专题04 特殊的平行四边形（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材华东师大版

**基本信息** 聚焦矩形、菱形、正方形的性质与判定，通过15类题型构建从基础到综合的知识体系，覆盖静态求值证明、动态动点折叠等中考核心考法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形|4题型（1-24题）|性质求值、证明、判定及综合应用|从平行四边形特殊化延伸，性质与判定双向推导| |菱形|4题型（25-48题）|性质求值、证明、判定及综合应用|从平行四边形特殊化延伸，性质与判定双向推导| |正方形|4题型（49-72题）|性质求值、证明、判定及综合应用|矩形与菱形性质的综合，判定条件叠加| |综合应用|3题型（73-90题）|中点四边形、动点、折叠问题|结合图形性质与动态变化，体现空间观念与推理能力|

学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题04特殊的平行四边形 题型归纳·内容导航 题型1利用矩形的性质求值 题型9利用正方形的性质求值 题型2利用矩形的性质证明 题型10利用正方形的性质证明 题型3矩形的判定 题型11正方形的判定 题型4矩形的判定与性质综合 题型12正方形的判定与性质综合 题型5利用菱形的性质求值 题型13中点四边形 题型6利用菱形的性质证明 题型14动点问题 一一一一一一一一 一一一一一一一一一 题型7菱形的判定 题型15折叠问题 题型8菱形的判定与性质综合 题型通关·靶向提分 题型一利用矩形的性质求值 1.如图，矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,∠OAD=65°，则∠ODC等于() A.120° B.45 C.30° D.25 2.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点O,过点O作BD的垂线交BC于点F.若LADB =26°，则∠FOC的度数为() B A.22° B.26 C.32 D.38° 3.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,∠AOB=60°，AB=6,则AC= 1/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 4.在矩形ABCD中，点E在边BC上，DE与AB的延长线交于点F,∠AED=2LCED,若AB=3BE=3,则DF= D 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC边于点E,F,若AB= AO=2,则图中阴影部分的面积为 6,如图，矩形ABCD中，AB=2,对角线AC和BD相交于点O,且∠AOD=120°，过点D作AC的平行线，过 点C作BD的平行线，两平行线交于点E,那么四边形OCED的面积是 D B C 题型二利用矩形的性质证明 7.如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD,DF⊥AE于点F. B (I)求证：DF=DC; (2)连接DE,若AD=10,AB=6,求DE的长. 8.如图，矩形ABCD中，点E为边BC上一点，连接DE,过点A作AF⊥DE,垂足为F,DF=EC.求证：EF =EB. 2/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B E 9.如图，点E为矩形ABCD的边BC上的一点，作DF1AE于点F,且满足DF=AB.对于下面四个结论： ①△ABE兰△DFA;②△DEF的面积与△BEF的面积相等：③LDEF=LDEC;④AE=BC,所有正确 的结论是 (只写序号). E 1O.如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，连接EA,EB,求证：EA=EB. D E II,如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,过点B作BF⊥AC于点M,交CD于点F,过点D作DE‖BF 交AC于点N,交AB于点E,连接N,EM.有下列结论：①图中共有三个平行四边形；②当BD=2BC时， 四边形DEBF是菱形；③DW2=MC·NC;④AD2=BD·CM.其中，正确的结论有() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，BE⊥AC于点F,连接DF,CE,下列结论：①△AEF一△ CAB;②BE平分∠，AEC;③∠，ADF=LACE;④若E是AD中点，则是=子：其中所有正确结论的序号是() 3/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E C A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④ 题型三矩形的判定 13.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点，EF⊥AB交AB于点F,OG⊥AB交AB于 点G. D E F Q (1)求证：四边形OEFG是矩形； (2)若AB=20,OG=8,求BG的长. 14.在四边形ABCD中，∠A=∠B=LC=90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件 可以是() A.BC=CD B.AB=CD C.∠D=90° D.AD=BC 15.如图，口ABCD的对角线相交于点O,下列条件不能判定口ABCD是正方形的是() D C A.AC=BD,AC⊥BD B.AB=BC,AC⊥BD C.AD=DCAB⊥BC D.OA=OD,AC⊥BD 16.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC边于点E,点F在边AD上，且DF=BE. 4/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F D B (I)求证：四边形AECF是矩形. (2)若BF平分∠ABC,且DF=1,AF=2,求线段BF的长. 17.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点C作BD的平行线，过点B作AC的平行线，两 直线相交于点E, (I)求证：四边形OBEC是矩形： (2)当LABC= °时，四边形OBEC是正方形，并证明你的结论， 18.如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,点F是CD的中点，延长OF到点E,使EF=OF,连接 CE,DE. D B (1)求证：四边形DOCE是矩形： (2)若OE=2,∠ABC=120°，求菱形ABCD的面积. 题型四矩形的判定与性质综合 19.如图，己知□ABCD,延长AB到E,使BE=AB,连接BD,ED,EC,若ED=AD (I)求证：四边形BECD是矩形； (2)连接AC,若AD=6,CD=3,求AC的长. 5/25 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E由(1)得，BE=CD,BE=AB, CD=3, .AB BE=3, AE=6, ·四边形BECD是矩形， ∴.∠ABD=LBEC=90°，BD=CE, BD=VAD2-AB2=V62-32=3V3, .CE=3V3, ∴4C=VAE2+CE2=V62+(3V3)2=3V7 20,如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,P为边BC上一动点，PE⊥AB于E,PF⊥AC于F, M为EF的中点，则PM的最小值为() A E A.2 B.2.4 c.2.5 D.2.8 21.如图顺次连接矩形ABCD四条边的中点得到四边形EFGH,若AB=3,BC=5,则四边形EFGH的面积为 A.6 B.6.5 C.7 D.7.5 22.如图，在口ABCD中，AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连接DF,AF与DE交于点O. 6/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E C (I)求证：四边形AEFD为矩形： (2)若AB=3,OE=2,BF=5,求AE的长. 23,如图，已知正方形ABCD边长为8，E为AD中点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE,P,Q分别为边 BC,DC上一点，将△CPQ沿PQ翻折使C点对应点G落在边BF上，若BG=5,则DQ=() A G B A. B.号 c. D.35 24.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE‖BD,且AE=BD,连接BE. C (1)求证：四边形AOBE是矩形 (2)连接OE,若BD=10,AC=24,求OE的长. 题型五利用菱形的性质求值 25.在菱形ABCD中，∠ABC=80°，BA=BE,则∠BAE=(), 7/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.70° B.40° C.75 D.30° 26.如图，在菱形ABCD中，AC,BD为对角线，AE平分LCAB,若∠CAE=32°，则LABC的度数为 D 27.如图，用四根相同长度的木条制作成正方形4BCD,测得对角线4AC长为5v√2，如果将此正方形变形为 菱形，且∠DAB=60°，那么菱形对角线AC长为() D B A A.10 B.5V6 C.53 D.5V2 28,如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH 的长等于() D A.3.5 B.4 C.7 D.14 29.菱形的两条对角线长分别为6,8，则这个菱形的面积为 30.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且AC=8,BD=6,则菱形ABCD的高DH的长是() D A.4.8 B.2.4 C.5 D.以上都不对 题型六利用菱形的性质证明 31,如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在边BC和CD上，且∠AEB=LAFD.求证：BE=DF. 8/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D C 32.在菱形ABCD中，点E是直线BD上一点，当∠AED=60°时，如图①，易证：BE+DE=CE,当∠AED =45°时，如图②；当∠AED=150°时，如图③，请分别写出线段BE、DE、CE之间的数量关系、并选择图 ②或图③进行证明. D B C 图① 图② 图③ 33.如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,AE‖BD,DE‖AC.求证：四边形AODE是矩形. 34.如图，矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边AD,BC上，顶点F,H在菱形ABCD的对角线 BD上· A E G (1)求证：BG=DE; (2)若E为AD中点，FH=1,求菱形ABCD的周长. 35.如图，口ABCD的对角线AC、BD交于点O,AE平分LBAD交BC于点E,且LBAD=120°，BE=EC,连 接OE.下列结论：①AC平分∠EAD;②SEABCD=V3EC”,③BD1AE;④BD平分∠ABC;⑤DC=AD, 正确的有() 9/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 36.小明家新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形ABCD是一个菱 形外框架，对角线AC,BD相交于点O,四边形AECF是其内部框架，且点E、F在BD上，BE=DF, D C 图1 图2 (I)判断四边形内部框架AECF的形状为 请证明你的结论， (2)若AE⊥AD,F为DE的中点，求证：DE=2AE (3)在(2)的条件下，若AB=6V3,直接写出四边形4ECF的周长。 题型七菱形的判定 37.己知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是() A.当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C.当AC=BD时，四边形ABCD是矩形 D.当∠ABC=90时，四边形ABCD是正方形 38.下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是() 30 60 120 30° 30 A B C. 660 X60 60 D. 39.如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，点D、O分别是AC、BC的中点，连接DO并延长至点E, 使得EO=DO,连接BD、BE、CE, 10/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C D 3 (I)求证：四边形DBEC是菱形； (2)若△ABC的周长为30，且AB+BC=17,求四边形DBEC的面积， 40.如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB=AF,连接BF,点O为BF的中点，AO的延长线 交边BC于点E,连接EF FD EC (I)求证：四边形ABEF是菱形： (2)若平行四边形ABCD的周长为24，CE=2,∠BAD=120°，求AE的长， 41.已知口ABCD中，AC、BD是对角线，则下列条件中不能判断口ABCD是菱形的是() A,AC⊥BD B.BD平分∠ABC C.AC=BD D.AB=AD 42.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,将△AOB沿直线AB翻折得到△AEB B (I)求证：四边形AOBE是菱形： (2)若AB=2,BD=5,则菱形AOBE的面积为 题型八菱形的判定与性质综合 43.如图，矩形ABCD中，分别以A,C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点，作 直线MN分别交AD,BC于点E,F,连接AF和CE,若BF=3,DC=3V3,以下结论正确的个数是() ①四边形4AECF是菱形；②AC=6V3;③S四边形Acg-9V3;④若点P是直线EF上的一个动点，则PC+PD 的最小值是9. 11/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F A.1 B.2 C.3 D.4 44,如图，O是口ABCD对角线AC,BD的交点，分别过点D、C作AC和BD的平行线相交于点E,若 Sa4BcD=4V5,AC=BD=4,F是CD的中点，P是四边形OCED边上的动点，则PF的最小值是 45.如图，矩形ABCD中，点E为边AB上任意一点，连结CE,点F为线段CE的中点，过点F作MN⊥ CE,MN与AB、CD分别相交于点M、N,连结C、EN. D E M B (I)求证：四边形CNEM为菱形； (2)若AB=10,AD=4,当AE=2时，求EM的长， 46.如图，已知E,F分别是平行四边形ABCD的边BC,AD的中点，∠BAC=90°， F D B (I)求证：四边形AECF是菱形： (2)若∠B=60°，AB=2,求平行四边形ABCD的面积. 47.如图，在口ABCD中，CA=CD,E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F,连结DF. E D 12/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)求证：四边形AFDC是菱形， (2)若BC=8,AB=5,求四边形DFBC的面积. 48.如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分别是AB,BC的中点，BF II DE,EF IDB. D (I)求证：四边形BDEF是菱形； (2)连接DF交BC于点M,若BE=4,AC=2N5,求DM的长， 题型九利用正方形的性质求解 49.如图，有一个口ABCD和一个正方形CEFG,其中点E在边AD上，若LECD=49°，∠AEF=34°，则∠BCD =（) E B G A.110° B.125° C.105 D.115 50,如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC等于() A.15° B.30° C.359 D.45 51.如图，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B(0,-2),若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°得 到正方形A'B'CD,则点D的坐标为 13/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A D B B 52.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB,AD上，若CE=3V5,且LECF=45°，则CF的长为 D A 53,如图，四边形ABCD是正方形，E是AD延长线上一点，已知DE=6cm,CE=l0cm,则正方形ABCD的面 积是() D B A.36cm2 B.64cm2 C.100cm2 D.256cm2 54.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=3,以AB为一条边向三角形外部作正方形ABMN,则这 个正方形的面积是() M B A.34 B.36 C.40 D.44 14/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型十利用正方形的性质证明 55.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接EF,给出下列四 个结论：①AP=EF;②PD=V2EC;③∠PFE=LBAP;④PB2+PD2=2PA2,其中正确的有 A C E 56.如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.点E在线段OA上，连结BE,作CF ⊥BE于点F,交OB于点P,连接OF.给出下面四个结论：①LOCP=LOBE;②CP=BE;③当CE=CB 时，OF=EF;④EF2+PF2=2OF2.上述结论中，正确结论的序号有· D B 57.如图，正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接CE,将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF,连 接EF.若BE=1,EC=5,则DE的长为() D E A.3 B.7 c.9 D.8 58.如图，在正方形ABCD中，点E在线段BC上，且不与点B重合，AE⊥EF且AE=EF.过点F作FG1 BC交BC的延长线于点G,连接CF. 15/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)若∠BAE=26°，求∠FEG的度数； (2)求证：CG=FG. 59.如图，在正方形ABCD中，点Q在射线DC上（不与C,D重合），点P为直线BC上一点，∠DAQ=L PAQ. 图① 图② (1)如图①，若LDAQ=30°，AB=3,DQ的长是，AP的长是； (2)如图②，当Q在线段DC上时，猜想4AP,BP,DQ之间的数量关系并证明； (3)当Q在线段DC的延长线上时，第(2)问中的结论是否成立？若成立，说明理由：若不成立，请探究 AP,BP,DQ之间的数量关系. 60.定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫“等直四边形. M E (1)在已经学过的四边形“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等直四边形”的是 (填序号) (2)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，CE=DF,分别连接AE、AF、EF,BF和AE交于 点M.求证：四边形ABEF是“等直四边形”， 题型十一正方形的判定 61,如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角α 的度数应为() A.90° B.60° C.45 D.30° 16/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 62.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O,请你添加一个条件： 使得该菱形为正方形. 63.己知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E,DF1BC于点F,求 证：四边形DEBF是正方形， A E D B F 64.下列说法中，不正确的是() A.一组邻角互补的四边形是平行四边形 B.对角线互相垂直的矩形是正方形 C.有一个角为直角的平行四边形是矩形 D.一组邻边相等的平行四边形是菱形 65,如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E,EF1AD于点F,DG L AE于点G,DG与EF 交于点0. F B E (I)求证：四边形ABEF是正方形； (2)若AD=AE,AB=2,求AG和OF的长， 66.如图，在矩形ABCD中，AE平分LBAD,交BC于点E,过点E作EF⊥AD于点F,连接BF交AE于点O,连 接OD. 17/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)求证：四边形ABEF是正方形： (2)如果F0=2,OD=3V2,求四边形DCEF的周长. 题型十二正方形的判定与性质综合 67.如图，正方形ABCD的边长为4，点O为对角线BD的中点，点E为AD边上的动点，点F在CD边上，连接 OE,OF,OE LOF. B E O D (1)求证：OE=OF; (②)当点E在AD边上运动时，四边形OEDF的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积； 68.如图，在矩形ABCD中，AC=1O,BC=8,延长BC到P,点O是边CD上一点，过点O作EF‖BC,∠BCD 与LPCD的平分线分别交EF于点E,点F.当点O是CD中点时，则四边形ACED的面积为 D 69. 四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一动点，连接DE,BE.过点E作EF⊥DE交直线BC于点F, 以DE,EF为邻边作矩形DEFG D D B 图1 备用图 (I)求证：矩形DEFG是正方形； 18/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若AB=4,CG=V2,求正方形DEFG的边长； (3)点E关于DC的对称点为P,连接DP、AP,若DP+AP的最小值为2W1O, ①求AB的长为 ； ②正方形DEFG的面积的最小值为 70.如图，已知四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE,过点E作EF1DE,交BC的延长 线于点F,连接DF,若CE=2V2,CF=3,则DE的长为() D E B A.5 B.V29 C.6 D.213 71,如图，四边形BCED是平行四边形，延长BD至点A,使点D为AB的中点，连接AE,AC,CD,已知AC =BC. E (1)求证：四边形ADCE是矩形. (2)若还满足AC1BC,则四边形ADCE的形状为_· 72.如图，在矩形ABCD中，AB=6,E为边BC上一个动点，连接AE.将△ABE沿AE折叠，使点B落在边 CD上的点P处 结论I:当点P与点D重合时，此时四边形ABCD为正方形； 结论Ⅱ：当P为CD的中点时，EC=V3. 关于结论I,Ⅱ，下列判断正确的是() 19/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D B A.结论I对，结论Ⅱ错 B,结论I错，结论Ⅱ对 C.结论I,Ⅱ都对 D,结论I,Ⅱ都错 题型十三中点四边形 73,顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是() A.平行四边形B.矩形 C.菱形 D.正方形 74.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.则下列说法： ①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形： ②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形； ③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分： ④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等. 其中正确的个数是() H D A.1 B.2 C.3 D.4 75.如图，己知四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边AB、BC、CD、DA的中点，AC、BD是对角 线，连接EF、FG、GH、HE. B (1)证明：四边形EFGH为平行四边形； (2)若 ,则四边形EFGH是菱形.请从①4AC⊥BD;②AC=BD这两个选项中选择一个作为条件，使 结论成立.（填序号） 20/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 76.在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点.若四边形EFGH为菱形，则线段AB 与CD一定满足的关系为() A.AB=CD B.AB=2CD C.2AB=CD D.AB⊥CD 77.如图，四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为四边中点，我们把四边形EFGH称为菱形ABCD的 “中点四边形” (1)求证：四边形EFGH为矩形； (2)如图，矩形MWPQ为某个菱形的中点四边形，请画出这个菱形并简单说明画法（不需要尺规作图） 78.在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD的中点，并且AC=BD,则四边形EFGH 为() A.菱形 B.正方形 C.矩形 D.梯形 题型十四动点问题 79.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC边上一点，且CE=1,对角线AC,BD交于点O,点F是AO中 点，连接BF; F E E 图1 图2 (I)如图1，过点F作FH‖AD交CD于点H,判断四边形BEHF的形状并证明； (2)如图2，若点P是对角线BD上的动点，当BD平分∠EPF时，判断EP,FP,EF之间的数量关系，并计算 EP-FP的值 80.如图，正方形ABCD中，已知AB=62,对角线AC与BD交于点O,点E为射线OB上的一个动点（不与 点B重合)，点M为线段ED的中点.现将线段OM绕点M顺时针旋转9O°得到线段MF,连结AE,EF,AF, OF. 21/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 备用图 (I)若点M在线段OD上且MD=4,求线段OF及EF的长. (②)当点E在线段OB上运动时，请判断△AEF的形状，并说明理由 (3)在点E的运动过程中，当AE=2OF时，求线段BE的长， 8I.在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点，连接AE,过点B作BF⊥AE于F,交AD于H. B B B H H G D E E 图1 图2 图3 (I)如图1，过点D作DG⊥AE于G,求证：△ABF兰△DAG; (2)如图2，点E为CD的中点，连接DF,求证：EF+HF=V2DF; (3)如图3，AB=3,连接EH,点P为EH的中点，在点E从点D运动到点C的过程中，点P随之运动，请直接写 出点P运动的路径长， 82.如图，在菱形ABCD中，AB=2,LABC=60°，E为边BC上一点. H M E 图1 图2 备用图 (I)如图1，F为AB上一点，且BF=CE,连接CF、AE交于点P,求LAPF: (2)如图2，BE>CE,连接AE,将AE绕点A顺时针旋转120°得到AH,连接CH交AB于点M,求证： BM=AM+CE; (3)在(2)的条件下，若E为直线BC上一动点，连接DH,当DH最小时，直接写出△DEH的面积. 83.如图，在矩形ABCD中，点E为直线BC上一动点，连接AE,作等腰直角三角形AEF,使∠AEF=90°， 22/25 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AE=EF」 E E R 图1 图2 图3 (①)如图1，若LCEF=30°，AE=8,BC-6,求四边形AECD的面积 (②)如图2，若点E为线段BC的中点，且AB>CE,连接DF,试探究线段AB,CE,DF之间的数量关系，并 证明你的猜想； (3)如图3，连接DF,若AB=4,BC=6.请思考AF+DF是否存在最小值，若存在，请直接写出AF+DF的 最小值，若不存在，请说明理由 84.如图，矩形ABCD的边AB=,BC=3,E为AB上一点，且4AE=1,F为AD边上的一个动点，连接EF, 若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG,EF=EG,连接CG,则CG的最小值为() G E A.7 B. C.2 D.22 2 题型十五折叠问题 85.如图，己知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AD和BC上，将该正方形沿着EF翻折，点A落 在A'处，点B恰好落在边CD上的点B处，如果四边形ABFE的面积为6，那么△B'FC的面积是 D B 86.如图，正方形ABCD中，AB=I2,点E在边BC上，BE=EC,将△DCE沿DE对折至△DFE,延长EF 23/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 交边AB于点G,连接DG、BF,给出以下结论：①△DAG兰△DFG;②BG=24G;③S△DG=120;④BF DE.其中正确结论的个数是() D B A.4 B.3 C.2 D.1 87.如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=8,点E为射线DC上一个动点，将△ADE沿直线AE折叠，当点D 的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为 B 88. 小明同学手中有一张矩形纸片ABCD,AD=12cm,CD=10cm,他进行了如下操作：第一步，如图 ①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN,将纸片展平，第二步，如图②，再一次折叠纸 片，把△ADN沿AW折叠得到△AD'N,AD交折痕MN于点E,则线段EN的长为 cm A D 4 D M M 图① 图② 89.如图，在长方形ABCD中，AB=CD=10,BC=AD=6 D D D B 图① 图② (I)如图①，将长方形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点D'处，求BF的长； 24/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图②，将△ABD沿BD翻折，若A'B交CD于点E,求△BDE的面积； 90.正方形ABCD的边长为m,点E是边BC上一点（不与端点重合），将△ABE沿AE所在直线对折至△ AGE,延长EG交边CD于点F,连接AF,可得△ADF兰△AGF,连接CG. ● D B E 图1 图2 (1)ㄥEAF=_°； (2)如图1，若m=9,点F为边CD的中点，求△CEG的面积； (3)如图2，若DF=m,判断AE与CG是否平行？并说明理由； (4)请直接写出BE·DF+AG·EF=_(用含m的式子表示). 25/25专题04 特殊的平行四边形 题型1 利用矩形的性质求值 题型9 利用正方形的性质求值 题型2 利用矩形的性质证明 题型10 利用正方形的性质证明 题型3 矩形的判定 题型11 正方形的判定 题型4矩形的判定与性质综合 题型12 正方形的判定与性质综合 题型5 利用菱形的性质求值 题型13 中点四边形 题型6 利用菱形的性质证明 题型14 动点问题 题型7 菱形的判定 题型15 折叠问题 题型8 菱形的判定与性质综合 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 利用矩形的性质求值 1．如图，矩形中，对角线，相交于点O，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据矩形性质可得，然后根据三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：矩形中，对角线相交于点O， ，， ， ， ， 故选：D． 2．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，根据矩形的性质，得到，等边对等角求出的度数，对顶角结合角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 3．如图，矩形的对角线交于点O， ， ，则________．   【答案】12 【分析】证明为等边三角形，进而得到，即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 4．在矩形中，点在边上，与的延长线交于点，，若，则_____． 【答案】 【分析】取的中点G，连接，根据直角三角形的性质可得，进而得出，由，得，再根据勾股定理求出的长，得，进而可得． 【详解】解：取的中点G，连接， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，外角的性质以及勾股定理求边长，取的中点G找到直角三角形的中线是解决问题的关键． 5．如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【分析】首先根据题意得出矩形的面积，然后结合矩形的性质证明（），得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 6．如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 【答案】 【分析】证明出是等边三角形，得到，利用勾股定理求出，然后求出矩形的面积，得到，证明出四边形是平行四边形，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴． 题型二 利用矩形的性质证明 7．如图，在矩形中，点E是上一点，，于点F． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合矩形的性质得，则，根据，得，又因为，故，所以，即； （2）根据矩形的性质以及，得，运用勾股定理算出，则，结合在中，运用勾股定理列式计算，得，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴． （2）解：由（1）得， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，． 8．如图，矩形中，点为边上一点，连接，过点作，垂足为，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先证明，然后根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴． ∵在矩形中，，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． 9．如图，点E为矩形的边上的一点，作于点F，且满足．对于下面四个结论：① ；②的面积与的面积相等：③；④，所有正确的结论是______（只写序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．根据矩形的性质证明，得③正确；证明得出①正确；得出，④正确，过点B作于H，由三角形的面积公式可得，故②错误；即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，③正确； ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴，故④正确； 过点B作于H， ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； 故答案为：①③④． 10．如图，在矩形中，点是的中点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，再证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 11．如图，在矩形中，，相交于点，过点作于点，交于点，过点作交于点．交于点，连接，．有下列结论：①图中共有三个平行四边形；②当时，四边形是菱形；③；④．其中，正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】分别证明四边形、四边形、四边形是平行四边形，即可判断结论①；结合等腰三角形的判定和性质求得，可得结论②；通过证明相似三角形的性质判断结论③；通过证明相似三角形的性质判断结论④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴四边形是平行四边形， 因此共有个平行四边形，故①正确； ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形；故②正确； ∵，， ∴， ∴， 又， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 12．如图，在矩形中，是上一点，于点，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若是中点，则．其中所有正确结论的序号是（  ）    A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 证明，即可； 利用反证法证出即可； 证明可得结论； 设，，则，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，过作交于， 四边形是矩形， ，，，， 于点， ，， ， 故正确； 假设平分， ， ， ， ， 垂直平分线段， ，与题目条件矛盾， 故错误； ，， ， ， ， ， 故正确； 设，，则， 由，有，即， ， 故错误； 故选：B． 题型三 矩形的判定 13．如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，交于点，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）根据菱形的性质，得到，进而得到是的中位线，推出，证四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质，得到，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，由矩形的性质可知，，然后利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， 点为的中点， 点为中点， 为的中位线， ， ，， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 又， 为矩形． （2）四边形为菱形， ，， ， 又点为的中点， ， 四边形为矩形，， ，， ， ， 在中，． ． 14．在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由已知三个内角为，可判定该四边形为矩形，再根据正方形的判定，添加一组邻边相等即可推出该四边形为正方形，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵四边形内角和为，， ∴， ∴四边形四个内角均为， ∴四边形是矩形． A、添加时，矩形中一组邻边相等，可推出矩形是正方形，符合要求； B、矩形对边本来就相等，是矩形固有性质，不能推出正方形，不符合要求； C、可由已知条件推出，仍只能得到矩形，不符合要求； D、矩形对边本来就相等，是矩形固有性质，不能推出正方形，不符合要求． 15．如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的判定，关键是熟练掌握正方形的判定定理． 根据正方形的判定定理逐选项分别进行分析即可． 【详解】解：A． 由，可判断是矩形，由可判定矩形是正方形，此选项不合题意； B． 由可判断是菱形，由菱形可判定，此选项不能判定是正方形，符合题意； C． 由可判断是菱形，由可判定菱形为正方形，此选项不符合题意； D． 由可判定是菱形，由可得，进而可判定菱形为正方形，不符合题意； 故答案为：B． 16．如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若平分，且，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明四边形是矩形是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，又由即可证明结论成立； （2）求出，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵平分，， ∴， ∴， 在中，， ， 在中， ． 即的长是． 17．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)当______时，四边形是正方形，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定和性质，掌握菱形的性质，矩形的判定和性质是解题的关键. ()根据两组对边平行可得四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，结合矩形的判定和性质即可求解； ()根据矩形的性质可得，结合正方形的判定和性质即可求解； 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是矩形． （2）解：，理由如下： ， ∴四边形是正方形， ， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 18．如图，菱形中，对角线，交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】 本题考查平行四边形的判定、菱形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明四边形为平行四边形，再根据菱形的性质得到，然后根据矩形的判定可证得结论； （2）根据矩形的对角线相等求得，再根据菱形的性质和勾股定理求出对角线，的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【详解】（1） 证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形； （2） ∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为． 题型四 矩形的判定与性质综合 19．如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 20．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∵M是的中点， ∴M为的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， ∴当时，， ∴最短时，， ∴当最短时，． 21．如图顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 【答案】D 【分析】根据矩形的性质和三角形中位线定理证明四边形是菱形，四边形和四边形是矩形，再根据菱形的面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、、、， 矩形， ，，，，，， 分别为矩形四条边的中点， 分别是的中位线， ，， ， 四边形是菱形， ，，， 四边形是矩形， 同理可证，四边形是矩形， ，， 菱形的面积． 22．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2.4 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性质推出，由勾股定理的逆定理判定是直角三角形， （1）由平行四边形的性质推出，，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由三角形面积公式得到，即可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）知：四边形是矩形，又， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积， ∴， ∴． 23．如图，已知正方形边长为8，E为中点，将沿翻折得到，P，Q分别为边，上一点，将沿翻折使点对应点落在边上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，作．由正方形的性质可得， ， 由折叠的性质可得， ， ， 进而可得，，，从而可得四边形是矩形．设，则，，根据勾股定理列方程求出x的值即可得解． 本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，作． ∵四边形是正方形， ∴， ， ∵E为中点， ∴ ∵将沿翻折得到， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， 设，则 ∵将沿翻折使点对应点落在边上， ∴， 在中， ， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 24．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)13 【分析】该题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理．解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据四边形是菱形，得出，结合，得出，结合，，即可证明四边形是矩形． （2）根据四边形是菱形，，，得出，，勾股定理求出，根据四边形是矩形，得出． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 题型五 利用菱形的性质求值 25．在菱形中，，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形的性质可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 26．如图，在菱形中，，为对角线，平分，若，则的度数为___________ °． 【答案】 【分析】本题主要利用角平分线的定义和菱形的性质来求解的度数．首先，根据角平分线的定义计算的度数；然后，利用菱形的性质得出，从而得到；最后，利用三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 27．如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理可得，如图，连接交于点，根据菱形的性质结合可得，再利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线长为， ∴， ∴，即 ∴ 如图，连接交于点， ∵将正方形变形为菱形， ∴，，，， ∵ ∴为等边三角形， ∴，， ， ∴． 28．如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（    ） A． B．4 C．7 D．14 【答案】A 【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，且周长为28， ∴， ∵H为边的中点， ∴． 29．菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为___________． 【答案】24 【分析】菱形的面积等于对角线乘积的一半，代入已知对角线长度计算即可得到结果． 【详解】解： 菱形的两条对角线长分别为和， 菱形的面积 ． 30．如图，菱形的对角线交于点O，且，则菱形的高的长是（   ） A． B． C．5 D．以上都不对 【答案】A 【分析】利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴，， ∴， ∵是菱形的高， ∴，即：， ∴． 题型六 利用菱形的性质证明 31．如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查菱形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求证． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 32．在菱形中，点E是直线BD上一点，当时，如图①，易证：．当时，如图②；当时，如图③，请分别写出线段之间的数量关系、并选择图②或图③进行证明． 【答案】图②∶ ，证明见解析； 图③∶ ，证明见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等角对等边，勾股定理等知识． 图②：连接交于点O，由菱形的性质得，进而证明，，求出，然后根据求解即可； 图③：连接交于点O，由菱形的性质得，进而证明，，求出，然后根据求解即可． 【详解】如图②，． 证明：连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴ ； 如图③，． 证明：连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 33．如图，菱形中，对角线交于点，．求证：四边形是矩形． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的性质，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 34．如图，矩形的顶点E，G分别在菱形的边，上，顶点F，H在菱形的对角线上． (1)求证：； (2)若E为中点，，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)菱形的周长为4． 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确利用好各个几何性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，，得到，求得，根据菱形的性质得到，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）连接，根据菱形的性质得到，，求得，，得到四边形是平行四边形，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ，， ， ，， ， 四边形是菱形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：连接， 四边形是菱形， ，， 为中点， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 菱形的周长． 35．如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①平分；②；③；④平分；⑤，正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据平行四边形的性质得出，是等边三角形，根据，结合三角形外角的性质得出，根据角的和差关系得出，得出，可判定①正确；利用勾股定理得出，根据平行四边形面积公式可判定②正确；当时，平分，无法证明平分，故③④错误；根据平行四边形的性质得出，即可判定⑤正确，综上即可得答案． 【详解】解：∵的对角线、交于点，平分交于点，且， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵， ∴ ∴，故②正确； ∵是等边三角形， ∴当时，平分， 只有四边形为菱形时，才有平分，故③④错误； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，故⑤正确； 综上所述：正确①②⑤，共个． 故选：B． 36．小明家新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点E、F在上，． (1)判断四边形内部框架的形状为___________，请证明你的结论． (2)若，为的中点，求证：． (3)在（2）的条件下，若，直接写出四边形的周长． 【答案】(1)菱形，证明见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线等于斜边一半． （1）通过为菱形得到，，又，所以可知，从而得到为平行四边形，再通过对角线垂直进而可知其为菱形； （2）易知是直角三角形，F为斜边的中点，得到，再根据为菱形得到，即可得出结论； （3）通过勾股定理求出，进而可得到四边形的周长． 【详解】（1）菱形，证明如下： 四边形是菱形， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，即， 平行四边形是菱形； 故答案为：菱形； （2）解：， 是直角三角形， 为的中点， ， 四边形是菱形， ， ； （3）解：∵四边形为菱形， ∴， 在中，，， ∴， 解得（负值舍去）， ∵四边形为菱形， ∴菱形的周长为． 题型七 菱形的判定 37．已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查特殊平行四边形的判定，熟练掌握菱形，矩形，正方形的判定定理是解题关键，根据判定定理对各选项逐一判断即可. 【详解】解：四边形是平行四边形， A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此当时，四边形是菱形，故此选项正确，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此当时，四边形是菱形，故此选项正确，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，因此当时，四边形是矩形，故此选项正确，不符合题意； D、有一个内角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形，因此当时，四边形是矩形，不一定是正方形，故此选项错误，符合题意. 38．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理，逐一判断即可． 【详解】解：A、由图可知，对角线与两邻边的夹角均为，即邻边相等，则根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定选项A一定是菱形； B、由三角形内角和定理可知对角线夹角为，即对角线垂直，则根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定选项B一定是菱形； C、根据图中数据，只能说明同旁内角互补，不能说明一定是菱形； D、由图可知对角线平分内角，即所分成的两个角均为，由平行线性质可推出三角形为等边三角形，故邻边相等，则选项D一定是菱形； 则只有选项C不一定是菱形． 39．如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形．再结合直角三角形的性质可得，即可得证； （2）设，．则，，由勾股定理可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：点是的中点， ． ， ∴四边形是平行四边形． 是直角三角形，点是的中点， ． 四边形是菱形． （2）解：设，． 的周长为，． ，． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵点、分别是、的中点， ∴， ∵， ∴． ∴． 答：四边形的面积为30． 40．如图，在平行四边形中，点F在边上，，连接，点O为的中点，的延长线交边于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平行四边形的周长为24，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）由平行四边形的性质得，得，，可证明，得出，可得四边形是平行四边形，由即得是菱形： （2）求出菱形的周长为20，得出，再证明是等边三角形，即得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵O为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平行四边形的周长为24， ∴菱形的周长为：， ∴， ∵， ∴， 又 ， ∴是等边三角形， ∴． 41．已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的判定定理逐项验证即可得到． 【详解】解：A、当时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； B、当平分时，， 中， ， 则， ， 由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； C、当时，由对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定是菱形，选项符合题意； D 、当时，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意． 42．如图，矩形的对角线，相交于点，将沿直线翻折得到. (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则菱形的面积为______． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定及性质、矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理： （1）根据矩形的性质得到，利用翻折后两个三角形全等可知，由此可知是菱形； （2）根据勾股定理求出，得到的面积，再求出的面积，菱形的面积是的面积的两倍． 【详解】（1）证明：是矩形， ， 沿直线翻折得到， ， ， 四边形是菱形． （2）解：是矩形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型八 菱形的判定与性质综合 43．如图，矩形中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线分别交于点E，F，连接和，若，以下结论正确的个数是（   ） ①四边形是菱形；②；③；④若点是直线上的一个动点，则的最小值是9． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到，，求得，根据作图过程可知：是的垂直平分线，得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，，，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是菱形；在中，利用勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理可得；根据菱形的面积可得；根据是的垂直平分线，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设交于点 四边形是矩形， ，， ， 由作法得：是的垂直平分线， ， ， ， 是的垂直平分线， ，，，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形，故①正确； 在中，， ∴， ∴，故②正确； ，故③错误； 是的垂直平分线， ∴， ∴， 即的最小值是9，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解决本题的关键是掌握基本作图方法． 44．如图，O是对角线的交点，分别过点D、C作和的平行线相交于点E，若，，F是的中点，P是四边形边上的动点，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角形的中位线，找准有最小值时的点位置是解题的关键．先判定四边形为菱形，找出当垂直于菱形的一边时，有最小值．过点作于，过点作于，则，利用平行四边形的面积求解的长，再利用三角形的中位线定理可求解的长，进而可求解． 【详解】解：四边形为平行四边形，， ， ，， 四边形为菱形， 点是的中点，点是四边形边上的动点， 当垂直于菱形的一边时，有最小值． 过点作于，过点作于，则， ，， ， 即， 解得， 为的中点，， 为的中位线， ， 故的最小值为． 故答案为：． 45． 如图，矩形中，点E 为边上任意一点，连结，点 F 为线段 的中点，过点F 作，与分别相交于点M、N，连结． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，当 时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的判定与性质，熟记矩形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据已知证明，得，结合，点为线段的中点，即可证得结论； （2），则，设，则，利用勾股定理求出即可解答． 【详解】（1）证明：矩形中，， ， ∵点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ． 46．如图，已知E，F分别是平行四边形的边的中点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形性质得到，结合题意得到，证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到，即可得出结论； （2）过点A作于点H，证是等边三角形，得出，由勾股定理求出的长，再由平行四边形的面积公式即可得出结果． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 点E、F分别是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ，点为的中点， 平行四边形是菱形； （2）如图，过点A作于点H， 由（1）得：四边形是菱形， ， 点E是边的中点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形特征，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 47．如图，在中，，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连结． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、平行四边形的性质判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，即得到，推出，根据平行四边形的性质得到四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质得到、，根据菱形的性质得到．根据菱形的面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：∵，E是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴．， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 48．如图，在中，，，分别是，的中点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先根据，可判定四边形是平行四边形，再证为的中位线，从而得，然后根据等腰三角形的性质得，据此，可得出，进而可得出结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得，可在中利用勾股定理求出，然后证为的中位线，进而可得的长． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 点，分别是，的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形． （2）解：如图所示，连接，   ，点为的中点， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形为菱形， ，，且， 又∵点为的中点， 为的中位线， ． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，解答此题的关键是理解等腰三角形的底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线重合三线合一；三角形的两边中点的线段是三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 题型九 利用正方形的性质求解 49．如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出的度数是解决问题的关键.由平角的定义求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，再由平行四边形的同旁内角互补即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 故选：C． 50．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查正方形、等腰三角形的性质以及等边三角形的性质．根据题意知是等腰三角形，，根据三角形内角和定理及等腰三角形性质求底角即可． 【详解】解：四边形是正方形，是等边三角形， ；，， ， 同理， ∴， 故选：B． 51．如图，正方形的边长为5，边在y轴上，，若将正方形绕点O逆时针旋转得到正方形，则点的坐标为___________． 【答案】 【详解】解：正方形的边长为5，边在y轴上，， ，，轴， ， 由旋转的性质可知，，，在x轴上， 点的坐标为． 52．如图，正方形的边长为6，点E、F分别在上，若，且，则的长为________． 【答案】 【分析】延长至G，使得，连接，先根据正方形的性质证明，可得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据勾股定理求出，即可得出，接下来设，则，，再结合可得方程，求出解，进而求出，最后根据勾股定理求出答案． 【详解】解：如图，延长至G，使得，连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则，， ∴， ∴， 解得， 即， ∴， ∴， ∴． 53．如图，四边形是正方形，是延长线上一点．已知，，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质等知识点，灵活运用勾股定理求直角三角形的边是解题的关键． 先根据正方形的性质和勾股定理可求得，再根据正方形的性质求面积即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，是延长线上一点， ∴， ∴， ∴正方形的面积为． 故选B． 54．如图，在中，，，，以为一条边向三角形外部作正方形，则这个正方形的面积是（    ） A．34 B．36 C．40 D．44 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，图形面积，解题关键是熟练掌握勾股定理．根据勾股定理得到正方形边长，再根据正方形面积公式即可求解． 【详解】解：根据勾股定理可得中，，， ∴， 四边形是正方形， ． 故选：A． 题型十 利用正方形的性质证明 55．如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的有__________． 【答案】①②③④ 【分析】过作于点，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明后即可证明①；③；在此基础上，再证明是等腰直角三角形，即可判断②；根据正方形的对角线平分对角的性质，在直角中，，在直角中，，在直角中，，从而即可得出结论． 【详解】解：过作于点， 是正方形， ，，， ，， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，，，，， ，， 在中，， ， ， ， ，， ， ， ，故①正确，， ，，故③正确， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，即， ， ， 即，故②正确， 在直角中，， 在直角中，， 在直角中，， ，故④正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 56．如图，在边长为4的正方形中，对角线相交于点O．点E在线段上．连结，作于点F，交于点P，连接．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④．上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②③ 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，则，可得，可得，故③符合题意；将逆时针旋转交于点，由，可得，证明，则在中，，代入即可求证；故④不符合题意. 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴ ∴， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，则， ∴， ∵， ∴，故③符合题意； 如图；将逆时针旋转交于点， ∴，则， ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴，即，故④不符合题意； 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，本题难度较大，解题关键在于熟悉各个知识点的相关内容是解本题的关键. 57．如图，正方形中，点E为对角线上一点，连接，将绕点C顺时针旋转得到，连接．若，，则的长为（   ） A．3 B．7 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，连接，利用旋转的性质结合正方形的性质，证明，推出，，由旋转的性质易证是等腰直角三角形，求出，再求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵正方形中， ∴，，， 由旋转的性质得， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 58．如图，在正方形中，点E在线段上，且不与点B重合，且．过点F作交的延长线于点G，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形两锐角互余及全等三角形的判定与性质． （1）根据正方形的性质可得，再由已知条件利用直角三角形两锐角互余可求得的度数，再根据利用平角的定义可求出的度数； （2）利用直角三角形两锐角互余及平角的定义得到，证明推导出，，利用正方形的性质可得到，则，进而得出． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． （2）证明：由题意知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴，即， ∴． 59．如图，在正方形中，点在射线上（不与，重合），点为直线上一点，． (1)如图①，若，，的长是______，的长是______； (2)如图②，当在线段上时，猜想，，之间的数量关系并证明； (3)当在线段的延长线上时，第（2）问中的结论是否成立？若成立，说明理由：若不成立，请探究，，之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)不成立，，证明见解析 【分析】（1）由正方形的性质结合直角三角形的性质和勾股定理可得答案； （2）如图，在的延长线上截取，连接，证明，，可得，，再证明，可得，从而可得结论； （3）在线段上截取线段，证明，，再证明，可得，再结合线段的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵正方形，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，同理， ∴； 故答案为：，； （2）解：，理由如下： 如图，在的延长线上截取，连接，如图： ∵四边形是正方形 ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （3）解：数量关系：，理由如下： 在线段上截取线段，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 即． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质和勾股定理，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 60．定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫“等直四边形”． (1)在已经学过的四边形“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等直四边形”的是___________．（填序号） (2)如图，在正方形中，点E、F分别在、上，，分别连接、、，和交于点M．求证：四边形是“等直四边形”． 【答案】(1)④ (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“等直四边形”的定义是解此题的关键． （1）根据“等直四边形”的定义并结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质逐项分析即可得解； （2）由正方形的性质可得，，证明，得出，，再结合三角形内角和定理证明出，即可得证． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角线不一定相等，故不符合题意； ②矩形的对角线相等但不一定垂直，故不符合题意； ③菱形的对角线垂直但不一定相等，故不符合题意； ④正方形的对角线相等且互相垂直，故符合题意； 故答案为：④； （2）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴四边形是“等直四边形”． 题型十一 正方形的判定 61．如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了剪纸问题、涉及矩形的性质，菱形的判定，正方形的判定，解答此类题最好动手操作，易得出答案． 根据翻折变换的性质及矩形的性质，菱形的判定，正方形的判定进行分析从而得到最后答案． 【详解】解：如图， 根据题目中的折叠方法，我们可知剪下的是一个四边相等的四边形，即菱形， ∴菱形里只要有一个角是就是正方形． 展开四边形后的角为：，即． 故选：C． 62．如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________ ， 使得该菱形为正方形． 【答案】（或等，答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定方法，已知四边形是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形进行添加条件即可． 【详解】解：已知四边形是菱形， 若添加条件：，则满足“对角线相等的菱形是正方形”的判定定理， 若添加条件：，则满足“有一个角是直角的菱形是正方形”的判定定理， 任选其中一个为答案即可． 63．已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了正方形、矩形的判定，角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质．先根据已知条件得出，再由，利用三角形内角和定理得出，从而根据等腰三角形的判定可知，，证明出四边形是矩形，进而求得四边形是正方形． 【详解】证明：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 64．下列说法中，不正确的是（　　） A．一组邻角互补的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．有一个角为直角的平行四边形是矩形 D．一组邻边相等的平行四边形是菱形 【答案】A 【分析】本题考查特殊四边形的判定定理，相邻两角互补的四边形不一定是平行四边形，如梯形；再结合特殊四边形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、四边形中相邻两角互补只能推出一组对边平行，但无法保证另一组对边平行，因此不一定是平行四边形（例如梯形），故选项A不正确； B、对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项B正确； C、有一个角为直角的平行四边形是矩形，故选项C正确； D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项D正确； 故选：A． 65．如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论；由（1）知，四边形是正方形，得出．由，，求出，勾股定理得出，得出．再证明，即可得出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ． ， 四边形是矩形． 平分， ， 四边形是正方形． （2）解：平分， ． 在和中， ， ， ． ∵四边形是正方形， ． ∵， ， ，， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，掌握全等三角形和勾股定理是解决问题的关键． 66．如图，在矩形中，平分，交于点，过点作于点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形ABEF是正方形； (2)如果，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据矩形的性质及得，由此判定四边形是矩形，再根据角平分线性质得，据此即可得出结论； （2）过点作于点，根据正方形性质得是等腰直角三角形，由勾股定理得，进而得，在中，由勾股定理得，则，再证明四边形是矩形，然后根据矩形的周长公式即可得出四边形的周长． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是矩形， 平分，，， ， 矩形是正方形； （2）解：过点作于点，如图所示： 四边形是正方形，， ，，， 是等腰直角三角形， 于点， ， 在中，由勾股定理得：， ，， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 四边形是矩形， ∴， 四边形的周长为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质，矩形的判定和性质，理解熟练角平分线的性质，掌握正方形的判定与性质，矩形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 题型十二 正方形的判定与性质综合 67．如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：； (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积； 【答案】(1)见解析 (2)不会发生变化，面积为4 【分析】（1）过点作于点于点，根据正方形的性质证明四边形是正方形，再证明，即可得证； （2）根据可知，根据即可得解． 【详解】（1）证明：过点作于点于点，如图所示： ， 四边形是正方形，且边长为4， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 矩形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：当点在边上运动时，四边形的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下： 连接，如图所示： 四边形是正方形，点为对角线的中点， ， 是等腰直角三角形， ， ，则． 由（1）得， ，， 由（1）得，矩形是正方形， 则． 68．如图，在矩形中，，延长到，点是边上一点，过点作，与的平分线分别交于点，点．当点是中点时，则四边形的面积为____________． 【答案】15 【分析】先结合矩形的性质得，，，运用勾股定理算出，再根据与的平分线分别交于点，点，得，，则都是等腰直角三角形，故，又因为点是中点，证明四边形是平行四边形，然后证明四边形是正方形，再把数值代入四边形的面积为进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与的平分线分别交于点，点． ∴，， ∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵点是中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，正方形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 69．四边形为正方形，E为对角线上一动点，连接．过点E作交直线于点F，以为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求正方形的边长； (3)点E关于的对称点为P，连接，若的最小值为， ①求的长为_______； ②正方形的面积的最小值为_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）过E作于M，于N，证明四边形是矩形，得到，进而得到，证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）先证明得到，过G作于H，则是等腰三角形，进而可得，，在中，利用勾股定理求得即可求解； （3）①作D关于的对称点K，则K在的延长线上，连接交于P，连接交于M，连接，此时值最小，最小值为的长，则，由轴对称性质得到，则，利用勾股定理求解即可；在中，由得， ②利用垂线段最短知，当时，取得最小值，此时正方形的面积最小，进而求解的最小值即可． 【详解】（1）证明：如图，过E作于M，于N，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴，则， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形为正方形； （2）解：如图，过G作于H， ∵四边形为正方形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 过G作于H，则是等腰三角形，又， ∴， ∴， 在中，， ∴正方形的边长为； （3）解：①∵， ∴点E关于的对称点P在上，， 作D关于的对称点K，则K在的延长线上，连接交于P，连接交于M，连接， 此时值最小，最小值为的长，则， 由轴对称性质得，则， 在中，由得， 解得（负值已舍去）， 故答案为：； ②在中，，则， ∵点E为上一点， ∴当时，取得最小值， ∵，， ∴的最小值为， ∵是正方形的边长， ∴正方形的面积的最小为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、轴对称性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、角平分线的性质等知识，综合性强，涉及知识点较多，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加适当的辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形是解答的关键． 70．如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，连接，若，，则的长为（　　） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，正确作出辅助线是解本题的关键． 过E作于点M，作于N，证明四边形是正方形，根据勾股定理求出，再证明，得即可解答． 【详解】解：过E作于点M，作于N， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵在正方形中，平分， 又， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在正方形中，， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故选：B． 71．如图，四边形是平行四边形，延长至点，使点为的中点．连接，，，已知． (1)求证：四边形是矩形． (2)若还满足，则四边形的形状为 ． 【答案】(1)见解析 (2)正方形 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，由题意易得，推出，易证四边形是平行四边形，再根据题意易得是等腰三角形，结合点为的中点，利用等腰三角形三线合一可证，即可证明结论； （2）根据题意易得是等腰直角三角形，利用直角三角形的性质可得，即可得到四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等腰三角形， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：四边形是正方形，理由如下： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定．熟记平行四边形的判定方法与性质是解本题的关键． 72．如图，在矩形中，，E为边上一个动点，连接．将沿折叠，使点B落在边上的点P处． 结论Ⅰ：当点P与点D重合时，此时四边形为正方形； 结论Ⅱ：当P为的中点时，． 关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．结论Ⅰ对，结论Ⅱ错 B．结论Ⅰ错，结论Ⅱ对 C．结论Ⅰ，Ⅱ都对 D．结论Ⅰ，Ⅱ都错 【答案】C 【分析】本题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、正方形的判定、勾股定理等知识，当点P为的中点时，求得是解题的关键． 当点P与点D重合时，证四边形为正方形，可判断结论Ⅰ正确；当点P为的中点时，由矩形的性质，折叠的性质，利用勾股定理求的长度，可判断结论Ⅱ正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点P与点D重合，则， ∵将沿折叠，点B落在边上的点P处， ∴， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴四边形为正方形， 故结论Ⅰ正确； 如图2，点P为的中点， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， 由折叠得 ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故结论Ⅱ正确， 故选：C． 题型十三 中点四边形 73．顺次连接一个菱形的各边中点所得四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】作出图形，菱形中，点分别是的中点，先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【详解】如图，设菱形中，点分别是的中点，连接， ∵分别是的中点， ∴，， 同理可得，，，， ∴ 且 ， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形的对角线互相垂直，即， ∵，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形． 74．如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据矩形、菱形的判定与性质逐项即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则， ∴四边形为菱形，即①错误； ②若，则，即， ∴四边形为矩形，即②错误； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是1个． 故选：A． 75．如图，已知四边形中，、、、分别是四条边、、、的中点，、是对角线，连接、、、． (1)证明：四边形为平行四边形； (2)若______，则四边形是菱形请从；这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立．（填序号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定定理证明； （2）根据三角形中位线定理得到，再根据菱形的判定解答． 【详解】（1）证明：、、、分别是四条边、、、的中点， 、分别为、的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形； （2）解：、分别是四条边、的中点， 为的中位线， ， 当时，，则平行四边形是菱形． 76．在四边形中，分别是的中点．若四边形为菱形，则线段与一定满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，，再根据菱形的判定定理解答即可． 【详解】解：如图： ∵、、、分别是、、、的中点， ∴分别为的中位线， ，， ∴四边形为平行四边形， 当时， ， 平行四边形为菱形， 故选：A． 77．如图，四边形为菱形，点E、F、G、H分别为四边中点，我们把四边形称为菱形的“中点四边形”． (1)求证：四边形为矩形； (2)如图，矩形为某个菱形的中点四边形，请画出这个菱形并简单说明画法（不需要尺规作图）． 【答案】(1)证明见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形和矩形的判定和性质，三角形中位线定理： （1）连接，根据菱形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到四边形是平行四边形，即可求证； （2）连接，分别过M、P作平行线，过N、Q做平行线，两组平行线围成的四边形即为所求． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵四边形是菱形， ． 分别为四边中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又， ， 为矩形； （2）解：连接，分别过M、P做平行线，过N、Q做平行线，两组平行线围成的四边形即为所求． 由作法得：， ∴四边形、、均是平行四边形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 78．在四边形中，点，，，分别为，，，的中点，并且，则四边形为（   ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．梯形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定定理，根据三角形中位线定理可证，，根据可证，根据四条边都相等的四边形是菱形，可知四边形为菱形． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点，为，的中点， 是的中位线， ，， 点，为，的中点， ，， ，， 同理可证，， ， ， 四边形为菱形． 故选：A． 题型十四 动点问题 79．如图，正方形的边长为，点是边上一点，且，对角线，交于点，点是中点，连接； (1)如图1，过点作交于点，判断四边形的形状并证明； (2)如图2，若点是对角线上的动点，当平分时，判断，，之间的数量关系， 并计算的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形，见解析 (2)EP，FP，EF之间的数量关系为：； 【分析】（1）如图，过点作于点，结合正方形的性质证明四边形是矩形，得，，根据勾股定理及正方形的性质得，，继而得到，在中，推出，求得，得到，进一步推出，即可得证； （2）如图，设平行四边形的边与交于点，证明四边形是矩形，推出平分，即与的交点为符合条件的点，然后在中，，，，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形； 证明：如图，过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，，，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形； （2），，之间的数量关系为：． 如图，设平行四边形的边与交于点， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 即平分， 即与的交点为符合条件的点， 在中，，，， ∴，． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，掌握特殊四边形形的判定与性质是解题的关键． 80．如图，正方形中，已知，对角线与交于点O，点E为射线上的一个动点不与点B重合，点M为线段的中点．现将线段绕点M顺时针旋转得到线段，连结，．    (1)若点M在线段OD上且，求线段OF及EF的长． (2)当点E在线段OB上运动时，请判断的形状，并说明理由． (3)在点E的运动过程中，当时，求线段BE的长． 【答案】(1)； (2)的形状是等腰直角三角形，见解析 (3)线段BE的长为或 【分析】（1）利用正方形的性质得到，，，，利用等腰直角三角形的性质得到，利用线段的中点的意义，等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可得出结论； （2）连接，利用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质得到，利用线段的垂直平分线的性质得到，则；利用正方形的性质和三角形的内角和定理求得，则结论可得； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点E在线段上时，设，则，，利用勾股定理列出方程解答即可；②当点E在线段的延长线上时，设，则，，利用勾股定理列出方程解答即可． 【详解】（1）解：四边形为正方形， ，，，， ， ， 点M为线段的中点， ， ， ，， ， ； （2）解：的形状是等腰直角三角形，理由如下： 连接，如图，   为等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点M为线段的中点，， 为线段的垂直平分线， ， ， ， ，， ， 的形状是等腰直角三角形； （3）解：①在点E的运动过程中，当时，如图，    设，则， ，M为线段的中点， ， ， ， ， ， （负数不合题意，舍去）， ， ； ②在点E的运动过程中，当时，如图，    设，则， ，M为线段的中点， ， ， ， ， ， （负数不合题意，舍去）， ， ； 综上，线段BE的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，线段的垂直平分线的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论的思想方法，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 81．在正方形中，点是边上任意一点，连接，过点作于，交于． (1)如图，过点作于，求证：； (2)如图，点E为的中点，连接，求证：； (3)如图，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】根据正方形的性质可得：，，根据同角的余角相等可得，利用可证； 利用可证，根据全等三角形的性质可证，过点作，交的延长线于点，可证，根据全等三角形的性质可证：，利用勾股定理可证结论成立； 作的中点，的中点，连接，因为点在边上运动，点在上运动，点是的中点，可知点的运动轨迹是连接、中点的线段，利用勾股定理求出的长度即为点运动的路径长． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点为的中点， ， ， 如下图所示，过点作，交的延长线于点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：如下图所示，作的中点，的中点，连接， 当点与点重合时，点与点重合，则线段与重合， 点在的中点的位置， 当点与点重合时，点与点重合，则线段与重合， 点在的中点的位置， 随着点、的运动，点在线段上运动， ， ， 在中， 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、动点问题．解决本题的关键是根据点、的运动路径找到点的运动轨迹，根据点的运动轨迹求出点运动的路径长度． 82．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，E为边BC上一点． (1)如图1，F为AB上一点，且BF=CE，连接CF、AE交于点P，求∠APF； (2)如图2，BE>CE，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转120°得到AH，连接CH交AB于点M，求证：BM=AM+CE； (3)在（2）的条件下，若E为直线BC上一动点，连接DH，当DH最小时，直接写出△DEH的面积． 【答案】(1)； (2)见解析； (3) 【分析】（1）先利用菱形的性质，结合，可证明为等边三角形，再利用证明，从而可得，进而求得； （2）先利用证明，从而可得，结合，可得； （3）连结并延长到，使，过点作交直线于点，当点在直线上运动时，点在直线上运动，当时，有最小值，此时，与重合，与重合，再利用等边三角形的性质，得出，然后根据菱形的性质得出，再根据平行线的性质得出，从而可得，再利用含有角的直角三角形的性质求得，最后利用勾股定理求得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， 在和中， ∵， ∴（）， ∴， ∴； （2）证明：如图，在上截取，连接、，与相交于点P， 由（1）知，， ∴， 由旋转性质知，， ∴，， ∴， ∴， 在和中 ∵ ∴（） ∴， ∵， ∴； （3）连结并延长到，使，过点作交直线于点， 当点在直线上运动时，点在直线上运动， 当时，有最小值， 此时，如图，与重合，与重合， 由（1）知为等边三角形， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形判定与性质，平行线的性质，含有角的直角三角形的性质，解题关键是准确作出辅助线． 83．如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，．       (1)如图1，若，，，求四边形的面积； (2)如图2，若点为线段的中点，且，连接，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，连接，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、矩形的判定及性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，会作出适当的辅助线灵活构造全等三角形是解题的关键． （1）通过已知条件，易求，，根据勾股定理得，，利用梯形面积公式即可求解； （2）过点作于点，作于点，易证：，得，，再证明四边形是矩形，进而证明为等腰直角三角形，即可证得； （3）在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，，先证，得，得出点轨迹为过中点，与夹角为的直线上，作点关于的对称点，当取最小值时，，，三点共线，由勾股定理可得，最小值为． 【详解】（1）解：，， ， 四边形为矩形， ， ， 又， ． 在中，，，， 根据勾股定理得，， ， ； （2），理由如下： 如图所示，过点作于点，作于点． ，， ， ，， ，， ， ， ，． 点为线段的中点， ． ， 四边形是矩形， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）如图所示，在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，， ，，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点轨迹为如图过中点，与夹角为的直线上， 如图所示，作点关于的对称点， ， 当取最小值时，，，三点共线，最小值为， 延长交直线于点，连接， ， ， ， ， ，， 由勾股定理可得，最小值． 84．如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】过点G作于H，过点G作，由“”可证，可得，可得点G在平行且到距离为1的直线上运动，则当F与D重合时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作于H，过点G作， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G在平行且到距离为1的直线上运动， ∴当F与D重合时，有最小值，此时， ∴的最小值， 故选：B． 【点睛】本题考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是解题关键． 题型十五 折叠问题 85．如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 【答案】 【分析】本题考查翻折的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，则，过点F作于点H，易证，进而得到、，设，则，根据四边形的面积为6，列方程得到关于的表达式，在中，利用勾股定理求出的值，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：连接，则，过点F作于点H， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 设，则， 四边形的面积为6， ， 即， 解得， ， ， 由翻折的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的面积为：． 86．如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了正方形和折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式及平行线的判定．先根据正方形和折叠的性质分析图形中的边和角关系，再通过全等三角形的判定、勾股定理、面积计算及平行线判定逐一验证四个结论的正确性． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，，故②正确； ，故③错误； ， ， ，， ， ，故④正确； ∴①②④正确， 故选：B． 87．如图，在矩形中，，，点为射线上一个动点，将沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为_______． 【答案】或 【分析】设的垂直平分线交于点，交直线于点，根据题意分两种情况点在矩形内部时，点在矩形外部（下方）时，构造直角三角形，结合矩形的性质和判定，折叠的性质，垂直平分线性质，勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：设的垂直平分线交于点，交直线于点， ∵ 四边形是矩形，，， ∴，，， ∵垂直平分， ∴，，， ∴，， 由折叠的性质可知：，， 设，则， 分两种情况讨论： 情况一：当点在矩形内部时， 在中，， ， 在中， 由勾股定理得：即 ， 解得， ∴； 情况二：当点在矩形外部（下方）时， 在中，， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 88．小明同学手中有一张矩形纸片，，，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，将纸片展平．第二步，如图②，再一次折叠纸片，把沿折叠得到，交折痕于点，则线段的长为___________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质推出，进而得出，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得：，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 即． 89．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练运用这些性质和定理是解答本题的关键． （1）利用折叠的性质得到，结合矩形的性质，在直角三角形中通过勾股定理建立方程求解的长度； （2）先根据折叠和矩形的性质证明三角形全等，得到，再在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，最后结合三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得， 四边形是长方形， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； （2）解：四边形是长方形， ， 由折叠的性质得， 又， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ． 90．正方形的边长为，点是边上一点不与端点重合，将沿所在直线对折至，延长交边于点，连接，可得，连接． (1) ； (2)如图1，若，点为边的中点，求的面积； (3)如图2，若，判断与是否平行？并说明理由； (4)请直接写出 用含的式子表示． 【答案】(1) (2) (3)与平行，理由见解析 (4) 【分析】本题考查正方形半角模型以及勾股定理和面积的应用，解题关键是能够熟练运用这些知识去解题． （1）通过证明，，进而得到答案； （2）设，结合，利用勾股定理解直角三角形得到的值，再通过相似即可得到答案； （3）通过勾股定理得到为中点，得到，通过倒角得到答案； （4）利用正方形的面积与三角形面积与五边形的面积的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，四边形是正方形， ，， 将沿直线翻折，得到， ，，，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）作，垂足为点，如图， 设，则， 为中点， ， 由（1）知，， 在中，由勾股定理得， ， ， 整理得：， 解得：， ，， ， ， ； （3）与平行，理由如下， 设，则，如图， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 整理得：， ∴ ， ， 由折叠可知，， 又， ， ， ， ； （4）设，，则，，如图， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 整理得：，① 由 ，② ∴把①代入②得， ， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． $