精品解析：福建省福州第十九中学2025－2026学年第二学期九年级中考模拟测试数学试题

福州第十九中学2025-2026学年第二学期九年级中考模拟测试数学试题 （满分150分 时间：120分钟） 一、选择题 1. 下列温度中，比低的温度是（ ） A. B. C. D. 2. 近年来，我国新能源品牌汽车新品纷呈．下列各新能源汽车图标中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 斗拱是中国古建筑的关键性部件，主要是由“斗”与“拱”拼接形成．如图，是斗拱最底部最核心的坐斗，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 7. “抖空竹”是国家级非物质文化遗产，也是大家钟爱的运动之一在公园里，小聪看到小女孩在抖空竹（图1），抽象得到图，在同一平面内，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 学校新买一台智能饮水机，某天中午小俊通过观察，记录了饮水机工作时间与水温的关系表格如下： 水温（） 22 40 56 70 82 …… 时间（时：分） 12:03 12:08 12:13 12:18 12:23 …… 请你帮小俊推算水烧开（）的时间预计为（    ） A. 12:30 B. 12:33 C. 12:35 D. 12:38 10. 小明捡到一个量角器碎片，按如图的方式测量的度数，他让点落在量角器圆弧上，并将角的两边与量角器圆弧的交点分别记为，．若点，对应的刻度分别为、，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 据统计，人的头发直径约微米，在好奇心的驱使下，小丽同学测得自己的一根头发直径约为，将数据用科学记数法表示应为____． 12. 三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上___根木条． 13. 是一个很重要的数，其近似值的各数位中出现频数最多的数是______． 14. 将菱形的两个相邻的内角记为和，定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为______时，这个菱形就是正方形． 15. 如图，为的边的中点，，，于点，连接．若为的平分线，则的长为____________． 16. 已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价元时，利润最大，则的取值范围是_____． 三、解答题 17. 计算：()－1＋－sin60°＋(π－1)0 18. 如图，已知点，，在同一条直线上，，，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，平行于轴的矩形直尺与双曲线（）交于点和，与轴交于点和，点和对应的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） （1）求的值． （2）过点作于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 21. 某校为准确掌握初中学生体质健康变化情况，对同一届学生在初一学年和初二学年的体质健康测试成绩进行了统计，并从中随机抽取了20名学生，对他们的两次测试成绩（百分制）进行整理、描述和分析． 下面给出部分信息： a．这20名学生初一测试、初二测试成绩得分统计如图所示． b．这20名学生初一测试成绩、初二测试成绩的平均数、中位数、方差如表所示： 平均数 中位数 方差 初一测试 72.0 71.5 99.7 初二测试 86.8 88.4 c．按照初二测试成绩把学生成绩分为A、B、C三个等级，若初二测试的成绩为，被抽取的20名学生中有8人是A等级（），有7人是等级（），有5人是C等级（），其中等级所有学生的成绩是：80，82，84，85，87，88，88． 根据以上信息，回答下列问题： （1）小涵同学初一测试成绩为80分，初二测试成绩为86分，请在图中用“○”圈出小涵对应的点； （2）表中的值为______； （3）若“体质健康增长率”，请在图中用“△”标记出8名获得A等级的学生中体质健康增长率最高的学生所对应的点． 22. 如图，两个同心圆中，为大圆的弦． （1）作与小圆相切于点，为的中点，延长交小圆于点（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）若小圆的半径为1，，求的长． 23. 若抛物线（）经过点，． （1）求与之间的关系式． （2）若将此抛物线向下平移1个单位长度，该抛物线与轴没有交点，求的取值范围． （3）已知点，在抛物线上，满足．当对于任意的，满足时，都有．求证：． 24. 水果店售卖菠萝时，常见的方法是削皮后斜切去籽．小明买菠萝回家后，尝试横切、竖切去籽（图1），对比销售员的斜切去籽，思考哪种方法能使“损失的果肉最小”．他尝试用数学知识来解释以上问题：先将菠萝与籽抽象成圆柱与点．在圆柱的侧面画出了横切、竖切和斜切的路径（图2），再把圆柱侧面展开，将问题转化为平面上点与点、点与线段的探究． （1）侧面展开图上的点呈交错规律排列，假设每行有个籽，每列有个籽，行与列相邻两籽的间距都是．记横切、竖切、斜切的所有线段总长度分别为、、．（，均为整数，，） ①当，时，图3、图4为横切、竖切示意图，请在图5区域画出斜切示意图．并计算此时______，_____，______．（本题结果均可保留括号） ②归纳探究线段总长度与、、的一般关系：______，______，______． ③比较说明、、的大小，判断哪一种切法使“损失的果肉最小”． （2）如图6，部分菠萝每列的籽个数分为或（）间隔排列．假设每行仍有个籽，请继续探究：此时线段总长度与、、的一般关系：______，______，______．使“损失的果肉最小”的切法为______．（，均为整数，，） 25. 在中，，，线段上有一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，此时． （1）记线段，求线段的长度（用含的式子表示）． （2）连接、，若，求证：． （3）在（2）的条件下，记与交于点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州第十九中学2025-2026学年第二学期九年级中考模拟测试数学试题 （满分150分 时间：120分钟） 一、选择题 1. 下列温度中，比低的温度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数大小比较法则：正数大于一切负数，大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，排除C，D； ∵， ∴，排除B； ∵， ∴， 因此比低的温度是． 2. 近年来，我国新能源品牌汽车新品纷呈．下列各新能源汽车图标中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形，正确掌握中心对称图形的定义：一个图形绕着某点旋转180度后仍与自身重合的图形叫中心对称图形是解题关键． 根据中心对称图形的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴可得不等式的解集，注意实心表示可以取等于，空心表示不能取等于． 【详解】解：由数轴可得，这个不等式组的解集为． 4. 斗拱是中国古建筑的关键性部件，主要是由“斗”与“拱”拼接形成．如图，是斗拱最底部最核心的坐斗，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图是从上向下观察到的图形，进行判断即可，注意，主视图中存在的线段，在俯视图中被遮住或是看不到的线段要用虚线表示． 【详解】解：由题意得，俯视图为． 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：A.不是同类项，不能合并，故错误. B. 故错误. C. 正确. D. 故错误. 故选C. 点睛：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 6. 一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设每个小正方形的边长为，则大正方形的边长为，求出大正方形的面积和阴影面积，利用概率公式求出小球停留在阴影区域的概率． 【详解】解：设每个小正方形的边长为，则大正方形的边长为， 大正方形的面积为，空白图形的面积为， 阴影的面积为， 小球停留在阴影区域的概率为． 7. “抖空竹”是国家级非物质文化遗产，也是大家钟爱的运动之一在公园里，小聪看到小女孩在抖空竹（图1），抽象得到图，在同一平面内，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 延长交于点F，利用平行线的性质和三角形外角性质计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点F， ， ，，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先去分母后得到的整式方程，再根据原方程无解，即有增根，解答即可求出m的值． 【详解】解：． 方程两边同乘去分母，得： 整理得． ∵原方程无解，即原方程有增根，则， ∴是方程的增根，将代入得： ， 解得． 9. 学校新买一台智能饮水机，某天中午小俊通过观察，记录了饮水机工作时间与水温的关系表格如下： 水温（） 22 40 56 70 82 …… 时间（时：分） 12:03 12:08 12:13 12:18 12:23 …… 请你帮小俊推算水烧开（）的时间预计为（    ） A. 12:30 B. 12:33 C. 12:35 D. 12:38 【答案】B 【解析】 【分析】先找出水温随时间的变化规律，再根据规律计算得到水烧开的时间． 【详解】由表格可得，时间每经过5分钟，水温升高量比前一个5分钟少， ∵ ，，，，符合上述规律， ∴ 到，水温升高，此时水温为， ∴ 到，水温升高，此时水温为，达到水烧开温度， ∴水烧开时间为． 10. 小明捡到一个量角器碎片，按如图的方式测量的度数，他让点落在量角器圆弧上，并将角的两边与量角器圆弧的交点分别记为，．若点，对应的刻度分别为、，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接设的直径为，根据角的和差关系求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形的性质，求出的度数即可. 【详解】解：连接设的直径为，如图， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 二、填空题 11. 据统计，人的头发直径约微米，在好奇心的驱使下，小丽同学测得自己的一根头发直径约为，将数据用科学记数法表示应为____． 【答案】 【解析】 【分析】将的小数点向右移动位得到，即可确定． 【详解】解：． 12. 三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上___根木条． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查三角形具有稳定性，多边形的对角线．要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条． 【详解】解：∵过五边形的一个顶点作对角线，有2条对角线， ∴至少要钉上2根木条， 故答案为：2． 13. 是一个很重要的数，其近似值的各数位中出现频数最多的数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了频数的计算，根据题意，结合频数的计算即可求解 【详解】解：是一个很重要的数，其近似值的各数位中出现频数最多的数是， 故答案为：8 ． 14. 将菱形的两个相邻的内角记为和，定义为菱形的“接近度”，则当“接近度”为______时，这个菱形就是正方形． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定，菱形的性质，有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补，据此可得当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形，由此可得答案． 【详解】解：∵有一个角是直角的菱形就是正方形，且菱形相邻的两个内角互补， ∴当菱形相邻的两个内角都为90度时，该菱形是正方形， ∴， ∴当时，这个菱形就是正方形， 故答案为：1． 15. 如图，为的边的中点，，，于点，连接．若为的平分线，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，根据角平分线+垂直模型容易证明，进而得到，，根据三角形中位线定理得到，代入计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点． 为的平分线，， ∴，， 又∵， ∴， ，， ∵， ∴ 为的中点，为的中点， ． 16. 已知某商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值．商家先将该物品涨价8元，月利润增多；又涨价4元，发现月利润更多了，于是商家想知道涨价多少元时利润最大．记涨价元时，利润最大，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据商品的月利润是其涨价额的二次函数，且存在最大值，涨价元时，利润最大，可设解析式为，其中，故抛物线开口向下，函数图象上的点到对称轴的距离越小函数值越大，据此结合题意列不等式组即可求解. 【详解】设月利润为元，涨价额为元，二次函数为，，其对称轴为． 存在最大值， 抛物线开口向下，，函数图象上的点到对称轴的距离越小函数值越大， 由题意可得：， 当时，不等式组可化为：，不等式组无解， 当时，不等式组可化为：，解得， 当时，不等式组可化为：，该不等式组恒成立， 综上所述：． 三、解答题 17. 计算：()－1＋－sin60°＋(π－1)0 【答案】 【解析】 【分析】根据负整数指数幂、立方根、二次根式、三角函数、零指数幂的性质计算，即可得到答案． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂、立方根、二次根式、三角函数、零指数幂的知识；解题的关键是熟练掌握负整数指数幂、三角函数、零指数幂的性质，从而完成求解． 18. 如图，已知点，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在与中， ∴（）， ∴． 【解析】 【分析】；本题考查平行线的性质、 全等三角形判定及性质，运用了转化角的思想与全等证明的方法技巧，解题思路：先由得角相等，再结合已知的角和边，用 证 ，从而得． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 20. 如图，平行于轴的矩形直尺与双曲线（）交于点和，与轴交于点和，点和对应的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） （1）求的值． （2）过点作于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2）证明：由题意得，，，轴 ，代入得：， ， ，轴， ， ， 直尺为矩形尺子， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出长，利用轴求出点A的坐标，利用待定系数法求出的值； （2）根据直尺的宽度求出点C的横坐标，利用点C在双曲线上求出点C的坐标，结合垂线和平行线的性质求出，由于直尺为矩形尺子，则，从而得出结论． 【小问1详解】 解：点和对应的刻度分别为和， ， 又，轴， ， 把代入得： 解得：； 【小问2详解】 略． 21. 某校为准确掌握初中学生体质健康变化情况，对同一届学生在初一学年和初二学年的体质健康测试成绩进行了统计，并从中随机抽取了20名学生，对他们的两次测试成绩（百分制）进行整理、描述和分析． 下面给出部分信息： a．这20名学生初一测试、初二测试成绩得分统计如图所示． b．这20名学生初一测试成绩、初二测试成绩的平均数、中位数、方差如表所示： 平均数 中位数 方差 初一测试 72.0 71.5 99.7 初二测试 86.8 88.4 c．按照初二测试成绩把学生成绩分为A、B、C三个等级，若初二测试的成绩为，被抽取的20名学生中有8人是A等级（），有7人是等级（），有5人是C等级（），其中等级所有学生的成绩是：80，82，84，85，87，88，88． 根据以上信息，回答下列问题： （1）小涵同学初一测试成绩为80分，初二测试成绩为86分，请在图中用“○”圈出小涵对应的点； （2）表中的值为______； （3）若“体质健康增长率”，请在图中用“△”标记出8名获得A等级的学生中体质健康增长率最高的学生所对应的点． 【答案】（1）将小涵同学初一测试的成绩和初二测试的成绩在图中用“○”圈出对应的点，如下图所示； （2）87.5 （3）标记8名获得等级的学生中体质健康增长率最高的学生所对应的点，如下图所示： 【解析】 【分析】（1）分析统计图，点的横坐标是80，纵坐标是86，从中标记出小涵对应的点即可； （2）结合题意将初二测试成绩按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数的定义求解即可； （3）根据体质健康增长率的定义，可知在统计图中靠近左上角的点符合题意，即可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：初二测试的成绩，被抽取的20名学生中有8人是等级，有7人是等级，有5人是等级， 其中等级所有学生的成绩是：80，82，84，85，87，88，88， 将初二测试成绩按照从小到大的顺序排列，排在10和11位的是87，88， 则初二测试成绩的中位数； 【小问3详解】 略 22. 如图，两个同心圆中，为大圆的弦． （1）作与小圆相切于点，为的中点，延长交小圆于点（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）若小圆的半径为1，，求的长． 【答案】（1）如图所示即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于点E，以点E为圆心，为半径画弧交小圆于点C，连接即可，利用直径所对的圆周角为直角即可得出与小圆相切于点； （2）连接，过作于，得出，再由等量代换得出，结合共圆得出点、、、共圆，利用圆周角定理确定，得出，结合图形求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，过作于， ∴， ∵与相切于点， ∴半径于， ∴， ∴，， ∴， ∵为中点，为圆心， ∴， ∴ ∴点、、、共圆 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且为圆心， ∴． 23. 若抛物线（）经过点，． （1）求与之间的关系式． （2）若将此抛物线向下平移1个单位长度，该抛物线与轴没有交点，求的取值范围． （3）已知点，在抛物线上，满足．当对于任意的，满足时，都有．求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明：∵， ∴， ∴， ∴，即 ∵ ∴ ∴， ∵对于任意的，满足时，都有 ∴ 【解析】 【分析】（1）利用交点求出对称轴即可得出关系式； （2）将代入抛物线解析式得出，再由（1）确定，得出，结合平移得出，利用函数交点问题求解即可； （3）根据题意得出，确定，，再由，得出，再由不等式的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线（）经过点和， ∴对称轴， ∴； 【小问2详解】 解：将代入抛物线解析式得， 又由（1）知， ∴， ∴， 将该抛物线向下平移1个单位，得， ∵此时与轴没有交点， ∴开口向下，即，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略． 24. 水果店售卖菠萝时，常见的方法是削皮后斜切去籽．小明买菠萝回家后，尝试横切、竖切去籽（图1），对比销售员的斜切去籽，思考哪种方法能使“损失的果肉最小”．他尝试用数学知识来解释以上问题：先将菠萝与籽抽象成圆柱与点．在圆柱的侧面画出了横切、竖切和斜切的路径（图2），再把圆柱侧面展开，将问题转化为平面上点与点、点与线段的探究． （1）侧面展开图上的点呈交错规律排列，假设每行有个籽，每列有个籽，行与列相邻两籽的间距都是．记横切、竖切、斜切的所有线段总长度分别为、、．（，均为整数，，） ①当，时，图3、图4为横切、竖切示意图，请在图5区域画出斜切示意图．并计算此时______，_____，______．（本题结果均可保留括号） ②归纳探究线段总长度与、、的一般关系：______，______，______． ③比较说明、、的大小，判断哪一种切法使“损失的果肉最小”． （2）如图6，部分菠萝每列的籽个数分为或（）间隔排列．假设每行仍有个籽，请继续探究：此时线段总长度与、、的一般关系：______，______，______．使“损失的果肉最小”的切法为______．（，均为整数，，） 【答案】（1）①；，，； ②，，； ③说明：， ， ， ， ， 整理得：， ， ， ，， ， ， 斜切使“损失的果肉最小”； （2），，，斜切 【解析】 【分析】（1）由题意可知，每两籽之间的距离为，共有行、列，据此求出、的表达式，注意斜切时，每条斜线上应该有个籽，利用勾股定理求出每两籽之间的距离为，据此求出的表达式，利用“作差法”求出、，从而求出、、的大小； （2）同（1）求出、、的表达式，并利用“作差法”求出、、的大小． 【小问1详解】 解：①当，时， 、， 如图： 此时，每两点之间的距离为， 由图可知，； ②解：由题意可知，每行有个籽，每列有个籽， 若横切时：每行共有个籽，即有，共有行，则； 若竖切时：每列共有个籽，即有，共有列，则； 若斜切时：由①可知，每两点之间的距离为，每条斜线上共有，共有行，则； ③略； 【小问2详解】 解：每列的籽个数分为或（）间隔排列时，共有行、列， 同②得：，， ； ， ， ， ， ， 斜切使“损失的果肉最小”． 25. 在中，，，线段上有一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，此时． （1）记线段，求线段的长度（用含的式子表示）． （2）连接、，若，求证：． （3）在（2）的条件下，记与交于点，求的值． 【答案】（1） （2）证明：由（1）知， 取中点，连接，，则， ∴点、、、在以点为圆心的圆上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作延长线于点，证明，求得，证明四边形为矩形，得到； （2）利用直角三角形的性质求得，推出点、、、在以点为圆心的圆上，利用圆周角定理结合已知即可得到； （3）在上取一点，使，证明，求得①，利用勾股定理求得②，据此求得，过作于，利用三角函数和相似三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解：过点作延长线于点， ∴， ∴， 由旋转，得，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在上取一点，使， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即①， 又∵， ∴，即②， 由①②，解得， 则，，过作于， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，则，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $