8.3 向量的坐标表示（第3课时 向量数量积的坐标表示）同步练习-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

**基本信息** 本同步练习围绕向量数量积的坐标表示，通过基础计算、综合应用、几何建模三层设计，构建从概念理解到问题解决的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一公式应用（数量积计算、垂直/平行条件）|填空题1-5直接考查坐标运算，培养运算能力| |中档层|投影向量、夹角范围、概念辨析|填空题6-10及选择题13-15结合推理判断，发展推理意识| |综合层|几何情境应用、最值问题|填空题12及解答题18-21融入正方形、平行四边形模型，体现数学建模与创新意识|

8.3向量的坐标表示（第3课时)向量数量积的坐标表示 一、填空题 1.已知a=(0,1),b=(2,1),则6·a= 2.已知向量d=(3,4),b=(-1,m),若a.b=5,则m= 3.已知向量a=(3,4)和b=(5,k)满足a1b,则实数k= 4.已知向量元=(4,2)，b=(-1,3),则a在b上的投影向量为 5.已知向量a=(3,2),b=(2,-2),c=(m,-1),若c1(2a+),则m= 6.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c=(x,y)满足(c+a)/b,c1(d+ b,则x= ’y= 7.已知向量a=(1,-2),a+b=(3,m),且a1b,则m= 8.向量m=(sina,-1),元=(-3，cosa),其中a∈（侵，m,且m1元则sin2a= 9.已知向量a=(v2,1),b=(cos8,sin8)(0≤日≤π)，若i在d上的投影向量为 -8a,则a与的夹角为 10.已知向量a=(1,-3),b=(x,-1),若a-b与b的夹角为锐角，则x的取值 范围为· 11.已知向量=22，b=(1,-1),1a+=2W3,则向量在向量b上的投影 向量坐标为 12.如图，在边长为1的正方形ABCD中，CE=ED,F为线段BE的中点，则AF ·BF的值为 二、选择题 13.已知向量a=(2,-3),b=(m-1,m),则下列说法不正确的是(） A.若a/6,则m=-号 B.若a1b,则m=-2 C.若=，则m=-2或3 D.若m=1,则a+b与b的夹角为135° 14.已知向量a=(x,1),b=(3,2),c=(-4,y),且a/b,a1c,则x+y= () A.号 B. 10 c. D.0 3 15.已知a=(2,1),b=(1,1),a与b的夹角为8，则cos8=( A.10 B.310 C.v10 D.5 10 10 5 16.已知等边三角形ABC的边长为2，AM=1AB+(1-)AC,则MA·MC的最 小值为() A. B. c.- D.0 三、解答题 17.已知a=(4,-2),b=(6,-1),求： (1)(2a-b).(a+2): (22a-3. 18.已知向量a=(1,2),b=(3,-1) (1)求2a-: (2)若向量a+b与垂直，求实数的值： (3)设c满足c/a且1c=V5,求的坐标】 19.已知a=(-1,3),b=(4,3), (1)设向量a,b的夹角为0，求cos0的值； (2)若a-kb和a+kb互相垂直，求k的值. 20.已知平面向量a=(3,y),b=(x,12),c=(4,-3),且a/b,a1c (1)若向量元=b-2a,元=a+c,求，的夹角的大小； (2)当t∈[-1,2]时，求a+t的取值范围， 21.如图，已知在平行四边形ABCD中，A(1,1),B(5,4),C(2,5) C2,5) B(5,4) (1,1) 0 (1)求点D的坐标；并判断平行四边形ABCD是否为矩形； (2)设向量是与向量AB垂直的单位向量，求向量的坐标 8.3向量的坐标表示（第3课时)向量数量积的坐标表示-同步 练习-2025-2026学年沪教版高一数学必修第二册 一、填空题 1.已知a=(0,1),b=(2,1),则b·a= 【答案】由a=(0,1),b=(2,1),可得b·a=2×0+1×1=1. 2.已知向量a=(3,4),b=(-1,m),若a.b=5,则m=· 【答案】由题意得，a.b=3×(-1)+4×m=5,解得m=2. 3.已知向量a=(3,4)和b=(5,k)满足a1b,则实数k= 【答案】因a1b,a=(3,4),b=(5,k), 则a.万=0→15+4k=0=k=华 4.已知向量a=(4,2),b=(-1,3),则a在b上的投影向量为 【答案】设c为a在b上的投影向量， 则e=品6-。（←13）=(3 5.已知向量a=(3,2),b=(2,-2),c=(m,-1),若c1(2a+),则m= 【答案】已知a=(3,2),b=(2,-2),所以2a+b=(6,4)+(2,-2)=(8,2) 因为d1(2a+),所以8m-2=0,解得m=4 1 6.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c=(x,y)满足(c+a)//b,c1(a+ ,则x= ’y= 【答案】c=(x,y),则+元=(x+1,y+2), 又(c+a)//b,.2y+2)+3(x+1)=0①， 又c1(a+b),a+b=(3,-1),(x,y)·(3,-1)=3x-y=0②， 由①②解得x=了y=-子 7.已知向量d=(1,-2),a+万=(3，m),且a1b,则m= 【答案】由题意，b=(a+b)-a=(3,m)-(1,-2)=(2,m+2), 由d1b可得2-2(m+2)=0,解得m=-1. 8.向量m=(sina,-1),元=(-3，cosa),其中a∈(g,m),且m1元则sin2a= 【答案】因为元⊥元，所以元·元=0即-3sina-cosu=0,即tana=-号 又ana=2-令c0sa=-3sina 1 代入sin2a+cos2a=1,解得sin2a=1o, 又a∈(gn),所以sinu=o, 10,c0sw=_31o 10 所以sin2u=2 sinacosa=-2×g×(-39）=-号 9.已知向量a=(2,1),b=(cos0,sin8)(0≤0≤π)，若b在a上的投影向量为 一a,则6与五的夹角为 【答案】由向量a=(2,1),b=(cos8,sin8),得a=V3,bl=1, 由在a上的投影向量为-3a, 6 行a-=-a,解五= 2 因此casa-品-之 1 而0≤(a,b)≤，则a,)= 10.己知向量=(1，-3)，万=(x,-1),若a-与的夹角为锐角，则x的取值 范围为 【答案】因为a=(1,-3),b=(x,-1),所以a-b=(1-x,-2). 由于向量a-b与的夹角为锐角，所以(-).b>0,并去掉两者同向共线的情 况，则(1-x)x+2>0,且1-x≠2x,解得x∈(-1，)U(（2),则x的取值范围 为(-1，)u（G2): 11.已知向量=2V2,b=(1,-1),a+=23,则向量在向量6上的投影 向量坐标为 【答案】由b=(1,-1),得bl=V2,由a+1=2V3, 得1a+2=a2+2a.6+2=8+2a.万+2=12，则a.万=1， 因此，a在五上的投影向量为带6=6=1，-1)=（侵-》 12.如图，在边长为1的正方形ABCD中，CE=ED,F为线段BE的中点，则A正 ·BF的值为 D B 【答案】以A为原点，AB,AD为x,y轴正方向建立平面直角坐标系如下： E D B x 由题意得A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(xE,1), 因为CE=ED,则有(x5-1,0)=（-x,0),即xg-1=-2式，解得xE= 内为P%股的叶，圆 即F3, 2 则AF=(后-0，-0)=(g》BF=(g-1,0)=(-8) 则aF-x(月+x好号 二、选择题 13.已知向量云=(2，-3)，b=(m-1,m),则下列说法不正确的是() A.若a,则m=-号 B.若a⊥b,则m=-2 C.若=，则m=-2或3 D.若m=1,则a+b与b的夹角为135° 【答案】A,向量a=(2,-3),b=(m-1,m), 若a/6,则2×m=-3(0m-1),即m=,A选项不正确： 若a1b,则2(m-1)-3m=0,即m=-2,B选项正确； 若1a=,则V4+9=V(m-1)2+m2,所以m2-m-6=0,解得m=-2或 3,C选项正确； 若m=1, 则向量a=(2,-3),b=(0,1),即a+b=(2,-2), 设ā+与b的夹角为0， (a+)-6 -2 则a+石与的夹角余弦为cos8= a+副 =x4+=号，则a+5与5的夹角 为135°，D选项正确； 14.已知向量a=(x,1),b=(3,2),c=(-4,y),且a/b,a1c,则x+y= () A. B.9 c号 D.10 【倍突1回a1名所（石，”。g化-+y 1 15.已知a=(2,1),b=(1,1),a与b的夹角为0，则cos0=( ) A.把 B.31o D.5 10 C.v10 5 【答案】B,因为a=(2,1),b=(1,1),所以=22+12=V5,l=V12+12 =V2, a·b 因为a与b的夹角为0，所以cos0= 2×1+1×1=3 5×V2 10 16.已知等边三角形ABC的边长为2，AM=AB+(1-)AC,则MA·MC的最 小值为() A.-月 B. c.- D.0 【答案】B,因为AM=1AB+(1-)AC, 所以AM-AC=λ(AB-AC),即CM=1CB, 根据向量共线定理，B,C,M三点共线， 设BC的中点为0，以0为坐标原点，0C,0A为x,y轴正方向，建立平面直角坐标 系，则A(0,V3),B(-1,0),C(1,0), 设M(x,0),则MA=(-x,3),MC=(1-x,0), 所以MAMc=(-01-)+n3x0=x2-x=(x-)2是 所以当x=时，MAMC取最小值，最小值为分2-之=- 因此MA·MC的最小值为-是 三、解答题 17.已知a=(4,-2),b=(6,-1),求： (1)(2a-b)·(a+2b): (2)2a-3. 【答案】(1)因为a=(4,-2),b=(6,-1),所以2a-b=(2,-3),a+2b= (16,-4),所以(2a-b)·(a+2b)=2×16+(-3)×(-4)=44. (2)因为a=(4,-2),b=(6,-1),所以2a-3b=(-10,-1), 所以2a-3b=V(-102+(-1)2=101 18.已知向量a=(1,2),万=(3，-1) (1)求2a-: (2)若向量d+与垂直，求实数的值： (3)设c满足c/a且1C=V5,求的坐标. 【答案】(1)因为a=(1,2),b=(3,-1), 所以2-b=(2-3,4-(-1)=(-1,5), 所以2a-b=V(-1)2+52=V1+25=V26. (2）因为a=(1,2),b=(3,-1), 所以a+6=(1+3λ，2-)， 又a+b与垂直，所以(a+b)·d=0, 即(1+3)×1+(2-)×2=0，解得λ=-5， (3)因为c/a, 所以设c=ka=(k,2k), 所以Il=Vk2+(2k)2=v5k2=V5k1=V5, 解得k=1或k=-1, 当k=1时，c=(1,2)；当k=-1时，c=(-1,-2) 所以的坐标为(1,2)或(-1，-2) 19.已知a=(-1,3),b=(4,3). (1)设向量a,b的夹角为6，求cos0的值； (2)若a-kb和a+kb互相垂直，求k的值. 【答案】(1)因为a=(-1,3),b=(4,3), 所以a.=-1×4+3×3=5,1=V(-1)2+32=10,|l=42+32=5, 所以cos0= 品--语 (2)因为a=(-1,3),=(4,3), 则a+kb=(-1,3)+(4k,3k=(-1+4,3+3k),a-kb=(-1,3)-(4k,3k)= (-1-4k,3-3k), 因为a+kb和a-kb互相垂直， 所以(a-kb)·(a+kb)=0,即(-1-4k)(-1+4k)+(3-3k)(3+3k)=0, 整理得10-25k2=0,解得k=或-10】 5 20.已知平面向量a=(3,y),b=(x,12),c=(4,-3),且a/b,a1c (1)若向量m=万-2a,i=a+c,求元，n的夹角的大小； (2)当t∈[-1,2]时，求|a+t的取值范围 【答案】1)由a115a1,可得13y360解得形=4 .a=(3,4),b=(9,12), m=b-2a=(3,4),元=d+c=(7,1): 设m的夹角为6，则cos0-高调--号 21 又，放，的夹角为 (2)a+tc=(3+4t,4-3t),la+tc=V(3+4t)2+(4-3t)2=V25t2+25, 令y=25t2+25,t∈[-1,2]， 则t=0时有ymim=25,t=2时有ymax=125,5≤y≤55， a+t的取值范围为5,5V⑤. 21.如图，已知在平行四边形ABCD中，A(1,1),B(5,4),C(2,5) C(2,5) B(5,4) A(1,1) (I)求点D的坐标；并判断平行四边形ABCD是否为矩形； (2)设向量是与向量AB垂直的单位向量，求向量的坐标！ 【答案】(1)设顶点D的坐标为(x,y),AB=(4,3),DC=(2-x,5-y), 由题意可得AB=DC,则(4,3)=(2-x,5-y), 仔二号y,解得{y=子，点D的坐标是(-2,2)： 又：AB=(4,3),BC=(-3,1), AB.BC=4×(-3)+3×1=-9≠0， ·AB不垂直于BC,.平行四边形ABCD不是矩形. (2)设a=(m,n),依题意有，AB=(4,3),=1,a1AB, …+三9 m=-3 （m= 解得 、a=(-引 n= 5