八年级数学下学期期末模拟卷（安徽专用：新教材沪科版八年级下册全部，高效培优提升卷）

**基本信息** 立足沪科版八年级下册全册内容，以勾股定理历史（《周髀算经》）、人工智能数据统计、水果销售项目等真实情境为载体，通过基础题与探究题梯度设计，考查数学抽象、几何直观及运算推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|多边形内角和、勾股数、方程根判别|第7题以图形辨析勾股定理证明，渗透推理意识| |填空题|4/20|一元二次方程根、方差计算、“垂美”四边形|第14题结合正方形动态探究，体现几何直观| |解答题|9/90|二次根式运算、数据统计分析、项目式盈利问题|第19题水果销售建模考查应用意识，第23题折叠正方形探究发展创新意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪科版八年级下册全部。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形是（    ） A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形 2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（  ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 3．下列各式中，运算正确的是 （    ） A． B． C． D． 4．若方程没有实数根，则m的值可以是（     ） A． B． C． D． 5．某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（    ） A．众数是92 B．中位数是84.5 C．平均数是84 D．第三四分位数是87.5 6．如图，的中线，交于点，连接，点，分别为，的中点，，，则四边形的周长为（     ） A． B． C． D． 7．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，为的中点，，，则下列说法错误的是（   ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是菱形 9．如图，在中，，，正方形的边长为，正方形的顶点分别在的边上，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，是一条对角线，是的平分线，交于点．在边上有一点，，连接交于点，连接交于点，已知．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 12．已知一组数据：，小明用计算这一组数据的方差，那么______． 13．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 14．如图，在中，，，，点E是边上的一动点，以为边，在的右侧作正方形请完成下列探究： （1）若平分，则______； （2）连接，若，则的面积为______． 三．解答题(本大题共9题，第 15-18 每题8分，第 19-20 每题 10 分，第 21-22 题12 分第 23 题 14 分，共 90 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15．（8分）（1） 计算： （2） 解方程： 16．（8分）随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从豆包、两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了10个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示）， 共分为四组， A：， B：， C：， D：，下面给出了部分信息． 豆包人工智能软件得分数据： 64，75，78，85，85，90，92，93，98，100． 人工智能软件在C组内（） 的所有得分数据： 88， 88， 89， 90． 两款人工智能软件得分统计表：     软件 平均数 中位数 众数 方差 豆包 86 b 86 a 88 DeepSeek 人工智能软件得分扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)若本次调查有900名用户对豆包人工智能软件进行了调查评分，有1100名用户对人工智能软件进行了评分，估计其中对两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 17．（8分）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点E，交的延长线于点F，连接，． (1)求证：； (2)求的长． 18．（8分）综合与实践 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 等式； 等式； 等式； 等式　　　； (2)观察、归纳，得出猜想． 为正整数，猜想等式可表示为　　　，并证明你的猜想． 19．（10分）项目式学习： 【项目背景】 在城市的生鲜市场领域，有一家名为“鲜丰汇”的水果批发商店，正积极参与区域内的水果销售竞争项目．商店近期采购了一批热门水果，成本为每千克12元．当前以每千克15元售卖，日销量稳定在100千克．但周边竞争对手众多，为在这个城市生鲜市场项目中脱颖而出，获取更大市场份额与利润，商店团队需制定灵活的价格与销售策略． 【市场调研】 经市场调研团队分析发现，在本区域消费者购买习惯中，这种水果每千克售价与销售量关系统计如下． 水果每千克售价降低金额（元） 每天销售量（千克） 0 100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 … … 【目标任务】 于是，商店运营项目组面临两个关键任务： 任务一：要明确售价降低与销售量的关系．若将这种水果每千克的售价降低元，需准确计算出每天的销售量（用舍的代数式表示），为后续库存管理、成本核算等子项目提供数据支持． 任务二：商店设定了盈利目标与销量保障目标．在这个城市生鲜市场盈利项目中，要实现每天盈利500元，并且为维持市场影响力与客户粘性，保证每天销售量不少于280千克，需精确计算出水果每千克的售价应降低多少元，从而制定出最优的价格策略，在该区域水果销售项目中实现盈利与市场份额的双提升． 请完成这两个任务． 20．（10分）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线（线段）的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离（线段的长）为米． (1)求风筝的垂直高度（线段的长）； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到F处，求他应该往回收线多少米？ 21．（12分）某校组织校园安全知识竞赛，甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值； (2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． (3)请根据你对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对这两组成绩的看法． 22．（12分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形， 初步尝试 (1)如图1，在中，，，P为上一点，当的长为______时，与为偏等积三角形； 理解运用 (2)如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作平行，交的延长线于点E，求的长； 综合应用 (3)如图3，已知四边形，、是等腰直角三角形，，则与是偏等积三角形吗？请说明理由． 23．（14分）综合实践 【操作与发现】数学兴趣小组以折叠正方形纸片展开数学探究活动，操作如下： 操作一：如图1，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图2，再次对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作三：如图3，将边和边对折后在上重合，得到折痕和； 把正方形纸片展平，折痕，与的交点分别为，，连接，得图4． 根据以上操作，得到以下结论： (1)________，的形状是________． 【探究与证明】 (2)如图5，连接，过点作，分别交，，于点，，．求证：四边形是菱形． 【拓展与计算】 (3)设，，求与之间的数量关系（用等式表示，不写过程，直接写出结果）． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪科版八年级下册全部。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形是（    ） A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形 2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（  ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 3．下列各式中，运算正确的是 （    ） A． B． C． D． 4．若方程没有实数根，则m的值可以是（     ） A． B． C． D． 5．某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（    ） A．众数是92 B．中位数是84.5 C．平均数是84 D．第三四分位数是87.5 6．如图，的中线，交于点，连接，点，分别为，的中点，，，则四边形的周长为（     ） A． B． C． D． 7．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，为的中点，，，则下列说法错误的是（   ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是菱形 9．如图，在中，，，正方形的边长为，正方形的顶点分别在的边上，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，是一条对角线，是的平分线，交于点．在边上有一点，，连接交于点，连接交于点，已知．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 12．已知一组数据：，小明用计算这一组数据的方差，那么______． 13．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 14．如图，在中，，，，点E是边上的一动点，以为边，在的右侧作正方形请完成下列探究： （1）若平分，则______； （2）连接，若，则的面积为______． 三．解答题(本大题共9题，第 15-18 每题8分，第 19-20 每题 10 分，第 21-22 题12 分第 23 题 14 分，共 90 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15．（8分）（1） 计算： （2） 解方程： 16．（8分）随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从豆包、两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了10个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示）， 共分为四组， A：， B：， C：， D：，下面给出了部分信息． 豆包人工智能软件得分数据： 64，75，78，85，85，90，92，93，98，100． 人工智能软件在C组内（） 的所有得分数据： 88， 88， 89， 90． 两款人工智能软件得分统计表：     软件 平均数 中位数 众数 方差 豆包 86 b 86 a 88 DeepSeek 人工智能软件得分扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)若本次调查有900名用户对豆包人工智能软件进行了调查评分，有1100名用户对人工智能软件进行了评分，估计其中对两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 17．（8分）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点E，交的延长线于点F，连接，． (1)求证：； (2)求的长． 18．（8分）综合与实践 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 等式； 等式； 等式； 等式　　　； (2)观察、归纳，得出猜想． 为正整数，猜想等式可表示为　　　，并证明你的猜想． 19．（10分）项目式学习： 【项目背景】 在城市的生鲜市场领域，有一家名为“鲜丰汇”的水果批发商店，正积极参与区域内的水果销售竞争项目．商店近期采购了一批热门水果，成本为每千克12元．当前以每千克15元售卖，日销量稳定在100千克．但周边竞争对手众多，为在这个城市生鲜市场项目中脱颖而出，获取更大市场份额与利润，商店团队需制定灵活的价格与销售策略． 【市场调研】 经市场调研团队分析发现，在本区域消费者购买习惯中，这种水果每千克售价与销售量关系统计如下． 水果每千克售价降低金额（元） 每天销售量（千克） 0 100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 … … 【目标任务】 于是，商店运营项目组面临两个关键任务： 任务一：要明确售价降低与销售量的关系．若将这种水果每千克的售价降低元，需准确计算出每天的销售量（用舍的代数式表示），为后续库存管理、成本核算等子项目提供数据支持． 任务二：商店设定了盈利目标与销量保障目标．在这个城市生鲜市场盈利项目中，要实现每天盈利500元，并且为维持市场影响力与客户粘性，保证每天销售量不少于280千克，需精确计算出水果每千克的售价应降低多少元，从而制定出最优的价格策略，在该区域水果销售项目中实现盈利与市场份额的双提升． 请完成这两个任务． 20．（10分）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线（线段）的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离（线段的长）为米． (1)求风筝的垂直高度（线段的长）； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到F处，求他应该往回收线多少米？ 21．（12分）某校组织校园安全知识竞赛，甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值； (2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． (3)请根据你对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对这两组成绩的看法． 22．（12分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形， 初步尝试 (1)如图1，在中，，，P为上一点，当的长为______时，与为偏等积三角形； 理解运用 (2)如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作平行，交的延长线于点E，求的长； 综合应用 (3)如图3，已知四边形，、是等腰直角三角形，，则与是偏等积三角形吗？请说明理由． 23．（14分）综合实践 【操作与发现】数学兴趣小组以折叠正方形纸片展开数学探究活动，操作如下： 操作一：如图1，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图2，再次对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作三：如图3，将边和边对折后在上重合，得到折痕和； 把正方形纸片展平，折痕，与的交点分别为，，连接，得图4． 根据以上操作，得到以下结论： (1)________，的形状是________． 【探究与证明】 (2)如图5，连接，过点作，分别交，，于点，，．求证：四边形是菱形． 【拓展与计算】 (3)设，，求与之间的数量关系（用等式表示，不写过程，直接写出结果）． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪科版八年级下册全部。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形是（    ） A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形 【答案】B 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 ， 解得：． ∴这个多边形是六边形． 故选：B． 2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（  ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】选项A，，，，，选项A不是勾股数，故不符合题意； 选项B，，，，，选项B不是勾股数，故不符合题意； 选项C，不是正整数，不符合勾股数定义，选项C不是勾股数，故不符合题意； 选项D，，，，，选项D是勾股数，故符合题意． 3．下列各式中，运算正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、，与不是同类二次根式，无法合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 4．若方程没有实数根，则m的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴， ∴， 当时，， ∴m的值可以是． 5．某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（    ） A．众数是92 B．中位数是84.5 C．平均数是84 D．第三四分位数是87.5 【答案】D 【详解】解：首先将这组数据从小到大排列得：，数据总数． 对于A选项，∵数据中82出现次数最多，∴众数为82，A错误； 对于B选项，中位数为第个和第个数据的平均数，即，B错误； 对于C选项，平均数，C错误； 对于D选项，，因此第三四分位数为第个和第个数据的平均数，即，D正确． 6．如图，的中线，交于点，连接，点，分别为，的中点，，，则四边形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点、分别是，的中点，点、分别是，的中点， 且，且，且，且， ，， ． 7．我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项A能证明勾股定理； B、大正方形的面积为，也可以看作2个小长方形和2个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项B不能证明勾股定理； C、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项C能证明勾股定理； D、梯形的面积为，也可以看作3个直角三角形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项D能证明勾股定理． 故选：B． 8．如图，在中，为的中点，，，则下列说法错误的是（   ） A．当时，四边形是矩形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是菱形 【答案】A 【详解】，， 四边形是平行四边形． 选项A：当时，无法判断四边形是矩形； 选项B： ，为的中点， ， 平行四边形是菱形； 选项C：当时，为的中点， ， ， 平行四边形是矩形； 选项D：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形． 9．如图，在中，，，正方形的边长为，正方形的顶点分别在的边上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作于点． ，， 是等腰直角三角形， ，． ， 是等腰直角三角形， ，． 四边形是正方形， ，， ． 在和中， ， ，， ． 设，． ，， ，． 将代入， 得， 解得， ，， ． 故答案选：A． 10．如图，在正方形中，是一条对角线，是的平分线，交于点．在边上有一点，，连接交于点，连接交于点，已知．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形，，平分， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵正方形中，平分， ∴， 在和中， ， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， 在和中， ， ∴ ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的个数是4个． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 【答案】3 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴，解得． 故答案为：3． 12．已知一组数据：，小明用计算这一组数据的方差，那么______． 【答案】40 【详解】解：由， 可知这8个数据的平均数为5， ∴， 故答案为：40． 13．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，，则___________． 【答案】 【详解】解：由题意可得：， ∴，，，， ∴ ． 14．如图，在中，，，，点E是边上的一动点，以为边，在的右侧作正方形请完成下列探究： （1）若平分，则______； （2）连接，若，则的面积为______． 【答案】 【详解】解：（1）如图，过作于，在上取点，使， ∵在中，，，， ∴，，， ∴， ∵正方形，平分， ∴， ∴，，， ∴， 设，则，， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图，连接，过作于，过作于， 由（1）得：， ∴，而， ∴，， ∴， ∵，正方形， ∴设， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为： 三．解答题(本大题共9题，第 15-18 每题8分，第 19-20 每题 10 分，第 21-22 题12 分第 23 题 14 分，共 90 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15．（8分）（1） 计算： （2） 解方程： 【详解】解：（1）， ， ；……（4分） （2）， ， ， ， ， ， ．……（8分） 16．（8分）随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从豆包、两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了10个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示）， 共分为四组， A：， B：， C：， D：，下面给出了部分信息． 豆包人工智能软件得分数据： 64，75，78，85，85，90，92，93，98，100． 人工智能软件在C组内（） 的所有得分数据： 88， 88， 89， 90． 两款人工智能软件得分统计表：     软件 平均数 中位数 众数 方差 豆包 86 b 86 a 88 DeepSeek 人工智能软件得分扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)若本次调查有900名用户对豆包人工智能软件进行了调查评分，有1100名用户对人工智能软件进行了评分，估计其中对两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 【详解】（1）解：人工智能软件得分数据中：共个数据， A组有个数据，B组有个数据， 则人工智能软件得分的中位数为C组数据从小到大排列的第个、第个数据的平均数， 中位数，……（2分） 豆包人工智能软件得分数据中出现的次数最多， 众数，……（4分） ， ．……（6分） （2）解：（名）， 估计其中对两款人工智能软件非常满意（）的总用户数约为名．……（8分） 17．（8分）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点E，交的延长线于点F，连接，． (1)求证：； (2)求的长． 【详解】（1）证明：垂直平分，， ． 在中，，，， ， ，即．……（4分） （2）解：是线段的垂直平分线， ， ． ， ， ， ． 即的长为．……（8分） 18．（8分）综合与实践 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 等式； 等式； 等式； 等式　　　； (2)观察、归纳，得出猜想． 为正整数，猜想等式可表示为　　　，并证明你的猜想． 【详解】（1）解：根据题意可得等式； 故答案为：；……（2分） （2）解：为正整数，猜想等式可表示为．……（4分） 证明如下： ． 故答案为：．……（8分） 19．（10分）项目式学习： 【项目背景】 在城市的生鲜市场领域，有一家名为“鲜丰汇”的水果批发商店，正积极参与区域内的水果销售竞争项目．商店近期采购了一批热门水果，成本为每千克12元．当前以每千克15元售卖，日销量稳定在100千克．但周边竞争对手众多，为在这个城市生鲜市场项目中脱颖而出，获取更大市场份额与利润，商店团队需制定灵活的价格与销售策略． 【市场调研】 经市场调研团队分析发现，在本区域消费者购买习惯中，这种水果每千克售价与销售量关系统计如下． 水果每千克售价降低金额（元） 每天销售量（千克） 0 100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 … … 【目标任务】 于是，商店运营项目组面临两个关键任务： 任务一：要明确售价降低与销售量的关系．若将这种水果每千克的售价降低元，需准确计算出每天的销售量（用舍的代数式表示），为后续库存管理、成本核算等子项目提供数据支持． 任务二：商店设定了盈利目标与销量保障目标．在这个城市生鲜市场盈利项目中，要实现每天盈利500元，并且为维持市场影响力与客户粘性，保证每天销售量不少于280千克，需精确计算出水果每千克的售价应降低多少元，从而制定出最优的价格策略，在该区域水果销售项目中实现盈利与市场份额的双提升． 请完成这两个任务． 【详解】解：任务一：解：根据表格数据：每千克的售价每降低元，一天可多售出千克 若将这种水果每千克的售价降低元，则每天的销售量是千克；……（4分） 任务二：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 故商店需将水果每千克的售价降低元．……（10分） 20．（10分）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线（线段）的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离（线段的长）为米． (1)求风筝的垂直高度（线段的长）； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到F处，求他应该往回收线多少米？ 【详解】（1）解：由题意得：米，米，米． ∴在中，（米）， ∴（米）. 答： 风筝的垂直高度为米．……（5分） （2）解：由题意得：米，(米) 在中，(米)， (米) 答：他应该往回收线8米．……（10分） 21．（12分）某校组织校园安全知识竞赛，甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值； (2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． (3)请根据你对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对这两组成绩的看法． 【详解】（1）解：把甲组的成绩按从小到大的顺序排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， ∴最小值是60，第一四分位数是70，中位数是，第三四分位数是96，最大值是100；……（5分） (2)甲组的箱线图如图所示：……（9分） (3)根据箱线图和四分位数，可知甲组数据跨度大更分散，乙组数据紧凑更集中……（12分） 22．（12分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形， 初步尝试 (1)如图1，在中，，，P为上一点，当的长为______时，与为偏等积三角形； 理解运用 (2)如图2，与为偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作平行，交的延长线于点E，求的长； 综合应用 (3)如图3，已知四边形，、是等腰直角三角形，，则与是偏等积三角形吗？请说明理由． 【详解】（1）解：如图1，连接， 与在边上的高相等， 当，与面积相等， ， ， ， ，，， 与不全等， 此时与是偏等积三角形， 故答案为：……（4分） （2）解：如图2，与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， ∵， ， 在和中， ， ， ，， ，且，， ， ， 线段AD的长度为正整数， ， ……（8分） (3)与是偏等积三角形，理由如下： 如图3， ， ， ， ， ，， 与不全等， 如图3：作于点F，交DC的延长线于点G，则， ， ， 在和中， ， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形．……（12分） 23．（14分）综合实践 【操作与发现】数学兴趣小组以折叠正方形纸片展开数学探究活动，操作如下： 操作一：如图1，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图2，再次对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作三：如图3，将边和边对折后在上重合，得到折痕和； 把正方形纸片展平，折痕，与的交点分别为，，连接，得图4． 根据以上操作，得到以下结论： (1)________，的形状是________． 【探究与证明】 (2)如图5，连接，过点作，分别交，，于点，，．求证：四边形是菱形． 【拓展与计算】 (3)设，，求与之间的数量关系（用等式表示，不写过程，直接写出结果）． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，，， 由翻折的性质可知， ， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵是正方形的对角线， ∴，，， ∴， 而, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形；……（6分） (2)证明：连接， 由翻折的性质可知， ， ， ， ， 四边形为正方形， ，， ， ， 又， ， 又， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 由翻折知， ， ， 四边形是菱形；……（12分） （3）解：由（1）可知， ∵是正方形， ∴， ∴，即．……（14分） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1 2 5 6 8 10 B 0 D D 0 B B A D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.3 12.40 13.34 14.5- 77 25 三.解答题：（本大题共9题，第15-18每题8分，第19-20每题10分，第21-22题12分，第23题 14分，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15.(8分) 【详解】解：(1) --8+ =1-2√2+2， =3-2√2；…(4分） (2)x2-2x-4=0, x=--2列±y-22-4×1x-4 2×1 2±V4+16 2 2±√20 x= 2 2±2V5 x= 2 x1=V5+1,x2=-V5+1.…(8分) 16.(8分) 【详解】(1)解：DeepSeek人工智能软件得分数据中：共10个数据， A组有10×10%=1个数据，B组有10×30%=3个数据， 则DeepSeek人工智能软件得分的中位数为C组数据从小到大排列的第1个、第2个数据的平均数， 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·中位数a= 88+88 =88,…(2分) 豆包人工智能软件得分数据中85出现的次数最多， “众数b=85,…(4分) 4 :m%=1-10%-30%- =20%, 10 m=20.…(6分) (2)解：900×4+1100×20%=580（名）， 10 ·估计其中对两款人工智能软件非常满意(90<x≤100)的总用户数约为580名.…(8分) 17.(8分) 【详解】(1)证明：：DE垂直平分AB,AD=√5， AB=2√5. :在ABC中，BC=2,AC=4,AB=25, .BC2+AC2=20=AB2, AC1BC,即LBCA=90°.…(4分) (2)解：：DF是线段AB的垂直平分线， :BF =AF, :CF BF-BC=AF-2. :∠ACF=90°， ..CF2+AC2=AF2, (AF-2)2+42=AF2, AF=5. 即AF的长为5.…(8分) 18.(8分) 【详解】(1)解： 根据题致可得等式445店： 故答案为： 4+6=56 …(2分) 6 (2)解：n为正整数，猜想等式n可表示为， 1 =(n+1), …(4分) n+2 +2 证明如下： 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 n(n+2)+1 n+- *n+2V n+2 n2+2n+1 n+2 (n+1)2 =n+2 1 =(n+1) Vn+2 故答案为： 1 1 n+ =(n+1D …(8分) +2 Vn+2 19.(10分) 【详解】解：任务一：解：根据表格数据：每千克的售价每降低01元，一天可多售出20千克 若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售量是100+20×x=(100+200)千克；…(4分) 0.1 任务二：根据题意得：(15-x-12(100+200x=500, 整理得：2x2-5x+2=0, 解得：x=0.5,x2=2, 当x=0.5时，100+200x=100+200×0.5=200<280,不符合题意，舍去： 当x=2时，100+200x=100+200×2=500>280,符合题意. 故商店需将水果每千克的售价降低2元.…(10分) 20.(10分) 【详解】(1)解：由题意得：BD=AE=15米，BC=25米，DE=AB=1.5米 .在RtABDC中，CD=√BC2-BD2=V252-152=20(米， CE=CD+DE=20+1.5=21.5(米). 答：风筝的垂直高度CE为21.5米.…(5分) (2)解：由题意得：CF=12米，FD=CD-CF=20-12=8(米) 在R△BDF中，BF=√BD2+FD2=V52+82=17(米)， 25-17=8(米) 答：他应该往回收线8米.…(10分) 21.(12分) 【详解】(1)解：把甲组的成绩按从小到大的顺序排列为60,70,70,80,89,91,92,96,98,100， 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :最小值是60，第一四分位数是70，中位数是89+91-90，第三四分位数是96，最大值是100，…(5 2 分) (2)甲组的箱线图如图所示：…(9分) 测试成绩 100---- 80 60-- 甲组 乙组 (3)根据箱线图和四分位数，可知甲组数据跨度大更分散，乙组数据紧凑更集中.…(12分) 22.(12分) 【详解】(1)解：如图1，连接BP, :△ABP与△CBP在AP、CP边上的高相等， B 图1 ·当AP=CP=】AC=x6=3,△ABP与ACBP面积相等， 1 2 :BC=6,∠ACB=90 ...AB=AC2+BC2=62+62=6v2, .BC≠AB, :AP=CP,BP=BP,BC≠AB, △ABP与△CBP不全等， 此时△ABP与△CBP是偏等积三角形， 故答案为：3.…(4分) (2)解：如图2，：△ABD与△ACD是偏等积三角形，且△ABD与△ACD在BD、CD边上的高相等， D C:.BD CD. E 图2 4/ō 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :CE∥AB, .∠E=∠BAD, 在△ECD和△ABD中， ∠E=∠BAD ∠EDC=∠ADB, CD=BD △ECD≌△4BD(AAS), :ED=AD,EC=AB=2, AC-EC<AE<AC+EC,AC=4,AE =2AD, .4-2<2AD<4+2, 1<AD<3, :线段AD的长度为正整数， AD=2, .AE=4.…(8分) (3)△ACD与△BCE是偏等积三角形，理由如下： 如图3，∠ACB=∠DCE=90° .∠ACD+∠BCE=180°， 0°<∠BCE<90°， ∠ACD>90°， ,∠ACD≠∠BCE, B 图3 .CA=CB,CD=CE, △ACD与△BCE不全等， 如图3：作BF⊥CE于点F,AG⊥DC交DC的延长线于点G,则LG=LBFC=90°， :LECG=180°-∠DCE=90°， .∠ACG=∠BCF=90°-∠BCG, 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在aACG和BCF中， I∠G=∠BFC ∠ACG=∠BCF, CA=CB △ACG≌△BCF(AAS), :AG=BF, )CD·AG)CE·BF △ACD与△BCE面积相等， △ACD与△BCE是偏等积三角形.…(12分) 23.(14分) 【详解】(1)解：四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°，∠EAB=90°，∠FCB=90°，AB=BC, 由翻折的性质可知， BE=∠EBD=∠DBF=ZFBC4X90°=225 .∠EBF=45°，LABF=67.5°， 在△EAB与△FCB中， ∠EAB=∠FCB AB=BC, ∠ABE=∠FBC ∴.△EAB≌△FCB(ASA, AE=CF,∠AEB=∠CFB=90°-22.5°=67.5°， :AC是正方形ABCD的对角线， .∠BAC=45°，∠EAC=45°，∠ACB=45°， .∠AHB=180°-∠ABF-∠BAC=67.5°， 而∠ABF=67.5°， .AB=AH BC, ∠CHF=LAHB=67.5o, .∠CFB=LCHF, .CF=CH, 6/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AE=CH, 在△AEH与ACHB中， AE=CH ∠EAC=∠HCB=45°， AH=BC ·.△AEH≌△CHB(SAS), .EH =BH, ∴.△BEH是等腰直角三角形；…(6分) (2)证明：连接BD, M D B 由翻折的性质可知， ∠ABD=∠CBD= 1 ∠ABC, ∠ABE=∠DBE=∠ABD, 2 ∠CBF=∠DBF= ∠CBD, 2 ∠ABE=LCBF, :四边形ABCD为正方形， ∠BAE=LBCF=90°，AB=BC, △BAE≌△BCF(ASA, :AE=CF 又：AD=CD, :DE=DF, 又：∠ADC=90°， ∠DFE=45°， 又：△ACD是等腰直角三角形， :∠DCA=∠DFE=45°， 1/ō 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EF∥AC, :MN∥CD, 四边形CFPH是平行四边形， EF∥AC, .∠CHF=∠BFE, 由翻折知∠BFC=∠BFE, .∠CHF=∠BFC, :.CH=CF, ·四边形CFPH是菱形；…(12分) (3)解：由(1)可知AB=AH=a, :ABCD是正方形， AC=2a2 =2a, :CH=AC-AH,即b=2a-a=(2-1a.…(14分) 8/8