2025-2026学年浙教版数学八年级下学期期末培优卷.

**基本信息** 这份八年级下学期数学期末培优卷，通过电商销售利润（解答20题）、健康减重数据（解答21题）等现实情境题和矩形折叠（单选9题）、正方形旋转（解答24题）等几何探究题，考查模型意识、数据意识与空间观念，实现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次根式、一元二次方程、箱线图分析|10人围圈报数题（第2题）考查逻辑推理，箱线图题（第3题）培养数据意识| |填空题|6/18|多边形内角和、方程根与系数、对称点坐标|多边形截角内角和题（第11题）体现分类讨论思想| |解答题|8/72|统计计算、几何证明与计算、应用题|电商销售利润题（第20题）建立模型意识，正方形旋转综合题（第24题）考查空间观念与推理能力|

2025-2026学年八年级下学期数学期末培优卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围； 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数满足， 移项得， 不等式两边同除以3得． 2．10个人围成一圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想一个数，并把自己想的数告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报出来的数是5的人心里想的数是（    ）． A． B．10 C． D．8 【答案】B 【分析】先设报5的人心里想的数为x，利用平均数的定义表示报7、报9、报1、报3、报5的人心里想的数，最后根据报5的人心里想的数相同建立方程即可． 【详解】设报5的人心里想的数为x，则报7的人心里想的数与报5的人心理想的数的平均数为6， ∴报7的人心里想的数为2×6-x=12−x， 同理可得报9的人心里想的数为， 报1的人心里想的数为， 报3的人心里想的数为， 报5的人心里想的数为， ∴报5的人心里想和数分别为x和20−x，即， 解得：x=10 故选：B 【点睛】本题是阅读理解与规律探索题，考查了平均数及方程思想的运用．已知两个数的平均数及其中一个数，用代数式表示另一个数，是本题的关键． 3．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图如图所示，根据该图判断下列说法正确的是(     ) A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班分数的上四分位数最大 C．丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数 D．若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，甲班的分数最高 【答案】A 【详解】解：A、由箱线图可知，甲班数据的极差最小，且箱体（中间的数据）最窄，数据分布最集中，所以甲班分数的方差最小，故选项A说法正确； B、丙班箱体的上边缘位置最高，即丙班分数的上四分位数最大，故选项B说法错误； C、丙班的中位数在80分以上，即丙班得分高于80分的人数多于得分低于80分的人数，故选项C说法错误； D、若每班有42名学生，，所以第11名（按分数从高到低排列）对应的分数约为上四分位数，因此丙班的上四分位数最大，即丙班的第11名分数最高，故选项D说法错误． 4．若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程需满足条件，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此计算m的取值即可 【详解】解：∵关于x的方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴． 5．已知的两条直角边，分别是一元二次方程的两个根，且，，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用完全平方公式，结合已知条件求出两直角边的和与积，再根据一元二次方程根与系数的关系即可求出和的值． 【详解】解：∵，是直角三角形的直角边， ，． 由，两边平方得：． 将代入上式，得， 解得． ，且， ． ，是一元二次方程的两个根， ∴，． 代入得，， 即，． 6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，先证出四边形是矩形，由点C的坐标和轴对称变换可证出，再由勾股定理即可得出的长，进而即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键． 【详解】∵，轴，， ∴四边形是矩形， ∵点的坐标为， ∴，， ∴由轴对称变换可知，，， 又∵， ∴， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 【详解】解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 8．如图，的面积为10，点D，E，F分别在边，，上，，，的面积与四边形的面积相等，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查三角形面积性质的应用，可通过作辅助线的方法，做此题时注意理清各个三角形面积之间的关系． 由题意可知的面积和四边形的面积相等，可通过连接的方法，证明出，进而求出的面积，然后即可求出答案． 【详解】解：连接． ∵， ∴， ∵两个三角形有公共底，且面积相等， ∴高相等， ∴， 从而可得：， ∴， 又， ， 即， 故选：C． 9．在矩形中，，，点是边上一动点，将沿折叠，点落在点处，当为直角三角形时，求的面积为（    ） A．20或 B．20或 C．或 D．40或 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，，分两种情况作答即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∵将沿折叠，点落在点处， ∴，， 情况1：如图1，时， ∵， ∴三点共线， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理：， 解得 ∴； 情况2：如图2，时， 此时， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 10．如图，平行四边形中，与交于点，，，和的角平分线交于点，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形性质，得到；根据平行四边形的数量关系，取的中点，证明共线，，， ，因此，在中，即可求得的长． 【详解】解：取的中点，连接，如图所示， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， 和的角平分线交于点， ， ， ， 在与中，有 ， 则， ， 三点共线，且， 又， 四边形是平行四边形， ， 在和，有 ， ， 在和中，有 ， ， ， ， 是直角三角形， 又， 为中点， 根据直角三角形性质，则． 【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、直角三角形的判定，解题关键是根据题意发现边长数量关系，作相应辅助线从而得到所求长度． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．多边形截去一个角，形成新多边形内角和是，则原多边形的边数是____________ ． 【答案】4或5或6 【分析】本题主要考查多边形的内角和问题，结合题意进行分类讨论是解题的关键． 设新多边形的边数为n，利用多边形内角和公式求得n的值，然后分三种情况分类讨论后即可解答． 【详解】解：设新多边形的边数为n 则，解得：， ①若截去的角的两边均为原多边形的两边的一部分时， 此时原多边形的边数为； ②若截去的角的两边为原多边形的一条边和另一条边的一部分时， 此时原多边形的边数为5； ③若截去的角的两边均为原多边形的两条边时， 此时原多边形的边数为； 综上，原多边形边数为4或5或6． 故答案为：4或5或6． 12．如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的最小整数是________． 【答案】3 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，可得判别式小于，据此求出的取值范围，即可得到的最小整数值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， 化简得， 解得， ∴的最小整数值为． 13．在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值是_____． 【答案】1 【分析】本题考查了其他问题(二元一次方程组的应用)，已知两点关于原点对称求参数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据关于原点对称的点的性质，点A和点B的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列出方程组求解． 【详解】解∶∵点与点关于原点对称， ∴，且． 解得：． ∴． 故答案为：1． 14．已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为______． 【答案】68 【分析】根据题意得出，求出，进而得出，求出，再代入求值即可． 【详解】∵A，B为最简二次根式，且， ∴， 解得， ∴，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：68． 【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出是解题的关键． 15．如图，为的边的中点，，，于点，连接．若为的平分线，则的长为____________． 【答案】 【分析】延长交于点，根据角平分线+垂直模型容易证明，进而得到，，根据三角形中位线定理得到，代入计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点． 为的平分线，， ∴，， 又∵， ∴， ，， ∵， ∴ 为的中点，为的中点， ． 16．如图，点是的边上的点，是的中点，连接，并延长交于点，连接，交于点，若，，则的面积为________． 【答案】 【分析】连接，由平行四边形的性质，可得，，由是的中点，可得，证明，四边形是平行四边形，可得，可得，即可得的面积． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．解方程： (1) (2) 【答案】(1)原方程无解 (2)， 【分析】（1）方程两边同时乘以得，，解得，，检验，当时，，故不是原方程的解，因此原方程无解； （2），故，所以原方程的解为，． 【详解】（1）解：， 两边同时乘以得，， 化简得，， 解得，， 检验，当时，，故不是原方程的解， 原方程无解； （2）解：， ， ， 原方程的解为，． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则展开原式，合并同类项化简后，将代入计算即可求出结果． 【详解】解： ； 当时，原式． 20．为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套． (1)若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率； (2)该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)销售价应定为元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（增长率问题），以及销售利润问题的实际应用． （1）设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为，根据两次增长后的销售量列方程并解方程即可. （2）设该品牌边刷套装的销售价应定为元，根据涨价后的销售利润列方程并解方程, 并根据尽可能让顾客得到实惠选择最优解即可. 【详解】（1）解：设该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率为； （2）解：设该品牌边刷套装的销售价应定为元，则每套的销售利润为元，月均销售量为套， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又要尽可能让顾客得到实惠， 取， 答：该品牌边刷套装的销售价应定为元． 21．为贯彻落实《健康中国行动（2019～2030）》规划，引导青少年养成健康的生活方式．某中学初三年级开展了为期4周的“科学减重”干预计划行动，并对参与学生进行数据追踪． 信息一：从参与学生中随机抽取了20名，统计了他们干预前的体重情况，如果以各组的组中值（每组两个端点值的平均数）代表组内各人的实际体重数据，绘制了如下频数分布表： 体重（） 人数（人） 4 8 6 2 信息二：若男生甲和男生乙干预前的体重均为上表中数据的平均值．在4周干预期内，如实记录了 这两人每周的减重量（单位：），具体数据如下： 男生甲：1.0，1.5，1.5，2.0；  男生乙：0.5，1.0，2.0，2.5． 根据相关信息，解答下列问题： (1)求这20名学生干预前的平均体重； (2)根据医学建议，该年龄段男生干预后的健康体重标准为．试判断甲、乙两位男生是否达到了健康体重标准？ (3)从健康科学的角度出发，若欲从甲、乙两人中推荐一名作为该校“科学减重标杆”，你认为推荐谁较为合适？请说明理由． 【答案】(1) (2)甲、乙两位男生均达到健康体重标准 (3)推荐男生甲；理由：甲的减重过程更平稳、循序渐进，符合健康科学的减重原则，不易反弹且对身体负担更小 【分析】（1）根据平均数的定义求解即可； （2）分别计算两位同学干预后的体重，再与比较； （3）根据计算甲乙的方差，即可求解． 【详解】（1）解： 答：这20名学生干预前的平均体重是 （2）解：甲干预后的体重为： 乙干预后的体重为： 答：甲、乙两位男生均达到健康体重标准； （3）解：推荐甲，理由如下： ， ， ， ∵ 说明甲的减重过程更平稳、循序渐进，符合健康科学的减重原则，不易反弹且对身体负担更小，更适合作为标杆，故推荐甲． 22．如图，在中，E为的中点，延长交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，证明，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 23．如图，在中，对角线，相交于点，，是的中点，连接，过点作，交于点． (1)试判断四边形的形状，并证明； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是矩形， 证明：四边形是平行四边形， ． 点是的中点， 是的中位线． ． 又， 四边形是平行四边形． ， ， ． 四边形是矩形． (2) 【分析】（1）证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据勾股定理得出，进而利用矩形的面积公式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：，是的中位线， ， ， ， ， 矩形的面积． 24．如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由题意可知，，那么，，从而得到，然后利用平角，得到； （2）结合（1）可知，，，从而得到，然后利用勾股定理求得即可； （3）过点作于点，然后利用勾股定理求得，接着利用求得面积即可． 【详解】（1）解：正方形， ， 将绕点顺时针旋转至处， ，且旋转角度为， ，， 是等腰直角三角形， ， 点、、三点正好在同一直线上， ； （2）解：，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ； （3）解：是等腰直角三角形，， ， ， ， 过点作于点，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学期末培优卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．10个人围成一圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想一个数，并把自己想的数告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报出来的数是5的人心里想的数是（    ）． A． B．10 C． D．8 3．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图如图所示，根据该图判断下列说法正确的是(     ) A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班分数的上四分位数最大 C．丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数 D．若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，甲班的分数最高 4．若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 5．已知的两条直角边，分别是一元二次方程的两个根，且，，则和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 8．如图，的面积为10，点D，E，F分别在边，，上，，，的面积与四边形的面积相等，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．在矩形中，，，点是边上一动点，将沿折叠，点落在点处，当为直角三角形时，求的面积为（    ） A．20或 B．20或 C．或 D．40或 10．如图，平行四边形中，与交于点，，，和的角平分线交于点，则的长为（   ）． A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．多边形截去一个角，形成新多边形内角和是，则原多边形的边数是____________ ． 12．如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的最小整数是________． 13．在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值是_____． 14．已知，，，其中A，B为最简二次根式，且，则的值为______． 15．如图，为的边的中点，，，于点，连接．若为的平分线，则的长为____________． 16．如图，点是的边上的点，是的中点，连接，并延长交于点，连接，交于点，若，，则的面积为________． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．解方程： (1) (2) 19．先化简，再求值：，其中． 20．为响应绿色环保、居家便捷的生活理念，家居清洁类器材需求持续增长．某电商店铺专门经营某品牌扫地机器人专用边刷套装，近期该产品销量呈稳步上升趋势．店铺统计了该款边刷套装的销售情况：月份售出套，月份售出套． (1)若月增长率相同，求该品牌边刷套装两个月销售量的月均增长率； (2)该品牌边刷套装每套进货价为元．调查发现，当销售价为元时，月均销售量为套；而当销售价每上涨元时，月均销售量将减少套．为使月均销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌边刷套装的销售价应定为多少元？ 21．为贯彻落实《健康中国行动（2019～2030）》规划，引导青少年养成健康的生活方式．某中学初三年级开展了为期4周的“科学减重”干预计划行动，并对参与学生进行数据追踪． 信息一：从参与学生中随机抽取了20名，统计了他们干预前的体重情况，如果以各组的组中值（每组两个端点值的平均数）代表组内各人的实际体重数据，绘制了如下频数分布表： 体重（） 人数（人） 4 8 6 2 信息二：若男生甲和男生乙干预前的体重均为上表中数据的平均值．在4周干预期内，如实记录了 这两人每周的减重量（单位：），具体数据如下： 男生甲：1.0，1.5，1.5，2.0；  男生乙：0.5，1.0，2.0，2.5． 根据相关信息，解答下列问题： (1)求这20名学生干预前的平均体重； (2)根据医学建议，该年龄段男生干预后的健康体重标准为．试判断甲、乙两位男生是否达到了健康体重标准？ (3)从健康科学的角度出发，若欲从甲、乙两人中推荐一名作为该校“科学减重标杆”，你认为推荐谁较为合适？请说明理由． 22．如图，在中，E为的中点，延长交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 23．如图，在中，对角线，相交于点，，是的中点，连接，过点作，交于点． (1)试判断四边形的形状，并证明； (2)若，，求四边形的面积． 24．如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $