考点07 直线、平面的平行与垂直 能力提升练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦直线与平面平行垂直的判定及综合应用，通过多题型梯度设计，系统考查空间观念与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定|单选1-5、填空9|命题真假判断、位置关系辨析|从线面关系基本定理出发，构建概念到性质的推理链条| |综合应用|多选7-8、解答11-12|多结论判定、存在性证明|结合几何体模型，体现判定定理与性质定理的综合迁移| |动态探究|单选3/6、填空10|截面轨迹、翻折问题|从静态位置关系到动态几何情境，发展空间想象与模型意识|

考点07 直线、平面的平行与垂直·能力提升 一、单选题 1．已知三条互不相同的直线，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题： (1)若与m为异面直线，，则； (2)若，，则； (3)若，，，，则． 其中真命题的个数为（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．在长方体中，分别为和的中点，则下列说法错误的是（   ） A．四点共面 B．三线共点 C．与是异面直线 D．与是相交直线 3．如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（   ） A． B． C． D．1 4．如图，在正方体中，分别为棱的中点，有以下四个结论：①直线与是相交直线；②直线与是平行直线；③直线与是异面直线；④直线与是异面直线.其中正确的结论为（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 5．已知为异面直线，平面，平面，直线满足，，，,则（   ） A．，且 B．，且 C．与相交，且交线与垂直 D．与相交，且交线与平行 6．如图，在棱长为2的正方体中，是AB的中点，动点在正方体内部或表面上，若平面，则动点的轨迹所形成的区域面积为（   ） A．4 B． C．6 D． 二、多选题 7．如图，正四棱锥的底面为为的中点，为与的交点，下列说法正确的是（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D． 8. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（   ）    A．存在点Q，使平面MBN B．不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C．三棱锥的体积是定值，为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积 三、填空题 9．已知是一条直线，，，是三个不同的平面，给出下列说法： ①若，且，则； ②若，且，则，且； ③若，，则． 其中正确的序号有______． 10．正方体的棱长为3，E，F是棱，上的中点，平面截正方体所得截面的周长为________ 4、 解答题 11. 如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．    (1)求证：平面； (2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分． 12. 如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，G为中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点07 直线、平面的平行与垂直·能力提升 一、单选题 1．已知三条互不相同的直线，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题： (1)若与m为异面直线，，则； (2)若，，则； (3)若，，，，则． 其中真命题的个数为（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】线面平行的性质、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】结合反例可判断（1）（2），利用线面平行的性质可证明（3）. 【详解】对于（1），如图，正方体中，与为异面直线， 平面，平面， 但是平面与平面不平行，（1）不正确； 对于（2），如图，正方体中，平面与平面平行，但是直线与直线不平行，（2）不正确； 对于（3），因为，，且，所以，同理可得，所以，（3）正确. 2．在长方体中，分别为和的中点，则下列说法错误的是（   ） A．四点共面 B．三线共点 C．与是异面直线 D．与是相交直线 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】异面直线的判定、空间中的线共点问题、空间中的点（线）共面问题、平行公理 【分析】根据已知证明即可判断A，利用平面的基本性质证明共点判断B，应用异面直线的定义判断C、D. 【详解】由分别为和的中点，则， 而，故为平行四边形， 所以，则，故四点共面，A对， 由A知与共面，且，，所以与必交于一点， 若，即，而平面，则平面， 由，平面，则平面， 由平面平面，故， 综上，三线共点，B对， 由平面，平面，平面，，则与是异面直线，C对， 由平面，平面，平面，，则与是异面直线，D错. 3．如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、立体几何中的轨迹问题 【分析】连接，利用线面垂直的判定推理证得平面即可确定点的轨迹得解. 【详解】在棱长为1的正方体中，连接， 由平面，平面，得，而， 平面，则平面，又平面， 于是，同理，而平面， 因此平面，因为，则平面， 而点为截面上的动点，平面平面， 所以点的轨迹是线段，长度为. 故选：B 4．如图，在正方体中，分别为棱的中点，有以下四个结论：①直线与是相交直线；②直线与是平行直线；③直线与是异面直线；④直线与是异面直线.其中正确的结论为（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】异面直线的判定 【分析】根据异面直线的判定定理逐一判断. 【详解】因为平面，平面，且， 故直线与是异面直线，故①错误； 因为平面平面，平面，平面， 所以没有公共点， 又，不平行， 故不平行，即为异面直线， 即四点不共面， 所以直线与也是异面直线，故②错误； 因为平面，平面，， 所以直线BN与是异面直线，故③正确； 因为平面，但平面，， 所以直线AM与是异面直线，故④正确． 5．已知为异面直线，平面，平面，直线满足，，，,则（   ） A．，且 B．，且 C．与相交，且交线与垂直 D．与相交，且交线与平行 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】判断线面是否垂直、面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】利用线面垂直的性质定理和判定定理，面面平行的性质定理进行推理，或通过模型分析即可逐一判断. 【详解】对于A，假若，则由平面，平面，可得，这与异面矛盾，故A错误； 对于B，如上图，在长方体中， 不妨设平面为平面，平面为平面，满足， 棱所在直线分别为，满足所有题设条件，但，即得不出，故B错误，； 对于C，D，如上图，由A项知，相交，设，过空间内一点，分别作，作， 因，故可确定平面， 因为，，所以，，且，故； 又因，，所以，，所以，，同理可得； 因为，，所以不重合，故有. 综上可知，C项错误，D项正确. 故选：D. 6．如图，在棱长为2的正方体中，是AB的中点，动点在正方体内部或表面上，若平面，则动点的轨迹所形成的区域面积为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】立体几何中的轨迹问题 【分析】分别取中点，求证平面平面，接着取中点求证四点唯一确定一个平面得到平面即为平面，再由题意得到动点的轨迹为平面四边形，求出四边形为等腰梯形即可计算求解. 【详解】分别取中点，连接， 则由正方体结构性质可知，， 所以四边形、、均为平行四边形， 所以，所以， 因为平面，在平面外， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 取中点，连接，则，则， 所以四点唯一确定一个平面，所以平面即为平面， 所以由题意若平面，则动点的轨迹为平面四边形， 因为， 所以四边形为等腰梯形，且该梯形的高为， 由正方体结构性质可得面积为. 故选：B 二、多选题 7．如图，正四棱锥的底面为为的中点，为与的交点，下列说法正确的是（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、证明线面平行 【分析】由线面平行的证明判断AB选项；由线面垂直的性质判断选项C；利用线面垂直证明线线垂直判断选项D. 【详解】由四边形为正方形，所以，平面，平面，故平面，A选项正确； 因为为正方形对角线的交点，所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，B选项正确； 由四边形为正方形，所以，在正四棱锥中平面， 平面，所以，又，平面， 所以平面， 又平面，故，故D正确； 在中，，为的中点，不一定垂直于，故C错误. 故选：ABD. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（   ）    A．存在点Q，使平面MBN B．不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C．三棱锥的体积是定值，为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积 【答案】AC 【难度】0.55 【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、空间中的点（线）共面问题、证明线面平行 【分析】利用立体几何点线面的位置关系及求体积表面积知识对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，若点是的中点，则， 又因为,所以. 因为面,面 所以面.故选项A正确. 对于选项B，当点与重合，此时，, 又因为，所以 故四点共面，所以选项B不正确. 对于选项C，因为到面的距离即为正方体的棱长，且. 所以.故选项C正确. 对于选项D，设分别为和的中点，则经过四点的球即为 长方体的外接球. 因为该长方体的长宽高分别为.所以. 所以.故选项D不正确.    三、填空题 9．已知是一条直线，，，是三个不同的平面，给出下列说法： ①若，且，则； ②若，且，则，且； ③若，，则． 其中正确的序号有______． 【答案】①② 【难度】0.7 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】利用直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可． 【详解】对于①，因为两个平行平面中的一个平面与已知平面垂直，则另一个平面也与这个平面垂直，故①正确； 对于②，如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直，故②正确； 对于③，可能，故③错误． 10．正方体的棱长为3，E，F是棱，上的中点，平面截正方体所得截面的周长为________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】由直线EF与分别交于G，H，连接AG，AH分别交，于点M，N，得到五边形为平面截正方体所得的截面，然后根据E，F为中点，利用三角形相似，确定点M，N的位置求解. 【详解】解：如图所示： 直线EF与分别交于G，H，连接AG，AH分别交，于点M，N， 则五边形为平面截正方体所得的截面， 因为E，F分别是，的中点， 所以易得， 所以， 因为，所以， 可得，同理可得， 所以五边形的周长为， 故答案为： 4、 解答题 11. 如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．    (1)求证：平面； (2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析 (2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在； 【难度】0.52 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，在平面内找到与平行的直线即可； （2）（Ⅰ）先通过线面垂直证，再由三角形内角和定理证，进而可证线面垂直； （Ⅱ）取N为的中点，的中点为M，通过，平面即可证明N满足题意. 【详解】（1）如图，连接，与交于点O，连接OD，    因为四边形是平行四边形，所以O为的中点. 又D是棱AC的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）（Ⅰ）选择条件①，. 由D是棱AC的中点，得. 在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以. 又，，平面，所以平面，所以. 因为，所以，又， 在和中，， 所以，而， 则，所以， 又，BD，平面，所以平面. 选择条件②：． 因为底面ABC，平面ABC，所以， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以，下同条件①. 选择条件③：，下同条件①. （Ⅱ）当点N为的中点，即时，平面平面． 证明如下：如图，取的中点为M，连接DM、MN，    因为M、D分别为、AC的中点， 所以且， 又N为的中点，所以且， 所以四边形BDMN为平行四边形，故. 由（Ⅰ）知平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 12. 如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，G为中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为为中点，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． (2) (3)存在， 【难度】0.5 【知识点】面面垂直证线面垂直、锥体体积的有关计算、求点面距离、证明线面平行 【分析】（1）利用等腰三角形性质可得，再由面面垂直性质定理可得结论； （2）利用等体积法结合锥体体积公式求解即可； （3）利用面面平行判定定理可证明平面平面，再由其性质可证明当时，满足题意. 【详解】（1）略 （2）在直角三角形中， ∵， ∴， ∴． 又三角形的面积， 由（1）知，平面，所以三棱锥的高为， 设点到平面的距离为, 由，，而， 则， 所以,则，即， 则， 由，得， 则， 即点到平面的距离为. （3）过点作交于点，则； 过点作交于点，连接，则；如下图所示：    因为平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面． 因为平面，所以平面． 所以在上存在点，使得平面，且． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $