专题05 相交线、平行线与平移7高频考点67题（期末真题汇编，安徽专用）七年级数学下学期

**基本信息** 安徽多地七年级下册期末试题汇编，聚焦相交线、平行线与平移7大核心考点，分层覆盖基础选择填空至综合压轴题，适配期末复习与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约25题|对顶角识别（第1题）、三线八角判定（第21题）、平移性质（第44题）|基础题直击易错点，如邻补角图形辨析（第3题）| |填空|约15题|垂线角度计算（第6题）、点到直线距离（第17题）|结合几何图形渗透符号意识，如角平分线与补角综合（第7题）| |解答|约25题|平行线证明（第36题）、动态几何探究（第57题）|压轴题融合三角板旋转（第57题）与角平分线综合（第65题），体现安徽期末命题趋势|

专题05 相交线、平行线与平移 高频考点概览 考点01对顶角、邻补角角度计算（基础选择/填空） 考点02垂线与点到直线距离计算（基础必考） 考点03三线八角识别（易错选择考点） 考点04 平行线判定辨析与角度计算（中档核心题型） 考点05平行线几何证明大题（期末必考） 考点06平移作图与性质应用（中档题型） 考点07平行线综合压轴题（期末难点） 考点01 对顶角、邻补角角度计算（基础选择/填空） 1．（23-24七年级下·安徽宣城·期末）下列图形中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在直线上，，下列说法错误的是（   ） A．与互补 B．与互余 C．与互补 D．与互补 3．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，这是利用量角器测量角的示意图，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）如图，直线相交于点，若增大，则的大小变化是（    ）    A．减少 B．增大 C．不变 D．增大 6．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，直线、相交于点、平分、于点，则______． 7．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，直线、交于点O，，，平分，则的补角是_________． 8．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，直线，相交于点O，平分． （1）若，则_____（用含的式子表示）； （2）若，，则_______． 考点02 垂线与点到直线距离计算（基础必考） 9．（25-26七年级下·安徽宣城·期末）如图，直线，相交于点O，于O，，的度数是（     ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·安徽池州·期末）在平面内，下列说法正确的是（    ） A．画出点A到直线m的距离 B．过直线上一点C作，垂足为C C．过点A作垂直于直线m，使垂足为A D．点C在直线上，过点C作，；（C、D、E三点不共线） 11．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）下列作图能表示点B到的距离的是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在直角中，，点从点出发沿方向运动，若，，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，点在直线上，点，在直线上，，，．有下列结论：①点到直线的距离等于4；②点到直线的距离等于3；③点到的距离等于5．其中，正确的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 15．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末） 如图，已知三角形中，垂足为D，则表示点A到直线 的距离的是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 16．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）如图，直线AB、CD相交于点，，过点作射线，使，则的度数为__________． 17．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图，三角形的面积为15，的长为5，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_______．    18．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）直线，相交于点，，，射线平分． （1）如图1，若，则________． （2）如图2，若，则________（用含的式子表示）． 19．（22-23七年级下·安徽六安·期末）如图，直线与交于点，已知和位于的两侧，且，平分，若，求的度数． 20．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）阅读理解：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”． 如图，点O在直线上，、在直线上方，且，射线是的“分补线”． (1)若，且在内部，则 ， ； (2)若平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请直接写出与的数量关系： ． 考点03 三线八角识别（易错选择考点） 21．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）如图，和的位置关系是（  ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 22．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列各图中的与，是同位角的是（    ） A． B． C． D． 23．（22-23七年级下·安徽宣城·期末）如图，直线，被直线所截，则的内错角是（    ）    A． B． C． D． 24．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，是直线上一点，，是直线上方的两点，连接，，．图中与构成同旁内角的角共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 25．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架构成了多种位置关系的角，有下列四种叙述：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 26．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，与的位置关系是______．（请从“对顶角”“同位角”“内错角”“同旁内角”中选填一种） 考点04 平行线判定辨析与角度计算（中档核心题型） 27．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，下列四个条件中，能判定 的有（  ） ①；②；③；④°． A．①④ B．②③ C．①②③ D．③④ 28．（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图，直线、都与直线相交，给出下列条件：；；；．其中能判断的条件是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，将一副直角三角板重叠摆放，使得含 角的顶点与等腰直角三角形的直角顶点重合，且 于点，与 交于点，下列说法错误的是（  ） A． B． C． D． 30．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知，，，平分，则下列说法中错误的是（   ） A．当时， B．当时， C． D． 31．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图，，如果，，那么的度数是_______． 32．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，，点C在点D的右侧，平分，平分，所在直线交于点E，． （1）_______°； （2）若，则 ________°(用含x的式子表示)． 33．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）推理填空： 如图，，，．请将求的过程填写完整． 解：（已知）， （________），又（已知）， （________）， ________（________）， （已知）， ________． 34．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知：如图，平分，，，，求的度数． 证明：∵，平分， ∴， ∵，， ∴　　 ，（　　 ） ∴　　 ，（　　 ∴，（　　 ） ∵， ∴， ∴，（　　 ） ∴，（　　 ） ∵， ∴　　 °． 35．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一副三角尺为我们用数学的眼光观察世界提供了一个小小的“窗口”．比如我们根据一副三角尺的不同位置摆放，可探究有关平行线的问题． 如图1是一副三角尺，． (1)如图2，将三角尺的顶点A与三角尺的顶点F重合，使点C落在的延长线上，与相交于点G，求的度数； (2)如图3，将三角尺的直角顶点C放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点P，求的度数； (3)如图4，将三角尺放置固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的直角顶点C，F重合．当点A在直线的下方时，探究这两个三角尺有一组边互相平行的情况，比如当时，，请你直接写出除外，其他所有可能的度数． 考点05 平行线几何证明大题（期末必考） 36．（22-23七年级下·安徽·期末）请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，． 求证：． 证明：∵（已知）， （______）． （已知）， （等式的性质），即______． （已知），（已证）， ，______， （______）． 37．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）补充完成下面证明过程． 如图，，，求证：． 证明：∵（已知）， 又∵（____________）， ∴（等量代换）， ∴____（____________）． ∴____（____________）． ∵（已知）． ∴（____________）， ∴（____________）， ∴（____________）． 38．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）（1）仔细读题，完成下列说理填空， 已知：如图，，直线交于点，． 求证：．    证明：因为（______）， 所以（______）． 因为（已知），； 所以______（等量代换）． 所以（______）． （2）聪明的你，请写出一种与第（1）题不同的证明方法（格式仿照第（1）小题证明过程，不用写理由）． 39．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知，如图，，，．求证：． 请补全下面的证明： 证明：（已知） ∴（_________） _________（两直线平行，内错角相等） （已知） _________（等量代换） ∴（_________） （两直线平行，同位角相等） ， ， ．（_________） 40．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，点在上，交于，交于，． (1)求证：． 完成下面的证明，括号内填根据． 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴___________，（ ） ∴______________________．（ ） (2)若，，平分，求的度数． 41．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，分别在线段上，分别与交于点，若，求证：．请补写解答过程和括号内相应的依据． 证明：（_____） （已知）    （等量代换） （_____，_____） （_____，_____） （已知） _____（_____） _____（内错角相等，两直线平行） （_____，_____） （_____）． 42．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）完成下面的证明． 已知：如图，四边形，点，在直线上，连接，若，．求证：． 证明：∵点E在边的延长线上（已知）， ______（______）． 又（已知）， ∴______（同角的补角相等）． 又（已知）， ______（______）． ______（______）． （______）． 43．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】 如图1，已知，点 E，F分别在直线、上，点P 在直线、 之间．求证：． 证明：如图2，过点 P 作， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，即． 【类比应用】 （1）如图3，已知，，，求 ． （2）如图4，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，试说明：； 【拓展应用】 （3）如图5，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 考点06 平移作图与性质应用（中档题型） 44．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，将三角形沿方向平移2个单位得三角形．若三角形的周长等于11，则四边形的周长为（   ） A．15 B．13 C．11 D．7 45．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，沿边向右平移得到，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 46．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图，在中，．把沿着直线的方向平移2.5cm后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④四边形的周长为17cm．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 47．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）下列图形中，可由其中一个图形平移得到整个图形的是（    ） A． B． C． D． 48．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，将直角三角形沿着点B到C的方向平移到三角形的位置，此时，，阴影部分的面积为，则平移的距离为______． 49．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，将三角形沿方向平移得到三角形，若三角形的周长为，则四边形的周长为______． 50．（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段． (1)将线段向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到线段（点与点是对应点，点与点是对应点），请画出线段； (2)连接，，则这两条线段之间的关系是________． 51．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在方格纸中，有两条线段，．利用方格纸完成以下操作： (1)将线段向右平移得到线段，点、点的对应点分别是点、点； (2)过点作的平行线； (3)过点作的垂线，与交于点． 52．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在的网格中，三角形的顶点均在格点上，按下列要求作图： (1)作线段，使得，其中为格点． (2)将三角形先向右平移4格，再向上平移2格，得到三角形，作出三角形． 53．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫作格点，三角形的三个顶点都在格点上，各顶点的位置如图所示． (1)将三角形平移，使点A平移到点D、点E、F分别是B、C的对应点，画出平移后的三角形； (2)过点A画的平行线，并标出平行线所过格点Q； (3)连接、，则与间的关系是______． 54．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．三角形的三个顶点都是格点， (1)将三角形向上平移4个单位得到三角形，画出三角形； (2)在整个平移的过程中，扫过的面积是 ． 55．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小方格的顶点叫作格点，三角形的三个顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)点在格点上，请在图1中，将三角形平移，使点和点是对应点，画出平移后的三角形； (2)请在图2中找一个格点，连接，使． 56．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）画图题． (1)如图①，直线是河流的一边，点是一个村庄，现在要修一条水渠把水引到村庄，要求所修的水渠长度最短，请你画出所修水渠的示意图，并说明理由． (2)如图②，三角形的三个顶点都在方格纸中的横线和竖线的交点上，请你在方格中平移三角形，使点A移到点，画出平移后的三角形． 考点07 平行线综合压轴题（期末难点） 57．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点A，B分别在直线，上，，平分交直线于点D，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点G与点A重合，直角边与重合．若将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求t的值； 58．（22-23七年级下·安徽黄山·期末）综合与实践 学习了相交线、平行线相关知识后，某数学兴趣小组利用手中的一副三角板进行了探究，发现和提出了一些数学问题．如图1所示，他们将两个直角三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．    (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，试探究等于多少度时，简要说明理由． 59．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且． (1)判断直线与直线是否平行，并说明理由； (2)如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设，． ①当点G在点F的右侧时，若，求的度数； ②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 60．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数． (1)阅读并补充下面推理过程： 解：过A点作，所以______， ______． 又因为，所以． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)如图2，已知，求的度数． (3)已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，所在直线交于点E，且点E在与两条平行线之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，则的度数为______； ②如图4，点B在点A右侧，且，若，则的度数为______°．（用含n的代数式表示） 61．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）数学课上，老师要求同学们利用三角尺设计数学问题． (1)小安的设计：如图①，利用三角尺画平行线：①将含角的三角尺的最长边与直线重合，另一块三角尺长直角边与含角的三角尺的直角边紧贴：②将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线，则，小安这样画图的依据是______； (2)小徽的设计：如图②，将含角的直角三角尺放在含角的直角三角尺上、使两直角顶点与重合，转动三角尺，始终保持三角尺有重合部分，当的大小为多少时，可使？请说明理由； (3)小皖的设计：如图③，，将一副直角三角尺作如上摆放：，，求的度数． 62．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知直线，点M、N分别是直线和上的两点，点G为直线和之间的一点，连接、 (1)如图1，若，，试说明； (2)如图2，在（1）的结论下，点P是直线下方一点，满足平分，平分若，求的度数； (3)如图3，点P是直线上方一点，连结，若点G为线段上一点，的延长线为的平分线，平分，，则______． 63．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图1，已知点B和点C分别是AF和DE上的点，，， (1)求证：； (2)如图2，连接AC，已知，（m为正数）． ①当时，，求的度数； ②若，求的度数（用含m的代数式表示）． 64．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）已知，，点为之间的任意一点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，求证：； (3)如图3，，分别是，的平分线，若． ①请用含的式子表示； ②若平分平分，得到平分平分，可得，依次平分下去，则________．（用含的式子表示） 65．（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图，已知，是直线和之间一点． (1)如图1，试证明； (2)如图2，点在直线之间，分别为和的平分线，若，求的度数； (3)如图3，分别为和的平分线，且．若，求的度数． 66．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 已知直线，P为平面内一点，连接，． （1）如图1，已知，则的度数为______； （2）如图2，设，猜想α，β，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，，，交于点O，，求的度数． 67．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，，点E，G分别在直线，上，F是平面内任意一点，连接，． (1)探究：如图1，当点F在直线的左侧时，试说明：． (2)问题迁移：如图2，当点F在的上方时，，，之间有何数量关系？请说明理由． (3)联想拓展：如图3，若，的平分线和的平分线交于点P，用含的式子表示的度数． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相交线、平行线与平移 高频考点概览 考点01对顶角、邻补角角度计算（基础选择/填空） 考点02垂线与点到直线距离计算（基础必考） 考点03三线八角识别（易错选择考点） 考点04 平行线判定辨析与角度计算（中档核心题型） 考点05平行线几何证明大题（期末必考） 考点06平移作图与性质应用（中档题型） 考点07平行线综合压轴题（期末难点） 考点01 对顶角、邻补角角度计算（基础选择/填空） 1．（23-24七年级下·安徽宣城·期末）下列图形中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题主要考查对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．根据对顶角的定义可逐项判断求解． 【详解】解：A、不符合对顶角的定义，不是对顶角，故此选项不符合题意； B、符合对顶角的定义，是对顶角，故此选项符合题意； C、不符合对顶角的定义，不是对顶角，故此选项不符合题意； D、不符合对顶角的定义，不是对顶角，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，点在直线上，，下列说法错误的是（   ） A．与互补 B．与互余 C．与互补 D．与互补 【答案】D 【知识点】与余角、补角有关的计算、几何图形中角度计算问题、邻补角的定义理解 【分析】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是理解余角和补角的定义． 根据题意可得，再根据余角和补角的定义求解即可． 【详解】， ，即， ， ， 为直线， ， ，即与互补，故A正确，不符合题意； ， 与互余，故B正确，不符合题意； ，， ， 则与互补，故C正确，不符合题意； ， 与互补， 又与不一定相等， 与互补说法错误，故D错误，符合题意． 故选：D． 3．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】邻补角的定义理解 【分析】本题考查邻补角的定义，掌握邻补角的定义“两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫作互为邻补角”是解题关键．根据邻补角的定义逐项判断即可． 【详解】A．不是邻补角，不符合题意； B．不是邻补角，不符合题意； C．不是邻补角，不符合题意； D．是邻补角，符合题意． 故选D 4．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，这是利用量角器测量角的示意图，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查角的测量，对顶角相等，利用互为对顶角的两个角相等解答即可． 【详解】解：的对顶角为， ． 故选：A． 5．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）如图，直线相交于点，若增大，则的大小变化是（    ）    A．减少 B．增大 C．不变 D．增大 【答案】D 【知识点】对顶角相等 【分析】由对顶角相等可得答案． 【详解】解：∵直线相交于点， ∴， ∵增大， ∴增大； 故选D 【点睛】本题考查对顶角的性质，熟记对顶角相等是解本题的关键． 6．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，直线、相交于点、平分、于点，则______． 【答案】 【知识点】邻补角的定义理解、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，角的和差；由角平分线的定义得 ，由补角的定义得 ，能表示出比例式中的两个角是解题的关键． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ； 故答案：． 7．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，直线、交于点O，，，平分，则的补角是_________． 【答案】，， 【知识点】求一个角的补角、角平分线的有关计算、对顶角相等 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，掌握角平分线的定义和补角的定义是解题关键． 根据角平分线的定义找到相等角，再通过等量代换和角的和差计算，找到与之和为的角即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴，图中等于的角即为的补角， 由图可知，； ； ， 故答案为：，， ． 8．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，直线，相交于点O，平分． （1）若，则_____（用含的式子表示）； （2）若，，则_______． 【答案】 或 【知识点】利用邻补角互补求角度、对顶角相等、角平分线的有关计算 【分析】本题考查补角的定义，角平分线的定义，对顶角，注意分两种情况是解题的关键． （1）根据补角的定义和对顶角相等得出，，根据角平分线的定义得出，进而根据即可得出答案； （2）根据角平分线的定义和对顶角相等得出，再分两种情况讨论得出或得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：如图1： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，或． 故答案为：或． 考点02 垂线与点到直线距离计算（基础必考） 9．（25-26七年级下·安徽宣城·期末）如图，直线，相交于点O，于O，，的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解 【分析】根据垂直的定义可得，再根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以． 10．（23-24七年级下·安徽池州·期末）在平面内，下列说法正确的是（    ） A．画出点A到直线m的距离 B．过直线上一点C作，垂足为C C．过点A作垂直于直线m，使垂足为A D．点C在直线上，过点C作，；（C、D、E三点不共线） 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解、点到直线的距离 【分析】本题主要考查了垂线的定义，点到直线的距离，解题的关键是根据垂线的定义，逐项进行判断，分析即可． 【详解】解：A．应该是作出点A到直线m的距离，故A错误，不符合题意； B．过直线上一点C作，垂足为C，故B正确，符合题意； C．若点A在直线上，则垂足为A，否则点A不是垂足，故C错误，不符合题意； D．在同一平面内，过一点只有作一条直线与已知直线垂直，故D错误，不符合题意． 故选：B． 11．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）下列作图能表示点B到的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点到直线的距离、画垂线 【分析】本题考查了画垂线，点到直线的距离：过直线外一点向直线作垂线，这点与垂足间线段的长度；根据此概念判断即可． 【详解】解：A、表示点B到的距离，符合题意； B、表示点A到的距离，不符合题意； C、表示不是点B到的距离，不符合题意； D、表示点C到的距离，不符合题意； 故选：A． 12．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短．根据垂线段最短，得到当时，的值最小，利用等积法进行计算即可. 【详解】解：∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 在中， ∵，，，， ∴，即：， ∴， ∴线段的最小值是. 故选：C． 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在直角中，，点从点出发沿方向运动，若，，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，设点到的距离为，则，求出，然后通过垂线段最短即可求解，正确理解垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：由题意得直角面积为， 设点到的距离为，则， 解得：， 由垂线段最短可知，长度的最小值为， 故选：． 14．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）如图，点在直线上，点，在直线上，，，．有下列结论：①点到直线的距离等于4；②点到直线的距离等于3；③点到的距离等于5．其中，正确的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即可得到答案． 【详解】解：①点到直线的距离等于，故①正确， ②点到直线的距离等于，故②错误， ③点到的距离等于，故③错误， 综上：①正确， 故选：B 15．（23-24七年级下·安徽阜阳·期末） 如图，已知三角形中，垂足为D，则表示点A到直线 的距离的是（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查点到直线的距离的定义．根据点到直线的距离，即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离，进行判断即可． 【详解】解：由点到直线的距离定义可知：线段的长度表示点A到直线 的距离． 故选：C． 16．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）如图，直线AB、CD相交于点，，过点作射线，使，则的度数为__________． 【答案】或 【知识点】对顶角相等、垂线的定义理解、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了角度的相关计算，垂线的定义理解，以及对顶角相等，当在上方时，可得出，由对顶角相等可得出，可计算出，当在下方时，此时，此时． 【详解】解：当在上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， 当在下方时， 此时， ∵， ∴， 故答案为：或． 17．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图，三角形的面积为15，的长为5，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_______．    【答案】6 【知识点】垂线段最短 【分析】根据垂线段最短即可求解． 【详解】解：作    解得： 由垂线段最短可知：线段的最小值是6 故答案为：6 【点睛】本题考查垂线段最短．熟记相关结论即可． 18．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）直线，相交于点，，，射线平分． （1）如图1，若，则________． （2）如图2，若，则________（用含的式子表示）． 【答案】 /度 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查了与角平分线有关的角的计算，解决本题的关键是根据角平分线定义和角的和差的计算． （1）根据，，可求得，射线平分，可求得，即可由求出结论； （2）同理求得，继而求出． 【详解】解：（1）因为，， 所以， 因为，即 所以． 因为平分，所以， 所以． （2）同理可得：． 因为平分， 所以， 所以． 故答案为（1），（2）． 19．（22-23七年级下·安徽六安·期末）如图，直线与交于点，已知和位于的两侧，且，平分，若，求的度数． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义和对顶角的性质，解题的关键是掌握角的和差计算和角平分线的定义．根据，得，所以，再根据平分，得，根据对顶角的性质得． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ． 20．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）阅读理解：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”． 如图，点O在直线上，、在直线上方，且，射线是的“分补线”． (1)若，且在内部，则 ， ； (2)若平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请直接写出与的数量关系： ． 【答案】(1)； (2) (3)或 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查了角平分线的定义、补角的定义、垂线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由“分补线”的定义结合即可得出，再由垂线的定义可得，即可得解； （2）由“分补线”的定义结合即可得出，结合角平分线的定义可得，再由垂线的定义可得，求出，即可得解； （3）分两种情况：当时；当时；分别计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，射线是的“分补线”，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图： ∵射线是的“分补线”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时， ∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，此情况、重合， 同理可得：， ∴； 综上所述：与的数量关系为：或． 考点03 三线八角识别（易错选择考点） 21．（24-25七年级下·安徽宿州·期末）如图，和的位置关系是（  ） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【答案】B 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的辨析，根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：和都在直线a、b上方，在第三条直线的右侧，因此和的位置关系是同位角． 故选：B． 22．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列各图中的与，是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据同位角位置相同即“同旁和同侧”，进行解答即可． 【详解】解：A．与不是同位角，不符合题意； B．与不是同位角，不符合题意； C．与是同位角，符合题意； D．与不是同位角，不符合题意． 23．（22-23七年级下·安徽宣城·期末）如图，直线，被直线所截，则的内错角是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据内错角就是：两个角都在截线的两旁，又分别处在被截的两条直线之间位置的角解答即可． 【详解】解：根据内错角的定义可得， 故选：D． 【点睛】解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． 24．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，是直线上一点，，是直线上方的两点，连接，，．图中与构成同旁内角的角共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据同旁内角定义进行判断即可． 【详解】解：图中与构成同旁内角的角为，，，共个． 25．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架构成了多种位置关系的角，有下列四种叙述：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形中角的位置关系进行逐一判断即可 【详解】① 和 是由水平直线截两条斜线所得，均在截线上方且在被截直线右侧（或同侧），符合同位角定义，故①正确； ② 和 是由左下至右上的斜线截上下两条水平线所得， 在截线右侧、被截线之间， 在截线左侧，不在被截线之间，不符合内错角定义，故②错误； ③ 和 是由左下至右上的斜线截上下两条水平线所得，均在截线右侧且在被截线之间，符合同旁内角定义，故③正确； ④ 和 是由左上至右下的斜线截上下两条水平线所得，均在截线右侧且在被截直线上方，符合同位角定义，故④正确． 综上所述，正确的是①③④． 26．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，与的位置关系是______．（请从“对顶角”“同位角”“内错角”“同旁内角”中选填一种） 【答案】内错角 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，内错角和同旁内角的特征，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：与的位置关系是内错角； 故答案为：内错角． 考点04 平行线判定辨析与角度计算（中档核心题型） 27．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，下列四个条件中，能判定 的有（  ） ①；②；③；④°． A．①④ B．②③ C．①②③ D．③④ 【答案】B 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：， ； ， ； ， ； ， ； 综上所述，能判定的有②③， 故选：B． 28．（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图，直线、都与直线相交，给出下列条件：；；；．其中能判断的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同旁内角互补两直线平行、同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此逐个判断即可解答． 【详解】解：与是直线、被直线所截形成的同位角， ， 根据同位角相等，两直线平行， 可得：， 故符合题意； 与是直线、被直线所截形成的内错角， ， 根据内错角相等，两直线平行， 可得：， 故符合题意； 根据对顶角相等， 可得：， ， ， 和是直线、被直线所截形成的同旁内角， 根据同旁内角互补，两直线平行， 可得：， ，可证， 故符合题意； 根据对顶角相等， 可得：， 和是直线、被直线所截形成的同位角， 当时， 根据同位角相等，两直线平行， 可得：， 即时，， 故不符合题意； 综上所述，其中能判断的条件是． 故选：D． 29．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，将一副直角三角板重叠摆放，使得含 角的顶点与等腰直角三角形的直角顶点重合，且 于点，与 交于点，下列说法错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角板中的角度计算，熟练掌握三角板中各内角的度数是解题的关键． 根据一副直角三角板可知，，，根据可知，进一步可知，，进而求出的度数，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ，故A正确； 在等腰中，， 在直角中，，， ∴，故B不正确，符合题意； ，故D正确 ，故C正确； 故选：B． 30．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，已知，，，平分，则下列说法中错误的是（   ） A．当时， B．当时， C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线等知识点，灵活运用平行线的判定与性质成为解题的关键． 运用平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线逐项判断即可． 【详解】解：如图：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴，即A选项错误，符合题意； 如图：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴ ∴，即B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即C选项正确，不符合题意； ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴，整理得，即D选项正确，不符合题意． 故选A． 31．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）如图，，如果，，那么的度数是_______． 【答案】/120度 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键； 根据内错角相等，两直线平行，判定，依据两直线平行，同旁内角互补，得到，结合已知，，算出，最后根据，求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 32．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，，点C在点D的右侧，平分，平分，所在直线交于点E，． （1）_______°； （2）若，则 ________°(用含x的式子表示)． 【答案】 40 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质. （1）根据角平分线的定义即可得到答案； （2）过点E作，由角平分线的定义得到，，再证明，则由平行线的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵平分，， ∴． 故答案为：． （2）如图，过点E作． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴，． ∴， 故答案为：． 33．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）推理填空： 如图，，，．请将求的过程填写完整． 解：（已知）， （________），又（已知）， （________）， ________（________）， （已知）， ________． 【答案】解：（已知）， ，又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （已知）， ． 34．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知：如图，平分，，，，求的度数． 证明：∵，平分， ∴， ∵，， ∴　　 ，（　　 ） ∴　　 ，（　　 ∴，（　　 ） ∵， ∴， ∴，（　　 ） ∴，（　　 ） ∵， ∴　　 °． 【答案】；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；110． 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可． 【详解】证明：∵，平分， ∴， ∵，， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵， ∴． 35．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一副三角尺为我们用数学的眼光观察世界提供了一个小小的“窗口”．比如我们根据一副三角尺的不同位置摆放，可探究有关平行线的问题． 如图1是一副三角尺，． (1)如图2，将三角尺的顶点A与三角尺的顶点F重合，使点C落在的延长线上，与相交于点G，求的度数； (2)如图3，将三角尺的直角顶点C放在直线上，使，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点P，求的度数； (3)如图4，将三角尺放置固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的直角顶点C，F重合．当点A在直线的下方时，探究这两个三角尺有一组边互相平行的情况，比如当时，，请你直接写出除外，其他所有可能的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，三角板中角度的计算，掌握分类讨论是解题的关键． （1）过点G作，根据平行线的性质进行求解即可； （2）过点D作，根据，得出，根据平行线的性质进行求解即可； （3）分情况进行讨论：当，当，当，当，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）解：过点G作，如图， 依题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点D作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴； （3）解：或或或， ①如图，当时， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时， ∵， ∴； ③如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ④如图，当时，设与交于点T， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，其他所有可能的度数为或或或． 考点05 平行线几何证明大题（期末必考） 36．（22-23七年级下·安徽·期末）请将下列证明过程补充完整： 已知：如图，． 求证：． 证明：∵（已知）， （______）． （已知）， （等式的性质），即______． （已知），（已证）， ，______， （______）． 【答案】两直线平行，同位角相等；（或）；（或）；内错角相等，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可. 【详解】证明：∵（已知）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （等式的性质），即． （已知），（已证）， ， ， （内错角相等，两直线平行）． 37．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）补充完成下面证明过程． 如图，，，求证：． 证明：∵（已知）， 又∵（____________）， ∴（等量代换）， ∴____（____________）． ∴____（____________）． ∵（已知）． ∴（____________）， ∴（____________）， ∴（____________）． 【答案】对顶角相等；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换 【知识点】对顶角相等、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定和性质证明，由已知条件结合对顶角相等得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可得出， 由平行线的性质得出，等量代换可得出答案． 【详解】证明：∵（已知）， 又∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）, ∴（两直线平行，同位角相等）, ∵（已知）, ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）. 38．（22-23七年级下·安徽亳州·期末）（1）仔细读题，完成下列说理填空， 已知：如图，，直线交于点，． 求证：．    证明：因为（______）， 所以（______）． 因为（已知），； 所以______（等量代换）． 所以（______）． （2）聪明的你，请写出一种与第（1）题不同的证明方法（格式仿照第（1）小题证明过程，不用写理由）． 【答案】（1）已知，两直线平行、内错角相等，，同旁内角互补，两直线平行；（2）见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、两直线平行内错角相等、同旁内角互补两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】（1）根据证明过程逐空写出证明依据即可解答； （2）利用，得到，结合已知条件，得到，从而证明． 【详解】（1）证明：因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：已知，两直线平行、内错角相等，，同旁内角互补，两直线平行． （2）∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质和判定，灵活运用平行线的判定与性质定理是解答本题的关键． 39．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知，如图，，，．求证：． 请补全下面的证明： 证明：（已知） ∴（_________） _________（两直线平行，内错角相等） （已知） _________（等量代换） ∴（_________） （两直线平行，同位角相等） ， ， ．（_________） 【答案】同位角相等，两直线平行；；；同旁内角互补，两直线平行；垂直定义 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明、同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】考查的知识点是平行线的判定与性质以及垂直的定义；解题的关键是熟练运用平行线的判定定理和性质定理，结合垂直的定义进行推理证明． 【详解】证明：（已知） ∴（同位角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） （已知） （等量代换） ∴（同旁内角互补，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） ， ， ．（垂直定义） 40．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，点在上，交于，交于，． (1)求证：． 完成下面的证明，括号内填根据． 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴___________，（ ） ∴______________________．（ ） (2)若，，平分，求的度数． 【答案】(1)；同旁内角互补，两直线平行；；；平行于同一条直线的两条直线平行 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明，可推出，则可证明，再证明即可； （2）由角平分线得到，由平行线得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，（同旁内角互补，两直线平行） ∴．（平行于同一条直线的两条直线平行）； （2）解：∵，平分 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 41．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图，分别在线段上，分别与交于点，若，求证：．请补写解答过程和括号内相应的依据． 证明：（_____） （已知）    （等量代换） （_____，_____） （_____，_____） （已知） _____（_____） _____（内错角相等，两直线平行） （_____，_____） （_____）． 【答案】对顶角相等；同位角相等；两直线平行；两直线平行；同位角相等；；垂直定义；；两直线平行；内错角相等；等量代换 【知识点】对顶角相等、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可． 【详解】证明：（对顶角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平等，同位角相等）， ∵，（已知）， ∴（垂直定义）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；，垂直定义；；两直线平行，内错角相等；等量代换． 42．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）完成下面的证明． 已知：如图，四边形，点，在直线上，连接，若，．求证：． 证明：∵点E在边的延长线上（已知）， ______（______）． 又（已知）， ∴______（同角的补角相等）． 又（已知）， ______（______）． ______（______）． （______）． 【答案】；平角定义；；3；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．根据同角的补角相等得到，再推出，得到，利用平行线的性质即可证明． 【详解】证明：∵点E在边的延长线上（已知）， （平角定义）． 又（已知）， ∴（同角的补角相等）． 又（已知）， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等） 故答案为：；平角定义；；3；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 43．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】 如图1，已知，点 E，F分别在直线、上，点P 在直线、 之间．求证：． 证明：如图2，过点 P 作， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，即． 【类比应用】 （1）如图3，已知，，，求 ． （2）如图4，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，试说明：； 【拓展应用】 （3）如图5，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点P作，由对顶角相等可得，由平行线的性质可得，，即可得解； （2）过P点作，则，由平行线的性质可得，，从而得出，即可得解； （3）过Q点作，则，由平行线的性质可得，，推出，，由角平分线的定义可得，，从而得出，由（2）知，，推出，即可得解． 【详解】解：（1）如图，过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过P点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴； （3）由示例知，过Q点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵，分别是与的角平分线， ∴，， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴ ， 即． 考点06 平移作图与性质应用（中档题型） 44．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）如图，将三角形沿方向平移2个单位得三角形．若三角形的周长等于11，则四边形的周长为（   ） A．15 B．13 C．11 D．7 【答案】A 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】此题主要考查了平移的性质，正确利用平移的性质得出对应线段是解题关键． 利用平移的性质得出，，，，进而求出答案． 【详解】解：将三角形沿方向平移2个单位得三角形． ∴， 三角形的周长等于11， ， 四边形的周长为：． 故选：A 45．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，沿边向右平移得到，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 由平移得，进而可得，据此即可求解， 【详解】解：由平移得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 46．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图，在中，．把沿着直线的方向平移2.5cm后得到，连接，，有以下结论①；②；③；④四边形的周长为17cm．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质：新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，根据平移的性质，结合图形，对每个结论进行一一分析，选出正确答案． 【详解】解：沿着直线BC的方向平移2.5cm后得到，连接， ∴，故①正确； ，故②正确； ，根据平移得，则，故③正确； ∵，沿着直线BC的方向平移2.5cm后得到， ∴四边形周长为，故④正确； 故选：D． 47．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）下列图形中，可由其中一个图形平移得到整个图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形的平移、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移．理解并掌握平移变换的性质是解题关键．平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小、方向，据此逐项分析判断即可． 【详解】 解： A. ，不可以由其中一个图形平移得到整个图形，不符合题意； B. ，不可以由其中一个图形平移得到整个图形，不符合题意； C. ，可以由其中一个图形平移得到整个图形，符合题意； D. ，不可以由其中一个图形平移得到整个图形，不符合题意． 故选：C． 48．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，将直角三角形沿着点B到C的方向平移到三角形的位置，此时，，阴影部分的面积为，则平移的距离为______． 【答案】 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质，由平移的性质可得，则可证明，据此根据梯形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为， 故答案为：． 49．（23-24七年级下·安徽六安·期末）如图，将三角形沿方向平移得到三角形，若三角形的周长为，则四边形的周长为______． 【答案】28 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质可得，然后求出四边形的周长等于的周长与的和，再代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， ∵三角形的周长为， ∴， ∴四边形的周长为：． 故答案为：28． 50．（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段． (1)将线段向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到线段（点与点是对应点，点与点是对应点），请画出线段； (2)连接，，则这两条线段之间的关系是________． 【答案】(1)图见解析 (2)平行且相等 【知识点】利用平移的性质求解、平移(作图) 【分析】本题考查平移作图及平移的性质． （1）根据平移方式确定点和点的位置，作图即可； （2）根据平移的性质可直接得出答案． 【详解】（1）解：线段如图所示． （2）解：由平移的性质可得和之间的关系是：平行且相等， 故答案为：平行且相等． 51．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在方格纸中，有两条线段，．利用方格纸完成以下操作： (1)将线段向右平移得到线段，点、点的对应点分别是点、点； (2)过点作的平行线； (3)过点作的垂线，与交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】画垂线、平移(作图)、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查平移作图、平行线的判定与性质，垂线的定义，熟练掌握平移的性质、平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）结合平行线的判定与性质画图即可． （3）利用网格结合垂线的定义画图即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）如图，直线即为所求． （3）如图，直线即为所求． 52．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在的网格中，三角形的顶点均在格点上，按下列要求作图： (1)作线段，使得，其中为格点． (2)将三角形先向右平移4格，再向上平移2格，得到三角形，作出三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】平移(作图)、格点作图题 【分析】本题考查了作平行线，平移作图． （1）直接根据题意作图即可； （2）直接根据题意作图即可． 【详解】（1）如图，为所求： （2）如图，三角形为所求： 53．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫作格点，三角形的三个顶点都在格点上，各顶点的位置如图所示． (1)将三角形平移，使点A平移到点D、点E、F分别是B、C的对应点，画出平移后的三角形； (2)过点A画的平行线，并标出平行线所过格点Q； (3)连接、，则与间的关系是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行且相等 【知识点】平移(作图)、利用平移的性质求解 【分析】本题考查作图平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）将三个顶点向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）利用平移的性质求解即可； （3）根据平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，直线与点Q即为所求； （3）解：∵将平移到， ∴，， ∴与之间的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． 54．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．三角形的三个顶点都是格点， (1)将三角形向上平移4个单位得到三角形，画出三角形； (2)在整个平移的过程中，扫过的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2)24 【知识点】平移(作图)、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移作图，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移方式确定A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可． （2）根据平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）在整个平移的过程中，扫过的面积是， 故答案为：24． 55．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小方格的顶点叫作格点，三角形的三个顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)点在格点上，请在图1中，将三角形平移，使点和点是对应点，画出平移后的三角形； (2)请在图2中找一个格点，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】平移(作图)、无刻度直尺作图 【分析】本题考查了格点作图，作图形的平移等知识； （1）由题意知，点B向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点P，则点A、C按此平移即可得到其对应点E、F，连接E、P、F三点即可； （2）把点A向左平移两格得到格点Q，连接，得，由平行线的性质即可得． 【详解】（1）解：平移后的三角形如下： （2）解：如图，把点A向左平移两格得到格点Q，连接，得，则． 56．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）画图题． (1)如图①，直线是河流的一边，点是一个村庄，现在要修一条水渠把水引到村庄，要求所修的水渠长度最短，请你画出所修水渠的示意图，并说明理由． (2)如图②，三角形的三个顶点都在方格纸中的横线和竖线的交点上，请你在方格中平移三角形，使点A移到点，画出平移后的三角形． 【答案】(1)见解析，垂线段最短； (2)见解析． 【知识点】垂线段最短、画垂线、平移(作图) 【分析】本题考查了垂线段最短；平移作图． （1）过A作的垂线段即可； （2）根据平移的性质作图即可． 【详解】（1）解：过A作的垂线段即可； 理由：垂线段最短； （2）解：如图，三角形即为所求． 考点07 平行线综合压轴题（期末难点） 57．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点A，B分别在直线，上，，平分交直线于点D，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点G与点A重合，直角边与重合．若将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求t的值； 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵，，三角板中含， ∴， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． （2）解：若在内部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ； 若在外部时，则， 又∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ， 综上，或． 58．（22-23七年级下·安徽黄山·期末）综合与实践 学习了相交线、平行线相关知识后，某数学兴趣小组利用手中的一副三角板进行了探究，发现和提出了一些数学问题．如图1所示，他们将两个直角三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．    (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，试探究等于多少度时，简要说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)或，见解析 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ∴， ． （2）解：设，则， 由（1）可得， ， ， ． （3）解：①如图所示，当时，，   ， ； ②如图所示，当时，，   ， ． 综上所述，等于或时，． 59．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且． (1)判断直线与直线是否平行，并说明理由； (2)如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设，． ①当点G在点F的右侧时，若，求的度数； ②当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】(1)，见解析 (2)①；②猜想：或，见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，掌握角平分线的定义以及平行线的性质解题的关键． （1）根据角平分线的性质及等量代换证明即可． （2）①根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义，利用平角的定义求出的度数，根据平行线的性质求，即可解决问题． ②根据平行线的性质求，利用平角的定义表示的度数，根据角平分线的定义表示即可解决问题． 【详解】（1）解：结论：AB∥CD． 理由：如图中， ∵平分交于点M， ∴， ∵． ∴， ∴． （2）①如图中， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∵， ∴； ②猜想：或 理由： 当点G在F的右侧时， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）当点G在F的左侧时， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，或． 60．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数． (1)阅读并补充下面推理过程： 解：过A点作，所以______， ______． 又因为，所以． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)如图2，已知，求的度数． (3)已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，所在直线交于点E，且点E在与两条平行线之间． ①如图3，点B在点A的左侧，若，则的度数为______； ②如图4，点B在点A右侧，且，若，则的度数为______°．（用含n的代数式表示） 【答案】(1) (2)∠ (3)①；② 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等可得，再由平角的定义可得结论； （2）如图所示，过点C作，则，由平行线的性质可推出，据此可得答案； （3）①过点E作，则，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，据此可得答案； ②如图所示，过点E作，则，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：过A点作， ∴， 又∵， ∴． （2）解：如图所示，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； ②如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 61．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）数学课上，老师要求同学们利用三角尺设计数学问题． (1)小安的设计：如图①，利用三角尺画平行线：①将含角的三角尺的最长边与直线重合，另一块三角尺长直角边与含角的三角尺的直角边紧贴：②将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离，画出最长边所在直线，则，小安这样画图的依据是______； (2)小徽的设计：如图②，将含角的直角三角尺放在含角的直角三角尺上、使两直角顶点与重合，转动三角尺，始终保持三角尺有重合部分，当的大小为多少时，可使？请说明理由； (3)小皖的设计：如图③，，将一副直角三角尺作如上摆放：，，求的度数． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行； (2)当时，，理由见解析部分； (3)． 【知识点】同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）结合图①，得到时，因为同位角相等，两直线平行，得到； （2）当时，得到，求出的度数，利用同旁内角互补，两直线平行得到结果； （3）结合图③，先求出，再利用平角，求出的度数即可． 【详解】（1）解：如图①，将含角的三角尺沿贴合边平移一段距离， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行； （2）解：如图②，当时，，理由如下： ， ， ， ， （同旁内角互补，两直线平行）， （3）解：如图③，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ． 62．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知直线，点M、N分别是直线和上的两点，点G为直线和之间的一点，连接、 (1)如图1，若，，试说明； (2)如图2，在（1）的结论下，点P是直线下方一点，满足平分，平分若，求的度数； (3)如图3，点P是直线上方一点，连结，若点G为线段上一点，的延长线为的平分线，平分，，则______． 【答案】(1)证明见解答过程 (2) (3) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 过点G作点H在点G的左侧，证明得，，则，由此即可得出结论； 过点P作点E在点P的左侧，先求出，根据平分设，证明得，，则，由的结论得，由此即可得出的度数； 过P作，过G作，得到，，设，，得到，然后由代入求解即可． 【详解】（1）证明：过点G作点H在点G的左侧，如图1所示： ， ， ，， ， ， ∵，， ； （2）解：过点P作点E在点P的左侧，如图2所示： 平分，， ， 平分， 设， ， ， ，， ， 由的结论得：， ； （3）解：如图，过P作，过G作， ， ，， 平分，平分， 设，， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 63．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）如图1，已知点B和点C分别是AF和DE上的点，，， (1)求证：； (2)如图2，连接AC，已知，（m为正数）． ①当时，，求的度数； ②若，求的度数（用含m的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）先根据证明，得到，进而可证，可证； （2）①由可得，由可得，进而求出，结合可求出； ②由可求得，进而求出，，然后根据两直线平行同位角相等可求的度数． 【详解】（1）证明：， ， ． 又， ， ． （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由（1）已证， ． ， ， ， ， ， ， ， 由（1）已证， ． 64．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）已知，，点为之间的任意一点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，求证：； (3)如图3，，分别是，的平分线，若． ①请用含的式子表示； ②若平分平分，得到平分平分，可得，依次平分下去，则________．（用含的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①   ② 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的性质是解题的关键： （1）过作，根据平行线的性质得出，，进而可得出结论； （2）过作，根据平行线的性质得出，，进而可得出结论； （3）①根据角平分线的定义得出，由（1）得，由（2）得，得出，进而可得出答案； ②由（1）和①知：，，，即可得出，再根据得出答案． 【详解】（1）解：（1）证明：如图，过作， ， ， ，， ， 即 （2）证明：如图，过作， ， ， ，， ， 即； （3）①分别是的平分线， ， 由（1）得， 由（2）得， ， 则， ， ， ； ②由（1）和①知：， ． 故答案为： ． 65．（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图，已知，是直线和之间一点． (1)如图1，试证明； (2)如图2，点在直线之间，分别为和的平分线，若，求的度数； (3)如图3，分别为和的平分线，且．若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质求角的度数 【分析】题目主要考查平行线的判定与性质及角平分线的计算，理解题意，结合图形，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键． （1）作，根据平行线的判定与性质及各角之间的等量代换证明即可； （2）由（1）得，再由角平分线及等量代换即可求解； （3）根据题意得出，再由角平分线确定，结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：过点作， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 所以， 所以． （2）解：由（1）得， 因为平分， 所以， 同理， 因为平分， 所以，， 所以； （3）解：因为（已证）， 所以， 因为平分，平分， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以． 66．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）【阅读理解】两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 已知直线，P为平面内一点，连接，． （1）如图1，已知，则的度数为______； （2）如图2，设，猜想α，β，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，，，交于点O，，求的度数． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行公理的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线定义理解．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P作，根据平行线的公理得出，根据平行线的性质得出，，最后求出； （2）过点P作，则，根据平行线的性质得出，，求出，得出，得出，即可得出答案； （3）根据，得出，求出，得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：（1）过点P作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）过点P作， ， ， ，， ，， ， ． （3）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 67．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）如图，，点E，G分别在直线，上，F是平面内任意一点，连接，． (1)探究：如图1，当点F在直线的左侧时，试说明：． (2)问题迁移：如图2，当点F在的上方时，，，之间有何数量关系？请说明理由． (3)联想拓展：如图3，若，的平分线和的平分线交于点P，用含的式子表示的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】该题主要考查了平行线的性质和判定，解题的关键是正确做出辅助线． （1）如图1，过点F作，根据平行线性质得出．再结合，得出，得出，即可证明． （2）如图2，过点F作，根据平行线性质得出．结合，得出，根据平行线性质得出，即可证明． （3）如图3，过点F作，过点P作，得出，．证明，，根据平行线性质得出，．结合角平分线的定义即可求解； 【详解】（1）解：如图1，过点F作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：． 理由：如图2，过点F作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：如图3，过点F作，过点P作， 则，． ∵， ∴，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵的平分线和的平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $