 设，则，得， 于是， ， 即，因此与不垂直， 所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， 则，又， 于是 ， 而，即有，且， 所以，即为定值． 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 【变式5】．（24-25高二下·上海嘉定·期末）如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为S． (1)当，时，求S； (2)当，时，求直线AB的方程； (3)求S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)最大值是1 【知识点】根据韦达定理求参数、抛物线中的三角形或四边形面积问题、求椭圆中的最值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）设出交点坐标，联立方程，求得交点坐标，根据三角形面积公式，可得答案； （2）联立方程，写出韦达定理，根据三角形面积公式与弦长公式，化简方程，可得答案； （3）由（2）可知弦长表达式，根据基本不等式，可得答案. 【详解】（1）设，．由得，解得，， 可得下图： 则．因此． （2）由得． 由， 可得，， 由，得． 又， 代入，得，解得，． 直线AB的方程是． （3）． 由基本不等式得， 当且仅当，等号成立． 由第（2）小题的结论知，S可以取到1，因此S的最大值是1． 【变式6】．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知椭圆的图像经过点    (1)若椭圆的焦距为，求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与椭圆在第一象限交于点，点与点关于原点对称，连接，当取得最大值时，求椭圆的离心率； (3)若椭圆经过点，点是椭圆上的动点，直线与椭圆交于两点，为的中点，且满足，则的面积是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)； (3)是，定值. 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）利用待定系数法求椭圆方程； （2）首先得到点的坐标，根据坐标表示直线和的斜率，得到，并利用倾斜角表示的正切值，即，转化后利用基本不等式求最值，根据最值成立的条件求离心率； （3）首先根据条件确定椭圆方程，当直线斜率存在时，设出直线得到方程，并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示弦长，根据向量关系转化为，利用韦达定理表示点的坐标，结合点在椭圆上，得到，并求解点到直线的距离，结合面积公式求定值，当直线得到斜率不存在时，求定值. 【详解】（1）由已知条件可知， 从而， 所以椭圆的方程； （2）设，则， 则， 从而. 设直线的倾斜角分别为则 ， 当且仅当，即时取等号， 此时，即， 所以， 从而，解得（舍负）， 所以当取得最大值时，椭圆的离心率为； （3）由已知椭圆经过点可得， 从而椭圆的方程； ①当直线与轴不垂直时，设， 联立方程组， 得. 由题意可知. 设，则，所以 ， 由可知， 设，则有， ， 因为点，在椭圆上， 所以， 整理得， 此时，， 点到直线的距离， 所以的面积 ， ②当直线与轴垂直时，，， ， ， . 综上可和，的面积为定值.    题型四 最值、取值范围问题（期末难点） 答｜题｜模｜板 1. 几何法：利用圆锥曲线定义、对称性、三角形三边关系、垂线段最短等几何性质转化，快速求解最值； 2. 代数法：构建目标函数（以坐标、斜率为变量），结合二次函数单调性、基本不等式、判别式、导数求解最值与范围。 【典例1】．（24-25高二下·上海·期末）已知双曲线，左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于，两点． (1)若，为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标． (2)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的坐标表示、双曲线的对称性、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的最值问题 【分析】（1）利用等腰三角形两腰长相等可列方程组求点的坐标； （2）利用直线与双曲线联立方程组，由韦达定理来表示，利用这个等式可得到与直线参数的函数关系，利用函数求最大值. 【详解】（1） 当时，双曲线，且． 由点在第一象限，可知为钝角． 由为等腰三角形，得． 设点，且，则，解得， 即； （2） 由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称． 设，则． 由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立，得， 则，即，, 由，得， 得，所以 整理得，则, 再由，得，解得，所以， 又，得，即的最大值为． 【典例2】．（22-23高二下·上海松江·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点. (1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积； (2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】双曲线中的参数及范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】（1）根据渐近线方程得到，求出双曲线方程，写出直线的方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案； （2）由，得到或，表达出，根据对称轴为得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意得：，所以，所以双曲线的标准方程为， 直线的方程为，设，， 联立方程组，消去整理得， 则， 所以， 所以的面积为 （2）因为，所以，所以或， 所以， 对称轴为， 由题意，，， 所以实数的取值范围为 【变式1】．（24-25高二下·上海·期中）已知 是椭圆 上一个动点， 是椭圆的左焦点，若 的最大值和最小值分别为 和 . (1)求椭圆 的标准方程； (2) 是 轴正半轴上的一点，求 的最大值. (3)若动直线 与 交于点 ，点 是 轴正半轴上异于点(1，0)的一定点， 若直线 的倾斜角分别为 ，且存在实数 使得 恒成立，求点 的坐标及 的值. 【答案】(1) (2)时，的最大值为，时，的最大值为当； (3)，. 【知识点】椭圆中的定值问题、椭圆中存在定点满足某条件问题、求椭圆中的最值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据椭圆焦半径的性质，利用待定系数法，即可求解； （2）根据两点间距离公式，转化为二次函数，结合函数的定义域，即可分类讨论函数的最值； （3）首先直线与椭圆方程联立，得到韦达定理，根据两角和的正切公式，转化为，再根据斜率公式，代入韦达定理，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，，，得， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）设，， ， ，，， 当时，即，此时在区间单调递减，所以的最大值为当时，此时， 当时，即，此时在区间的最大值为当， 综上可知，时，的最大值为，时，的最大值为当； （3）设，（且），，， 将与联立，得， 则，， 因为，， 所以，所以为定值， 因为 ， 当时，，为定值， ， 所以，. 【变式2】．（24-25高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，椭圆方程为．已知椭圆的长轴长为，离心率为，，分别是椭圆左、右焦点，直线与椭圆交于，两点. (1)求椭圆方程； (2)若直线是圆的任意一条切线，求的值； (3)若直线不经过左焦点，设焦点到直线的距离为，如果直线，，的斜率依次成等差数列，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据韦达定理求参数、椭圆中的定值问题、求椭圆中的参数及范围、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）利用待定系数法，即可求椭圆方程； （2）分直线的斜率不存在和存在两种情况，根据直线与椭圆相交，以及直线与圆相切的条件，求的值； （3）首先利用坐标表示直线和的斜率，根据斜率成等差数列，列式得到，整理后代入韦达定理得到，根据条件得，，结合韦达定理了，以及点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】（1）由题意可得，椭圆的长轴长为，即有，即，又，解得，即有椭圆的标准方程为； （2）圆，设，则. 直线为圆的切线，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论： ①当直线的斜率不存在时，直线. 若，由，解得，此时. 若，同理得：. ②当直线的斜率存在时，设.    由，得，① ，又直线是圆的切线， 故，可得，恒成立， 又，而， ，即. 综上，恒有. （3）分别是椭圆的左、右焦点，可得， 则，②， 由直线的斜率依次成等差数列， 可得， 所以有， 化简井整理得: 假设，则直线的方程为:，即直线经过点，不符合条件， 则，    由方程（1）及韦达定理可知:，则，③ 由②③可知，，化简得:，这等价于:， 反正，当满足③及时，直线必不经过（否则将导致，与③矛盾）， 而此时满足②，从而直线1与椭圆有两个不同的交点 同时也保证了的斜率存在（否则中的某一个为-1， 结合可知，与方程①有两个不同的实根矛盾） 记点到直线的距离为，则 ，注意到， 令，则，从而④式可改写为:， 考虑到函数在上单调递减，则. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标，结合韦达定理表示条件中的几何关系，尤其是第三问，利用，表示的不等式关系. 【变式3】．（24-25高二下·上海·期中）已知 是以 为焦点的抛物线 是离心率为 ，以 为焦点的双曲线，且 与 在第一象限有两个公共点 . (1)求双曲线 的标准方程； (2)求 的最大值； (3)是否存在 ，使得此时 的重心 恰好在双曲线 的渐近线上? 若存在 ，求出 的值: 若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)10 (3)不存在；理由见解析 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线、根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中的最值问题 【分析】（1）设双曲线的方程，利用双曲线的焦点坐标和离心率建立方程组，即可求得双曲线的方程； （2）设点、，其中，，将抛物线与双曲线的方程，由求出正数的取值范围，列出韦达定理，将表示的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得的最大值； （3）求出的重心的坐标，将点的坐标代入直线的方程，求出正数的值，即可得出结论. 【详解】（1）因为双曲线焦点是， 故双曲线焦点在轴上， 于是可设双曲线的方程为， 且该双曲线的离心率为， 由题意可得，解得， 因此，双曲线的方程为. （2）    抛物线的焦点为， 设点、，其中， 联立， 可得， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根， 所以，因为，解得， 由韦达定理可得，，， 所以， ，， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为10. （3）由（2）可知，的重心为， 且， ， 故点， 因为点为第一象限内的点， 故点在直线上， 所以， 因为，解得， 又，所以不存在. 因此，不存在正数，使得此时的重心恰好在双曲线的渐近线上． 题型五 圆锥曲线新定义 【典例1】．（2024高二下·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，对于点、直线，我们称为点到直线的方向距离. （1）设双曲线上的任意一点到直线，的方向距离分别为，求的值； （2）设点、到直线的方向距离分别为，试问是否存在实数，对任意的都有成立？说明理由； （3）已知直线和椭圆，设椭圆的两个焦点到直线的方向距离分别为满足，且直线与轴的交点为、与轴的交点为，试比较的长与的大小. 【答案】(1)；(2)，理由见详解；(3)，证明见详解. 【知识点】圆锥曲线新定义 【分析】(1)根据定义表示出，然后结合点在双曲线上计算出的值； (2)假设存在满足条件，计算出的值，令，即可求解出满足条件的的值； (3)根据新定义得到的结果，根据条件得到的范围，将的范围代入到中利用基本不等式即可比较出与的大小，即可比较出与的大小. 【详解】(1)由题设可知：设，所以， 所以， 又因为，所以； (2) 假设存在实数满足条件，因为， ， 所以，所以，所以， 故存在满足条件； (3)因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以， 所以，取等号时， 所以，所以. 【点睛】本题考查新定义背景下的圆锥曲线的综合应用，难度较难.(1)存在性问题，先假设成立，然后再探究成立的条件；(2)新定义问题，首先要理解定义，其次才是利用所学知识解答问题. 【变式1】．（25-26高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，若，则称点被直线分隔.若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线. (1)若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围； (2)已知动点到点的距离与到轴的距离之积为1.设点的轨迹为曲线，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【知识点】由方程研究曲线的性质、求平面轨迹方程、圆锥曲线新定义 【分析】（1）联立可得，根据此方程无解，可得，验证曲线上的点和被分隔，从而求得的范围. （2）设点，与条件求得曲线的方程为①.由于轴为，显然与方程①联立无解.把的坐标代入，由，可得轴，即是一条分隔线. 【详解】（1）联立，可得. 根据题意，此方程无解，故有，所以. 当时，对于直线， 点被直线分隔，即， 曲线上的点和满足，即点和被分隔. 故实数的取值范围是. （2）点被直线分隔，即， 设点，则由题意可得， 故曲线的方程为①. 对任意的，不是上述方程的解，即轴(即)与曲线没有公共点. 又曲线上的点、对于轴(即)对称，满足， 即点和被轴分隔，所以轴，即为曲线的分隔线. 若过原点的直线不是轴，设为，代入， 可得， 令， 当时，， 所以在区间有实数解， 当时，有实数解. 与有公共点，所以不是的分隔线. 所以通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线，即. 【变式2】．（25-26高二下·上海·期中）在研究复杂的平面曲线时，有时会把曲线上的点投影到直线上，我们引入以下两个定义： 【定义1】给定平面内一曲线和曲线上一点，以及一条不经过的直线. 对于上某一点（），若直线与有且只有一个交点，则称为点关于中心在上的投影点. 【定义2】给定平面内一曲线，点不在上，以及一条直线（不经过）.对于上任意一点，直线与曲线的交点个数称为关于中心和曲线的覆盖度，记为. 若上存在一点，对于以为中心的任意开区间内（以为中心的开区间是指，其中），都存在点使得，则称为在上的分歧投影点. (1)已知圆，点在上，投影直线. 若上有一点，求点关于中心在上的投影点的坐标. (2)已知椭圆，左顶点为，投影直线. 设 是 上异于点的两个不同动点，它们关于中心在上的投影点分别为和证明：直线经过定点的充要条件是. (3)已知双曲线，投影中心在轴上，直线为轴. 对于上任意一点，设关于中心和曲线的覆盖度为. 探究上关于中心和曲线的“分歧投影点”的个数是否与的取值有关？请说明理由，并求出所有分歧投影点的坐标. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)与的取值无关，理由见解析，. 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、椭圆中存在定点满足某条件问题、双曲线中存在定点满足某条件问题、圆锥曲线新定义 【分析】（1）写出过和的直线方程，与投影直线联立解得交点坐标； （2）将椭圆上的点用投影点纵坐标参数化，用此参数表示直线过定点的代数条件，化简得，反之亦然； （3） 直线与双曲线方程联立，交点个数变化仅当判别式为零或二次项系数为零，解得的四个值，与无关，即为分歧点. 【详解】（1）设直线，将点，代入可得直线， 将代入直线可得交点，根据定义1可得即为投影点. （2）设椭圆上任意一点（异于左顶点），其关于中心在直线上的投影点为， 由共线可得斜率相等：（1） 反之，由(1)解出，代入椭圆方程得 整理得 ，已知是方程的一个根（对应点），设另一根为， 由韦达定理： 代入(1)得， 因此，点的坐标可用参数表示为（2）. 现在，设对应参数，则直线经过定点的充要条件是向量与共线，即（3）. 利用(2)计算： 于是（4）. 必要性：假设直线过，则 (3) 成立，将 (4) 代入得 两边乘以并整理： 左边通分：，即，由于，两边除以得 充分性：若，则利用(4)计算： 由，得，代入可得：. 又由，得 ，因此差为零，即(3)成立，故在直线上， 所以直线恒过定点. 综上所述，直线经过定点的充要条件是，证毕. （3）分歧投影点的个数与的取值无关，恒为4个. （1）当时，对双曲线，中心 ，直线 轴，点， 直线方程为 （），代入双曲线得二次方程 判别式，二次项系数为， 覆盖度 发生变化的情形包括： ①二次项系数为零，即 ，解得 ，此时曲线方程为一次方程，以为例，，解得， 代入直线得，验证：，成立， 因此当时，直线与双曲线恰有一个交点，代入，得，即是唯一解， 所以此时交点个数为1,因此当时交点个数为1，而两侧为2，故是分歧点，类似地也是； ②判别式为零，即 ，解得，即，此时直线与双曲线相切，交点个数为1（切点）， 而两侧的使得时有两个交点，或时无交点，因此也是分歧点； （2）当时，直线即轴，方程为，代入，无实数解. 此时， 当时也无解，故不是分歧投影点. 因此，分歧投影点的个数与无关，无论取何值，分歧投影点的个数总是4个， 坐标分别为. 【变式3】．（24-25高二下·上海·期中）如图所示，平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点是角α终边上的点（异于原点），设，将点P绕O逆时针旋转θ后得到． (1)求证：． (2)已知曲线是函数的图象，曲线绕原点O逆时针旋转后得到，求的标准方程； (3)已知曲线表示一个中心在原点的椭圆，Q为第一象限内一点，且在椭圆的长轴上，满足，过点Q作直线交曲线于点M、N，过原点O作直线与直线垂直，直线交曲线于点G、H，试判断：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)是，定值为 【知识点】圆锥曲线新定义、椭圆中的定值问题、求平面轨迹方程、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简得证； （2）设曲线上一点为，表达出，，利用代入法求曲线的方程； （3）方法一：设长轴在x轴上的椭圆一点为，根据题意先求得，分直线旋转后斜率不存在和存在两种情况，设出直线旋转后的方程，直线旋转后的方程，联立椭圆，结合韦达定理可得； 方法二：设长轴在x轴上的椭圆一点为，根据题意先求出，故，分斜率不存在，斜率为且0和斜率存在且不为0三种情况，设出直线方程，联立，可得. 【详解】（1）点是角α终边上的点（异于原点），设， 则， 经过逆时针旋转θ到后，角终边与重合， 所以， ，得证． （2）设曲线上一点为， 逆时针旋转后的点在的图像上， 由（1）知：，， 代入得， 化简即得曲线的方程为． （3）方法一：设长轴在x轴上的椭圆一点为， 逆时针旋转得到点在的图像上， 由（1）知，，满足， 于是得． 因此且， 由不等式可得，故， 由此得，所以， ，故． 点Q旋转后的坐标为． 当直线旋转后斜率不存在时，中，令得， 解得，则， 此时直线为轴，故，， 当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为，直线旋转后为， 旋转后，，． 与椭圆方程联立，即， 可得， 则由韦达定理得，， 故 ， 将代入椭圆方程中，有，， 故， 则． 方法二：设长轴在x轴上的椭圆一点为， 逆时针旋转得到点在的图像上， 由（1）知，，满足， 于是得． 因此且， 由不等式可得，故， 由此得， 又，故，当斜率不存在时，直线方程为， 中，令得， 此时、满足，故， 于是， 此时直线为，中，令， 解得，故， 此时． 当斜率为0时，直线方程为，此时同理得； 当斜率存在且不为0时，设直线，． 设，，联立与得， 故， 则联立椭圆联立得， 有， 故， 则， 故． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·上海·期末）已知抛物线. (1)倾斜角为的直线过的焦点，且与交于、两点，求； (2)设是上一点，、是的准线上两个不同的点，且圆是的内切圆.，求点的横坐标； 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据已知得直线为，联立抛物线，应用韦达定理及抛物线的定义求； （2）设，，切线为，根据内切圆及点线距离公式得，进而得到且，即可求的横坐标； 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，则设直线为，    设点， 联立直线与抛物线方程可得， 因此，所以； （2）设，于是有，的准线方程为，    设，过的直线的方程可设为， 根据题意，两直线均与圆相切，因此， 化简得， 设的斜率为， 因此， 将代入上式，化简得，解得或（舍）， 因此点的横坐标为3. 2．已知抛物线的焦点为上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为2. (1)求抛物线的方程； (2)已知点是抛物线上不同的三点. （i）若直线过点，且交准线于点，求的值； （ii）若直线的斜率分别为，且，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1)； (2)（i）0；（ii）. 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义结合最小值求出. （2）（i）设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量坐标运算计算即得；（ii）设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合斜率坐标公式列式可得，再借助判别式求出范围. 【详解】（1）抛物线的焦点，准线为：， 设点，动点到其准线的距离为， 由拋物线定义得，，则，当且仅当时取等号， 依题意，，所以抛物线的方程为. （2）（i）显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为：， 设，又， 由消去得，， ， 由，得，整理得，同理得， 所以. （ii）设直线的方程为：，而， 由消去得，则， 又，由，得， 即，则，解得， 由，得，解得或，则 所以直线的斜率的取值范围是.    3．（24-25高二下·上海·期末）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线； (2)写出曲线的两条性质； (3)过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点．证明：是直角三角形． 【答案】(1)，为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点； (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据斜率的计算公式利用直接法即可得结果； （3）根据椭圆（类似）的性质作答即可； （3）直线的斜率为，通过联立方程组求出的坐标，通过斜率计算公式可得的斜率为，进而可得结果. 【详解】（1）依题意可得， 化简得， ∴为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点； （2）曲线的上下顶点为，曲线上点到中心的距离的取值范围为等； （3）设直线的斜率为，则其方程为． 由，解得． 记，则，，． 于是直线的斜率为，方程为． 由得①， 设，则和是方程①的解，故，由此得． 从而直线的斜率为，∴，即是直角三角形． 4．（25-26高二上·上海·期末）如图，已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点．    (1)设，求线段中点到轴的距离； (2)若直线的倾斜角为，求面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由求出即可求解； （2）设，直线的方程：与抛物线方程联立，求出、，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得三角形的高，再由三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为过焦点的直线交抛物线于A，B两点，且， 设，则由抛物线的性质可得， 又由题，所以， 所以线段中点的横坐标即为线段中点到轴的距离为. （2）由直线的倾斜角为，则直线斜率为1，焦点为，所以直线的方程：， 将直线与抛物线联立，整理可得，        设，所以，， 所以，                        原点到直线的距离，      所以.    5．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线． (1)求上焦点的坐标； (2)若动点在双曲线的上支上运动，求点到的距离的最小值，并求此时的坐标； (3)若为双曲线的上顶点，直线与双曲线交于C、D两点（异于点），，求实数的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据双曲线方程求解出的值，根据求解出的值，则坐标可知； （2）设出点坐标，然后表示出，根据点在双曲线上以及二次函数的性质求解出，代入于双曲线方程则可知，故点坐标可知； （3）设出坐标，联立直线与双曲线方程得到横坐标的韦达定理形式，然后将数量积关系转化为坐标关系，结合韦达定理可求解出的值. 【详解】（1）因为双曲线方程为， 所以，所以， 所以上焦点. （2）设，则， 所以， 当时，此时取得最小值且， 所以，所以， 所以. （3）因为为上顶点，所以， 由题意可知：不经过，所以， 设， 联立可得， 且，即， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 化简可得：，解得或（舍）， 综上所述，. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．（24-25高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点作直线与曲线C相交于P，Q两点，点N能否是线段PQ的中点？若能，求直线PQ的方程；若不能，请说明理由. 【答案】(1)； (2)不能，理由见解析. 【分析】（1）根据条件计算双曲线焦点坐标，结合渐近线方程可得结果. （2）利用点差法计算直线的方程，与双曲线方程联立可得无交点，故点N不能是线段的中点. 【详解】（1）由题意得，椭圆焦点坐标为. ∵双曲线渐近线方程为， ∴，解得， ∴双曲线C的标准方程为. （2）假设点N能是线段的中点，设，则， 由得 ， ∴， ∴直线的斜率为， ∴直线的方程为，即， 由得， ∵，∴直线与双曲线无交点， ∴点N不能是线段的中点. 7．（25-26高二上·上海宝山·期末）已知焦点在轴的双曲线，实轴长为2，焦距为4，、分别为双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线交于、两点. (1)求双曲线方程： (2)若直线的斜率为1，求的面积； (3)记左顶点为，直线、分别交直线于、两点，证明：为定值. 【答案】(1) (2) (3)详见解析 【分析】（1）根据题意，由，求解； （2）直线方程为，与双曲线方程联立，求得弦长和左焦点到直线的距离d，由求解； （3）当直线的斜率不存在时，易得点A，B的坐标，从而得到点P，Q的坐标求解；当直线的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立，设，求得点P的坐标，同理求得点Q的坐标，利用平面向量数量积运算结合韦达定理求解. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以，， 所以双曲线的方程为：； （2）由（1）知，则直线方程为， 与双曲线方程联立，消去y得， 由韦达定理得， 则弦长， ， 左焦点到直线的距离为， 所以； （3）如图所示： 当直线的斜率不存在时，，则， 所以，则； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 与双曲线方程联立，，消去y得， 由韦达定理得， 设，令，得则， 同理， 所以， 则， ， ， ， . 综上：为定值0. 8．（24-25高二下·上海金山·期末）已知椭圆的长轴为，椭圆的离心率，左右焦点分别记作、，且，过、分别作直线、交椭圆于、（在轴上方），且； (1)求此椭圆方程． (2)当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值． (3)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）与转换成关于，，的方程，解方程即可. （2）设，代入椭圆方程中，作差即可得到结论. （3）利用四边形为平行四边形，把四边形面积转化成面积的2倍，然后设直线的方程为，联立椭圆方程，设而不求，把的面积表示成关于的函数，换元，利用基本不等式求出函数最值. 【详解】（1）设，， ，得到； 又因为，所以，，． 即椭圆方程为． （2）设，，根据对称性，有，因为，都在椭圆上， 所以，，二式相减得，， 所以为定值． （3）由题意得，直线的倾斜角不为，由对称性得四边形为平行四边形， ， ，设直线的方程为，代入， 得．显然，，． 所以 ， 设，所以，． 所以． 当且仅当即时等号成立，所以． 所以平行四边形面积的最大值为．    9．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知双曲线的离心率为，实轴长为2． (1)求的方程； (2)设点在双曲线的左支上，过点分别作斜率为1与-1的直线、与双曲线交于、两点，求的面积关于的函数表达式，并求的取值范围； (3)过点作的两条切线、，设直线、的斜率分别为、．若，求点的取值范围及的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)且， 【分析】（1）根据离心率实轴长联立方程即可； （2）设，，直线与双曲线联立后解得，同理解得，求出和，根据求出即可求解； （3）设切线方程为，与双曲线联立和化简得关于的方程，据此即可求解. 【详解】（1）由题意：，， 解得，， 于是； （2）设，，则直线与双曲线联立后解得，同理解得， 故， 同理， 又由于，所以， 的取值范围为； （3）设切线方程为， 与双曲线联立后得， 由得 化简得关于的方程， 该方程也要有两个不同的实根， 于是根据我们得到且，故且， 根据韦达定理我们知道， 计算得的取值范围为． 10．（25-26高二上·上海宝山·期末）已知点为椭圆：上一点，、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若点不在轴上，求的周长； (2)过右焦点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过，求的方程； (3)若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，在轴上方是否存在点，使得（）成立?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)或 (3)存在， 【分析】（1）由椭圆方程结合椭圆定义可得周长； （2）要使以为直径的圆经过，则，为此设，将直线方程与椭圆方程联立，再设，则，然后由韦达定理可得答案； （3）设，，，由（2）中分析可得，然后由椭圆对称性可得，由此可将化为，据此可判断C的存在性. 【详解】（1）由题可得. 当不在轴上，由椭圆定义可得：， 则； （2）由题可得直线斜率不为0，因，设， 将直线方程与椭圆方程联立，得， 消去得：，判别式为：. 设，由韦达定理，. 因以为直径的圆经过，则. 又，则. 则， 即 . 则或； （3）设，，由题可得直线斜率不为0，且也经过. 设，由（2）中分析，可得. 又由椭圆对称性，可得与关于轴对称，则. 从而，， 因，则 . 又，则， 结合，， 则， 则，. 即存在满足题意. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 11．（24-25高二下·上海·期中）已知且，曲线. (1)若曲线是焦点在轴上的等轴双曲线，求曲线的离心率； (2)设，点，曲线上有A、B两点（其中在第一象限）.若且，求点的坐标； (3)设为给定常数，且，过点的直线与曲线交于D、E两点，为坐标平面上的动点.若直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上？若存在，求该定直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)点N在直线时，不存在定直线，使点在定直线上； 当点不在直线上时，点在定直线上. 【分析】（1）根据等轴双曲线的性质求其离心率. （2）先根据平面向量数量积的几何意义确定点在圆上，再与椭圆方程联立，根据点所在位置，可求点坐标. （3）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，，再根据直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列列式，化简即可. 【详解】（1）若曲线是等轴双曲线，则， 所以，，其离心率为：. （2）当时，曲线：表示焦点在轴上的椭圆. 因为，且，根据平面向量数量积的几何意义可得：. 所以点在圆：上. 由，且点在第一象限，得点坐标为. （3）如图： 由得：， 整理得：. 因为，所以上述方程必定有两个不同的实根. 设，，则，. 设，因为直线ND、NT、NE的斜率的倒数成等差数列， 所以. 又，，所以， 所以， ， 所以或. 由 所以点N在直线或上. 即点N在直线时，不存在定直线，使点在定直线上； 当点不在直线上时，点在定直线上. 12．（24-25高二下·上海·期末）已知椭圆：的左、右焦点为、. (1)已知为的上顶点，求的周长； (2)已知直线交于，两点，若，求直线的方程； (3)已知，，直线：与有两个不同的交点，.设为轴上一点，是否存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)或； (3)存在. 此时，. 【分析】（1）先根据椭圆的方程写出点，，的坐标；再根据两点间距离公式得出，，，从而可求出的周长. （2）先根据得出 ，，三点共线；再设出直线方程为，联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理得出，，结合即可求出，从而得出直线的方程. （3）联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理得出，，进而得出，及线段的中点坐标；再求出线段的垂直平分线方程，得出点的坐标；最后根据，列出关于的方程求解即可做出结论. 【详解】（1）由椭圆方程可得：，， 则. 所以有，，. 由两点间距离公式可得：，，， 所以的周长为. （2）设点，. 由可得： ，，三点共线且，即， 当直线过点，且斜率为时，则，点，不满足； 所以直线过点，且斜率不为， 设直线方程为. 联立方程组，整理得：， 则，由韦达定理可得，结合可得：或， 则直线的方程为或， 即或. （3）设点，. 联立直线与椭圆的方程，整理得：， 则，解得， 由韦达定理可得， 则， ； 线段的中点坐标为. 所以线段的垂直平分线方程为：， 令，得. 设为轴上一点，假设存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形 则，. 又因为，， 所以 即，整理得：， 因为,所以. 综上，存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，此时，. 13．（23-24高二下·上海闵行·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为分别为的上，下顶点，是上不同于点A的两点. (1)求的值； (2)记的面积分别为，若，求的取值范围； (3)若直线与的斜率之和为2，作，垂足为，试问：点是否在一个定圆上？若是，求出该圆的方程；若不是，说明理由. 【答案】(1)2 (2) (3)点在圆 【分析】（1）根据椭圆方程求，即可得； （2）根据（1）可得，由题意可得，结合椭圆方程列式求解； （3）设直线，联立方程，根据题意结合韦达定理可知直线过定点，结合垂直关系分析圆的方程，注意分类讨论直线的斜率是否存在. 【详解】（1）由题意可知：，且焦点在x轴上， 可知， 所以. （2）由（1）可知：， 若，即，可得， 又因为在椭圆上，则，即， 可得，解得或， 且，可得或， 所以的取值范围为. （3）若直线的斜率存在，设直线， 联立方程，消去y得， 则，可得， 因为直线与的斜率之和为2， 则， 整理可得，则， 且，即，可得，整理可得， 此时直线过定点； 若直线的斜率不存在，则， 因为直线与的斜率之和为2， 则，即， 此时直线也过定点； 综上所述：直线过定点， 又因为，则点在以为直径的圆上， 且的中点为，且， 可知以为直径的圆的方程为， 所以点在圆上. 【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略 （1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在． （2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论； ②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； ③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况． 14．（24-25高二下·上海闵行·期末）在直角坐标系中，已知椭圆（）的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为，且，求的值； (3)是否存在，使恒为定值？若存在，请求出与的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据椭圆的长轴与离心率直接可得解； （2）联立直线与椭圆方程，结合根与系数关系表示向量数量积，即可得解； （3）设直线方程，联立直线与椭圆，结合根与系数关系表示，化简即可得解. 【详解】（1）由已知椭圆的长轴长为，即， 又椭圆的离心率，则， 所以， 故椭圆方程为； （2）由已知直线的斜率为，且过点，则直线的方程为， 设，， 联立直线与椭圆，得， 则，即， 且，， 则， 则， 解得； （3）当直线斜率存在时，设直线，即， 联立直线与椭圆，得， 则， 且，， 则，， 则， 又恒为定值， 则，解得，即， 且； 当直线斜率不存在时，直线， 则，则，， 此时， 则， 易知当时，.    【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 15．（24-25高二上·上海·期末）已知双曲线，，分别为其左、右焦点，为其左顶点．设过右焦点的直线与的右支交于，两点，其中点位于第一象限内．当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)设直线，分别与直线交于，两点，问：是否存在实数，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）依据题意设出，代入双曲线中建立方程，再结合双曲线中基本量的运算关系得到另一个方程，求解基本量，得到双曲线方程即可. （2）设出直线的方程，联立双曲线方程，得到关于点坐标的韦达定理；再分别求得的方程，以及点的坐标，利用数量积的坐标运算表示，再结合题意建立方程，求解参数即可. （3）求得直线不存在斜率时满足的，当斜率存在时，将所求问题，转化为直线斜率之间的关系，结合点的坐标满足曲线方程，求解即可. 【详解】（1）因为当直线与轴垂直时，， 且点位于第一象限内，所以设， 代入方程中得到，而， 解得，，则双曲线的方程为. （2）由上问得双曲线的方程为， 如图，则点，的坐标分别为， 又双曲线渐近线为，显然直线的斜率不为零， 故设其方程为，， 联立双曲线方程可得：， 设点的坐标分别为，且恒成立 则， ， ； 又直线方程为：，令，则， 故点的坐标为；直线方程为：， 令，则，故点的坐标为； 若右焦点恒位于以线段为直径的圆上，则， 则 ，令，解得， 故存在，使右焦点恒位于以线段为直径的圆上. （3）当直线斜率不存在时， 对曲线，令，解得， 故点的坐标为，此时， 在三角形中，，故可得， 则存在常数，使得成立； 当直线斜率存在时，不妨设点的坐标为，， 此时直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，， 假设存在常数，使得成立，即， 则一定有：，也即； 又；； 又点的坐标满足，则， 故 ； 故假设成立，存在实数常数，使得成立； 综上所述，存在常数，使得恒成立. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中存在常数满足条件的问题；其中第二问的关键是能够分析出向量数量积是定值，再表示出数量积，进而求解参数，第三问处理的关键是要投石问路，找到特殊情况下的参数值，再验证非特殊情况下依旧成立，同时还要注意本小题中把角度关系，转化为斜率关系即可. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $