精品解析：2025年福建省厦门市高中自主招生考试数学试卷

2025年高中自主招生考试试题（数学学科） 考试时间：8：00-9：30 满分：150 一、单选题（每题4分，共32分） 1. 从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（ ）． A. 3个都是正品 B. 至少有1个是次品 C. 3个都是次品 D. 至少有1个是正品 2. 设，，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（ ） A. B. C. D. 4. 《孙子算经》中记载了这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有x个老头，y个梨，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 6. 如图，在四边形中，，，，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图像与其向下平移个单位长度所得的图像都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为（ ） A. 18 B. 16 C. 20 D. 24 8. 如图，等边的边长为，点在边上，，线段绕顺时针旋转得到线段，连接交于点，连接，下列结论：①四边形 面积为；②外接圆的半径为；③；其中正确的是（ ）. A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③ 二、填空题（每题5分，共40分） 9. 掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是_____． 10. 设，是方程 的两个根，那么的值为_____． 11. 已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是______． 12. 有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付_____元． 13. 若直角三角形中有两边的边长为、，这两边长都是质数，且使得代数式及的值都是正整数，则此直角三角形的第三边的长是_____． 14. 如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，且反比例函数的图像经过点，连接，则 与的面积比是_____． 15. 如图，已知矩形，点是的中点，将边沿翻折到的位置，点的对应点为，连接并延长交于点，当恰为的中点时，的值是_____． 16. 在四边形中，，，，， ．点是边上一点，如果以为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是_____． 三、解答题（共78分） 17. （1）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？ （2）若实数，，满足，则称比远离．对任意两个不相等的实数， ，证明比远离 ． 18. 已知整式，其中，． （1）若，求的值； （2）若，且，，，，，是自然数，则满足条件的不同整式中共有几个？请说明理由． 19. 如图①，已知四边形中，， ，，，，点是边上的动点，连接，作，设射线交线段于，交射线于． （1）如果射线经过点（即点、与点重合，如图②所示），求的长； （2）若点在的延长线上，不与点重合，设 ，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围． 20. 已知，是半径为的的弦，的另一条弦满足 ，且 于点（其中点在圆内，且 ， ）． （1）在图中用尺规作出弦与点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度； （3）如图，延长 至点，使得 ，连接， 的平分线交的延长线于点，点为的中点，连接 ，若 ．求证： ． 21. 若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“共同体函数”． （1）①若函数，当时，求函数的“共同体函数”的值； ②若函数 （，， 为常数），求函数的“共同体函数”，的解析式； （2）记函数的最大值为，请问是否存在实数，使得函数的“共同体函数”的最小值等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高中自主招生考试试题（数学学科） 考试时间：8：00-9：30 满分：150 一、单选题（每题4分，共32分） 1. 从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（ ）． A. 3个都是正品 B. 至少有1个是次品 C. 3个都是次品 D. 至少有1个是正品 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，掌握好必然事件的概念是解题关键． 根据必然事件的定义，事件必须一定发生.．由于次品只有2个，抽取3个产品时，无论如何抽取，都至少包含1个正品. 【详解】解：∵次品总数为2个， ∴抽取3个产品时，最多只能抽取到2个次品， ∴至少有一个正品， ∴ “至少有1个是正品”是必然事件；选项A和B是随机事件，选项C是不可能事件． 故选：D． 2. 设，，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式，分式的求值，利用平方根解方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 由条件，利用完全平方公式求出和，再计算其比值的平方，结合 确定符号，得到最终结果． 【详解】解：∵ ∴， ， ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴ ∴． 故选：A． 3. 因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法与因式分解，由因式分解形式可得 且，其中 、为整数． 列举所有满足，计算，并找出最大值． 【详解】解：， ，且、、为整数， ， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 的可能值为 ， ， ， ， ， ，其中最大值为 ． 故选：C． 4. 《孙子算经》中记载了这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有x个老头，y个梨，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出方程组是解题的关键． 根据题意，设有个老头，个梨．每人分1个梨时多1个，可得 ；每人分2个梨时少2个，可得 ．将两个方程联立即可得到正确选项． 【详解】解：设有x个老头，y个梨，则可列方程组为 故选：A． 5. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图，在四边形中，，，，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，根据，得到在以为圆心，半径为5的圆上，延长交圆于点，连接，则为直径，得到， ，根据平行线的性质，结合等边对等角得到，等角对等弦得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴，点在以为圆心，半径为5的圆上，如图，延长交圆于点，连接， 则：为直径， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 7. 已知二次函数的图像与其向下平移个单位长度所得的图像都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为（ ） A. 18 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像与x轴的交点问题、二次函数图像变换等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键， 通过分析四个交点在x轴上的等距排列，得出平移后的函数与x轴的交点位于和，然后代入函数表达式求m的值即可． 【详解】解：∵原函数与x轴交于点和，向下平移m个单位后新函数为，且四个交点等距， ∴平移后新函数与x轴交于点和， 将代入新函数：，解得： ． 故m的值为16． 故选：B． 8. 如图，等边的边长为，点在边上，，线段绕顺时针旋转得到线段，连接交于点，连接，下列结论：①四边形 面积为；②外接圆的半径为；③；其中正确的是（ ）. A. ①②③ B. ①③ C. ①② D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质及判定、全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定、图形的旋转、勾股定理、三角形外接圆半径的计算等知识．构造恰当的辅助线，以及对知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键． 首先利用旋转的性质确定 是等边三角形，通过证明，得到结论①正确；利用等边三角形的性质作的高，根据勾股定理计算的长度，通过三角形全等的性质确定，利用等腰三角形的性质和三角函数计算外接圆的半径，得到结论②正确；利用相似三角形的性质确定线段的比例，得到结论③正确． 【详解】解：∵线段绕顺时针旋转得到线段， ∴ ，， ∴ 是等边三角形， ∴ ，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形 面积为，故①正确； 如图，作 于， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，以为底边，作等腰 ，使，作于， 则，， ∴的外接圆半径，故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确． 故选：． 二、填空题（每题5分，共40分） 9. 掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查随机事件的概率，理解概率的定义与计算公式是关键． 每次抛掷硬币是独立事件，且硬币均匀，因此概率恒定． 【详解】解：掷一枚均匀的硬币，每次抛掷出现正面或反面都是独立事件，且概率均为 ，与抛掷次数无关，因此第999次出现正面向上的概率仍是 ． 故答案为 ：． 10. 设，是方程 的两个根，那么的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，将高次项降次后代入求值 【详解】解：， 是方程 的根， ， ，， ， ． 故答案为： ． 11. 已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查一元一次不等式的整数解．根据题目中的不等式分三种情况讨论，可以求得x的取值范围，再根据不等式的正整数解恰是1，2，3，从而可以求得a的取值范围． 【详解】解：（1）当时，不等式的解集为：， 正整数解一定有无数个．故不满足条件． （2） 时，无论取何值，不等式恒成立； （3）当时，不等式的解集为：， ∵不等式的正整数解为1，2，3， ∴， 解得． 故的取值范围是． 故答案为：． 12. 有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付_____元． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．设A、B、C的单价分别为x、y、z元．根据题意得到①，②，解方程组得到，即可求解． 【详解】解：设A、B、C的单价分别为x、y、z元． 由甲购3件，5件，1件，共200元，即①， 乙购4件，7件，1件，共250元，即②， 得③， 得④， 得， ∴丙购、、各1件，应付100元， 故答案为：100． 13. 若直角三角形中有两边的边长为、，这两边长都是质数，且使得代数式及的值都是正整数，则此直角三角形的第三边的长是_____． 【答案】12或 【解析】 【分析】本题主要考查分式的运算和直角三角形的边长，勾股定理，根据已知的质数和正整数将x和y分为三种情况讨论，分别求得满足题意的解或者找到矛盾排除，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵、都是质数，代数式及的值都是正整数， （1）若， ∴， ∴或， 当时，则， ∴， ∴ ， ∴， ∴直角三角形的第三边长为或； 当时，则，此时为偶数，为奇数，故等式不成立； （2）若 ，则不是正整数，与已知矛盾； （3）若， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵是质数， ∴ ， ∴不可能是正整数，舍去． 综上可得：直角三角形的第三边长为12或． 故答案为：12或． 14. 如图，平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，反比例函数的图像经过的中点，与边相交于点，且反比例函数的图像经过点，连接，则 与的面积比是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握反比例函数图像的性质，中点坐标的计算，几何图形面积的计算是关键． 根据反比例函数图像的性质设，由中点坐标的计算得到点的横坐标为 ，，，设，则，再结合中点坐标的计算得到，，，用含的式子表示出 与的面积，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过的中点， ∴设， ∵的顶点在轴正半轴上， ∴ ，点的横坐标为0， ∵，即， ∴， ∴点的横坐标为 ， ∴点的横坐标均为 ， ∵点在反比例函数的图像上， ∴，即， ∵点在反比例函数的图像上， ∴，即， 设，则， ∴，且的中点， ∴， 解得，， ∴，， ∴， ∴，， ∴则 与的面积比是， 故答案为：． 15. 如图，已知矩形，点是的中点，将边沿翻折到的位置，点的对应点为，连接并延长交于点，当恰为的中点时，的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设，则，，证明，得到，设，得到，根据勾股定理得到，解得，负的舍去，解答即可． 【详解】解：连接， ∵矩形， ∴，， 将边沿翻折到的位置，点的对应点为， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 设， ∴，， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，负的舍去， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解方程，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 16. 在四边形中，，，，， ．点是边上一点，如果以为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，直角梯形以及直角三角形的边角关系，画出半径最小和最大时的图形是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． 根据题意，分别画出半径最小和最大时的图形，根据直角三角形的边角关系以及切线的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图1，过点D作于H， 则，，， 在 中， ， 当与相切时，此时与线段有一个公共点，此时半径最小， 设，则， 在 中，， ∴， 由 得，， 解得 ∴； 如图2，当以为半径的过点B时，半径最大，过点O作 于F， 设，则， 在中，， ∴，， ∴， 在 中，由勾股定理得， 即， 解得，即的最大半径为， 所以当以O为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围为， 故答案为：． 三、解答题（共78分） 17. （1）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？ （2）若实数，，满足，则称比远离．对任意两个不相等的实数，，证明比远离 ． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式，不等式的性质． （1）分 和两种情况讨论，当 时直接判断不等式是否成立；当时利用二次函数恒小于0的条件(开口向下且判别式小于0)求解k的取值范围； （2）根据“远离”的定义，分别计算两个表达式与 的差的绝对值，比较大小即可证明结论． 【详解】解：（1）当 时，显然成立， ∴ ； 当时，不等式对一切实数x都成立， ∴， 解得， 综上，k的取值范围为； （2）证明：， ， ∵， ∴， ∴比远离 ． 18. 已知整式，其中，． （1）若，求的值； （2）若，且，，，，，是自然数，则满足条件的不同整式中共有几个？请说明理由． 【答案】（1）7 （2）5个，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用． （1）令和，分别得到，， 得到，根据 可知； （2）由得到，根据可知的最小取值，即，根据，，，，是自然数可知都为自然数，即，求出所有符合要求的的取值，进而判断即可． 【小问1详解】 解：当时，， 即， 当时，， 即， 得：， ， ∵为常数项， ∴， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∴． ∵， ∴的最小取值． ∴， ∵，， ∴都为自然数， ∴， ∴，或，或，或，， ∴，（舍去）或，或 ，（舍去）或，， 当，时， 则，可能的组合为，或，或，或，，共4种组合；，，可能的组合为，，，共1种组合； ∴满足条件的不同整式有：(个)； 当，时， 则，可能的组合为，，共1种组合；，，可能的组合为，，，共1种组合； ∴满足条件的不同整式有：(个)； 综上，满足条件的不同整式有：(个)． 19. 如图①，已知四边形中，， ，，，，点是边上的动点，连接，作，设射线交线段于，交射线于． （1）如果射线经过点（即点、与点重合，如图②所示），求的长； （2）若点在的延长线上，不与点重合，设 ，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围． 【答案】（1）的长为或 （2）关于的函数解析式及的取值范围为： 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，解直角三角形的计算，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． （1）如图所示，过点作延长线于点，则 ，可证四边形是矩形，由勾股定理得到，再证明，得到，联立方程，解一元二次方程即可； （2）如图所示，在 上取点，使得，则，，根据解直角三角形的计算得到，则，再证明，即可得到关于的函数解析式，结合（1）中的长为或即可得到的取值范围． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作延长线于点，则 ， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴，且， ∴， ∴，则， ∴， 整理得，，则， 解得，或， ∴当时，； 当时，； ∴的长为或； 【小问2详解】 解：如图所示，在 上取点，使得，则，， ∴， ∴，， ∴，， 由（1）得，， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵点在的延长线上，不与点重合，由（1）得，当的长为或时，点、与点重合， ∴ ， ∴关于的函数解析式及的取值范围为：． 20. 已知，是半径为的的弦，的另一条弦满足 ，且 于点（其中点在圆内，且 ， ）． （1）在图中用尺规作出弦与点（不写作法，保留作图痕迹）． （2）连接，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度； （3）如图，延长 至点，使得 ，连接， 的平分线交的延长线于点，点为的中点，连接 ，若 ．求证： ． 【答案】（1）作图如图所示 ； （2）不变， （3）略 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的作法，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形中位线的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，直径所对的圆周角为直角，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）作线段的垂直平分线，与圆交于点 、，再作线段的垂直平分线，并在上截取 ，在直线上截取线段 ，作线段 的垂直平分线，与圆交于点、，与线段交于点，即为所求． （2）连接，连接 并延长交于，连接，，过作 于， 于，证明四边形 是正方形，则可证 是等腰直角三角形，则，继而证明是等腰直角三角形，继而求得线段的长度是定长，及其值． （3）延长、，交点为，证明 是 的中位线，得到 ，继而得到 ，通过证明 ，继而证明 ，作 的外接圆，延长交外接圆于点，连接 、 ，通过证明，得到 ，继而得到 ． 【小问1详解】 解：如图，以，为圆心，大于 长为半径画弧，交点为，连接，与交点为，，与交点为，则 ，分别以，为圆心，大于 长为半径画弧，交点为，连接，则 ，以为圆心，长为半径画弧与交点为，则 ，以为圆心， 长为半径画弧，交直线于，以，为圆心，大于 长为半径画弧，交点为，连接 ，则 ， 与交点为，，与交点为，即、点即为所求． ； 【小问2详解】 如图，连接，连接 并延长交于，连接，，过作 于， 于， ∵ ， ， ∴ ， ∴四边形 是正方形， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，即 ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∵、 是同弧所对的圆周角， ∴ ， ∵是的直径， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∴， ∴线段的长是定长，值为； 【小问3详解】 略 21. 若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数 称之为函数的“共同体函数”． （1）①若函数，当时，求函数的“共同体函数” 的值； ②若函数（，，为常数），求函数的“共同体函数”， 的解析式； （2）记函数的最大值为，请问是否存在实数，使得函数的“共同体函数” 的最小值等于．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①；②； （2）存在， 或， 【解析】 【分析】（1）①时，，利用的性质求解最大值和最小值，即可得解； ②按照和分类讨论，利用的性质求解最大值和最小值，即可求解； （2）分、、、四种情况讨论，分别利用二次函数的性质求出h的最小值，解方程即可得解. 【小问1详解】 解：①时，， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴时，，时，， ∴； ②∵，， ∴当时，y随x的增大而增大， 时，，时，， ∴， 当时，随x的增大而减小， ∴时，，时，， ∴， 综上，； 【小问2详解】 解：∵， ∴时，， ①当即时， ∵， ∴时，， 时，， ∴， ∴时， 则， 解得 ； ②当即时， ∵， ∴时，， 时，， ∴， ∴ 时， 则， 解得 ； ③当时，，， 时，， ∴， ∴时， 则， 解得； ④当时，时，， 时，， ∴， ∴， ∵， ∴最小值为， ∴， ∴符合题意． 综上可知 或， 【点睛】本题考查了函数新定义，要掌握一次函数，二次函数的性质，难点在于分类讨论时，t的取值范围的取舍． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $