七年级数学下学期期末模拟卷（安徽专用：新教材沪科版七年级下册全部，高效培优提升卷）

**基本信息** 立足沪科版七年级下册全册，以光刻机、春晚机器人等科技热点为情境，通过基础题与创新题梯度设计，考查抽象能力、推理能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|科学记数法、平行线性质、分式变形等|第1题结合光刻机技术考查科学记数法，体现科技前沿情境| |填空题|4/20|因式分解、分式方程增根、不等式组等|13题综合不等式组解集与分式方程正整数解，考查运算能力| |解答题|9/90|规律探究、机器人采购应用、平行线角平分线等|20题以机器人采购为背景，考查分式方程与不等式组实际应用（模型意识）；23题通过平行线与角平分线动态探究，发展推理能力|

2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪科版七年级下册全部。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．中国人民自古以来具有自强不息的精神，经过科学家的不懈努力，中国光刻机取得了显著进展．上海微电子研制出能够生产的光刻机，已知，那么用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线，相交于点O，于O，，的度数是（     ） A． B． C． D． 3．若把分式中的和都变为原来的倍，那么分式的值（   ） A．变为原来的倍 B．不变 C．变为原来的 D．变为原来的倍 4．若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 5．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 6．已知实数a，b，c满足，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．若关于的方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图，将一副直角三角板重叠摆放，使得含 角的顶点与等腰直角三角形的直角顶点重合，且 于点，与 交于点，下列说法错误的是（  ） A． B． C． D． 9．定义一种运算：当时，．当时，．若，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 10．如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．分解因式：________． 12．若方程有增根，则的值是 _____ ． 13．已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的积为______． 14．已知，如图平行，O为平面内一点，，的角平分线相交于G点，则________°    三．解答题(本大题共9题，第 15-18 每题8分，第 19-20 每题 10 分，第 21-22 题12 分第 23 题 14 分，共 90 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15．（8分）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 16．（8分）（1）解不等式组： （2）解方程：． 17．（8分）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，，求的度数； (2)若平分，，求的度数． 18．（8分）如图，，，D、E分别在线段、上，、分别与交于点M、N，若，求证：．请补写解答过程和括号内相应的依据． 证明：（________）， （已知）． （等量代换）． （________，________）． （________，________）． ，（已知）， ∴______（__________） ________（内错角相等，两直线平行）． （________，________）． （________）． 19．（10分）观察下列等式： ； ； ； … (1)根据以上规律可得，则的值为 ． (2)写出的值，并通过计算说明其正确性． 20．（10分）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线，这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每台B种机器人比A种机器人贵5万元，用600万元采购A种机器人的台数和用650万元采购B种机器人的台数相同． (1)求采购一台A种机器人、一台B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6140万元再采购第二批A、B两种机器人共100台，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司共有多少种采购方案？ 21．（12分）我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为 ． 再如为十字分式方程，可化为 ． 应用上面的绪论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则_________，_________． (2)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 22．（12分）【阅读理解】 若x满足，求的值． 解：设，，则，，所以，我们把这种方法叫作换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)若x满足，则______； (2)若x满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，点E，F分别是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 23．（14分）如图，，点E，F分别为直线，上的点，点在两平行线与之间，连接的平分线交于点． (1)如图1，过点作，若，求的度数； (2)如图2，的平分线的反向延长线交于点． ①试说明：； ②请直接写出与的数量关系． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪科版七年级下册全部。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．中国人民自古以来具有自强不息的精神，经过科学家的不懈努力，中国光刻机取得了显著进展．上海微电子研制出能够生产的光刻机，已知，那么用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 故选：A． 2．如图，直线，相交于点O，于O，，的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以． 3．若把分式中的和都变为原来的倍，那么分式的值（   ） A．变为原来的倍 B．不变 C．变为原来的 D．变为原来的倍 【答案】C 【详解】解：∵， ∴把分式中的和都变为原来的倍，分式的值变为原来的， 故选：． 4．若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【详解】解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得， ∴a可取的最大整数为7， 故选：D． 5．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 6．已知实数a，b，c满足，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：选项A：若，则； 由得，结合，仅当且时成立， 故，结论正确； 选项B：若，则； 由得，且； 由，得； 结论仅给出，未考虑负值，故结论错误，选项B错误； 选项C：若，则； 代入，得，解得，故，结论正确； 选项D：若，则； ，结论正确； 综上，选项B为错误结论． 故选：B． 7．若关于的方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 用得 ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．如图，将一副直角三角板重叠摆放，使得含 角的顶点与等腰直角三角形的直角顶点重合，且 于点，与 交于点，下列说法错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， ，故A正确； 在等腰中，， 在直角中，，， ∴，故B不正确，符合题意； ，故D正确 ，故C正确； 故选：B． 9．定义一种运算：当时，．当时，．若，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：当时，则， 解得：（舍去）； 当时，则， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意； 综上，的值为， 故选：B． 10．如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， ∴， ∵平分， ∴， 如图所示，过点P作， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 即，故A是可能的； 如图所示，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，故C成立，故D不可能成立； 如图所示，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故B成立， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．分解因式：________． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 12．若方程有增根，则的值是 _____ ． 【答案】 【详解】解：， 在分式方程两边同乘以，得： ， ∵当时，， ∴方程的增根为， 将代入， 得：， 解得：． 故答案为：． 13．已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的积为______． 【答案】 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， 解方程，得， ∵方程的解为正整数，， ∴或或， 又∵， ∴， ∴， ∴满足条件的整数的值为和， ∴所有满足条件的整数的积为， 故答案为：． 14．已知，如图平行，O为平面内一点，，的角平分线相交于G点，则________°    【答案】或 【详解】解：如图，过作，而， ∴，    ∴，， ∵， ∴， ∵的角平分线相交于G点， ∴， 过作， 同理：， 同理可得：． 如图，过作，而， ∴，    ∴，， ∵， ∴， ∵的角平分线相交于G点， 设，， ∴， ∴，即， 过作，则， ∴，， ∴； 故答案为：或 三．解答题(本大题共9题，第 15-18 每题8分，第 19-20 每题 10 分，第 21-22 题12 分第 23 题 14 分，共 90 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15．（8分）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【详解】解：（1） ；……（3分） （2） ， 当时，．……（8分） 16．（8分）（1）解不等式组： （2）解方程：． 【详解】解：（1）∵ 解不等式①得：； 解不等式②得， 故不等式组的解集为．……（4分） （2）解： 去分母，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，时，， 故是原方程的增根， 故原方程无解．……（8分） 17．（8分）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，，求的度数； (2)若平分，，求的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴ ∴， 答：的度数为；……（4分） （2）解：∵平分， ∴， 设，由于，则， 由平角的定义可得，， 解得，， 即 ∴．……（8分） 18．（8分）如图，，，D、E分别在线段、上，、分别与交于点M、N，若，求证：．请补写解答过程和括号内相应的依据． 证明：（________）， （已知）． （等量代换）． （________，________）． （________，________）． ，（已知）， ∴______（__________） ________（内错角相等，两直线平行）． （________，________）． （________）． 【详解】证明：（对顶角相等），……（1分） （已知）． （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）．……（2分） （两直线平行，同位角相等）．……（3分） ，（已知）， ∴（垂直的定义）……（5分） （内错角相等，两直线平行）．……（6分） （两直线平行，内错角相等）．……（7分） （等量代换）．……（8分） 19．（10分）观察下列等式： ； ； ； … (1)根据以上规律可得，则的值为 ． (2)写出的值，并通过计算说明其正确性． 【详解】（1）解： ， 故答案为：；……（4分） （2）解：， ，，， ．……（10分） 20．（10分）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线，这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每台B种机器人比A种机器人贵5万元，用600万元采购A种机器人的台数和用650万元采购B种机器人的台数相同． (1)求采购一台A种机器人、一台B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6140万元再采购第二批A、B两种机器人共100台，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司共有多少种采购方案？ 【详解】（1）解：设采购一台A种机器人需x万元，则一台B种机器人需万元， 由题意得，， 解得，， 经检验是原分式方程的解， 答：采购一台A种机器人需60万元，一台B种机器人需65万元；……（5分） （2）解：设采购A种机器人a台，则采购B种机器人台， 根据题意得， 解得， 因为a为正整数，所以一共有4种方案， 答：该公司共有4种采购方案．……（10分） 21．（12分）我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为 ． 再如为十字分式方程，可化为 ． 应用上面的绪论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则_________，_________． (2)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 【详解】（1）解：可化为， ， 故答案为：；……（4分） （2）由已知得， ；……（8分） （3）原方程变为， ， ， ；……（12分） 22．（12分）【阅读理解】 若x满足，求的值． 解：设，，则，，所以，我们把这种方法叫作换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)若x满足，则______； (2)若x满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，点E，F分别是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【详解】（1）解：设，， ∴， ∵， ∴， ∴；……（2分） （2）解：设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 即；……（7分） （3）解：由题意得：，，， 设，， ∴， ∵长方形的面积为， ∴， ∵四边形和是正方形， ∴图中阴影部分的面积和 ， 即图中阴影部分的面积和为．……（12分） 23．（14分）如图，，点E，F分别为直线，上的点，点在两平行线与之间，连接的平分线交于点． (1)如图1，过点作，若，求的度数； (2)如图2，的平分线的反向延长线交于点． ①试说明：； ②请直接写出与的数量关系． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴；……（4分） （2）解：①成立；理由见解析： 过点P作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴；……（9分） ②如图，过点M作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∴， 根据解析①可知：， ∴， 即．……（14分） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1 2 4 5 6 7 8 9 10 A D C D C B C B B D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11. a(x+2) 12.3 13.8 14.20°或160° 三.解答题：（本大题共9题，第15-18每题8分，第19-20每题10分，第21-22题12分，第23题 14分，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.(8分) 【详解】解：（1)（)+（π-3°-2 =()+1-1 3分 =+Lx2-1 x =x+1 x(x+1)(x-1) s、1 x-1, 11 当x=时，x-1 -=-2 -1 …(8分) 2 16.(8分) 1/8 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [x-8≤3(x-2)① 【详解】解：(1)：2x-3<x② 解不等式①得：x≥-1； 解不等式②得x<3, 故不等式组的解集为1≤x<3.…(4分) 5x+2_3 (2)解：x2+xx+1 去分母，得5x+2=3x, 移项，合并同类项，得2x=-2, 系数化为1，得x=-1, 经检验，x=-1时，x+1=0, 故x=一1是原方程的增根， 故原方程无解.…(8分) 17.(8分) 【详解】(1)解：，∠AOC=70°， .∠BOD=∠AOC=70°. .OE平分∠BOD, .∠BOE=∠DOE=2∠BOD=35°， 又.∠DOF=90° ∴.∠B0F=90°-70°=20° .∠E0F=20°+35°=55°， 答：∠E0F的度数为55°；…(4分) (2)解：：OF平分∠COE, 1 ∴.∠C0F=∠E0F=2∠COE, 设∠BOD=x,由于∠BOF=15°，则∠EOF=x+15°=∠COF, 由平角的定义可得，x+(x+15)x2=180© 解得，x=50°」 即∠BOD=50° 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A0C=LB0D=2LB0D=100°.…(8分) 18.(8分) 【详解】证明：“∠2=∠3（对顶角相等），…(1分) ∠1=2（已知）· .∠1=∠3（等量代换）· ∴DF∥CE(同位角相等，两直线平行).…(2分) ∴.∠ADM=∠C(两直线平行，同位角相等)·…(3分) :AB⊥AC,AB⊥BF(已知)， ∴.∠A=∠B=90°（垂直的定义）·(5分) .AC∥BF(内错角相等，两直线平行).…(6分) ∴∠ADM=∠F(两直线平行，内错角相等)·…(7分) ∴∠C=∠F(等量代换)，…(8分) 19.(10分) 11 11 11 【详解】(1)解： =V+1+4*+4g+y+i6+y1+i6+25 37.13.21 2+6+12+20 十 21++1+ 1 1, 1 1 =1 612+1+ 20 11 +14、1 +1+1 1×2 2×3 +1+1 3×4 4×5 5· 故答案为：4 5:…(4分) (2)解：Sn=n+ n+1, 1 1 4 23 2×33, 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11111 s1+、1 ,=+1+4+1+4g+1++i61+x2+1+2×3+ -+1+ 33 3×44, 1 1 1 .Sn=1+ +1 1×2 23*11 x4+…+1+ (n+1)xn =n+ n+1.…(10分) 20 .(10分) 【详解】(1)解：设采购一台A种机器人需x万元，则一台B种机器人需 x+5)万元 600650 由题意得， xx+5’ 解得x=60,x+5=65, 经检验x=60是原分式方程的解， 答：采购一台A种机器人需60万元，一台B种机器人需65万元；…(5分) (2)解：设采购A种机器人a台，则采购B种机器人 0-d)台， 60a+65(100-a)≤6140 根据题意得， a≤3100-a) 解得72≤a≤75】 因为a为正整数，所以一共有4种方案， 答：该公司共有4种采购方案.…(10分) 21.(12分) 【详解】()解，x+。-5可化为+2x--=(2+, .x=-2,x2=-3 故答案为：-2，-3；…(4分) (2)由已知得mn=-5,m+n=-2, 上+上_m+=2 mnmn5;…(8分) 4/8 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -2-2k2+3 =-k-3 (3)原方程变为 x-2 x-2+-2k,3》=k+(-2k-3) x-2 :k>0,x>x2 .x-2=k,x2-2=-2k-3, -2=k。1 为+1-2k2:…(12分) 22.(12分) 【详解】(1)解：设100-x=a,x-95=b, ∴.a+b=100-x+x-95=5, .（100-x)(x-95)=5 ∴.ab=5. 、00-+6-95=d2+8=(a+b-2b=52-2x5=l15,2分) (2)解：设2025-x=a,x-2002=b, ∴.a+b=2025-x+x-2002=23. (2025-x}+(x-2002)}=229 .a2+b2=229, a2+b2=(a+b}-2ab :.2ab=(a+b)2-(a2+b2) =232-229 =300 .ab=150 即2025-x0x-202)=150 ;…(7分) 5/8 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：由思意得：AB=CD=24cm,CF=CD-DF=(24-x小cm,BC=BE+EC=(x+12)cm CF=24-x=a,BC=x+12=b, ,a+b=24-x+x+12=36, ,长方形CBQF的面积为320cm, :(24-0x+12)=ab=320 ,四边形CFGH和CBMN是正方形， ·图中阴影部分的面积和(24-°+(x+12) =a2+b2 =(a+b)-2ab =362-2×320 =656(cm2） 即图中阴影部分的面积和为656cm2.…(12分) 23.(14分) 【详解】(1)解：：EN平分∠AEM,∠AEN=64°， ∴∠AEM=2∠AEN=128° .∠BEM=180°-128°=52°， .MG∥AB, ∴.∠EMG=∠BEM=52°， .∠EMF=112°， ∴.∠GMF=112°-52°=60°. .MG∥AB,AB∥CD, .MG∥CD. .∠MFD=∠GMF=60°，…(4分) (2)解：①成立；理由见解析： 过点P作PO /I CD,如图所示： 6/8 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B M D :AB∥CD, .AB∥Pg∥CD, ∠IHFD=∠HPg,∠AEP=∠EPg, .∠EPQ=∠EPH+∠OPH=∠EPH+∠HFD, .∠AEP=∠EPH+∠HFD;·(9分) ②如图，过点M作MK∥AB」 AB∥CD .CD∥MK∥AB, .∠BEM=∠EMK,∠KMF=∠MFD, ,∠EMF=∠BEM+∠MFD, .EN平分∠AEM,FH平分∠MFD, ∴∠AEN=∠MEN,∠MFH=∠HFD, 设∠AEN=∠MEN=y,∠MFH=∠HFD=∠PFN=x, .∠EMF=180°-2y+2x, 根据解析①可知：∠EPH=∠AEN-∠HFD=y-x, ∠EMF=180°-2y+2x=180°-2(y-x)=180°-2∠EPH 7/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即∠EMF=180°-2∠EPH.·(14分) 8/8………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪科版七年级下册全部。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．中国人民自古以来具有自强不息的精神，经过科学家的不懈努力，中国光刻机取得了显著进展．上海微电子研制出能够生产的光刻机，已知，那么用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线，相交于点O，于O，，的度数是（     ） A． B． C． D． 3．若把分式中的和都变为原来的倍，那么分式的值（   ） A．变为原来的倍 B．不变 C．变为原来的 D．变为原来的倍 4．若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 5．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 6．已知实数a，b，c满足，则下列结论中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．若关于的方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图，将一副直角三角板重叠摆放，使得含 角的顶点与等腰直角三角形的直角顶点重合，且 于点，与 交于点，下列说法错误的是（  ） A． B． C． D． 9．定义一种运算：当时，．当时，．若，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 10．如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．分解因式：________． 12．若方程有增根，则的值是 _____ ． 13．已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的积为______． 14．已知，如图平行，O为平面内一点，，的角平分线相交于G点，则________°    三．解答题(本大题共9题，第 15-18 每题8分，第 19-20 每题 10 分，第 21-22 题12 分第 23 题 14 分，共 90 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15．（8分）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 16．（8分）（1）解不等式组： （2）解方程：． 17．（8分）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，，求的度数； (2)若平分，，求的度数． 18．（8分）如图，，，D、E分别在线段、上，、分别与交于点M、N，若，求证：．请补写解答过程和括号内相应的依据． 证明：（________）， （已知）． （等量代换）． （________，________）． （________，________）． ，（已知）， ∴______（__________） ________（内错角相等，两直线平行）． （________，________）． （________）． 19．（10分）观察下列等式： ； ； ； … (1)根据以上规律可得，则的值为 ． (2)写出的值，并通过计算说明其正确性． 20．（10分）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线，这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每台B种机器人比A种机器人贵5万元，用600万元采购A种机器人的台数和用650万元采购B种机器人的台数相同． (1)求采购一台A种机器人、一台B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6140万元再采购第二批A、B两种机器人共100台，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司共有多少种采购方案？ 21．（12分）我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为 ． 再如为十字分式方程，可化为 ． 应用上面的绪论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则_________，_________． (2)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 22．（12分）【阅读理解】 若x满足，求的值． 解：设，，则，，所以，我们把这种方法叫作换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)若x满足，则______； (2)若x满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，点E，F分别是边，上的点，，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 23．（14分）如图，，点E，F分别为直线，上的点，点在两平行线与之间，连接的平分线交于点． (1)如图1，过点作，若，求的度数； (2)如图2，的平分线的反向延长线交于点． ①试说明：； ②请直接写出与的数量关系． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $