专题04空间向量与立体几何（期末复习讲义，5重难题型+分层验收）高二数学下学期沪教版

专题04空间向量与立体几何（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01建立空间直角坐标系求各类空间角 题型02向量法证明平行与垂直关系 题型03等体积法求三棱锥体积 题型04向量公式求解点面距离 题型05立体几何动点存在性问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 空间向量基础运算 掌握空间向量基本概念、线性运算，区分共线、共面向量条件 多为选择填空小题，基础送分题；考查向量共线、四点共面辨析，运算简单，侧重概念辨析，几乎年年必考 空间向量数量积 熟练掌握空间向量数量积运算，会求向量模长、夹角 高频基础考点，小题必考、大题前置必备步骤；是求空间角、证垂直的核心工具，计算简单但极易粗心算错坐标 空间坐标运算 掌握空间直角坐标系下向量坐标运算，能精准求点、向量坐标 所有立体几何大题的基础，不单独命题，贯穿所有空间角、位置关系解答题；坐标写错直接整题失分 空间位置关系向量判定 会用向量法证明空间线线、线面、面面平行与垂直关系 解答题第一问高频考法，必考题型；替代传统几何证明，步骤固定、得分稳定，是期末大题必拿分点 三大空间角向量公式 熟练求解异面直线角、线面角、二面角三类空间角 期末核心压轴考点，大题必考（10–12分）；难度中档，是章节拉分点，易错在角度范围判断错误 距离与体积 掌握空间几何体体积、距离的向量简易求法 中档高频考点，常结合空间角综合考查；小题、大题均可出现，侧重公式套用，计算量适中 知识点01 空间向量基础概念与线性运算 空间向量定义：空间中具有大小和方向的量，运算规则与平面向量一致。 （1）线性运算 加减运算：遵循三角形法则、平行四边形法则 数乘运算： （2）共线向量判定 （3）共面向量判定 若不共线，则向量与共面 ·示例：已知，，判断两向量是否共线。 ·易错点：① 忽略零向量特殊性，零向量与任意向量共线、共面； ② 误将“向量共面”等同于“向量所在直线共面”； ③ 数乘向量运算时，漏乘某一坐标分量。 知识点02 空间向量坐标运算 设 加减运算： 数乘运算： 数量积运算： 向量模长： ·示例：已知，，求与。 ·易错点：① 数量积运算混淆坐标对应关系，出现交叉错算； ② 模长计算忘记开根号，直接使用平方结果； ③ 负数坐标平方运算出错，符号判断失误。 知识点03 空间向量夹角与垂直判定 向量夹角公式： 夹角范围： 垂直判定： ·示例：判断向量与是否垂直。 ·易错点：① 混淆向量夹角与异面直线夹角范围； ② 两向量数量积为0即垂直，无需考虑向量是否为零向量； ③ 夹角余弦值正负判断夹角锐角、钝角出错。 知识点04 空间位置关系向量证明（平行/垂直） 设直线方向向量为，平面法向量为 线线平行： 线线垂直： 线面平行：（直线不在平面内） 线面垂直： 面面垂直：两平面法向量 ·示例：已知平面法向量，直线方向向量，证明直线与平面平行。 ·易错点：① 证明线面平行遗漏“直线不在平面内”条件，证明不严谨； ② 混淆线面、面面平行与垂直的向量判定条件； ③ 法向量求解错误，导致位置关系判断失误。 知识点05 三大空间角求解（必考） （1）异面直线所成角 （2）线面角 （3）二面角 ，结合图形判断锐角/钝角 ·示例：已知异面直线方向向量，求异面直线所成角余弦值。 ·易错点：① 异面直线角、线面角必须取绝对值，避免出现钝角； ② 线面角公式混淆正弦、余弦，是最高频失分点； ③ 二面角不结合图形，无法判断正负，角度结果错误。 知识点06 空间距离与体积求解 点到平面距离公式 设平面内定点，平面外一点，平面法向量： 棱锥体积公式： ·示例：已知平面法向量，平面内点，平面外点，求点到平面距离。 ·易错点：① 点面距离公式遗漏绝对值，出现负距离； ② 向量坐标计算颠倒起点终点； ③ 体积计算忘记乘，低级公式错误。 题型一 建立空间直角坐标系求各类空间角 解｜题｜技｜巧 1. 优先选择底面为矩形、直角三角形的垂直结构建系，减少坐标计算； 2. 法向量取值优先整数、最简数，避免分数增大计算量； 3. 所有空间角计算优先取绝对值，再结合图形判断锐钝角。 易｜错｜点｜拨 1. 线面角混淆正弦、余弦公式，是最高频失分点； 2. 异面直线、线面角不取绝对值，出现钝角导致答案错误； 3. 二面角不结合图形，直接照搬公式正负，角度判定失误； 4. 法向量求解计算错误，导致整题偏差。 【典例1】已知是长方体，，E为BC的中点，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A．2 B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·上海松江·期末）小可爱问问闲来无事，将平面直角坐标系内三点，，沿将平面折起到，使二面角大小为，则与平面所成角的正弦值为________． 【变式1】（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小； 【变式2】（24-25高二上·上海黄浦·期末）如图，在圆锥P-O中，AB是底面圆的直径，点C，D在圆上，CD垂直平分线段OB，E是PB的中点，. (1)求二面角的正切值； (2)设AE与PO交于点M，Q是圆上的动点，DM，QM与平面ACE所成角的大小分别为，求，并证明. 题型二 向量法证明平行与垂直关系 答｜题｜模｜板 1. 建立空间直角坐标系，写出对应点坐标； 2. 求出待证直线方向向量、平面法向量； 3. 代入平行/垂直向量判定条件列式； 4. 补充几何前提（直线不在平面内、两直线相交等）； 5. 得出最终证明结论。 【典例1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【典例2】（24-25高二上·上海金山·期末）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则__________. 【变式1】（25-26高二上·上海宝山·期末）在四棱锥中，底面为矩形，平面，若，，、分别为、的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面的所成角大小. 【变式2】（25-26高二上·上海金山·期末）如图，在正四棱柱中，点在上，且，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 题型三 等体积法求三棱锥体积 答｜题｜模｜板 1. 轮换底面：选取垂直、直角三角形为底面，简化计算； 2. 计算底面：求出底面多边形面积； 3. 确定高：找出对应底面的垂直高； 4. 代入公式：代入体积公式计算结果。 易｜错｜点｜拨 1. 忘记体积公式系数，属于高频低级错误； 2. 底面与高不对应，选错底面导致高求解错误； 3. 非垂直几何体强行找高，不会使用等体积轮换法。 【典例1】已知正方体的棱长为，点是棱上的定点，且，点是棱上的动点，则三棱锥的体积最小值为______． 【典例2】如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，为的中点.    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积及到平面的距离. 【变式1】已知圆锥的底面圆半径为2，体积为，两条母线的夹角为 (1)求圆锥的侧面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求三棱锥的高． 【变式2】在正三棱锥中，底面正三角形边长为2，侧棱长为6. (1)求的表面积与体积； (2)求点到平面的距离. 题型四 向量公式求解点面距离 解｜题｜技｜巧 1. 法向量可直接取最简整数，无需单位化； 2. 点面距离恒为非负数，公式绝对值不可省略； 3. 可结合等体积法验证距离结果，快速纠错。 易｜错｜点｜拨 1. 省略绝对值，出现负距离，直接失分； 2. 两点向量起点、终点颠倒，向量坐标出错； 3. 模长计算忘记开根号，公式套用不完整。 【典例1】已知法向量为的平面α内有一点，则平面外点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 【典例2】在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点P到底面的距离为________. 【变式1】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.    (1)证明：； (2)当为线段的中点时，求点到面的距离. 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）已知正方体的棱长为1，是的中点，过的平面与分别交于，且． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求到平面的距离． 题型五 立体几何动点存在性问题 解｜题｜技｜巧 1. 动点统一用单参数，避免多参数复杂计算； 2. 垂直优先用数量积为0，计算最简单； 3. 结果必须验证参数范围，是得分关键。 【典例1】如图，在多面体中，四边形为正方形，平面.    (1)求证： (2)在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 【典例2】（25-26高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【变式1】如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 【变式2】如图，正四棱锥的底面边长为2，侧棱长是，点为侧棱上的点． (1)求正四棱锥的体积； (2)若平面，求二面角的大小； (3)在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高二下·上海杨浦·期末）在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（   ） A．4 B． C．2 D．-2 二、填空题 2．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角的大小为______． 三、解答题 3．如图，正方形ABCD所在平面外一点P满足PB⊥平面ABCD，且AB＝3，PB＝4． (1)求点A到平面PCD的距离； (2)线段BP上是否存在点E，使得DE⊥平面PAC，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 4．如图所示四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为BC、PD的中点． (1)证明：面； (2)若，平面平面ABCD，求二面角的余弦值． 5．如图，在直三棱柱中，，，且、分别是、的中点. (1)求直三棱柱的全面积； (2)求三棱锥的体积： (3)求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．如图，在直三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是棱上的一点，且，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25高二上·上海松江·期末）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则直线到平面的距离为________. 三、解答题 3．（25-26高二上·上海·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成的角的大小． 4．如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由； (3)求直线与平面所成角的取值范围. 5．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．如图是一棱长为的正方体，则异面直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．在直棱柱中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为________. 三、解答题 3．（25-26高二上·上海·期末）已知正方形，、分别是边、的中点，将沿折起，形成如图的几何体． (1)证明：平面； (2)若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求二面角的大小． 4．如图，在四棱锥中，是边长为1的正方形，平面是的中点. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 5．如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形.侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且. (1)求直线与底面所成角大小； (2)求点到侧面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04空间向量与立体几何（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01建立空间直角坐标系求各类空间角 题型02 向量法证明平行与垂直关系 题型03等体积法求三棱锥体积 题型04向量公式求解点面距离 题型05立体几何动点存在性问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 空间向量基础运算 掌握空间向量基本概念、线性运算，区分共线、共面向量条件 多为选择填空小题，基础送分题；考查向量共线、四点共面辨析，运算简单，侧重概念辨析，几乎年年必考 空间向量数量积 熟练掌握空间向量数量积运算，会求向量模长、夹角 高频基础考点，小题必考、大题前置必备步骤；是求空间角、证垂直的核心工具，计算简单但极易粗心算错坐标 空间坐标运算 掌握空间直角坐标系下向量坐标运算，能精准求点、向量坐标 所有立体几何大题的基础，不单独命题，贯穿所有空间角、位置关系解答题；坐标写错直接整题失分 空间位置关系向量判定 会用向量法证明空间线线、线面、面面平行与垂直关系 解答题第一问高频考法，必考题型；替代传统几何证明，步骤固定、得分稳定，是期末大题必拿分点 三大空间角向量公式 熟练求解异面直线角、线面角、二面角三类空间角 期末核心压轴考点，大题必考（10–12分）；难度中档，是章节拉分点，易错在角度范围判断错误 距离与体积 掌握空间几何体体积、距离的向量简易求法 中档高频考点，常结合空间角综合考查；小题、大题均可出现，侧重公式套用，计算量适中 知识点01 空间向量基础概念与线性运算 空间向量定义：空间中具有大小和方向的量，运算规则与平面向量一致。 （1）线性运算 加减运算：遵循三角形法则、平行四边形法则 数乘运算： （2）共线向量判定 （3）共面向量判定 若不共线，则向量与共面 ·示例：已知，，判断两向量是否共线。 解：由，存在实数，满足共线向量条件，故。 ·易错点：① 忽略零向量特殊性，零向量与任意向量共线、共面； ② 误将“向量共面”等同于“向量所在直线共面”； ③ 数乘向量运算时，漏乘某一坐标分量。 知识点02 空间向量坐标运算 设 加减运算： 数乘运算： 数量积运算： 向量模长： ·示例：已知，，求与。 解： . ·易错点：① 数量积运算混淆坐标对应关系，出现交叉错算； ② 模长计算忘记开根号，直接使用平方结果； ③ 负数坐标平方运算出错，符号判断失误。 知识点03 空间向量夹角与垂直判定 向量夹角公式： 夹角范围： 垂直判定： ·示例：判断向量与是否垂直。 解： 故。 ·易错点：① 混淆向量夹角与异面直线夹角范围； ② 两向量数量积为0即垂直，无需考虑向量是否为零向量； ③ 夹角余弦值正负判断夹角锐角、钝角出错。 知识点04 空间位置关系向量证明（平行/垂直） 设直线方向向量为，平面法向量为 线线平行： 线线垂直： 线面平行：（直线不在平面内） 线面垂直： 面面垂直：两平面法向量 ·示例：已知平面法向量，直线方向向量，证明直线与平面平行。 解： 又直线不在平面内，故直线//平面。 ·易错点：① 证明线面平行遗漏“直线不在平面内”条件，证明不严谨； ② 混淆线面、面面平行与垂直的向量判定条件； ③ 法向量求解错误，导致位置关系判断失误。 知识点05 三大空间角求解（必考） （1）异面直线所成角 （2）线面角 （3）二面角 ，结合图形判断锐角/钝角 ·示例：已知异面直线方向向量，求异面直线所成角余弦值。 解： ·易错点：① 异面直线角、线面角必须取绝对值，避免出现钝角； ② 线面角公式混淆正弦、余弦，是最高频失分点； ③ 二面角不结合图形，无法判断正负，角度结果错误。 知识点06 空间距离与体积求解 点到平面距离公式 设平面内定点，平面外一点，平面法向量： 棱锥体积公式： ·示例：已知平面法向量，平面内点，平面外点，求点到平面距离。 解： . ·易错点：① 点面距离公式遗漏绝对值，出现负距离； ② 向量坐标计算颠倒起点终点； ③ 体积计算忘记乘，低级公式错误。 题型一 建立空间直角坐标系求各类空间角 解｜题｜技｜巧 1. 优先选择底面为矩形、直角三角形的垂直结构建系，减少坐标计算； 2. 法向量取值优先整数、最简数，避免分数增大计算量； 3. 所有空间角计算优先取绝对值，再结合图形判断锐钝角。 易｜错｜点｜拨 1. 线面角混淆正弦、余弦公式，是最高频失分点； 2. 异面直线、线面角不取绝对值，出现钝角导致答案错误； 3. 二面角不结合图形，直接照搬公式正负，角度判定失误； 4. 法向量求解计算错误，导致整题偏差。 【典例1】已知是长方体，，E为BC的中点，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出异面直线与所成角的余弦即可作答. 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意，，棱BC中点， ，设异面直线与所成的角为， 则，， 所以异面直线与所成角的正切值. 故选：B 【典例2】（25-26高二上·上海松江·期末）小可爱问问闲来无事，将平面直角坐标系内三点，，沿将平面折起到，使二面角大小为，则与平面所成角的正弦值为________． 【答案】/ 【分析】本题可先建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再求出平面AOC的法向量以及向量，最后根据线面角的向量公式求解与平面所成角的正弦值. 【详解】分别以原轴为空间直角坐标系的轴，以过点O且垂直于平面的直线为轴，建立如图的空间直角坐标系.          在原平面图形中作于，则. 在空间直角坐标系中，， 设在平面内的投影为，则，因为， 所以点坐标为. ，设平面的法向量为， 则，得，不妨令，则， ，设与平面所成的角为， 则 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·上海·期末）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是正方形且，、分别在棱、上，平面． (1)若是的中点，求与平面的所成角的大小； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的大小； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量坐标公式计算即可； （2）分别求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量坐标公式计算即可. 【详解】（1） 底面是正方形；连接交于点O，连接；因为平面， 平面平面,平面，所以；又O是中点， 故E是中点；因为侧棱底面，底面是正方形， 以点D为坐标原点，为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方形的边长为2，则，, 由题意，是的中点，则， 设平面的法向量为，则, 令，得，记与平面的所成角， 则, 故 （2）由, 则，故，故， 又平面，平面,故平面， 故平面的法向量为，平面的法向量为， 记平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角为. 【变式2】（24-25高二上·上海黄浦·期末）如图，在圆锥P-O中，AB是底面圆的直径，点C，D在圆上，CD垂直平分线段OB，E是PB的中点，. (1)求二面角的正切值； (2)设AE与PO交于点M，Q是圆上的动点，DM，QM与平面ACE所成角的大小分别为，求，并证明. 【答案】(1) (2),证明见详解. 【分析】（1）根据向量法先求出二面角的余弦值，然后即可求正切值； （2）利用向量法即可求出线面角的正弦值，然后根据直线与圆相切即可求解. 【详解】（1）设与OB的交点为,过点作的平行线交底面圆于， 因为点C，D在圆上，CD垂直平分线段OB，E是PB的中点， 所以，又因为底面圆，底面圆， 所以 则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，, 所以， , 因为底面圆，底面圆,所以又因为且，所以平面,所以平面的法向量为, 则,, 设平面的法向量， 则， 设二面角所成的平面角为， 所以 则，由图可知为锐角，所以， （2）由可得， 设平面的法向量， 则， , , 所以, 设， 因为为底面圆上的动点，底面圆的方程为， 所以， 则，，， ， 令，则或， 所以，所以， 因为在上单调递增， 所以. 题型二 向量法证明平行与垂直关系 答｜题｜模｜板 1. 建立空间直角坐标系，写出对应点坐标； 2. 求出待证直线方向向量、平面法向量； 3. 代入平行/垂直向量判定条件列式； 4. 补充几何前提（直线不在平面内、两直线相交等）； 5. 得出最终证明结论。 【典例1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【答案】A 【分析】得出，即可判断. 【详解】由题意得，，则，则. 故选：A 【典例2】（24-25高二上·上海金山·期末）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则__________. 【答案】 【分析】由线面平行得到求解即可； 【详解】直线的一个方向向量 平面的一个法向量，且， 所以 解得. 故答案为： 【变式1】（25-26高二上·上海宝山·期末）在四棱锥中，底面为矩形，平面，若，，、分别为、的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面的所成角大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直性质定理及矩形性质，可证两两垂直，如图建系，求得各点坐标及所需向量坐标，根据数量积公式，结合线面平行的判定定理，即可得证. （2）由（1）得坐标，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法，即可得答案. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 又底面为矩形，所以，则两两垂直， 以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则， 所以， 因为平面即平面，所以即为平面的法向量， 又，所以， 因为平面，所以平面. （2）由（1）得， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，即， 设与平面的所成角为， 则， 所以与平面的所成角为. 【变式2】（25-26高二上·上海金山·期末）如图，在正四棱柱中，点在上，且，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，通过证明与，再依据线面垂直的判定定理，即可得证； （2）分别求出两个平面的法向量，再利用向量夹角公式，即可得解. 【详解】（1）在正四棱柱中，易知两两互相垂直， 因此可以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 则，，， 所以，， 因此有，又因为，平面， 因此平面. （2）由（1）可知，，，. 设平面的法向量为，则有， 即，取，则，即； 由（1）可知，平面，故即为平面的法向量. 设平面与平面所成锐二面角为， 则， 即平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 题型三 等体积法求三棱锥体积 答｜题｜模｜板 1. 轮换底面：选取垂直、直角三角形为底面，简化计算； 2. 计算底面：求出底面多边形面积； 3. 确定高：找出对应底面的垂直高； 4. 代入公式：代入体积公式计算结果。 易｜错｜点｜拨 1. 忘记体积公式系数，属于高频低级错误； 2. 底面与高不对应，选错底面导致高求解错误； 3. 非垂直几何体强行找高，不会使用等体积轮换法。 【典例1】已知正方体的棱长为，点是棱上的定点，且，点是棱上的动点，则三棱锥的体积最小值为______． 【答案】 【分析】利用等体积法、图形的几何性质以及三棱锥的体积公式进行求解. 【详解】在正方体中，因为底面，平面， 所以， 因为正方体的棱长为，， 所以， 在中，由勾股定理有：， 所以， 因为点是棱上的动点，所以当与重合时，到平面的距离最小， 如图，在上取，使， 则，， ， 故三棱锥的体积最小值为. 故答案为：. 【典例2】如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，为的中点.    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积及到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）利用直线与平面平行的判定定理证明即可. （2）设到平面的距离为，利用等体积法，. 【详解】（1）如图1，连接交于，连接，    ∵四边形为菱形，则的中点为，且为的中点， ∴是的中位线. ∴且不在平面内，平面， ∴平面. （2）∵平面， ∴是三棱锥的高，又底面为菱形且， ∴三角形为等边三角形， ∴，， ∴. 由等体积法，， 设到平面的距离为， 又平面且底面为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴. 【变式1】已知圆锥的底面圆半径为2，体积为，两条母线的夹角为 (1)求圆锥的侧面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求三棱锥的高． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用圆锥的体积公式求出圆锥的高，进而求出母线长及圆锥的侧面积. （2）由（1）中信息求出三棱锥的体积. （3）由（2），结合等体积法求出高. 【详解】（1）由圆锥的底面圆半径为2，体积为，得， 解得，圆锥的母线， 所以圆锥的侧面积为. （2）由（1）知，由母线的夹角为，得为正三角形， 则，等腰底边上的高， 的面积， 所以三棱锥的体积. （3）设三棱锥的高为，由（2）知， 由，得，即，解得. 所以三棱锥的高为. 【变式2】在正三棱锥中，底面正三角形边长为2，侧棱长为6. (1)求的表面积与体积； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）取的中点，连接，利用勾股定理求得，可得三角形的面积，进一步可得正三棱锥的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥的表面积可求；连接，设为正三角形的中心，则底面．求解，再由棱锥体积公式求解． （2）由等体积法即可求解. 【详解】（1） 取的中点，连接， 在中，可得． ． 正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形， 正三棱锥的侧面积是． 正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，． 则正三棱锥的表面积为； 连接，设为正三角形的中心，则底面． 且． 在中，． 正三棱锥的体积为． （2）设点到平面的距离为， 由, 可得：， 解得： 题型四 向量公式求解点面距离 解｜题｜技｜巧 1. 法向量可直接取最简整数，无需单位化； 2. 点面距离恒为非负数，公式绝对值不可省略； 3. 可结合等体积法验证距离结果，快速纠错。 易｜错｜点｜拨 1. 省略绝对值，出现负距离，直接失分； 2. 两点向量起点、终点颠倒，向量坐标出错； 3. 模长计算忘记开根号，公式套用不完整。 【典例1】已知法向量为的平面α内有一点，则平面外点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用点到平面距离的向量求法求解即得. 【详解】依题意，，所以点到平面的距离为. 故选：C 【典例2】在四面体中，若底面的一个法向量为，且，则顶点P到底面的距离为________. 【答案】 【分析】根据点面距公式代入计算即可得. 【详解】由点面距公式得， 故答案为： 【变式1】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.    (1)证明：； (2)当为线段的中点时，求点到面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证出平面和平面，进而可得； （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用空间向量法求出点到平面的距离． 【详解】（1）平面，平面， ， 又平面， 平面，又平面， ， 中，为的中点，， 平面，平面， 平面，. （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设为平面的法向量，    则，令，则，故， 则点与平面的距离. 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）已知正方体的棱长为1，是的中点，过的平面与分别交于，且． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用线线平行得出异面直线所成角，再应用正切计算求角； （2）建立空间直角坐标系得出平面的法向量，再应用点到平面距离公式计算求解. 【详解】（1）由题意，， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以， 所以异面直线与所成角的大小与相等． ，即． （2）建立D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴的坐标系得， ，，，所以，， 设平面的法向量为，则，令，即． 由点到平面的距离公式．  所以到平面的距离． 题型五 立体几何动点存在性问题 解｜题｜技｜巧 1. 动点统一用单参数，避免多参数复杂计算； 2. 垂直优先用数量积为0，计算最简单； 3. 结果必须验证参数范围，是得分关键。 【典例1】如图，在多面体中，四边形为正方形，平面.    (1)求证： (2)在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得； （2）设线段上存在一点，使得与所成角的余弦值为，利用空间向量法求出，再由向量法求出点到平面的距离. 【详解】（1）因为四边形为正方形，平面， 如图以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，    所以， 所以， 所以，所以. （2）设线段上存在一点，使得与所成角的余弦值为， 则，又， 所以，解得（负值舍去）， 所以存在满足条件， 所以，依题意可得， 设为平面的法向量， 则，设，可得， 所以点到平面的距离为. 【典例2】（25-26高二上·上海·期末）如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点使得平面， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求直线和直线的方向向量，证明，由此可得结论. （2）求平面的法向量，由条件可得，由方程求得. 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， ，所以. （2）若是的中点，则，， ，， 设平面的法向量为， 则， 设，则，， 故为平面的一个法向量. 设，， 若平面，平面， 则，所以是的中点，所以. 【变式1】如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在点，且 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算，求两平面夹角的余弦值； （2）利用空间向量的坐标运算，求点到平面的距离； （3）利用空间向量的坐标运算，表示出线面角的正弦值，即可求解, 【详解】（1）取中点为，连接， 因为，且，，，所以 又因为平面，平面， 所以, 所以，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ， 所以，令则，所以， 设平面与平面所成锐二面角为， 则. （2）， 所以点到平面的距离为. （3）存在，，理由如下 设上存在一点，设，， ， 又因为直线与平面所成角的正弦值为， 由（1）知平面的一个法向量为， 所以：，解得， 又因为，所以：，故存在，且. 【变式2】如图，正四棱锥的底面边长为2，侧棱长是，点为侧棱上的点． (1)求正四棱锥的体积； (2)若平面，求二面角的大小； (3)在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，平面． 【分析】（1）作出辅助线，找到正四棱锥的高，并求出长度，利用锥体体积公式求出答案； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的大小； （3）在第二问的基础上，设，通过得到的坐标，结合求出的值，求出答案. 【详解】（1）连接BD与AC相交于点O，连接SO， 因为正四棱锥的底面边长为2，侧棱长是， 所以SO⊥平面ABCD，， 即SO为正四棱锥的高， 故正四棱锥的高， 正方形ABCD的面积为， 所以正四棱锥的体积； （2）以为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向， 建立坐标系如图．由（1）知高． 于是， ，， 故，从而， 所以平面的一个法向量， 平面的一个法向量． 由图可知二面角为锐角，设所求二面角为， 则， 所求二面角的大小为； （3）在棱上存在一点使平面． 由（2）得是平面的一个法向量， 且，设， 则， 而，即当时，， 而不在平面内，故平面． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高二下·上海杨浦·期末）在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（   ） A．4 B． C．2 D．-2 【答案】A 【分析】直线与平面垂直则直线的方向向量与平面的法向量平行，再根据空间中两平行向量的坐标关系进行求解. 【详解】因为，所以∥，则，解得. 故选：A. 二、填空题 2．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角的大小为______． 【答案】0/ 【分析】根据题意可得，可知∥平面或平面，即可得结果. 【详解】由题意可得：，即， 可知∥平面或平面， 所以直线与平面所成的角为0. 故答案为：0. 三、解答题 3．如图，正方形ABCD所在平面外一点P满足PB⊥平面ABCD，且AB＝3，PB＝4． (1)求点A到平面PCD的距离； (2)线段BP上是否存在点E，使得DE⊥平面PAC，若存在，求出该点位置，若不存在，则说明理由． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）利用等积法，根据线面垂直，面面垂直的判定及性质结合条件即得； （2）利用坐标法，设，结合条件可得，进而即得. 【详解】（1）由题意，， 由PB⊥平面ABCD，PB⊂平面PBC， 可得平面PBC⊥平面ABCD， 而DC⊥BC，且平面平面，平面ABCD， ∴DC⊥平面PBC，平面PBC， 可得DC⊥PC， ∵CD＝3，PC＝， ∴， 设A到平面PCD的距离为h，则， 即h＝， ∴点A到平面PCD的距离为； （2）以B为坐标原点，分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则D（3，3，0），C（3，0，0），P（0，0，4）， 设，则，， 若DE⊥平面PAC，则， 解得，不合题意， 故线段BP上不存在点E，使得DE⊥平面PAC． 4．如图所示四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为BC、PD的中点． (1)证明：面； (2)若，平面平面ABCD，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）设AD中点为Q，连接NQ，MQ，通过证明平面平面PAB，可得证面； （2）设AB中点为O，CD中点为R，以O为原点，分别以OB、OR、OP为x轴、y轴、z轴建立坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）设AD中点为Q，连接NQ，MQ， 因为M、N分别为BC、PD的中点，所以，，因为平面PAB，平面PAB， 平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB，平面PAB， 平面NQM，平面NQM，且， 所以平面平面PAB，因为平面NQM，所以平面PAB． （2）设AB中点为O，CD中点为R，因为，所以，因为平面平面ABCD，且平面平面，平面PAB， 所以平面ABCD，进而，因为四边形ABCD是正方形，所以， 以O为原点，分别以OB、OR、OP为x轴、y轴、z轴建立坐标系，因为若，，所以， ，，，，N为PD中点，所以． 设平面AMN的法向量为， 因为，，，， 所以，， 取，则，，， 平面AMD的法向量为， 二面角的余弦值为． 5．如图，在直三棱柱中，，，且、分别是、的中点. (1)求直三棱柱的全面积； (2)求三棱锥的体积： (3)求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用直棱柱的全面积公式计算即得. （2）利用等体积法，转化为求的体积即可. （3）利用上问求出点到面的距离为，借助线面角的定义即可求出线面角. 【详解】（1）在直三棱柱中，，， 由，得， 该棱柱的两底面积为，侧面积为， 所以直三棱柱的全面积为. （2）在直三棱柱中，由分别是的中点，得， 而平面，则平面，由（1）知，， 又，则，而， 所以三棱锥的体积为. （3）由（2）知，设点到面的距离为， 中，，，， 由，得，设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的大小为. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．如图，在直三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是棱上的一点，且，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出、的长，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与所成角的余弦值. 【详解】因为，，，则， 故， 在直三棱柱中，底面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为点为棱的中点，点是棱上的一点，且， 则、、、， ，， 所以，. 因此，直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 二、填空题 2．（24-25高二上·上海松江·期末）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则直线到平面的距离为________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，结合直线到平面的距离公式，代入计算，即可求解. 【详解】，，． 又，，平面， 面ABCD， 故建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，， ，，， 设为平面PEF的法向量，， 令，则，，，， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离， 设点A到平面PEF的距离为，，则． 故答案为： 三、解答题 3．（25-26高二上·上海·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成的角的大小． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据点到平面距离的向量计算公式即可求解； （2）根据与平面法向量夹角的余弦值可得与平面成的角的正弦值，进而可得角的大小. 【详解】（1）由题意易得， 以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系如下： 则， 则， 设平面的法向量为， 则，设，则， 则点到平面的距离为. （2）设平面的法向量为， 由（1）知， 则，设，则， 设与平面的夹角为， 则， 则与平面所成的角的大小为. 4．如图，在长方体中，，，点在棱上运动. (1)证明：； (2)设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由； (3)求直线与平面所成角的取值范围. 【答案】(1)证明详见解析 (2)存在，且 (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得. （2）根据向量法列方程，从而求得. （3）利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值，结合不等式的性质求得所成角的取值范围. 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， ，所以. （2）若是的中点，则， ，设平面的法向量为， 则，故可设， 设，， 若平面，平面， 则，所以是的中点，所以. （3）， 设， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线与平面所成角为， 则， 由于， 所以， 所以. 5．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在点， 【分析】（1）取的中点，连接，由中位线性质以及线面平行判定定理即可证明出结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面平面的法向量，即可求得二面角的余弦值； （3）假设存在点到平面的距离是，设可得，利用点到平面距离的向量求法计算可得，即可求出. 【详解】（1）取的中点，连接，如下图： 因为为棱的中点，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）由题意知平面，且，可知两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 易知 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，可得； 又， 设平面的一个法向量为， 可得，令，可得，即， 所以， 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； （3）假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是， 设，，即，可得, 所以， 则点到平面的距离是，又，可得, 所以，， 即存在点到平面的距离是,. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．如图是一棱长为的正方体，则异面直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出与和垂直的向量坐标，求出异面直线间的距离. 【详解】以D为原点，DA，DC，分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，设与和都垂直， 则，即，取，又因为， 所以异面直线和间的距离为. 故选：B. 二、填空题 2．在直棱柱中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用向量法即可求解异面直线的夹角. 【详解】如图，以 B 为原点，BA 为 x 轴，BC 为 y 轴， 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则，， 则，, 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的大小为. 故答案为：. 三、解答题 3．（25-26高二上·上海·期末）已知正方形，、分别是边、的中点，将沿折起，形成如图的几何体． (1)证明：平面； (2)若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)在，证明见解析， 【分析】（1）推导出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）利用线面垂直的性质及线段相等可证的位置，然后以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的大小. 【详解】（1）翻折前，因为、分别是正方形的边、的中点， 所以且，所以四边形为平行四边形，故， 翻折后，仍有， 又平面，而平面，所以平面. （2）点在平面内的射影在直线上， 过点作平面，垂足为，连接、． 因为为正三角形，所以，则，则在的垂直平分线上， 又因为是的垂直平分线，所以点在平面内的射影在直线上， 如图，连接，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴， 过点作平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方形的边长为，连接，则，，． 因，则，且，故， 、、、、， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 因，， 则，故可取， 所以， 由图可知，二面角为锐角，故二面角的大小为. 4．如图，在四棱锥中，是边长为1的正方形，平面是的中点. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直判定定理，通过证明垂直于平面内的两条相交直线和，从而证得平面； （2）建立空间直角坐标系，求出直线方向向量与平面法向量，利用线面角的正弦值公式列方程，求解得到的长度，再由棱锥体积公式得解. 【详解】（1）如图，连接交于点，可得点是的中点， 因为四边形是边长为1的正方形，所以， 又因为平面，平面， 所以， 由，平面， 得平面； （2）设（）， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可取， 设直线与平面所成角为， 则， 整理可得，解得或（舍去），即， 故. 5．如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形.侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且. (1)求直线与底面所成角大小； (2)求点到侧面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据几何体的性质，以及线面角的平面角的定义，找出线面角的平面角，求出结果即可. （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，根据求点到平面距离的向量方法，求出结果即可. （3）根据向量共线，写出坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，根据线面角正弦值的向量方法，求出结果即可. 【详解】（1） 因为点在底面上的投影为的中点，所以面， 所以直线与底面所成角就是， 因为侧面为菱形，的中点是，所以， 所以，则. （2） 如图所示，底面是以为斜边的等腰直角三角形，点在底面上的投影为的中点， 所以以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 底面是以为斜边的等腰直角三角形，，所以， 因为侧面为菱形，，所以. 可得， 所以， 设平面的法向量， 则，即， 令，解得，即平面的一个法向量， 则点到侧面的距离为. （3） 设，由（2）可知， 则， 由（2）可知平面的一个法向量， 设直线与侧面所成角为，则， 可得，解得， 因为，所以，即，所以. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $