必修第二册综合检测1-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以必修第二册核心知识为载体，通过跨章节整合真题与模拟题，构建“基础巩固-能力提升”的综合训练体系，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量与复数|4题|含纯虚数判断、向量共线及投影，结合几何意义与代数运算|从复数概念到向量运算，构建数与形的转化逻辑| |立体几何|5题|涉及直观图、旋转体表面积、折叠问题及体积轨迹，强调空间想象|以空间几何体为核心，串联空间关系证明与度量计算| |概率统计|4题|包含古典概型、频率分布直方图及独立事件概率，注重数据分析|从随机事件到统计图表，形成概率模型与数据解释的应用链| |解三角形|3题|结合正弦定理、面积公式及最值问题，突出边角转化|以三角形边角关系为基础，渗透函数思想与方程求解|

必修第二册综合检测1 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2026·宁夏银川·一模）已知在平行四边形ABCD中，，，对角线AC与BD相交于点M，（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·青海海东·期末）如图，是水平放置的的直观图，其中，，分别与轴，轴平行，则（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏徐州·期末）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，则两次掷出的点数之和为6的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知等腰梯形中，，记梯形绕直线旋转一周所得旋转体的表面积为，绕直线旋转一周所得旋转体的表面积为，则（   ） A． B． C． D．的大小关系不确定 5．（24-25高一下·安徽池州·期末）有以下四个命题： ①若复数，则； ②若复数，且，则； ③若复数，则在复平面内对应的点的坐标为； ④若复数，则的实部与虚部至少有一个为0． 其中所有真命题个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026高三·全国·专题练习）一条直线与直二面角的两个面所成的角分别为，，则满足（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河南开封·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·辽宁本溪·模拟预测）将边长为的正方形沿着对角线折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，点平面，且若则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）甲､乙两地12月初连续7天的日最高气温数据如图所示，则关于这7天，以下判断正确的是（    ）    A．甲地日最高气温的平均数为 B．甲地日最高气温的极差为 C．乙地日最高气温的众数为 D．乙地日最高气温的中位数为 10．（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，C三点不共线 C．B，C，D三点共线 D．B，C，D三点不共线 11．（25-26高一下·辽宁铁岭·期中）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（    ） A．点，，与向量同方向的单位向量为 B．若，重心为G，过点G的直线交AB、AC于E、F，若，则 C．若，垂心为H，则与共线 D．若向量，则向量在向量上的投影向量为 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）在中，内角所对的边分别为，且，，，则______. 13．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四面体中，，，，.点，分别在侧面和棱上运动，为线段中点，当运动时，点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比等于______.    14．（25-26高一下·广东汕头·阶段检测）在一个半径为2的半球形封闭容器内放入两个半径相同的小球，则这两个小球的表面积之和最大为_____________. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高一下·四川自贡·期中）已知复数，其中. (1)若z是纯虚数，求实数m的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围. 16．（25-26高一下·广西河池·期中）记的内角、、的对边分别为、、，已知． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 17．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数． 18．（25-26高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：． 19．（25-26高二下·上海闵行·期中）小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． (1)若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率； (2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 必修第二册综合检测1 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2026·宁夏银川·一模）已知在平行四边形ABCD中，，，对角线AC与BD相交于点M，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法的几何意义可得，应用向量线性运算的坐标表示，即可求的坐标. 【详解】由题设，. 故选：D. 2．（25-26高二上·青海海东·期末）如图，是水平放置的的直观图，其中，，分别与轴，轴平行，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由斜二测画法还原图形计算即可求得结果 【详解】根据，，则，， 所以， 如图，由斜二测画法还原图形，，则.    故选：D. 3．（24-25高一下·江苏徐州·期末）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，则两次掷出的点数之和为6的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找出总事件共种，其中满足条件的罗列出来共5种，代入求解. 【详解】先后两次掷一枚质地均匀的骰子，共有种情况， 点数和为6的有共5种情况，所以概率为， 故选：B. 4．（2026高三·全国·专题练习）已知等腰梯形中，，记梯形绕直线旋转一周所得旋转体的表面积为，绕直线旋转一周所得旋转体的表面积为，则（   ） A． B． C． D．的大小关系不确定 【答案】A 【分析】作出辅助线，由圆锥的侧面和圆柱的侧面来分析两种情况下的表面积，得到 【详解】如图1，分别过点、作于点，作于点， 当梯形绕直线旋转一周时，与旋转所得的曲面均为圆锥的侧面， 面积分别记为旋转所得的曲面为圆柱的侧面，面积记为， 则， 如图2，分别过点、作于点，作于点， 当梯形绕直线旋转一周时，与旋转所得的曲面均为圆锥的侧面， 面积分别记为旋转所得的曲面为圆柱的侧面，面积记为， 则，易知，故. 故选：A 5．（24-25高一下·安徽池州·期末）有以下四个命题： ①若复数，则； ②若复数，且，则； ③若复数，则在复平面内对应的点的坐标为； ④若复数，则的实部与虚部至少有一个为0． 其中所有真命题个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据复数求模公式，可判断①的正误；根据复数的相等条件，可判断②正误；根据复数的几何意义，可判断③正误；根据复数的乘法运算及复数的概念，可判断④正误，即可得答案. 【详解】因为，所以①是假命题； 因为，所以，所以由可得，故②为真命题； 易知命题③为真命题； 设，则由，可得， 所以的实部与虚部至少有一个为0，故④为真命题． 综上，真命题的个数为3， 故选：C． 6．（2026高三·全国·专题练习）一条直线与直二面角的两个面所成的角分别为，，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与平面的位置，分两种情况，根据直线和交线是否垂直计算判断即可求解. 【详解】设直二面角的两个面交线为，设直线与两个面所成的角分别为和， 当直线垂直时，. 当直线不垂直时， 如图，由，知，即 综上可知， 故选：B. 7．（2026·河南开封·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和结合诱导公式、两角和的余弦公式、商数关系式可得，再根据余弦定理与角度转化可得，由基本不等式即可得最大值. 【详解】在中， 因为，所以，则， 所以，且均为锐角，故， 由余弦定理得，所以， 又，当且仅当时等号成立， 所以的最大值是. 故选：B. 8．（2026·辽宁本溪·模拟预测）将边长为的正方形沿着对角线折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，点平面，且若则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出几何图形，结合线面垂直、面面垂直的判定性质，借助勾股定理确定点的轨迹，进而求出轨迹长. 【详解】如图，取棱的中点，连接，则， 又平面，则平面，由平面， 得平面平面，在中，，由余弦定理得 ，为钝角，且， 在平面内过点作交的延长线于点，而平面平面， 于是平面，连接，又平面，则， 在中，， 在中，，， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以点的轨迹长度为. 故选：C. 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）甲､乙两地12月初连续7天的日最高气温数据如图所示，则关于这7天，以下判断正确的是（    ）    A．甲地日最高气温的平均数为 B．甲地日最高气温的极差为 C．乙地日最高气温的众数为 D．乙地日最高气温的中位数为 【答案】AD 【分析】利用折线图即可求出甲地日最高气温的平均数为，极差为，乙地日最高气温的众数为,中位数为，可得结论. 【详解】根据最高气温数据折线图可知，甲地日最高气温的平均数为，即可知A正确； 易知甲地日最高气温的极差为，故B错误； 由折线图可知乙地日最高气温分别为，所以众数为，即C错误； 将乙地日最高气温排序可得，即中位数为，可得D正确； 故选：AD 10．（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，C三点不共线 C．B，C，D三点共线 D．B，C，D三点不共线 【答案】BC 【分析】运用向量共线的判定来证明向量是否共线，若共线则得到三点共线，若不共线，则三点不共线. 【详解】，， 假设存在使得，即，即， 因向量，不共线，则，该方程组无解， 故不存在使得，则不共线，故A错误，B正确； ，，则，则共线， 又有公共点，所以三点共线，故C正确，D错误. 故选：BC. 11．（25-26高一下·辽宁铁岭·期中）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（    ） A．点，，与向量同方向的单位向量为 B．若，重心为G，过点G的直线交AB、AC于E、F，若，则 C．若，垂心为H，则与共线 D．若向量，则向量在向量上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】对A，求解，再根据单位向量公式求解即可；对B，设的中点为，则，再根据平面向量共线的性质判断即可；对C，化简即可判断；对D，根据投影向量公式求解即可. 【详解】对A，因为，故，所以与向量同向的单位向量为，故A错误； 对B，设的中点为，则， 因为，，三点共线，则，所以，故B正确；    对于C， ， 所以与垂直， 又， 则与共线，故C正确； 对D，若向量，则向量在向量上的投影向量为，故D正确. 故选：BCD 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）在中，内角所对的边分别为，且，，，则______. 【答案】 【分析】利用正弦定理可得，结合大边对大角的性质可求得结果. 【详解】由正弦定理得：， ，，. 故答案为：. 13．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四面体中，，，，.点，分别在侧面和棱上运动，为线段中点，当运动时，点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比等于______.    【答案】 【分析】根据已知证得，即，易知点的轨迹以为球心的球面被三个平面所截得，应用球体、棱锥的体积公式求体积，即可得. 【详解】由，，，平面，则平面， 由平面，则，则，而，故， 则中点的轨迹以为球心的球面（如图），被三个平面所截，体积为球体的， 所以上部分体积为，下部分体积为， 所以上、下两部分的体积之比等于. 故答案为：    14．（25-26高一下·广东汕头·阶段检测）在一个半径为2的半球形封闭容器内放入两个半径相同的小球，则这两个小球的表面积之和最大为_____________. 【答案】 【分析】由题意确定两个小球的表面积之和最大的情况，如图，根据勾股定理可得，则，解出r，结合球的表面积公式计算即可求解. 【详解】当两个小球的表面积之和最大时两小球相切，且两小球均与半球形封闭容器相切， 此时设两小球的球心分别为，，半球形封闭容器的底面圆心为O， 作出过，，O的截面如图所示，连接并延长，交半圆于点A， 则A为圆与半圆的切点，设两个小球的半径为r， 得，所以，解得， 所以这两个小球的表面积之和的最大值为． 故答案为：. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高一下·四川自贡·期中）已知复数，其中. (1)若z是纯虚数，求实数m的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析出若是纯虚数，需满足实部为0且虚部不为0，据此列出方程组，计算即可求出m的值； （2）分析出若z在复平面内对应的点位于第二象限，需满足实部小于0且虚部大于0，据此列出不等式组，计算即可求出m的取值范围. 【详解】（1）若z是纯虚数，则需满足， 由解得或， 由解得且， 综上，实数m的值为； （2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，则需满足①， 由解得， 由解得或， 所以不等式组①的解为， 即实数m的取值范围为. 16．（25-26高一下·广西河池·期中）记的内角、、的对边分别为、、，已知． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由辅助角公式化简得出，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用三角形的面积公式可得出的值，结合余弦定理可得出的值，由此可得出的周长. 【详解】（1）因为，可得， 因为，所以，所以，故. （2），解得， 由余弦定理可得， 解得，故的周长为. 17．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数． 【答案】(1)0.01 (2)中位数为78，平均数为76.5 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小长方形面积之和等于1求出的值； （2）用各组的组中值分别乘对应人数，再除以总人数，求得平均数，利用面积和为0.5可得中位数. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，，解得. （2）由（1）知.因此各组的频率分别为， 对应这100名学生各组的人数分别为10，20，25，35，10， 各组的组中值分别为55，65，75，85，95， 则， 所以估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数为. 由可得中位数位于，设为， 则，即中位数为78. 18．（25-26高一下·天津和平·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，要判定平面，只需判定平行于平面内的一条直线即可证明. （2）根据线面平行的判定定理和线面平行的性质定理进行证明. 【详解】（1）取的中点，连接，如图所示. 因为分别是的中点， 所以中，，且. 因为为四棱锥，所以，且. 所以且 所以四边形为平行四边形，所以 又在平面内，在平面外， 所以平面. （2）连接交于点，连接，如图所示. 因为四边形是平行四边形，所以是的中点. 又因为是的中点，在中，根据三角形中位线定理可得. 因为平面,在平面外， 根据线面平行的判定定理，得知平面. 因为过点和的平面交平面于，且平面， 根据线面平行的性质定理可得，. 19．（25-26高二下·上海闵行·期中）小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． (1)若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率； (2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，则事件小李恰好有一关闯关成功，由条件结合概率加法公式和独立事件概率乘法公式求结论； （2）设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，由条件结合概率公式列方程求，分别求出两人两关都通过的概率，再求结论． 【详解】（1）设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 由已知相互独立，且， ， 则，， 设事件小李恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 所以， 所以当时，， 所以小李恰好有一关闯关成功的概率为． （2）设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 则结合（1）知事件相互独立，且，，，，， 因为小王，小李两关都闯关成功的概率为，即，得①， 设事件小王恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 由（1）有， 因为小王，小李各有一关闯关成功的概率为，即，得②， 联立①，②得，解得或， 又，所以，， 所以小王两关都闯关成功的概率为， 小李两关都闯关成功的概率为， 所以小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率为. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $